CC BY
17
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дмитриев, В.М. МАРС - среда моделирования технических устройств и систем [Текст] / В.М. Дмитриев, А.В. Шутенков [и др.]. -Томск: Изд-во «В-Спектр», 2011. -278с.
2. Арайс, Е.А. Алгоритмы и программы анализа сложных цепей и систем [Текст] / Е.А. Арайс, В.М. Дмитриев. -Изд-во ТГУ, 1976. -167 с.
3. Ахо, А. Построение и анализ вычислительных алгоритмов [Текст] / А. Ахо, Дж. Хопкрофт. -М.: Мир, 1979. -527 с.
4. Сешу, С. Линейные графы и электрические цепи [Текст] / С. Сешу, М.Б. Рид. -М.: Высш. школа, 1971. -447 с.
УДК 681.5.013
А.В. Борисевич
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ СТАБИЛИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ СХЕМЫ ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ
Аффинные нелинейные системы - это особый класс моделей в теории автоматического управления, описывающих многие технические процессы [1-3]: динамику мобильных роботов, процессы в электродвигателях, пневмоприводе, гидроприводе и т. д.
Рассмотрим реализацию многомерной системы с m входами и m выходами в пространстве состояний размерности n:
m
x=f (x)+Yß-(x)u'
,=i (1)
y = h( x),
где x e X с Mn, y e Y с Mm, u e U с Km, отображения f: M" ^ M", g : Ки ^ Ки, h : К" ^ Г -гладкие векторные поля f, g, h e C„ . Функции f (x) и g (x) считаем ограниченными на X.
В статье рассматривается частная задача установки константного значения на выходе системы.
Определение 1. Задача установки постоянного значения на выходе (setpoing tracking) -синтез такого закона управления u(t) = u(x), который асимптотически переводит выход y объекта управления в состояние y = const: lim t ^„y (t) = y. В частном случае, при y = 0 управление называется обнулением выхода (output-zeroing problem).
Без потери общности будем рассматривать задачу обнуления выхода lim t^„y(t) = 0. Эта задача может быть решена методом линеаризации по обратной связи [4, 5]. Главная идея подхода со-
стоит в трансформации с помощью нелинейной обратной связи системы N: и(V) ^ у(() вида (1) в систему с линейной динамикой Ь : v(t) ^ у(Х) и такими же выходами у, но новыми входами V. После трансформации полученная система Ь может управляться любыми известными методами линейной теории автоматического управления (модальное управление, линейный квадратичный регулятор и т. д.).
Технически предлагаемый подход основан на методе численного продолжения по параметру для решения систем нелинейных уравнений [6], состоящем в параметризованном комбинировании исходной задачи и некоторой очень простой с известным решением. В предлагаемом методе осуществляется непрерывная параметрическая деформация тривиального объекта управления (цепочки интеграторов) с известным управлением в исходную аффинную нелинейную систему. Следует заметить, что применение методов вариации параметра (продолжения по параметру) активно используется как для синтеза регуляторов [7], так и для поиска оптимальных траекторий [8].
Настоящий подход отличается тем, что алгоритм продолжения по параметру непосредственно встраивается в регулятор нелинейной системы, синтезированный на основе метода линеаризации по обратной связи. Таким образом, одновременно реализуется возможность компенсации неопределенностей модели внешним линейным контуром управления (как это обычно осуществляется на практике при использовании методов линеари-
зации [9]) вместе с возможностью преодоления особых точек (сингулярностей) линеаризующего преобразования.
1. Предварительные сведения
Линеаризация по обратной связи. В этом разделе мы будем следовать материалу работы [5] для описания сущности метода точной (полной) линеаризации по обратной связи (output feedback linearization).
Определение 2. Многомерная нелинейная система имеет относительную степень rj по выходу yj в области S с Ж" если по крайней мере для одной функции g.
(2)
У hJ *
где
f х = дх( х)
" dX(x)
f(x) = f(x)- произво-
дх ,=1 дх1
дная Ли функции X по полю /.
Это означает, что по крайней мере один вход пк влияет на выход yj после rj интегрирований.
