Синтез анизотропийного робастного регулятора при структурированной неопределенности объекта управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.715 + 681.514 ББК22.1

СИНТЕЗ АНИЗОТРОПИЙНОГО РОБАСТНОГО РЕГУЛЯТОРА ПРИ СТРУКТУРИРОВАННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ1

Юрченков А. В.2

(ФГБУН Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)

Получено решение задачи синтеза анизотропийного регулятора при структурированной неопределенности в модели объекта управления. Показано, что исходная задача сводится к задаче Н^-оптимизации для системы с одним дополнительным входом. Разработан численный алгоритм на основе метода гомотопий, который вычисляет матрицы анизотропийного внутренне стабилизирующего регулятора на базе Н2-регулятора. Исследованы отличия полученного регулятора и регулятора, построенного для объекта с неструктурированной неопределенностью. Показано, что синтезированный регулятор обеспечивает лучшее качество замкнутой системы управления.

Ключевые слова: анизотропийная теория робастного стохастического управления, структурированная неопределенность, метод гомотопий.

Введение

Последние двадцать лет в теории управления развивается направление, названное авторами анизотропийной теорией робаст-ного управления [11, 25, 28]. Особенностью этой теории является выбор таких способов описания внешнего возмущения и

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №12-07-00267.

2 Александр Викторович Юрченков, аспирант (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, тел. (495) 334-92-60 внутр. тел. 1645).

24

коэффициента усиления от входа к управляемому выходу системы, которые обобщают постановки известных задач H2- и управления. При определении коэффициента усиления, который называется анизотропийной нормой, вводится характеристика отличия одной случайной последовательности от другой — эталонной. В задачах анизотропийной теории робастного стохастического управления используется свойство входной последовательности отличаться от «белого шума».

Мера отличия расширенного вектора случайной последовательности от гауссовского «белого шума» связана с хорошо известным в теории информации уклонением Кульбака-Лейблера или относительной энтропией.

Широко известные подходы H2- или H^-теорий управления предполагают выполнение ряда предположений о входных возмущениях. Для задачи Н2-управления существенное требование состоит в том, что внешнее возмущение является гауссовским «белым шумом», в противном случае синтезированный закон управления будет крайне неэффективным. Основы этого подхода были заложены в работах Р.Е. Калмана и А.М. Летова в середине XX века. Позже задача H2-оптимизации рассматривалась авторами J.C. Doyle, K. Glover, P.P. Khargonekar и B.A. Francis в работе [12]. В свою очередь -регуляторы проявляют излишнюю консервативность, поскольку строятся для наихудшего случая входной последовательности из I2. Иными словами, если входной сигнал близок по своим стохастическим характеристикам к «белому шуму», то затраты энергии на построение управления будут весьма значительными. Примеры задач -оптимизации могут быть найдены в работах G. Zames [29], J. Doyle [13], B.A. Francis [19], K. Glover [12], D. Gu [19], N. Berman, U. Shaked [9, 17], C. Scherer [26, 27], T. Iwasaki, R.E. Skelton [21, 25], P. Gahinet [15, 16], P. Apkarian [7, 8] и др.

При рассмотрении задач робастного управления для систем с параметрической неопределенностью или отсутствием оценок вероятностных характеристик задающего сигнала, можно использовать методы синтеза оптимальных анизотропийных регу-

ляторов. Можно легко показать, что параметрическая неопределенность может быть сведена к структурированной, хотя обратное утверждение не всегда верно. Следовательно, все результаты, полученные для параметрической неопределенности, остаются в силе и для структурированной, как наиболее общей. То есть имеет смысл формулировать задачи робастного управления именно в терминах неопределенности, имеющей специальную структуру. Дискретная линейная математическая модель объекта, содержащего этот вид неопределенности, представлена ниже:

xk+1 = Axk + Bowk + B\Uk, Ук = CiXk + DiiWk, Zk = C2 Xk + D22 Uk, Wk = A Zk,

где A принадлежит множеству

Д = {block diag (5iIk1, ■■■ ,5shs, Ai, ••• , A f) :

5i e R, A, e RliXlij .

При решении задачи обеспечения робастного качества для линейной дискретной системы вводится а-анизотропийная норма системы ||F||a, которая является частным случаем стохастической нормы. Это направление развивается в ряде работ А.В. Семенова, И.Г. Владимирова, А.П. Курдюкова [25, 28], M. Kamy [22], I.R. Petersen, M.R. James, P. Diamond [11, 24]. Поскольку значение а-анизотропийной нормы принадлежит интервалу, левым концом которого является масштабированная H2-норма системы ^р= ||F||2, а правым — -норма ||F||те, то при предельных значениях уровня средней анизотропии входного сигнала а, равным нулю или бесконечности, величина а-анизотропийной

нормы ||F||а будет совпадать с одним из значений ^р= ||F||2 или ||Fсоответственно.

К известным результатам анизотропийной теории относятся задача стохастической Н^-оптимизации систем с параметрической неопределенностью, многокритериальные задачи оптимизации, построение анизотропийных субоптимальных регуляторов для дескрипторных систем, синтез субоптимальных регуляторов методами выпуклой оптимизации.

В работе [2] приведено решение стохастической задачи оптимизации для системы с параметрической неопределенностью. Авторами продемонстрировано, как можно изменить математическую модель системы путем введения дополнительного входа, что позволяет погрузить задачу в более общую, которая решается методами анизотропийной теории.

Обеспечение робастного качества для системы со структурированной неопределенностью с критерием в виде а-анизотропийной нормы передаточной функции от задающего возмущения к управляемому выходу имеет ряд преимуществ перед критерием качества, взятым в виде Н2- или Н^-нормы передаточной функции замкнутой системы. В данной работе формулируется и решается анизотропийная задача стохастической оптимизации для линейных дискретных систем со структурированной неопределенностью. Постановка заключается в том, что нужно найти такой регулятор К, который внутренне стабилизирует замкнутую систему и минимизирует максимальное значение а-анизотропийной нормы замкнутой системы, где а ^ 0 — уровень средней анизотропии входного сигнала, а максимум берется по всем неопределенностям из заданного класса Д.

В первом разделе статьи приводится постановка задачи. Во втором разделе показано как свести исходную задачу со структурированной неопределенностью к более общей задаче, модель объекта управления которой не содержит неопределенность, хотя имеет один дополнительный вход. В третьем разделе продемонстрировано, что новая задача эквивалентна смешанной задаче Н2/Н^-оптимизации, а ее функционал качества является мажорирующим для функционала исходной задачи. В четвертом и пятом разделах строятся «наихудшие» последовательности вход-

ных воздействий для системы. В шестом разделе описывается построение оптимального регулятора в виде наблюдателя. Седьмой раздел содержит описание алгоритма построения регулятора. Заключительный, восьмой, раздел иллюстрирует преимущества синтезированного регулятора на численном примере.

