Синтез адаптивных систем управления летательными аппаратами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел V. Беспилотные летательные аппараты

УДК 681.513

В.Х. Пшихопов, М.Ю. Медведев

СИНТЕЗ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ

АППАРАТАМИ

В данной работе представлены методы синтеза адаптивных систем управления летательными аппаратами, функционирующими в условиях неопределенности. Синтез управлений осуществляется на базе нелинейной многосвязной математической модели , . методы синтеза прямых беспоисковых алгоритмов адаптивного управления, непрямых , , также робастный релейный регулятор. Эффективность предлагаемых методов демонстрируется на примере управления дирижаблем.

Адаптивные системы управления; летательные аппараты; нелинейные многосвязные .

This paper presents novel methods of the synthesis of a adaptive control systems for the aircrafts, operating in non-formalized environment. A nonlinear multi-connected dynamic model is

Modeling results approved a validity of the proposed methods.

Adaptive control system; aircraft; nonlinear control system.

Введение. Высокая актуальность задачи с интеза адаптивных систем управления летательными аппаратами определяется значительной степенью неопределенности среды функционирования, сложностью математической модели и большим числом экспериментально определяемых параметров. Специфика функционирования летательных аппаратов требует синтеза беспоисковых или робастных адаптивных систем управления. В данной работе предлагаются новые алгоритмы синтеза адаптивных и робастных систем управления летательными аппаратами на базе их нелинейных многосвязных моделей.

Математическое описание летательного аппарата. Уравнения летательно, , в следующем матричном виде [1 - 3]:

V.Kh. Pshikhopov, M.Yu. Medvedev SYNTHESIS OF ADAPTIVE CONTROL SYSTEMS FOR AIRCRAFTS

considered. The paper presents design method of searchless adaptive control systems, design method of indirect adaptive control systems, and design method of robust relay control systems.

(1)

dt

где x - вектор скоростей летательного аппарата; у - вектор положений летательного аппарата; Fu - вектор управляющих воздействий; Fd - функция положений и скоростей, в общем случае, нелинейная включающая в себя как известные соотношения и параметры, так и неизвестные части и возмущения; M - матрица инерционных элементов, R - функциональная матрица коэффициентов.

Модель (1) подробно представлена в [2, 3] на примере дирижабля. Ставится

задача синтеза вектора управляющих воздействий Fu в виде функции координат состояния x , у и оценок возмущений, обеспечивающих перевод системы (1) из

произвольного начального состояния x0, у0 в некоторой области й в заданное

конечное состояние X, ук .

Синтез наблюдателя адаптивной непрямой системы управления. Базовые

, (1), -ставлены в [2 - 4]. Рассмотрим процедуру синтеза непрямой адаптивной системы управления, строящейся на основе базовых алгоритмов [2] и нелинейных наблюдателей возмущений [5, 6].

Центральной частью непрямых методов адаптации является алгоритм оценивания, для синтеза которого представим систему (1) в следующем виде:

dy^(l =&,

dt

Mdj(^=F,+F0+z', (2)

dt

^ () ( '\

где г - дополнительный неизмеряемый вектор, аппроксимирующей действующие на летательный аппарат возмущения; g (г') - произвольная функция, выби-

раемая в процедуре синтеза; F(0 - номинальная векторная функция правых частей

(1), . ,

(2), -

нат летательного аппарата, не содержит неопределенностей.

Обозначим оценку неизмеряемого вектора г через г . Введем вектор мак,

-г . (3)

Для обеспечения асимптотической сходимости оценки потребуем, чтобы (3)

^+ЬМ,-0, (4)

где Ь (х,у) - матрица, обеспечивающая заданные свойства уравнения (4).

В соответствии с известной процедурой синтеза редуцированных наблюдателей введем замену переменных

лежащая определению в процедуре синтеза наблюдателя.

Продифференцировав выражение (3) с учетом уравнений модели (2), из выражения (4), с учетом замены (5), получим уравнение наблюдателя:

датель. При этом оценки неизмеряемой векторной величины у определяются в соответствии с выражением (5)

(6) -

(2). , -

женным Н.В. Балалаевым [7], такая аппроксимация не использовалась, что приводило к более сильным ограничениям на условия разрешения задачи синтеза на-

.

(6) -

:

ления, поэтому может быть неопределенной. Если имеет место такая ситуация, то синтез нелинейного наблюдателя требует процедур адаптации или аппроксима-

динамики неизмеряемых переменных и возмущений, действующих на уравнения (1), , -ностями в модели объекта и упростить условия разрешимости векторного нели-

(7).