Число г = ^rj называется
относительном
j=i
степенью системы. Если r = п и матрица
( £g,x) Cg x) ^
A( x) =
£a ¿f-hm (x) ■•• fX (x)
f
(3)
полноранговая, то исходная динамическая система в области © эквивалентна системе:
( ) т -1 у7) = 4 hJ + ¿].- К и, = В(х) + А( х)и. (4)
1=1 '
Нелинейная обратная связь
и = А(х)-1[V - В(х)] (5)
переводит в области © исходную нелинейную динамическую систему в линейную:
(О) (6)
у ] = V.
Управление нелинейной системой состоит из двух петель обратной связи, одна из которых реализует линеаризующую трансформацию, а вторая осуществляет управление системой любым известным методом из линейной теории управления.
Известными недостатками, ограничивающими область применения линеаризации по обратной связи на практике, являются условия постоянства относительной степени системы г и полноранговость матрицы А(х) во всем фазовом пространстве ©.
Численное продолжение по параметру.
Если рассматривать нелинейный объект управления без его динамики, то задача управления вырождается в решение нелинейного уравнения
ф(Е) = 0, (7)
где ф: Жт ^ Жт - некоторая гладкая функция.
Пусть О с Жт - открытое множество и С (О) - множество непрерывных отображений из его замыкания О в Жт. Две функции Г0, Г1е С(П) гомотопны (гомотопически эквивалентны) если существует непрерывное отображение
Н :Ох[0,1] ^ Мт, (8)
такое,_ что #(^,0) = ^), #(Е,1) = ^(Е) для всех О. По теореме об инвариантности степени Брауэра [6] при гомотопической эквивалентности уравнение Н(Е, X) = 0 имеет решения (Е, X) для любых X е [0,1].
Численное продолжение по параметру рассматривает разрешимость уравнения для случая = ф и - некоторой функции с известными корнями. Сущность алгоритмов численного продолжения по параметру состоит в поиске кривой, начинающейся в точке (Е0,0), где ^(Ео) = 0, и заканчивающейся в точке (Е*,1), где Е - искомое решение .
2. Основной результат
В этом разделе мы изложим основный результат, являющийся теоретическим базисом предложенного подхода, начиная от простых фактов и заканчивая описанием гибридного алгоритма управления, сочетающего линеаризацию по обратной связи с методом продолжения по параметру.
В [10] указано, что задача управления состоянием аффинной системы связана с решением ): К + ^ Кп нестационарного нелиней-
Я)
ного уравнения ф(Е, t ) = 0, в котором — = g (г),
дЕ
дф . . . йЕ (t) — = ] (г): управление м(t) =- такое, что
дt й
ф(Е*(0),0) = х(0), переводит систему из состояния х(0) в х(Т) = 0 при Т ^ да . Ниже мы приведем другой метод, отличающийся от описанного в [10] тем, что не генерирует разрывных управляющих траекторий.
Метод продолжения по параметру для нестационарных нелинейных уравнений. Рассмотрим решение нестационарного уравнения
ф(Е, t) = 0. Составим параметризованное одновременно по времени и по параметру Х гомотопическое отображение:
Н (Е, X, Г) = (1 - Х)(Е - Е0) + Хф(Е,0, (9)
где Е0 - начальное приближение к решению.
Сформулируем и дадим краткие доказательства ряда утверждений, на которых базируется метод продолжения по параметру для решения систем нестационарных уравнений.
Предположение 1. Если Е(0 и Х^) - решение уравнения, то raяkDHi, Х (Е^), Х^), t) = m .
Это предположение является стандартным допущением при использовании методов продолжения по параметру, согласно которому вдоль траектории (2,(0, Х(/)) могут существовать только предельные точки, где DXH й жВ^И . Точки бифуркации, в которых raяkDHi, Х (Е, X, t) < ж и ВХН е тВЕН не рассматриваются, хотя это принципиально может быть сделано с привлечением соответствующих техник численной реализации методов продолжения по параметру [6].