1. Постановка задачи

Рассмотрим линейную дискретную стационарную систему ^, описываемую уравнениями

хк+1 = Ахк + + Бг-Шк + В2Пк, гк = СгХк + ^12 ик, (1) Рк = С2Хк + ^22ик,

У к = СзХк + Дзз-к, дк = А Рк,

где к £ хк £ Мп — состояние системы; гк £ МГ1 — управляемый выход; Рк £ Мт° — выход неопределенности; ук £ МГ2 — наблюдаемый выход; дк £ Мт° — вход неопределенности; ик £ М™2 — управление; шк £ М™1 — возмущение. Матрицы системы

(1) будем считать известными, за исключением матрицы оператора неопределенности А, которая принадлежит множеству

(2) Д = {А = blockdiag(Аь А2) : Аi £ М1*хк, ||А^|те < 1} .

Последнее равенство в системе (1) представляет собой связь между входом р и выходом д с точки зрения сохранения вход-выходных соотношений посредством матрицы оператора неопределенности А.

Структурная схема рассматриваемого объекта представлена на рис. 1.

Задача анизотропийной оптимизации состоит в следующем: Задача 1. Для системы вида (1) и верхней границы уровня средней анизотропии возмущения а ^ 0 найти стабилизирующий регулятор К £ К, который минимизирует максимальное значение а-анизотропийной нормы системы (Еи (М, А), К) по всем допустимым значениям неопределенности А £ Д, т.е. доставляет

Рис. 1. Система с неопределенностью и регулятором в контуре

обратной связи

минимум функционалу

(3) Jo (K) = sup |||F (Fu (M, A), K) ||a .

ДеД

Здесь стоит описать множество допустимых регуляторов K. Регулятор K будем называть допустимым (из множества K), если он является стабилизирующим и причинным, т.е. управление на каждом шаге щ зависит только от предыстории измерений {yj }j<k и не зависит от текущего измерения состояния yk.

Первым шагом на пути решения задачи анизотропий-ной оптимизации для системы, содержащей структурированную неопределенность, будет погружение исходной задачи в более общую, модель объекта управления которой не содержит в себе неопределенность, но в которой присутствует дополнительный входной сигнал. Такой метод позволит свести задачу анизотро-пийной оптимизации для системы со структурированной неопределенностью к задаче анизотропийной оптимизации для полностью определенной системы.

В рамках рассматриваемой системы потребуем выполнение основных предположений:

(A) $ D —0}.

d12 d12 — 1.

(B) номинальная система (при A = 0) наблюдаема и управляема;

(C) ri <mi;

(Э) матрица ^33 в (1) имеет полный строчный ранг: гапк^зз = г2 ^ шг;

(Е) матрица ^12 в (1) имеет полный столбцовый ранг: гапк^12 = ш2 ^ гг;

Предположение (А) не ограничивает общности, так как если оно не выполнено, то к системе следует применить преобразование, указанное в [18], которое приводит ее к указанному виду. Предположения (В) являются стандартными для задач управления. Предположение (С) гарантирует, что для любого регулятора К система (Ги (М, А), К) удовлетворяет неравенству

Н^г(*)||2 < ||^гМНоо. Предположение (Э) гарантирует невы-

ш

рожденность уравнения Риккати для оптимального оценивателя из раздела 7.1, а (Е) — невырожденность уравнения Риккати для оптимального Н2-регулятора, полученного в 8.2.

2. Погружение в более общую задачу стохастической ^^-оптимизации

На основе модели (1) введем вспомогательную систему: Хк+1 = Ахк + В1Шк + В2ик + ВзПк, С1Хк + ^12 ик 71С12Хк 12С22Хк 1Ф\222и,к 7202,22ик У к = СзХк + ВззШк, где Yi, Ъ = 1, 2 — некоторые положительные параметры, матрица неопределенности имеет диагональный вид А = diag(Аl, А2), Аi £ , «1 + в2 = ш0, а матрица Вз имеет блочный вид

Вз = [В01, В02,В01,В02]Т, где отдельный блоки получены из матрицы В0 следующим образом В0 = [В01,В02] , B0i £ МгаХ^, новый векторный вход системы будет иметь размерность М2т°, остальные матрицы совпадают с матрицами в (1), матрицы С2 30

(4) Хк =

и В22 также разбивается на блоки [С12, С22]Т Е хп и В22 = [^1,22,^2,22]Т , ^,22 Е хт2. Единственная априорная информация о входном воздействии щ заключается в том, что оно берется из множества сигналов в ограниченной мощностной нормой, т.е. ||Пк < го. Тогда схема замкнутой системы примет вид, изображенный на рис. 2.

Рис. 2. Замкнутая система с дополнительным входом

Исходная система (1) будет являться вложенной по отношению к системе (4), если принять nk = (Ах C12 Xk, А 2 C22 Xk, Ах Di,22 Uk, A2 D2,22 Uk )T. Теперь можно сформулировать задачу стохастической H^-оптимизации для системы (4):

Задача 2. Для системы вида (4) и верхней границы уровня анизотропии входного сигнала a ^ 0 найти допустимый регулятор K Е K, который минимизирует максимальное значение а-анизотропийной нормы передаточной функции системы M, K) для любых входных воздействий, т.е. доставляет минимум функционалу

(5) J (K, y) = sup sup (\\Z||2 - ||Гп\\2) .

nfc weBWЛ P 4

3. Связь между задачей 2 и смешанной задачей оптимизации

Следующая теорема поясняет, почему решение задачи 2 эквивалентно решению смешанной задачи оптимизации.

Теорема 1. Решение задачи 2 является также решением

следующей смешанной задачи оптимизации: для фиксированных параметров 71 и 72 найти допустимый регулятор K е K, такой что

(6) \\T~zw\\a ^ min,

K

(7) \\T-zm IL < 7i, i = 174.