Если вектор т входит в (6) линейно, то условие разрешимости задачи синтеза наблюдателя является уравнение:

где і - вектор новых переменных, 5 (х,у) - произвольная вектор-функция, под-

(6)

Если выбрать функцию таким образом, чтобы система (6) не зависе-

ла от неизмеряемых величин г , то она будет описывать асимптотический наблю-

^(г)_ э.у(х,у)м-і _ь(ху) _о, (7)

V ^ У

0 - .

В [7] векторная функция g (г ) определяется уравнениями объекта управ-

ции. Использование векторной функции g(г ), аппроксимирующей уравнения

V /

где О (х,у) - матрица соответствующей размерности.

(8)

Чтобы матричное уравнение (8) обращалось в тождество, достаточно выполнения следующего условия:

= О (х,у )-Ь (х,у )М . (9)

дх

Рассмотрим применение предлагаемого метода для синтеза алгоритмов оценивания внешних и структурных возмущений, действующих на дирижабль сигарообразной формы, описываемый системой (1) со следующими параметрами: длина

I = 7 м , удлинение X = 4 , объем оболочки и = 10,901.«3, масса т = 13,9кг. При синтезе алгоритмов оценивания возмущений, действующих на дири-, , -(1) , -рый может быть представлен в виде следующей системы дифференциальных , :

&

где 2 - переменная состояния; Г - выход генератора возмущения (10).

Выберем Ь (х,у) в виде диагональной матрицы с постоянными положитель-

,

. (6) : ёг (г) .

—^ = -Ьг-ЬГ -ЬМх . (11)

ёг и

= Ь (х,у)М, = 0,

Эх Эу (12) л (х,у )=Ь (х,у )Мх.

На рис. 1 - 3 представлены результаты оценивания возмущения для системы (1), (5), (11), а на рис. 4 - траектории движения дирижабля.

, -

сальной. Ее точность ограничена скоростью изменения возмущающих воздействий. Это означает, что если задать некоторую максимальную частоту изменения

возмущения шГ , то в соответствии с известной теоремой Котельникова, полоса

пропускания наблюдателя должна определяться частотой 2 • Ю™*. На практике желательно получение как можно большей скорости оценивания, которая ограничена действием случайных шумов.

, -

. -

собен в ограниченной области функционирования, так как для нелинейных систем не выполняется теорема разделения, позволяющая для заданного режима обеспечить устойчивость всей системы посредством устойчивости процессов в контуре регулирования и в контуре наблюдения.

/

./

У

---1----1

++

--4--л--

- ^--Л--Л -2

1,с

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 7. Оценка силы ^

Т 1 1

/3 1

к 1

1

> 1 і

і р

У

і 7 / і о

0 0.2

0.6 0.8

Рис. 2. Оценка силы ^

Рис. 4. Траектории дирижабля

Синтез прямой адаптивной системы управления. Основным недостатком непрямых адаптивных систем управления является невыполнение теоремы разделения. В этой связи требуется вводить наблюдатель возмущения в структуру регулятора и синтезировать закон управления для системы «объект+наблюдатель» [3, 4, 5, 8].

Для синтеза прямой адаптивной системы управления запишем расширенную математическую модель летательного аппарата, с учетом действующих на него возмущений, аппроксимированных моделью со структурой (10):

Ф {ї)

&

■ Ях+Ьхі,

м

&х {ї)

-$Т = К-Ъ+Ъ г,

аї

(13)

() _ ,

Ж с,

где 2 _ [ 12 2Ъ г5 г6 ] - вектор оценок возмущающих факторов;

Ь1, Ь2 - матрицы постоянных коэффициентов; Е'с - вектор, определяющий целевые движения летательного аппарата.

0

Р

X

0.4

Рассмотрим движение летательного аппарата по прямой линии. В этом случае можно записать целевое многообразие движения в следующем виде:

2' =2' +2'

c с1 с2 '

2'^А

+ ^с 2

где

А, А

матрицы

коэффициентов

-\Т

(14)

(15)

квадратичных форм;

А3 = [0 0 0 0 0 V"2 + V2 + V2 — V2к ~^ ; Ь3, Ь4 - матрицы постоянных

.

В этом случае структура закона управления имеет следующий вид [15]:

М~1п = - Ц2г - (Т2(Я + Т2Ц А4 + 2ёТАл)

Т2 А1 (+Ц Ґс) + Т2 Ц А1 {Ях+Ц г)

+2ат ( +14 £')-)

+

(16)

где

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Ух V у2 0 0 0

Адаптивный регулятор (16) строится на основе введения в модель летательного аппарата интеграторов, аппроксимирующих возмущения. Если положить в алгоритме (16) матрицы Ц, Ь2 равными нулю, то он преобразуется в классиче-, . Если дополнительно положить равными нулю матрицы Ь3, Ь4, то получим базовый алгоритм [9, 15] для случая движения вдоль прямой линии.