Уравнение Н(Е, X, t) = 0 для Хе [0,1] определяет неявно заданную функцию Е(0 , параметризованную от Х^) и удовлетворяющую уравнению, полученному дифференцированием по времени:
дн дН дН
Н(Е(t),ха),t) = ■—Е(t) +—Х(t) + — = 0. (10)
дЕ дХ дt
Обозначив
А =
дН дН
"дЕ "дХ
5 = —
дН
"дГ;
, т =
Vх У
(11)
можно представить как линейное матричное уравнение относительно Е и Х :
Ат = 5.
(12)
Лемма 1. Уравнение (12) всегда имеет реше-
ние.
Поскольку А = ВНе Х (Е, Х, /), то для того, чтобы недоопределенное уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы гапкВНе Х (Е, Х, t) = ж , что основывается на предположении 1.
Лемма 2. Все решения могут быть представлены в виде т = а • т + т , где т = А+В , т е кегА, ае Ж .
Достаточно очевидно, поскольку ЖжкегА = 1 и все нуль-пространство А может быть параметризовано одной переменной а е Ж , а пространство решений неоднородного уравнения вида
определяется как W = {А+В} © kerA .
Докажем утверждение о липшицевости отображения Т: V ^ Кж+', необходимое в дальнейшем.
Теорема 1. Пусть Н : V ^ К" - С1 -непрерывная функция на некотором открытом множестве V с Кж+2, и матрица якобиана А полноранговая гапкА = ж для всех (Е, Х, t) е V. Тогда для каждого (Е, Х, t) е V существует уникальный вектор т е I '
т ||2=1^
А •т = 0
и отображение
Т: V ^
, такой, что т = а-т + т, т = А+В А
.т
> 0, а = со^ е К,
', Т: (Е,Х,Г)н> т,
(13)
(14)
локально липшицево на V.
Доказательство. Вектор т = а-т+т определен как сумма двух компонентов, про один из которых т известно (уравнение 2.1.9 в [6]), что он является липшицевой функцией на V. Отсюда необходимо доказать липшицевость функции т = А+В = (DH^X)+ DHt. Единственность т следует из единственности псевдоинверсии Мура-Пенроуза.
Можно полагать, что ОН - липшицево на V с константой у, что влечет за собой существование и ограниченность вторых производных Н. Поскольку rankA = ж , то операция взятия псевдоинверсии А+ непрерывна и дифференцируема [11]. Отсюда произведение А+В липшицево, поскольку его компоненты липшицевы.
Функция Т задает автономное дифференциальное уравнение
Ж
Е
Х
= Т (Е, х, 0, Е(0) = Е0, Х(0) = 0, (15)
которое имеет единственное решение Е(0Д(0, согласно теореме существования и единственности решения задачи Коши.
Теорема 2. Множество Н~'({0}) одно-связно.
Доказательство. По условию теоремы 2.1 из [12], если для отображения Г: Ж" ^ Кк, к <п выполняется
sup{|| (ВГ(х)ВгГ(х))-1 || х е I}< да ,
то Г ~'(0) - связное подмногообразие размерности (п - к) в Кп.
В соответствии с предположением 1, гапкОН = т, следовательно гапкОтН = ж, гапкОН • Вт Н = ж, инверсия матрицы (ВН • ВтН)1
определена и ее норма ограничена.
Теорема 3. Необходимым условием существования интегральной кривой (2,(0, X(t)) уравнения (15), соединяющей точки (Е0,0) и (Е*,1), является а > 0 .
Доказательство. На основании леммы 2 и теоремы 1 очевидно, что задача Коши вида (15) имеет единственное решение (Е(0, Х(0), удовлетворяющее уравнению (9) для каждого Л Н (Е,^), Х^), t) = 0.
Для определения знака а рассмотрим поведение кривой ) = (Е^), Х^)) вблизи t = 0. Поскольку
л = (Х|+(1 -X)E ф-Е^,B = -Х-дф, (16)
то вблизи t = 0 уравнение (9) ведет себя как стационарное с В = 0. Покажем, что а ф 0. Если а = 0 , то в момент времени t = 0 из леммы 2 следует, что Е(0) = 0, X(0) = 0, отсюда X(t) = 0 для любого t и точка X = 1 недостижима. Поскольку вблизи t = 0 уравнение стационарно и решение определяется с помощью известного метода продолжения по параметру [6], то ориентация вектора т согласно 'А',
>0 не должна изменяться. Отсюда
условию , т 1т
а >0.