Доказательство. Рассмотрим анизотропийную норму передаточной функции системы на рис. 2 от входа w к выходу т.е. |\ \ Tzw \\\а. По определению,

(8) |\\ T~zw\\a=f sup 1И^ = SUp \Щ .

weWa II WlV weWB* ' Заметим, что указанная норма (8) будет принимать минимальное значение при том же значении аргумента W, что и функционал (5) при п = 0

j (к, y) = sup P112 = \\ t~zw \\ а.

wewBa '

Первое утверждение (6) теоремы доказано. Докажем неравенства (7). Поскольку требуется найти максимальное значение нормы передаточной функции замкнутой системы изображенной на рис. 2 от входа ni к выходу будем полагать, что W = 0 и ni = 0,i = 2, 4. Функционал (5) примет вид

J (к, Y) = sup (J^p - 7i2|ni!V) .

П1

Сперва покажем, что -норма является подчиненной по

P.

отношению к мощностной полунорме *

/ 1 k=N \ 1/2

(9) \\Тъni\\P — Nm2NTI Е E |T^nik|2 <

\ k=-N /

/ i k=N \ 1/2

< Е E|Tm,x4lklM —

\ k=-N /

/ i k=N \ 1/2

— |Tmax| Nimoo2N"+T Е E |nikП — l|T^i lloo \\ni\\p. \ k=-N /

Фактически, мы доказали неравенство:

(10) \\T^nini\p < ITnilo \\ni\\p,

где равенство достигается для некоторого nl — arg max G lp . Поскольку поставленная задача разрешима, то функционал \ \ Z \ \ ^ —

Y2 \ \ П \ \2 достигает максимального значения, а значит, может быть ограничен сверху, в том числе и для nl. Не ограничивая общности, можно заявить, что точная верхняя граница (5) существует и равна а. Тогда выполняется следующее неравенство:

\\<7\\ 2\\ \\2 \\™ \\2 2 \ \ \\2 ^

Принимая во внимание доказанное утверждение о подчиненной мощностной полунорме (10), получаем

11 гп ||2 \ \ * \ \2 2 \ \ * \ \ ^

Усо \Ы\Р — Y1 \ni\\P < а-

Разделив обе части последнего неравенства на положительную величину \\nl \\р и выражая H оо-норму передаточной функции от входа ni к выходу i, получаем

а

(11) №т ^ < 7Ь

Неравенство (11) должно выполняться для любых значений а > 0. Минимальное значение правой части (11) будет равно 71, что означает условие ^ 71. Аналогично доказывается, что

33

\\Tz-m ^ Ъ, г = 2,4. Согласно (4), при постановке задачи используются только два положительных параметра 71 и 72, т.е. для задачи 2 условие (7) применимо при 73 = 71 и 74 = 72.

Теорема 2. Для любых входных воздействий Ш £ а и Пк £ выполняется неравенство

(12) (К) < 7 (К, 7) . Доказательство. Для доказательства утверждения теоремы

нам понадобится одно равенство

(13) II ¿к ||р = Ц^к ||р + 72 || С12хк ||р + 72 ||С22хк ||р +

Р + 72 ||-^2,22"-к|| р-

2|| ^ 1|2 , 2|| ^ ||2 + Yl||Dl,22«fc ||„ + 72 || D2,22Uk Г

Функционал

22

(14) L (K,W,V) = ||Z||; - ||ГпГр

является функцией Лагранжа для задачи условной стохастической оптимизации с критерием качества

(15) sup ||^||2,

при ограничениях

(16) п eDn = {n е l2vm° : ||ni|P < ||Ci2X|

Р'

Пг+2^ ^ ¡^¿,22U L, i = 1, 2} .

Преобразуем функционал (14), используя (13):

L (K, W, п) = ||Z||р + ^ (|Ci2X||р - ||ni||p +

i=1

+ ||Di,22U - ||ni+2|p)

Оценка сверху для функции Лагранжа (14) имеет вид:

\Z ||2

weBWa neDv weBWa neD^ ' ' '

(17) sup sup L (K,W,n) = sup sup j ||Z||2 +

weBWa n£Dv weBWa neDv ^

2 2

+ ^ Y2 (||Ci2X - |ni|P) + ^ Y2 (||Di,22U - ||ni+2|

Заметим, что для наихудшего входного воздействия W и соответствующего ему сигнала п последние два слагаемых в правой части (17) стремятся к нулю, т.е.

sup sup L (K, W, n) ^ sup sup L (K, W, n), weBWa neDv WeBWa neD)n

где

(18) Dn = {n e lpm0 : ||ni||P < ||Ci2X(n, W)

p \ II " ) ||p>

||ni+2|p ^ 11 Di,22 U ^, i = 1, 2} . Очевидно, что множество Dn (18) является вложенным в множество Dn (16). При рассмотрении системы (4) мы полагали, что новое входное воздействие n связано с исходной неопределенностью А специальным образом, а именно nk = (АС12Xk, AC22Xk, ADi,22Uk, AD2,22Uk)T. Данное предположение позволяет привести неравенства, которые завершают доказательство теоремы:

22

(19) J (K,y) ^ sup sup ||Z|L ^ sup sup ||Z|L =

w eBW a neDv p w eBW a neD)n P

2

= sup sup ||Z|L = Jo (K). weBWa Дед p Так как постоянные Yi и Y2 являются множителями Лагран-жа в задаче условной оптимизации и не равны нулю, то следующие условия можно считать достаточными условиями экстремума: если найдется такой параметр Yo, что

(20) ||ni|P = yCi2X^, 11ni+211p = !Di,22U^, i = 1, 2,

где n = Arg maxn J (K, y), то inf J (K, y) = J (K, y0) для любого

Y

K e K, а пара ((го (K), n(K)) ,y0) является седловой точкой функции Лагранжа L (K, w, n, Yo). Теоремы 1 и 2 означают, что исходную задачу с критерием качества (3) можно свести к задаче 2. Критерий качества (5) будет мажорирующим критерием для (3), причем разность J (K, y) - J (K) будет минимальна, если найдется Yo, удовлетворяющее условиям теоремы 2.

Рассматривая систему (4) с критерием качества (5), будем говорить о смешанной задаче ABa/'H<x-оптимизации, поскольку

на вход поступают два сигнала: -к имеет заданный уровень средней анизотропии, а Пк принадлежит множеству ограниченных по Ц*^-норме сигналов. Решением ее будет тройка (К*,С*,СЦ), которая является седловой точкой функционала качества (5), причем

(21) С (К*, Со, ^1) < С (К*, С*, С*) < С (К, СО, С*),

где К * — оптимальный регулятор, С* — наихудший формирующий фильтр для входа —, а СЦ — наихудший формирующий фильтр для входа Пк. Другими словами, строгое математическое описание множеств, содержащих вышеперечисленные элементы К*, СО и С* выглядит так

(22) К* (Со,С1)= Л^ шшС С К,

к ек

(23) ао (К, С1) = Лrg шах С С

седа,усоУ2=1

(24) £* (К, Со) = Л^ шах С С ПП(¿то)хт1.

