Синтез адаптивного алгоритма управления ликвидацией лесных пожаров Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. Ф. КОЛПАКОВ, канд. техн. наук, доцент,

ГБОУ "Московский городской психолого-педагогический университет" (Россия, 127051, г. Москва, ул. Сретенка, 29; е-mail: [email protected])

УДК 614.841.42

СИНТЕЗ АДАПТИВНОГО АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ ЛИКВИДАЦИЕЙ ЛЕСНЫХ ПОЖАРОВ

Рассматривается один из подходов синтеза оптимального (в некотором смысле) управления тушением лесного пожара, базирующийся на использовании метода обратных задач динамики. Показано, что данный метод, в свою очередь, предполагает наличие достоверной динамической модели развития лесного пожара. В работе была использована математическая модель, выходной координатой которой является площадь пожара, а управлением — темпы создания заградительной полосы. Показано, что результаты исследования могут быть использованы для оценки пожарной обстановки и выдачи адекватных рекомендаций по привлечению сил и средств для реализации необходимых темпов локализации пожара.

Ключевые слова: математическое моделирование; лесные пожары; динамическая модель; метод обратных задач динамики; алгоритм управления.

Введение

Современные исследования показывают, что тяжелые последствия от пожаров во многом обусловлены недостаточностью ресурсов противопожарной службы, обеспечивающей пожаротушение; большим радиусом обслуживания в районах выезда подразделений Государственной противопожарной службы и другими факторами объективного и субъективного характера.

Успешное решение этих проблем возможно на основе широкого использования современных методов математического моделирования и прогнозирования. Органы власти нуждаются в информационной поддержке принятия решений, основанной на получении, обработке и представлении многофакторных данных по различным показателям административно-территориальных единиц. В настоящее время налицо нехватка адекватных моделей и методов обработки данных и отсутствие информационного обеспечения принятия решения в сфере пожарной безопасности.

Все вышеотмеченное предопределяет необходимость поиска новых подходов к совершенствованию методов управления пожарной безопасностью, учитывающих различные показатели и состояние обстановки с пожарами. Недостаток ресурсного потенциала вызывает необходимость более эффективного использования выделяемых органами власти средств.

Действенным инструментом решения проблемы пожарной безопасности различных административно-территориальных единиц являются методы математического моделирования и прогнозирования с последующим применением полученных результа-

© Колпаков В. Ф., 2013

тов при разработке соответствующих управленческих решений. Вместе с тем к настоящему времени как научные, так и практические аспекты использования методов математического моделирования и оптимального управления, применения современных информационных технологий в сфере управления и мониторинга пожарной обстановки проработаны в недостаточной степени. Поэтому разработка моделей, методов и средств информационной поддержки принятия решений в сфере управления и мониторинга пожарной обстановки является актуальной.

В работе рассматривается один из подходов синтеза оптимального управления при ликвидации лесного пожара, использующего реальные и модельные параметры развития пожарной ситуации.

В теории оптимального управления динамическими системами существует два основных направления.

Первое направление объединяет вариационные методы, принцип максимума и динамическое программирование. Здесь решение задачи синтеза оптимального управления, удовлетворяющего заданному критерию качества, связано с необходимостью решения краевой задачи. Однако ряд прикладных задач управления динамическими системами не может быть сведен к оптимизации определенного функционала качества. Прежде всего это относится к объектам, параметры которых имеют значительные неопределенности. Кроме того, в последнее время в связи с усложнением объектов управления появилось много задач, в которых требуется сначала рассчитать желаемый закон изменения управляемого процесса (программное движение), а затем — по-

строить закон управления, обеспечивающий точную или приближенную реализацию этого процесса. Решению указанных задач посвящено другое направление оптимального управления, базирующееся на так называемых обратных задачах динамики [1-3].

Работа посвящена выбору оптимального (в некотором смысле) управления тушения лесного пожара с использованием метода обратных задач динамики. Рассмотрим основные положения метода.

Метод обратных задач динамики Прямая и обратная задачи динамики

Пусть объект управления определен дифференциальным оператором в форме Коши

у'(0 = я У, и, о, (1)

где у(£) = [у^), ..., уя(0]г — вектор координат состояния;

и^) = [ и^), ..., ит(1)] — вектор управления.

Прямая задача. Известна математическая модель (1) движения системы и ее состояние в начальный момент времени:

У(0)= Уо. (2)

Управление и^) задано. Требуется найти траекторию движения системы у(1), t > 0.

Решение сводится к интегрированию дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2). Задача легко решается или аналитически, или численно с помощью компьютерных технологий.