Сформулируем и дадим краткое доказательство предположению относительно поведения кривой решения у^) = (Е^), X(t)).
Теорема 4. Существует такое число а0 е К, что интегральная кривая у^) = (Е^), X(t)) уравнения (15) при а > а0 имеет конечную длину между точками (Е0,0) и (Е*,1).
Доказательство. Рассмотрим структуру правой части (15). Поскольку константа а может быть выбрана произвольно и сколь угодно большой, то слагаемым т можно пренебречь и записать:
т = а-т + т->а-т. (17)
а ^ да
Известно, что функция т липшицева на Т> (теорема 1), из этого автоматически следует ограниченность т . Тогда всегда можно выбрать конечное а таким образом, чтобы т = а - т + е , е << а - т .
Поскольку а - конечное число, то а •т как правая часть (15) удовлетворяет известным результатам о конечности траектории решения (лемме 2.1.13 и теореме 2.1.14 из [6]). Отсюда при соответствующем выборе а > а0 кривая (Е(0, X(t)) не имеет предельных точек и диффеоморфна прямой -имеет конечную длину между X0 = 0 и X; = 1.
Продолжение по параметру для управления нелинейными аффинными системами.
Сопоставим с объектом управления систему с линейной динамикой, в которой т входов и, п состояний г, т выходов X с такими же относительными степенями г., как и у (1):
й (г')
2 = Аг + Ви, п = Сг,-т-п = и.. (18)
Л(г')
Запишем уравнение гомотопического отображения, связывающего динамику выходов систем (1) и (18):
Н = (1 - ^^^ ^ ^^ ^ ^^
(19)
По определению относительной степени выхода, каждый компонент Н1 должен быть продифференцирован г раз по t до тех пор, пока не станет явной функцией от какого-либо входа и. Получаем после дифференцирования:
Н) =
-Тек п,("'-к Vк) + (1 -XX +
к=1 '
г.-1
+(у-П' ^К) +Тскуг -к) x( к) + к=1 '
^+ТТс с!=0,
(20)
что дает:
Н(К = Д.( х, г, Л )и +
+ Д. (х, г, Л) X(' + В' (х, г, Л),
(21)
где Л = (X, X, X, ..., X1"г' 1)), СП - биномиальные коэффициенты.
Рассматривая все компоненты Н' после дифференцирования в соответствии с относительными степенями выходов г можно записать алгебраическое условие, задающее непрерывную деформацию системы (18) в (1): Н = Д (х, г, Л)и +
+Д (х, г, Л^™^ + В( х, г, Л) = 0,
где гтах = тах{п}, Л = (X, X, X,..., X(rma^"1)),
По аналогии с методом продолжения по параметру для нестационарных нелинейных уравнений, связная траектория {и((), X(t)), удовлетворяющая для е [0, ) уравнению , определяется из следующей системы дифференциально-алгебраических уравнений:
( и \ _
= а-т+т (23)
\ 4 тах'
У
(22)
т = A+B,
A
A -т = 0,|| т ||2 = 1, det | "T | >0,
где а >0,ае Ж - некоторая скалярная константа; A+ - инверсия Мура-Пенроуза матрицы A.
Уравнение (22) задает обратную связь по состоянию, а (23) - динамику регулятора. Также стоит заметить, что, согласно (20), выражение для B и A2 зависит в явной форме от у, что реализует обратную связь по выходу.
Переключательная стратегия для регуляризации при линеаризации по обратной связи. Все объекты управления на практике подвержены вариации параметров. Предложенный в предыдущем подразделе вариант управления определенно чувствителен к параметрическим неопределенностям в объекте управления. С другой стороны, при линеаризации по обратной связи вариации параметров объекта управления могут быть скомпенсированы за счет регулятора для линеаризованной системы [5, 9]. Рассмотрим гибридный метод, сочетающий в себе возможность применения внешнего контура регулирования и устойчивый к изменению относительной степени системы.