Сх еян^;то)Хт1

Элементы множества (22) является решением смешанной задачи ЛВо/Поо-оптимизации, при условии, что вход Ш замкнутой системы генерируется известным формирующим фильтром С0 € £о, т.е. Ш = С0 * V. Вход п генерируется с помощью известного формирующего фильтра С1 € ^п02то)хтх, п = С1 *Ш. Множество (23) образовано формирующими фильтрами, генерирующими «наихудшие» входные сигналы с ограниченным уровнем средней анизотропии при фиксированном регуляторе К € К и фильтре С1 € ^П 02то)хтх. Последнее множество (24) представляет собой множество фильтров С1 € генерирующих входные последовательности при фиксированном регуляторе К € К и фильтре С0 € £о.

4. «Наихудший» вход с ограниченной энергией для системы, замкнутой произвольным регулятором

Решение задачи 2 начнем с поиска наихудшего входного воздействия п с ограниченной энергией. Поскольку входная после-36

(25)

довательность п полностью определяется формирующим фильтром С1, то будем искать такую реализацию фильтра С1 в пространстве состояний, которая доставляет максимум функционалу (5) при фиксированном фильтре С0 и регуляторе К. Регулятор К будем искать в виде

Ск+1 = А{к + В у к,

ик = С ^,

где А, В и (7 — неизвестные матрицы. Наихудший вход п формируется следующим образом:

(26) Пк = Цк + Е1/2-к = ¿1Жк + ¿26 + Х1/2-к,

где матрицы Ь и Е1/2 подлежат определению. Замкнутая система Р)(М,К) представлена на рис. 2, ее реализация в пространстве состояний представлена ниже:

(27)

А В2С В1 вз

В Сз А в £зз 0

С1 £>12 С 0 0

71С12 0 0 0

72С22 0 0 0

0 71£1,22С7 0 0

0 72^2,22 С7 0 0

" А в р1 ■

с 0 0

ЖМ ,К) =

Обозначим вектор состояния замкнутой системы Р)(М,К) как объединенный вектор состояния объекта управления Хк и регулятора {к, т.е. (к = (Хк, Ск)Т и введем следующую матрицу:

СТС1 + Т2 С12С12 + 72 С22С22

о •••

(28) д =

0

• • • С7Т (^И + 72^1122^1,22 + 722^Т22^2;22) С _

Рассмотрим дискретное алгебраическое уравнение Риккати отно сительно матрицы У €

2гах 2га.

(29)

(30)

(31)

у = АТУ А + ьте-1ь + д, ь = [¿1, ¿2] = е^туа,

Е = (Г2 - УР1)-1,

где матрица Ь £ разделена на два блока Ь1 и Ь2. Реше-

ние У уравнения (29)-(31) называется стабилизирующим, если матрица У симметрическая, матрица £ положительно определена и матрица А + ^Ь асимптотически устойчива. Заметим, что для любых фиксированных > НТ^ \\оо , г = 1, 4, уравнение (29)-(31) имеет единственное решение.

Теорема 3. Пусть ЦТ^Ц^ <^1, г = 1,4. Тогда

(32) sup {р- ||rn|^ =

neipm^ p PJ

= Trace I (BT YB + BTYF£FT YB) Rww (0) +

+ 2(ATY F£F TY B + AT Y B)Rw

где Y, L и £ удовлетворяют уравнению (29)-(31), а наихудший вход формируется согласно (26).

Доказательство. Сначала преобразуем функционал (5) согласно введенному обозначению (28):

(33) J (K, y) = sup sup L,

где L представим в виде

nkei2vmo W eBW a

1 k=N

L = N^2NTTE E (ZTQk - nTr2nk).

k=-N

Распишем разность Ck+1YnCk+1 - Ck^Y^Ck следующим образом:

Ck+1YCk+1 - (kYZk =

= (A(k + Bwk + fnk)' Y(A(k + Bwk + fnk) - (TYZk = -ZTQZk + nTr2nk + ZT(ATYA - Y + Q)Zk + wTBTYBwk+ + nT(FTYF - r2)nk + 2(AZk + Bwk)TYFnk+

+ 2wT BTY Bwk + 2ZTATY° Bwk,

теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы получить в качестве аддитивной добавки мощностную полунорму:

СкГ+1 УСк+1 = -с!яск+п1г2пк+С Т(АТУА-У+д)а+ + ыТвТУвwk + пТ{РТУР - г2) Пк + 2(А(к + Bwk)ТУР(РТУР - г2)-1/2(ВТУР - г2)1/2пк+ + ((г2-Р ТУР) Р ТУ (А(к+Bwk))Т (г2-Р ТУР) -1/2Р ТУ (А(к+Bwk) -- ((г2-РТУР)РТУ (А(к+Bwk))Т (г2-РТУР) -1/2РТУ (А(к+Bwk) + + 2(кТАТ УBwk = -(1Я(к + п!г2пк+ + с Т(АТ У А - У + д)(к + wТ BТУBwk -(г2 - РТУР)1/2Пк - (г2 - РТУР)-1/2РТУ(А(к + Bwk) ||р+ + (А(к+Bwk )ТУР (г2-Р ТУР) -1Р Т У (А(к+Bwk) +2(¡A~YУBwk,

упрощая последнее выражение, получим:

сТ+1 УСк+1 - (ТУ(к = -сТЖк+ +пТг2Пк+С Т(АТУА-У+д+АТ УР (г2-Р ТУР )-1Р ТУА)(к+ + wJ(BТУB + вТУР (г2 - РТУР)-1РТУв) + + 2(Т(АТ У в + АТУР (г2 - РТ УР )-1Р ТУB)wk --|| (г2 - РТУР)1/2Пк - (г2 - РТУР)-1/2РТУ(А(к + Bwk) ||р.

Суммируя от -Ж до N, беря среднее, учитывая (29), (31) и переходя к пределу при N ^ имеем следующее:

1 к=М

(34) N4-+» E Е (СкТ+1УСк+1 - с!Пк) =

к=-М

= £- ||£-1/2Пк - £1/2(А(к + Bwk)||Р+

+ Тгаее {(ВТУВ + ВТУР£РТУВ)йадад (0) + + 2(АТУВ + АТУР £РТ УВ)яи

Левая часть последнего неравенства равна нулю вследствие предположений о внешних входных сигналах, поэтому

С = -||х-1/2% - Х1/2(Аа + В^) ||р+

+ Тгаее {(ВТУВ + ВТУР^ХРТУВ(0) +

+ 2(АтУ В + АТУ Р^хР т у В

Последнее равенство завершает доказательство теоремы после обнуления первого слагаемого в силу (26).