Обратная задача. Известна математическая модель (1) с начальными условиями (2). Задана желаемая траектория движения системы уж(0, t > 0.

Необходимо найти такое управление (желаемое) иж(^, чтобы обеспечить равенство у(1) = уж(0. Другими словами, в математическом отношении содержание обратной задачи динамики составляет синтез алгоритма управления, при котором управляемая система обладает требуемыми динамическими характеристиками.

Синтез алгоритмов управления в форме обратных связей

Управление линейным объектом. Рассмотрим метод обратных задач динамики применительно к динамическому объекту, описываемому дифференциальным уравнением первого порядка

у'(0 + ао у(0 = Ьо и(0. (3)

Требуется найти такое управление иж(^, которое обеспечивает изменение выходной координаты у(^ (формула (3)) по заданной траектории уж(0. При этом предполагается, что выходная координата у(^ измеряется.

Так как по разным причинам [1-3] добиться абсолютного совпадения траекторий у(^ и уж(0 не-

возможно, эту задачу будем решать из условия стремления к нулю ошибки управления Е(у^), уж(0) при неограниченном увеличении времени. Причем характер "списания" ошибки определяется динамическими свойствами объекта, т. е. если объект описывается уравнением первого порядка, то и изменение Е(у«, уж(0) должно происходить по такой же траектории:

Е' (у, Уж) + ХЕ (у, Уж) = 0, (4)

где X — коэффициент, определяющий заданную динамику приближения у(^ к уж(0;

Е(у, Уж)= y(t) - Уж(0.

Траектория F(y(t), yж(t)) в соответствии с (4) будет иметь экспоненциальный вид:

F(t) = се-Х', (5)

где с — параметр, определяемый из условия Е (0);

в нашем случае с = у(0) - уж(0).

Заданную управляющую функцию уж(0, обеспечивающую траекторию (4), можно получить, подставив (3) в (4):

Ь0 uж(t) - а0y(t) - уж (t) + Х(у(0 - Уж(t)) = 0, (6) откуда

и ж (() = Ь01 (уж (t) + X Уж (t) + (а 0 - X) у^)), (7)

где а0, Ь0 — известные параметры модели управляемого объекта (3).

В практических задачах, как правило, уж(0 = 0. Тогда желаемое управление

иА) = Ь-1 (Хуж(0 + (а0 - X)y(t)) (8)

обеспечит траекторию управляемого процесса в виде У'(0 + Xy(t) = Xyж(t). (9)

Управление нелинейным объектом. Важная особенность рассматриваемого подхода состоит в том, что для синтеза алгоритмов управления могут использоваться полные нелинейные уравнения движения без их линеаризации. Полученные при этом алгоритмы также являются нелинейными. Их структура адекватна структуре математических моделей управляемых процессов, а параметры алгоритмов определяются параметрами математических моделей назначенных траекторий движения.

Пусть модель объекта управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка

У'(0 = ЯУ, и, t). (10)

Эталонное движение задается линейным уравнением (4). Тогда для его реализации необходимо решить уравнение

/(у, и, t) - уж« + ХШ -Уж(t)) = 0 (11) относительно и(0.

Если это возможно осуществить аналитически, то получим алгоритм управления в явном виде:

Иж(0 = Ф(у(0, уЖ(0, Уж(0). (12)

Если аналитическое решение найти не удается, то для нахождения иж(?) к нелинейному уравнению (12) можно применить известные градиентные численные методы, имеющие готовые конструкции, например, в MathCAD [6].

Повышение адаптивных свойств управляющей функции

Эффективность управления, полученного на основе обратных задач динамики (8) и (12), определяется в основном достоверностью математических моделей. К сожалению, математические модели всегда отличаются от их истинных операторов. В этом случае в результате управления могут возникать ошибки управления как в переходной стадии, так и в установившемся режиме. Для решения этой проблемы можно было бы использовать идентификацию параметров модели в реальном времени, что представляет большие трудности, особенно для слабоструктурированных динамических систем. Другим путем является разработка более грубой (робастной) системы управления, обеспечивающей движение системы не по эталонной траектории, авее окрестности.

Рассмотрим синтез робастного алгоритма управления на примере объекта, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка:

y"(t) + ai y(t) + ao y(t) = b0 u(t) (13)

с известным начальным состоянием y0, y0.