Система вида (20) с выходом H может быть линеаризована по обратной связи. Зафиксируем ^Отгк) = const, X(rmax) е {—1,1}, отсюда получаем из (20)
H = F (x, z, Л) + G (x, z, Л)и F(x, z, Л) = A2 (x, z, Л)Х(w + B(x, z, Л) (24) G (x, z, Л ) = Д( x, z, Л).
Можно записать нелинейное преобразование координат v ^ и, переводящее нелинейную систему (24) в линейную H(r) = v
и = [Д (x, z, Л)]-1 (v — A2 (x, z, Л)Х('max)
— B (x, z, Л)).
Стратегия переключений состоит в том, что в областях S , где det(XA(x) + (1 — X)E) ^ 0 и линеаризация по обратной связи невозможна, необходимо осуществлять управление по методу продолжения по параметру согласно (23).
Следует заметить, что при v =0 уравнение (25) является специальным случаем стратегии продолжения по параметру вдали от предельных точек. Если X Ф 0 , то уравнение (25), полученное как решение (23) со следующим масштабированием переменных:
а =
sign(X(w) — X(w
X(rmax)
X (rmax)
= Т,
( U
X(rmax)
У
= т
удовлетворяет уравнению (23) при а = 1, rmax = 1 (X = const), с учетом последующего масштабирования u := и/1 X |, X := X/1 X |= sign(X).
Поскольку с вырождением матрицы Aj при применении линеаризации по обратной связи всегда наблюдается разрывность по крайней мере одного управляющего воздействия в u(t), то практическим способом переключения между стратегиями управления является детектирование насыщения по входам max | ut |> иmax. Входные сигналы всегда ограничены | и |< Mmax в реальных приложениях. Это приводит к следующему гибридному алгоритму линеаризации по обратной связи: мы начинаем с положительного знака 5 = 1 производной параметра X(<max) = 5 и линеаризации по обратной связи (25). В случае насыщения входа осуществляется переключение к процедуре продолжения по параметру. После возвращения всех входных сигналов в рабочие границы знак X1-'™*-1 изменяется на противоположный s := —s и снова применяется линеаризация по обратной связи. Формальная процедура для расчета управляющих воздействий может быть представлена следующим образом:
1. и := [A (x, z, Л)]—1 (v — A2 (x, z, Л)5 — A(x, z, Л))
2. Если max | и. |> и , то вычислить
• t I max
X (rmax)
У
= T, A-т = 0, || T |L = 1, det f A 1 >0
kX := (sign(X(W) — X('max)) / X' ku := (sign(max | и |)Umax — max | и |) / max | и
(r )N v max ' Л
I v max '
(r )
2.1. Если ku > кх, то и := U - kx, 5 := sign(X max ),
(25) X
(r )
max' • —
:= 5
2.2. Иначе, если ки > 1, то и := и • ки,
Х(гшах) := Х^ - £ ,
2.3 и = и + и", Х(гтах) = Х(гтах) + Х ^тах). Поскольку совокупность областей © образует компактное пространство, то использование описанного алгоритма в целом дает линеаризованную систему. Ситуация, когда х е © может рассматриваться как действие возмущения на выход Н.
3. Некоторые приложения
Абстрактная система с двумя входами и выходами. Рассмотрим абстрактный пример
Рис. 1. Модели объекта управления и регулятора в Simulink
MIMO системы, меняющей свою относительную степень в пространстве состояний
у = х3 - х +1 (27)
у2 = х^ cos(2х2)
с начальным состоянием х(0) = (1,1)т . Необходимо решить задачу обнуления выхода у ^ 0 . Дифференцируя выход, получаем
у = (3х2 - 1Ж + х23) = gllUl + ¡1; у2 = (4х2 со8(2х2) - 2х2 8т(2х2)) х (28)
х(и2 + х13) = g 22и2 + у;.
Очевидно, что система в области х е [0,1] не
может быть полностью линеаризована по обрат*
ной связи, поскольку существуют такие х , где
£п(х*) = 0 или gзз(х*) = 0.
Сопоставим с (27) линейную систему вида
ц 1= и 1, ц2=и2 (29)
с начальными условиями п(0) = (0,0)т .