Наихудший вход р может быть сгенерирован из входного сигнала Ш посредством формирующего фильтра

п ^ п/т_/(2то) хШ1

С1 € /сн ¿о , внутреннее состояние которого явля-

ется копией состояния системы Р](М, К). Реализация такого фильтра имеет вид

(35)

С1 =

" А + Рь В + рРХ1/2 ]

ь Х1/2

5. «Наихудший» вход с ограниченным спектром для системы, замкнутой допустимым регулятором при «наихудшем» дополнительном входе с ограниченной энергией

Рассмотрим систему (4), на вход которой подается (26). На языке передаточных функций вход-выходное соотношение имеет вид Z = Ш, где имеет следующую структуру:

(36) Рад = Р (Л )

I Аад Вад

С1 . 0

А + ВзЬ1 В Сз В2С + ВзЬ2 А В1 + ВзХ1/2 " В Д33

С1 А2С 0

71^12 0 0

72С22 0 0

0 71^1,22<С 0

0 72^2,22 С7 0 _

где матрицы Ь = [Ь1, Ь2] и £1/2 определяются из (29)-(31). Структурная схема системы представлена на рис. 3.

Рис. 3. Замкнутая система с дополнительным входом

На данном этапе необходимо обеспечить на вход системы наихудшую входную последовательность Ш £ Wa, доставляющую максимум функционалу \\Р^\\2. Под поиском наихудшей входной последовательности Ш подразумевается синтез фильтра б0 из (23), который сводится к следующей задаче оптимизации:

(37)

Fi (M,K)

J-m1

G1

Go

sup ||FwGo||2 = sup Go eGa Go eGa

Задача (37) может быть решена с помощью анизотропийной теории.

Частотное описание наихудшего фильтра Go можно получить согласно утверждению.

Теорема 4. Пусть система Fw е RH(ri+2mo)xmi удовлетворяет условию ^^ ||Fw||2 < ||FwЦ^. Если спектральная

плотность фильтра С0 £ ^Кт1 Хт1 имеет вид

(38) 6о(и)б0(и) = (/Ш1 - яР^-1, -п < и <п

для я = А 1 (С0) то С0 принадлежит множеству наихудших формирующих фильтров (23).

Чтобы описать наихудший формирующий фильтр 60 в пространстве состояний, будем искать входной сигнал Wk в виде

(39) Wk = Ск + £/2 ^,

где Ьш £ МШ1 х2п такая, что Аш + Ви)Ьш асимптотически устойчива, а £ МШ1 Хт1 — положительно определенная симметрическая матрица. Соответствующий формирующий фильтр С0 со

41

2

входом V е НО и выходом Ж € На имеет следующую реализацию в пространстве состояний:

(40)

Со —

+ В1 В х1/2

Х1/2

Рассмотрим следующее уравнение Риккати относительно матрицы К е М2пх2п:

(41)

(42)

(43)

К — + дСТСад + ¿адХ

,

Решение уравнения (41)-(43) называется стабилизирующим, если матрица К симметрическая, матрица Хт положительно определена, а матрица + Вт асимптотически устойчива. Заметим, что для любого д €

0, ||К1 Ноо^ уравнение Риккати имеет единственное стабилизирующее решение, которое положительно полуопределено. Следующая теорема дает явные выражения для матриц и Хт, т.е. реализацию фильтра (40).

Тео эема 5.

ва, д е 0, ||К1

и матрицы и Хт соответствуют стабилизирующему решению К уравнения Риккати (41)-(43). Тогда

1) формирующий фильтр (40) удовлетворяет (38);

2) а-анизотропийная норма системы задается выражением

||| — 1 (г__т_^

111 1И Тгаое{ ¿1 Р^Т +

где Р — это решение уравнения Ляпунова

(44) р — + Вш ^ )Р(Аад + Вш ^ )Т + В Хад В

и параметр д е

0, ЦК

1-2 1|1оо

1

удовлетворяет уравнению

ш^ш \

(45) а — - - lndet , , ,

2 \ Тгаое{РЬТ + Хш)

Из теоремы 5 следует, что

1

т1

1/2

д I1 Тгаее (ЬтРЬТ + £-)

Представление входного сигнала Wk в виде (39) позволяет преобразовать выражение (32) для функционала . (К, 7), явно выражая ковариации (0) и (0):

Е—ш (0) = Ь РК + £ ш, К-шС (0) = ЬшP,

где Р — это решение уравнения Ляпунова (44).

Лемма 1. Для заданной системы (4) с входными сигналами Пк и wk, формирующимися согласно (26) и (39), значение критерия качества (5) будет равно

(46) . (К,7) = Ттсе^ (ВТУВ +В ТУ Р£РТУВ)(Ьш РЬТ +£-)+

+ 2(АТУ Р£Р тУ В + АТ У В )Ьш Р} ,

где матрицы входящие в правую часть вычисляются согласно выражению (27), решениям уравнений Риккати (29)-(31) и (41)-(43).

Доказательство. Лемма может быть прямым следствием теоремы 3, если справедливы следующие равенства Ешш (0) = ЬшРЬ~Т + £ш и (0) = ЬшР. Докажем сначала первое:

ЕШш (0) = Е

wо w0Т

Е

Ь-С0 + £Щ/Ч) (Ьш(0 + £Щ/Ч)

т

Ьш E

т

С0С01

Ьт0 + £и

здесь последний знак равенства обусловлен независимостью векторов (0 и г>0. Аналогично доказывается и второе равенство:

т

ЕшС(0) = E wоCоl

Е

Ь-(0 + £/4 (0Т

Ьш E

т

С0С01

Поскольку Е [£о£д~] — это решение уравнения Ляпунова вида (44), критерий качества (5) может вычисляться согласно (46). После синтеза обоих формирующих фильтров (0 и ( замкнутая система имеет вид, представленный рис. 4.

Рис. 4. Замкнутая система с «наихудшими» формирующими

фильтрами

6. Н2-регулятор в форме наблюдателя

Рассмотрим систему (47) Т = ^ (Ы ,К) представленную на рис.