На рис. 5 и 6 приведены результаты моделирования адаптивного регулятора при действии на летательный аппарат постоянного возмущения.

На рис. 5 показаны две траектории движения: Тг1 - для адаптивного алгоритма управления с подавлением постоянного возмущения (16); Тг2 - для базового алгоритма [9]. Дирижабль по заданию должен лететь вдоль прямой линии на высоте 500 м вдоль линии хё=100 (см. рис. 5). Очевидно, что адаптация позволяет компенсировать постоянное ветровое возмущение. На рис. 6 показаны скорости изменения для случаев движения дирижабля с базовым алгоритмом [9, 15] и для алго-(16). ,

по скорости в случае наличия алгоритма адаптации существенно ниже.

4

Рис. 6. Скорость ЛА

Синтез робастной релейной системы управления. В работах [10 - 12] предложены различные методы синтеза релейных регуляторов, обеспечивающих оптимальные и субоптимальные по быстродействию замкнутые алгоритмы управления. В работах [11, 12] показана высокая робастность полученных алгоритмов. В данной работе синтезируются робастные релейные алгоритмы управления на основе функций Ляпунова.

Рассмотрим задачу управления летательным аппаратом, уравнения которого представлены в виде (1). Запишем траекторное многообразие, отражающее требования к желаемому движению ЛА в установившемся режиме:

ztr = A X2 + A2 x + A3, (17)

где Ztr - векторное траекторное многообразие; Ax, A2, A3 - матрицы коэффициентов квадратичных форм; X = [X y z / & у]T - вектор координат летательного .

(1) :

Гг = 0,5yTy . (18)

Вычислим производную по времени функции (18) с учетом уравнений ЛА (1):

d. = к4±0=KRx (19)

dt dt

Из выражения (19) найдем вектор X , обеспечивающий отрицательность производной (19) функции Ляпунова(18):

x = Xmax х tanh (qx[-ZTtrRj), (20)

где функция гиперболического тангенса аппроксимирует знаковую функцию sign, qx - постоянный параметр.

Из выражения (21) сформируем цель управления с учетом требований к скорости движения летательного аппарата:

^2 = х — Хтах х 1апЬ (^ [ —£1я]Т) + А4 , (21)

где А4 = ^0 0 0 0 0 VI + V2 + VУ — у2] - матрица, учитывающая скоро-

.

Введем теперь в рассмотрение общую функцию Ляпунова вида

V = 0,5 £Т Я2- (22)

Так как функция 1апИ в области больших отклонений близка к знаковой , (22) записать в виде

^ — = Г2Т (— + К). (23)

ёг 2 ёг 2 v “ *’

Из выражения (23) получаем управляющий вектор Ки, обеспечивающий минимум производной функции Ляпунова:

К = К"" «$>1 {—Я). (24)

(23), (24) ,

И,"“| > И ■ (25)

производная функции Ляпунова (22) системы (1), (24) отрицательно определена.

В работе [13] показано, что выражение (25) определяет условия управляемости уравнений динамики системы (1), являясь условиями, аналогичными условиям . . [14]. , -

тор Еи линейно, то выражение (25) можно переписать в виде

|В(х)|и“х >|К„|. (26)

Для того чтобы выполнялось неравенство (26), необходимо выполнение ус:

\Б (х )\ф 0, (27)

х , -

дует выполнение условий общности положения, т.е. достаточного рангового критерия управляемости. Для линейных систем из (27) следует выполнение условия .

,

аппаратами при ограничениях на управления и скорости движения.

На рис. 7 - 10 приведены результаты моделирования движения дирижабля при решении позиционной задачи, которые подтверждают теоретические выкладки. Матрицы, определяющие цели управления, в этом случае имеют вид:

aiii ai22 ai33 O O O' і ai51 O O 0“

a211 a222 a233 O O 0 23a a241 a251 O O 0

А = a3ii a322 a333 O O 0 , A2 = 33a a341 a351 O O 0

і O O O O O 0 2 0 O O 1 O 0

O O O O O 0 0 O O O 1 0

O O O O O 0 0 O O O O 1

4 " [a161 <N a a361 Vo U0 ЛТ Yo T , A = [0 0 0 0 O O ]T.

Из представленных на рис. 7 - 10 графиков видно, что в области больших отклонений система управления формирует релейные воздействия, а при достижении цели становится субоптимальной. Это обусловлено не только аппроксимацией знаковой функции sign функцией тангенса гиперболического tanh , но и ограниченными скоростями изменения координат. Например, линейные скорости ограничены величиной ± 1 м/с, однако они не могут мгновенно изменяться, поэтому не находятся всегда на ограничениях.