По соотношению (20) получаем для уравнения Н = 0
( о 0 ^
4 =
0
522 /
A, = y-n, B = -
u + (1 -X) E,
' / ^
(30)
/
\J 2 /
Модель в Simulink для управления системой изображена на рис. 1. Результат моделирования представлен на рис. 2.
Управление трехфазным асинхронным электродвигателем. Асинхронный электродвигатель является классическим примером нелинейной системы, которая не может быть линеаризована по обратной связи [2]. Модель двигателя
Рис. 2. Управляющие воздействия и реакция выхода объекта управления
в пространстве состоянии задается следующей системой уравнений:
. 2 МгФЛд РТт
Ю = Р т
(31)
JL J
г
ф = -т-1ф , + т-1М i ,
т r r т rd r sr sd
L = PT-4 -T-1isd +® sisq + Y-
L1
i = -Вшф -T-1i -ш i. + ,
sq > т r 1 sq s sd t
в которой используется следующая параметризация
Lr 2 Msr Msr Tr = , ц = p1 , в = —ss-
Rr JLr LrLi
L = L —
JLr M2
(32)
R = R. + R.
fm 12
V Lr /
т, = Li
R
где Rs, Яг - соответственно сопротивления статора и ротора; , Ьг - индуктивности статора и ротора; Мг - взаимная индуктивность. Пространство состояний формируют токи статора (/^, /), магнитный поток ротора фг и синхронная скорость вращения ротора ю. Входными переменным являются напряжения статора и^ и ид .
Электромагнитный момент, развиваемый на валу, можно записать как произведение магнитного потока ротора на ток статора:
Тет = Р1Мм~ ФЫ - /ЫФ„ X (33)
Г
где р - число пар полюсов статора.
Синхронную скорость и5, учитывающую скорость скольжения, можно записать следующим образом:
ш = Ш +
M i
sr sq
Tr фг
(34)
Цель управления - установка механической
скорости у1 = ю I р и квадрата магнитного пото-
2
ка ротора у2 = фг.
Первое дифференцирование выходов дает
У1 = Ю 1 Р = МФЛ, 1 Р - Тт 1 -1; У, = -2т-1ф2 + 2М т-'ф / ,.
2 гтг ^тгтг^а
После повторного дифференцирования входы и' и и2 появляются в явном виде:
а,.
(35)
f * 1 f ¿11 f 0
. 1 = , 1 +
V У V ¿2 У ч a21
= -ЦФг (isqТ-1 + isqТ-1 + ^sd ) +
+KlMsAAq - ЦРшФ2
sr sd sq f
(36)
¿2= 4(2 + pmsr)ф2 -т
M M
2isd Фг
ч у
Setpoint [-100 1]
lambda
У н ~Н~|
eta
r
Рис. 3. Модели объекта управления и регулятора в Simulink
Рис.4. Управляющие воздействия и механическая скорость на валу двигателя
+2М ю
1Л1фГ- + 2М2
а12 = МАфг 2М ф
__ЗГ т Г
т Ь
г 1
Сопоставим с (31) линейную систему вида
г1 = и1, г2 = и2 , г3 = г2 , г4 = г1, п1 = г3 , п2 = г4 (37)
с начальным состоянием г = (0,0,0,0)т .
Используя (20) и (21), можно записать следующие уравнения для смешанной динамики (31) и (37):
Н = Д (х, г, X )и + +Д2 (х, г, X)X + В (х, г, X, X) = 0 Г 0
Л =
Xa12 +1 - X"4!
кXa21 +1 -X
0
Д2 = X
Г У1 -П1 "
(38)
В = -X
Г ¿1 ^
I ¿2 У
- 2 X
у -П2 У Г У,"
У 2
г
+ 2 X
Уравнение (38) задает алгебраическое условие непрерывной деформации системы (37) в (31). Оно используется в областях пространства состояний, где линеаризация по обратной связи невозможна, т. е. где фг ф 0 . Управляющие сигналы вычисляются как решение уравнения (23). В остальных случаях используется линеаризация по обратной связи с внешним контуром управления для линеаризованной системы Н = V :
и = Д> + В^,). (39)
Переключение между (38) и (39) осуществляется на основании регистрации превышения предельных значений питающего напряжения итах = 300, как это описано выше, в другой главе.