I

(51

(5 о = м

О 0о

551(о

, где фильтры построены в соответствие с процедурами, описанными в предыдущем разделе, для некоторого регулятора К. Замкнутая система имеет реализацию в пространстве состояний

Т =

" Ац А12 В "

* * *

* * *

_ (721 (722

где

Ап = А + В3 ¿1 + (В1 + В3 £1/2 , А12 = В2 (7 + Вз ¿2 + (В1 + Вз £1/2 )^2: В = (В1 + Вз £1/2 )^/2,

(21 = (3 + ^33 5 (722 = ^33 ¿^25

) = ^33 ^ 5

а матрицы Ь, £, Ьш и £ш такие, как в (30)-(31) и (42)-(43). Задача 2 эквивалента задаче оптимизации

М 3(К, 7) = \\Я\2 = ^

кек кек кек

Р (М,К)

I

&1(К)

С0(К)

Это задача Н2-оптимизации в условиях неполной информации о векторе состояния для системы (47), на вход которой поступает «белый шум» с единичной ковариационной матрицей. Решение такой задачи хорошо известно [12]. В соответствии с принципом разделения, решение указанной задачи разбивается на два этапа. На первом этапе строится оцениватель состояния (оценивающий фильтр Калмана). На втором этапе строится статический регулятор, обеспечивающий заданное качество, а именно минимум Н2-нормы передаточной функции замкнутой системы. Полученный таким образом регулятор является оценивающим, т.е. его состояние является оптимальной в среднеквадратичном смысле оценкой состояния системы по выходу.

6.1. ОЦЕНИВАТЕЛЬ СОСТОЯНИЯ

Опишем процедуру построения регулятора, оценивающего состояние системы. Рассмотрим уравнение Риккати относительно матрицы 5 £ Мпхп:

(48) 5 = АП5АТ1 + В ВТ - ЛвЛТ,

(49) в = С215С2т1 + РРТ,

(50) Л = (Ап БОТ + ВРТ)в-1.

Решение Б = 5Т £ Мпхп уравнения (48)-(50) называется стабилизирующим, если матрица Б является положительно полуопределенной и матрица Ац - ЛС21 асимптотически устойчива. Заметим, что в силу предположения (Э) уравнение (48)-(50) имеет не более одного стабилизирующего решения.

Теорема 6. Пусть система (4) удовлетворяет предположениям (А), (В) и (О) и пусть матрицы реализации в пространстве

2

2

(51)

состояний допустимого регулятора (25) удовлетворяют соотношениям

А = Лп + А12 - Л(С21 + С22), в = л,

где матрица Л выражается через стабилизирующее уравнение Риккати (48)-(50). Тогда регулятор (25) является оценивающим. Поскольку доказательство теоремы 6 принципиально не отличается от доказательства теоремы 2, приведенной в [28], оно здесь пропущено. Пожалуй стоит отметить, что доказательство теоремы — суть хорошо известная процедура построения фильтра Калмана для замкнутой системы (47), на вход которой поступает «белый шум». Подробности такого синтеза могут быть найдены в [18, 26]. Поскольку размерность системы (47) равна 2п, указанная процедура приводит к получению оценивателя состояния такой же размерности. Однако учитывая тот факт, что состояние замкнутой системы (47) имеет вид (хи, £к)Т, где £к — состояние искомого оценивающего регулятора, то возможно понизить размерность вектора пространства состояний регулятора до п.

6.2. ОПТИМАЛЬНЫМ РЕГУЛЯТОР

Заключительный этап в решении задачи 2 заключается в построении статического регулятора для разомкнутой системы

Т

А ВзЬ + (В1 + ВзХ1/2)£ад (В1 + Вз£1/2)хУ2 в2

0 Ат + Вш Е х1/2 0

С1 0 0 п12

Сз ОззЬш П у1/2 Пзз ^ад 0

А

0

*

В3Ь1 + (В1 + в3Е1/2)ь.Ш1 А + (В1 + В3^1/2)ЬШ1 + В3Ь1

С1

Сз

0

ОззЬШ1

B3 L2 + (Bi + B3 S1/2 )LW2 * B2

(Bi + B3 E1/2 )Lw2 + B3 L2 + B2 C * * * 0 *

0 0 Di2

D33 LW2 D33 sW/2 0

где матрицы Ь, £1/2, , такие же, как и в теоремах 3 и 5. Система Т изображена на рис. 5.

Zk

Ук

м

т

Uk

Сг

wk

Go

Рис. 5. Разомкнутая система

Рассмотрим уравнение Риккати относительно матрицы

T (¡z R2nx2n.

(52) T = ATTAU + CjCu - NT YN,

(53) Y = BUT TBu + DT2 D12,

(54) N = [N1, N2] = -Y-i (BTTAu + DT2Cu),

где Au e R2nx2n, Bu e R2nxm2 и Cu e 1,1P1 x2n следующим образом:

определяются

Au

A (Bi + B3 E1/2 )Lw + B3 L

0 A + (Bi + B3 S1/2 )Lw + B3 L + B2 (5

B2 1

Bu =

0

Cu = [Ci 0].

Решение Т = ТТ £ уравнения (52)-(54) будем называть

стабилизирующим, если матрица Т положительно определена, а матрица Аи + ВиN асимптотически устойчива. Из-за предположения, что матрица П12 в (1) имеет полный столбцовый ранг, уравнение (52)-(54) имеет не более одного решения.

Теорема 7. Пусть система (1) удовлетворяет предположениям (А), (В), (Е) и пусть матрицы реализации в пространстве

47

состояний оценивающего регулятора (25) вычисляются согласно

соотношениям (51) и уравнению

(55) С = Ni + N2,

где матрицы N1 и N2 выражаются через стабилизирующее решение уравнения Риккати (52)-(54). Тогда регулятор (25) является решением задачи 2.

Доказательство теоремы представляет собой синтез оптимального LQG-регулятоа с критерием минимизации Н2-нормы передаточной матрицы замкнутой системы. Подробное изложение которого можно найти в [18].

7. Окончательный алгоритм синтеза регулятора

В данном разделе опишем окончательный алгоритм решения задачи 1. Поскольку исходная задача заменяется вспомогательной смешанной задачей ABa/H 00-оптимизации, опишем основные этапы решения последней:

1) фиксируем величины 71 = 0 и 72 = 0, при этом эти величины должны быть достаточно большими, чтобы уравнение (29)-(31) имело решение;

2) решаем систему из четырех уравнений Риккати (29)—(31), (41)-(43), (48)-(50), (52)-(54), уравнения Ляпунова (44) и нелинейного уравнения специального вида (45). Эту систему можно решить с помощью метода гомотопий [10, 23]. Решение этих уравнений дает (А,Б,С,Э)-представление регулятора K7, который является решением задачи 2.