Vx 1 !

1 1 1 1 1

1 і

1 1 1 I

1 1 1 г

1

1 1 г 1

1 1 1

1 L 1 t,c

Рис. 7. Траектория дирижабля

Рис. 8. Скорость Vx

Рис. 9. Скорость V

Рис. 10. Скорость V

Заключение. В данной работе предложены методы синтеза адаптивных и робастных алгоритмов управления летательными аппаратами. Разработаны алгоритмы оценивания возмущений в нелинейных системах управления ЛА, алгорит-

мы адаптивного прямого управления, а также робастные релейные алгоритмы управления. Данные результаты могут быть также распространены на более об.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика самолета. Пространственное движение. - М.: Машиностроение, 1983.

2. Пшихопое В.Х. Дирижабли: перспективы использования в робототехнике // - М., Меха-троника, автоматизация, управление. - 2004. - № 5. - С. 15.

3. Пших опое В.Х., Медеедее ММ. Структурный синтез автопилотов подвижных объектов с оцениванием возмущений // - М., Информационно-измерительные и управляющие системы. - 2006. - № 1. - С. 103.

4. Пших опое В.Х., Медеедее ММ., Сиротенко ММ., Э Носко О., Юрченко Л.С. Про екти-рование систем управления роботизированных воздухоплавательных комплексов на базе дирижаблей // Известия ТРТУ. - 2006. - № 3 (58). - С. 160-167.

5. . . // .,

Мехатроника, автоматизация, управление. - 2006. - № 6. - С. 17-22.

6. . .

// .

науки. - 2008. - № 12 (89). - С. 20-25. "

7. . ., . . -

телями состояний // Сб. РАН «Новые концепции общей теории управления» / Под ред. Красовского А.А. - Москва-Таганрог. 1995. - С. 101-113.

8. . . //

ТРТУ. - 2003. - № 1 (30). - С. 44-48.

9. . . -

ными объектами // Известия ТРТУ. - 2006. - № 3 (58). - С. 49-57.

10. . . -

// . -

тромеханика. - 2007. - № 1. - С. 51-57.

11. . . -

// , , . - 2009. - 12.

- С. 2-8.

12. . . -

//

Мехатроника, автоматизация, управление. -2009. - № 7. - С. 2-6.

13. . ., . .

системах. - М.: Физматлит, 2009. - С. 295.

14. . . -

// . - 1996. - 12. - . 29-37.

15. . . - . - -

рог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. - С. 183.

Пшихопов Вячеслав Хасанович

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected].

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88634371694.

Медведев Михаил Юрьевич E-mail: [email protected].

Pshihopov Vjacheslav Hasanovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: 88634371694.

Medvedev Mihail Jur'evich

E-mail: [email protected].

УДК 681.513

P. И. Балабаев

АНАЛИЗ УПРАВЛЯЕМОСТИ И СИНТЕЗ АВТОПИЛОТОВ САМОЛЕТА-АМФИБИИ

В работе рассматривается анализ управляемости и синтеза автопилота самолета-амфибии для предотвращения выхода на неустойчивые режимы движения с учетом ограничений на управление. Получены условия управляемости, аналогичные условиям управляе-. . ,

вид скалярных неравенств. Приведена графическая интерпретация полученных в работе . , грубостью к внешним и внутренним возмущениям. Приведены результаты моделирования.

Самолет-амфибия; управляемость нелинейных систем; многосвязность, ограничения на управление; область управляемости; робастность.

R.I. Balabaev

ANALYSIS OF CONTROLLABILITY AND SYNTHESIS OF THE AUTOPILOT

OF A AMPHIBIAN

At this paper design procedures analysis of controllability and synthesis of the autopilot of a amphibian for prevention of an output on unstable modes of movement in view of restrictions on control. Conditions controllabilities of E.S. Pjatnitskogo similar to conditions functioning of the plane limiting area and looking like scalar inequalities are received. Graphic interpretations of the areas of controllability received in work are shown. The control system distinguished by roughness to external and internal indignations is synthesized robastic. Results of modelling are showing.

Amphibian; control nonlinear systems; nonlinear multiply connected systems; similar to conditions functioning; area of controllability; robastic.

.

посадки на водную поверхность, забора воды с акватории накладывает ряд специфических требований на систему управления. В частности, не до конца решен вопрос демпфирования системой управления колебаний, связанных с ударом о вод.

.

устойчивости демпфер не позволяет самолету вернуться в устойчивую область и приводит к развитию продольной неустойчивости, а выход на нижнюю границу приводит к путевой неустойчивости.

, , ,

, ,

малых отклонениях переменных системы. Явление неустойчивости системы связано с большими отклонениями от положения равновесия, ограничениями на пе-