Численный эксперимент проведен с целью моделирования пуска асинхронного двигателя и стабилизации скорости и магнитного потока. В области фг « 0 асинхронный двигатель не может быть линеаризован по обратной связи и обычно используется разомкнутое управление [2]. Предложенная параметризация позволяет использовать линеаризацию по обратной связи и во время старта двигателя. Модель объекта управления и регулятора в среде 8тиИпк показана на рис. 3. Результаты моделирования приведены на рис. 4.
В статье рассмотрено решение задачи установки константного значения на выходе аффинной по управлению нелинейной системы. Представленный подход сочетает линеаризацию по обратной связи продолжением по параметру вокруг особых точек нелинейной обратной связи. В рамках разработки алгоритмов управления метод продолжения по параметру обобщен на случай нестационарных нелинейных систем алгебраических уравнений. Применение предложенного метода управления рассмотрено на примере многоканальной абстрактной системы и трехфазного асинхронного электродвигателя.
Предложенный метод управления позволяет управлять аффинными нелинейными системами с особыми точками в фазовом пространстве, ко-
торые не могут быть линеаризованы по обратной связи. В результате открываются новые возможности по применению способов проведения тра-
ектории состояния системы через сингулярные точки, разработанные в рамках методов продолжения по параметру.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chwa, D. Tracking Control of Differential-Drive Wheeled Mobile Robots Using a Backstepping-Like Feedback Linearization [Text] / D. Chwa // In Proc. of IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics. -2010. -Part A. -P. 1285-1295.
2. Fekih, А. On nonlinear control of induction motors: comparison of two approaches [Text] / A. Fekih, F.N. Chowdhury // In proc. of American Control Conf. -2004. -Vol. 2.
3. Wang, Jihong. Tracking control of nonlinear pneumatic actuator systems using static state feedback linearization of the input-output map [Text] / Jihong Wang, Kot-ta Ulle, Ke Jia // Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math. -2007. -Vol. 56. -№ 1. -P. 47-66.
4. Мирошник, И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы [Текст] / И.В. Мирошник. -СПб.: Питер, 2006. -272 с.
5. Alberto Isidori. Nonlinear Control Systems [Text] / Isidori Alberto. -Springer, 1995. -564 p.
6. Eugene, L. Allgower and Kurt Georg. Introduction to Numerical Continuation Methods [Text] / L. Eugene. -2003. -388 p.
7. Жулин, С.С. Численный метод и программный комплекс для поиска экстремали в задачах оптимального управления на основе процедуры продолжения
по параметру: Дис. ... канд. физ.-мат. наук [Текст] / С.С. Жулин. -М., 2009. -149 с.
8. Аввакумов, С.Н. Некоторые алгоритмы оптимального управления. Управление, устойчивость и обратные задачи динамики [Текст] / С.Н. Аввакумов, Ю.Н. Киселев // Сб. науч. тр. ИММ УрО РАН. -2006. -12. -№ 2. -С. 3-17.
9. Wang, Qian. State Probabilistic Control of Nonlinear Uncertain Systems. Article [Text] / Qian Wang, Robert F. Stengel // Probabilistic and Randomized Methods for Design under Uncertainty. -2006.
10. Borisevich, A. Some aspects of numerical continuation methods in control of nonlinear affine systems [Text] / A. Borisevich, M. Krupskaya // Proc. Int. Symp. Applied Natural Sciences 2011. -Trnava, 2011. -P. 111-115.
11. Golub, G.H. The Differentiation of PseudoInverses and Nonlinear Least Squares Problems Whose Variables Separate [Text] / G.H. Golub, V. Pereyra // SIAM J. on Numerical Analysis. -Apr. 1973. -Vol. 10. -№ 2. -P. 413-432.
12. Immo Diener. On the global convergence of path-following methods to determine all solutions to a system of nonlinear equations [Text] / Immo Diener // J. Mathematical Programming: Series A and B. -Nov. 1, 1987. -Vol. 39. -Iss 2.