Для того, чтобы получить оптимальное решение K70 =

arg min J(KY, 7), соответствующее наилучшему приближению к

Y

исходной задаче 1, необходимо найти 70 = argminJ(KY,7).

к

Построение итерационной процедуры выбора параметров 7^, при котором субоптимальное решение сходится к оптимальному, должно основываться на теореме 2.

Математическая теория управления Минимальное значение функционала качества (5) равно

(56) ^•т») = ^ - Тгасе(Ь,,Р!г + )) ,

где матрицы , Р, и параметр д — суть решение описанной системы уравнений при 7 = 70. Число (56) является мажорантой для исходного функционала качества (3).

Отметим частные случаи решения задачи. В случае а = 0 (в случае «белого шума» на входе системы)

¡г™ || а ^г IIУ 2 ,

откуда в силу теоремы 1 построенный регулятор является решением задачи смешанной Н2/Н оо-оптимизации [13]. В случае а ^ имеем

(57) |Т™||а ^Г™Уо ,

т.е. регулятор, полученный при достаточно больших значениях а средней анизотропии входного сигнала, является аппроксимацией центрального регулятора в задаче -оптимизации [11]. Характер поведения анизотропийной нормы в окрестности несобственной точки а = и, соответственно, скорость сходимости (57) могут быть найдены в [28].

8. Численный пример

В данном разделе приводятся результаты численного расчета анизотропийного регулятора для дискретной линейной системы со структурированной неопределенностью. В качестве объекта управления была выбрана модель движения самолета при заходе на посадку [4, 5]. Результаты моделирования, такие как значения переменных управляемого выхода и управления, сравниваются с результатами, полученными при моделировании системы с неструктурированной неопределенностью.

Математическая модель объекта управления приведена ни-

же:

(58)

Хк+1 = Ахк + Водк + В1' + В2Пк, Хк = С^Хк + ^12 Пк, У к = С2Хк + ^22^к,

дк = Дхк,

где Хк — вектор состояния объекта; ик — управляющий сигнал; 'к — внешнее возмущение; Ук — наблюдаемый выход; Хк — управляемый выход; Д — структурированная неопределенность.

Если рассматривать систему М, замкнутую регулятором К, с передаточной матрицей Тгш = Т\(М, К) от входа внешних возмущений к управляемому выходу

А В2 В1

М - С1 А2 0

С2 0 В22

К

А В

с 0

то задача анизотропийного робастного управления заключается в поиске а-анизотропийного оптимального регулятора, минимизирующего влияние внешних возмущений и наличия структурированной неопределенности.

Матрицы модели объекта управления (58) имеют вид

А=

0,9994 -0,0008 0,0000 -0,0009 0,0000 0,0009

0,0022 0,0001 0,0000 -0,0005 0,0000

0,9938 0,0052 0,0000 0,0124 0,0000

0,0011 0,9842 0,0099 0,0000 0,0000

0,0072 -0,0154 0,9999 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9960

Во =

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0100 0,0000

-0,0100 -0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0005 -0,0080 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

<-ч»<

В2 =

0,0000 -0,0012 0,0117 0,0001 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0040

С =

Б

12 =

100000 0 0 0 0 1 0 000000 000000

100000 0 0 0 0 1 0 000000 000000

С2 =

Б21 =

1 0 0 0 0 0 000010

100000 000010

При заданном уровне а ^ 0,8 средней анизотропии внешних возмущений и параметров 7 = [0,131 ■ 10-3, 0,131 ■ 10 3] методом гомотопий с ньютоновскими итерациями был построен анизотропийный регулятор со следующей (А, В, С, Б)-реализацией:

А =

0,9886 0,0000 0,0002 -0,0007 -0,0018 0,0016

0,0014 0,9971 0,0023 0,0090 -0,0051 0,0003

-0,0161 -0,0216 0,9745 -0,0304 -0,0151 -0,0022

-0,0010 -0,0002 0,0098 0,9998 -0,0041 -0,0000

-0,0023 0,0129 0,0001 0,0002 0,9828 0,0001

-0,0134 -0,0029 -0,0006 -0,0006 -0,0025 0,9931

В =

0,0139 0,0029 0,0010 0,0009 0,0023 0,0007

0,0023 0,0069 0,0017 0,0040 0,0176 0,0004

1,2698 3,3119

-2,4460 -0,8849 -1,3832 -0,7485 -0,1432 -0,1570

-1,2309 -0,5452

-0,1716 -0,7420 51

Ниже представлены результаты моделирования при наличии структурированной неопределенности в модели объекта следующего вида

" Д1 0 0 Д1

Д

где каждая квадратная матрица Д^ е

3x3

г = 1, 2. Для случая

неструктурированной неопределенности Д е М6х6.

На рис. 6,7 представлены графики управляющего воздействия и управляемого выхода.

Рис. 6. Управляющие сигналы

Значение критерия качества ■](К, 7) для случая структурированной неопределенности оказывается равным .](К, 7) = 1,1154, что ниже аналогичного критерия при неструктурированной неопределенности на 0,0210.

9. Заключение

В данной работе получен и описан алгоритм построения оптимального управления на основе минимизации анизотропийной нормы замкнутой системы. Задача ставится для дискретной ли-

Рис. 7. Управляемый выход

нейной системы со структурированной неопределенностью и заданным уровнем средней анизотропии входного сигнала. Показано, что решение задачи построения анизотропийного регулятора может быть сведено к решению задачи -оптимизации для системы с одним дополнительным входом. Которая, в свою очередь, сводится к решению системы из четырех связанных уравнений Риккати, уравнения Ляпунова и уравнения специального вида. Численный алгоритм, разработанный на основе метода го-мотопий, вычисляет матрицы искомого внутренне стабилизирующего анизотропийного регулятора на базе Н2-регулятора. Сравнительный анализ регуляторов для случая структурированной и неструктурированной неопределенности показывает, что регулятор, учитывающий структуру неопределенности, входящей в систему, дает лучшую оценку критерия качества и более низкие пиковые значения для переменных состояния объекта моделирования и закона управления. При рассмотрении номинальной системы (1) при А = 0 можно отметить, что построенный регулятор в точности совпадет с построенным в [28].

Литература

1. КИЦУЛ П.И., ЛИПЦЕР Р.Ш. Рекуррентное оценивание случайных последовательностей. - М.: Изд-во Ин-та про-бл. упр, 1976. - 68 с.

2. КУРДЮКОВ А.П., МАКСИМОВ Е.А. Решение стохастической задачи H^-оптимизации для линейных дискретных систем с параметрической неопределенностью // Автоматика и телемеханика. - 2006. - №8. - С. 112-142.

3. КУСТОВ А.Ю., КУРДЮКОВ А.П., НАЧИНКИНА Г.Н. Стохастическая теория анизотропийного робастного управления. - М.: ИПУ РАН, 2012. - 128 с.

4. Разработка принципов автоматизации полета и исследование новых алгоритмов управления на этапах захода на посадку и приземления // Отчет о научно-исследовательской работе по теме №053-93/01. - М.: Институт проблем управления РАН, 1993.

5. Разработка основ теории нетрадиционных подходов и исследование алгоритмов управления полетом в сложных условиях // Отчет о научно-исследовательской работе по теме №074-95/01. - М.: Институт проблем управления РАН, 1995.

6. APKARIAN P., GAHINET P., BECKER G. Self-scheduled H^ control of linear parameter-varying systems: a design example // Automatica. - 1995. - Vol. 31, №9. - P. 12511261.

7. APKARIAN P., NOLL D. Nonsmooth H^-synthesis // IEEE Trans. Automat. Control. - 2006. - Vol. 51, №1. - P. 71-86.

8. APKARIAN P., RAVANBOD-HOSSEINI L., NOLL D. Time domain constrained H^-synthesis // Int. J. Robust Nonlinear Contr. - 2011. - Vol. 21, №2. - P. 197-217.

9. BERMAN N., SHAKED U. H^ Control for Discrete-Time Nonlinear Stochastic Systems // IEEE Trans. Automat. Control. - 2006. - Vol. 51, №6. - P. 1041-1046.

10. DIAMOND P., KURDJUKOV A.P., SEMYONOV A.V. ET

AL. Homotopy methods and anisotropy-based stochastic H ^-optimization of control systems // Report 97-14, The University of Queensland, Australia. - 1997. - P. 1-22.

11. DIAMOND P., VLADIMIROV I.G., KURDJUKOV A.P. ET AL. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems // Int. J. Control. - 2001. -Vol. 74, №1. - P. 28-42.

12. DOYLE J.C., GLOVER K., KHARGONEKAR P.P. ET AL. State-space solution to standard H2 and H^> control problems // IEEE Trans. AC. - 1989. - Vol. 34. - P. 831-846.

13. DOYLE J., ZHOU K., GLOVER K. ET AL. Mixed H2 and H^ performance objectives II: Optimal control // IEEE Trans. Automat. Control. - 1994. - Vol. 39. - P. 1575-1587.

14. FRANCIS B.A. A Course of H^ Control Theory // Lecture Notes in Control and Information Sciences. - Berlin, Heidelberg: Springer. - 1987. - Vol. 88. - 141 p.

15. GAHINET P. Explicit controller formulas for LMI-based H^> synthesis // Automatica. - 1996. - Vol. 32, №7. - P. 10071014.

16. GAHINET P., APKARIAN P. A linear matrix inequality approach to H^> control // Int. J. of Robust Nonlinear Contr. -1994. - Vol. 4, №4. - P. 421-448.

17. GERSON E., SHAKED U., YAESH I. H^ control and filtering of discrete-time stochastic systems with multiplicative noise // Automatica. - 2001. - Vol. 37. - P. 409-417.

18. GREEN M., LIMEBEER D.J.N. Linear robust control. - N.J.: Prentice Hall, 1995. - 538 p.

19. GU D.-W., TSAI M.C., O'YOUNG S.D. AND OTHER Statespace formulae for discrete-time H^> optimization // Int. J. of Contr. - 1989. - Vol. 49. - P. 1683-1723.

20. IWASAKI T., SKELTON R.E. All controllers for the general H^ control problem: LMI existence conditions and state space formulas // Automatica. - 1994. - Vol. 30, №8. -P. 1307-1317.

21. IWASAKI T., SKELTON R.E., GRIGORIADIS K.M. A

United Algebraic Approach to Linear Control Design. -Taylor & Francis series in Systems and Control, London, 1997. - 300 p.

22. KARNY M. Towards fully probabilistic control design // Automatica. - 1996. - Vol. 32. - P. 1719-1722.

23. MARITON M., BERTRAND R. A homotopy algorithm for solving coupled Riccati equations // Optimal. Contr. Appl. Meth. - 1985. - Vol. 6. - P. 351-357.

24. PETERSEN I.R., JAMES M.R., DUPUIS P. Minimax optimal control of stochastic uncertain systems with relative entropy constraints // IEEE Trans. Automat. Control. - 2000. -Vol. 45. - P. 398-412.

25. SEMYONOV A.V., VLADIMIROV I.G., KURDJUKOV A.P. Stochastic approach to H^-optimization // Proc. 33rd Conference on Decision and Control, Florida, USA. - 1994. -Vol. 3. - P. 2249-2250.

26. SCHERER C. Theory of Robust Control. - Mechanical Engineering Systems and Control Group, Delft University of Technology, The Netherlands, April 2001. - 160 p.

27. SCHERER C., GAHINET P., CHILALI M. Multiobjective output-feedback control via LMI optimization // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1997. - Vol. 42, №7. - P. 896-911.

28. VLADIMIROV I.G., KURDJUKOV A.P., SEMYONOV A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic H^-optimization problem // Proc. 13 IFAC World Congr., USA, 1996. - P. 427-432.

29. ZAMES G. Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses // IEEE Trans. Automat. Control. -1981. - Vol. 26, №2. - P. 301-320.

ANISOTROPIC ROBUST REGULATOR SYNTHESIS FOR STRUCTURED UNCERTAINTY CONTROL MODEL

Alexander Yurchenkov, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow.

Abstract: A problem of anisotropic control synthesis is considered and solved for the model of a control plant containing structured uncertainty. Adding a fictive input reduces the problem to the one of H^-optimization. The suggested numerical algorithm uses the homotopy method to calculate matrices of an anisotropic regulator basing on an H2-regulator. The designed regulator and the standard regulator for an unstructured uncertainty model are compared. Computer simulation shows advantages of the proposed regulator.

Keywords: robust stochastic control anisotropic theory, structured uncertainty, homotopy method.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии В. А. Уткиным

Поступила в редакцию 10.04.2014. Опубликована 31.07.2014.