Формулировка задачи. Необходимо синтезировать такой алгоритм управления u = u(y, y'), при котором управляемый объект переходит из произвольного начального состояния в окрестность стационарного состояния

Уж = const, уЖ = 0 (14)

и остается в этой окрестности бесконечно долго. При этом требуется, чтобы переходный процесс y(t) с заданной степенью приближения следовал за переходным процессом эталонной модели:

F" (t) + А.1 F (t) + Xo F(t) = 0. (15)

Либо, учитывая (13) и обозначив траекторию эталонной модели через x(t), получим уравнение эталонной траектории в виде

x" (t) + A,1 x(t) + I»x(t) = X0yж(t) (16)

с начальными условиями x0 = y0, x'0 = y0.

Физический смысл сформулированной задачи заключается в синтезе такого управления, при котором изменение состояния исходной системы удовлетворяло бы условию

| x(t) - y(t)|<s, t > 0, (17)

характеризующему степень приближения процесса у(г) ^ уж(г) в проектируемой системе к эталонному процессу х(г) ^ уж(г) с заданной точностью е.

Так как в силу вышеназванных причин в процессе управления полное соответствие у(г) с х(г), а следовательно, и их производных, невозможно, то структуру и параметры алгоритма управления будем определять из условия минимума функционала:

J(u) = 0,5(x"(t) -y"(t, u))2, t > 0.

(18)

Для придания системе грубых свойств (нахождение в окрестности экстремума-минимума) необходимо желаемую управляющую функцию и(г) определять из уравнения

&и(г) дЗ (и)

dt

du

ц = const,

(19)

которое соответствует градиентной схеме поиска экстремума. С учетом (13)

д1 (и)

du

= -b>(x"(t) - y"(t)).

Тогда

du=k (x- (t) - y-(t)), dt

(20)

(21)

где к — коэффициент усиления при управлении;

к = -Ь0 ц.

С учетом (16) и концепции обратных задач динамики (х'(0 = у'(0, х(г) = у(г)) имеем уравнение

х"(г) = Хо(уж(^) - у(г)) - X у'(г). (22)

Подставив его в (21), получим окончательное уравнение для управляющей силы:

^ = к(Xо(уж (г) - у(г)) - X у'(г) - у"(г)). (23) аг

Особенностью алгоритма (23) является то, что для его реализации необходимо иметь информацию (получаемую измерением) о состоянии координаты у(г) и ее обеих производных.

Для коэффициента усиления к должно выполняться правило знаков [3]:

81Бп(к) = sign(Ьо).

Кроме того, для устойчивости процесса управления необходимо, чтобы быстродействие контура управления, задаваемое коэффициентом к, было существенно выше быстродействия эталонной модели, определяемого коэффициентами Х0, Х1 [3].

Синтез алгоритма управления тушением лесного пожара с использованием метода обратных задач динамики

В [4, 5] были рассмотрены и обоснованы математические модели лесных пожаров. Для решения

задачи синтеза оптимального алгоритма управления воспользуемся моделью вида [4]:

5' (0 = а51/2(0- ки(1), (24)

где а — интенсивность распространения пожара; 5(0 — площадь возгорания; и(0 — управление (длина заградительной полосы).

В соответствии с методом обратных задач динамики естественным является выбор эталонной траектории "списания" ошибки управления:

Е'(0 + XЕ(t) = 0, (25)

где Е(0 = 5(0- Бж(1).

Однако специфика задачи такова, что величина неизвестна. Из здравого смысла следует, что чем меньше желаемая площадь пожара 5ж(^, тем лучше, но в силу того, что она неизвестна, назначить желаемую траекторию (25) мы не можем.

Здесь предлагается в качестве Е(0 использовать функцию

Е ^) = 5' ^) - 5ж^), (26)

в которой желаемая интенсивность распространения пожара известна: 5ж = со^ = 0.

В соответствии с (26) эталонная траектория будет иметь вид:

5" (0 + X 5' (0 = 0. (27)

Для реализации (27) продифференцируем (24):

5" = 0,5а ,Г1/2(0 5' (0 - ки'(г). (28)

Подставив выражение (24) и (28) в (27), получим:

0,5а2 - 0,5к5~1/2(0 u(t) - ku'(t) + XаS1/2(t) - Хки(0 = 0.

Отсюда найдем уравнение для вычисления управляющей силы и(0:

и'(0 + Р(0 u(t) = д(0, (29)

где P(t) = X + а(0/(251/2(0); g(t) = а(0,5а + XS1/2(t))/k. Реализация (29) может быть осуществлена на компьютере с использованием разностной схемы:

и(Ь +1) = u(t¡) + (-Р(^) u(t¡) + д(t¡)) At, (30)

где At — шаг интегрирования; At = - ti.

Эффективность управления с использованием алгоритма (30) была проверена с помощью численного моделирования в среде МаШСАБ. Результаты моделирования управления тушением пожара (на примере пожара в Иркутской обл., 2007 г.) представлены на рис. 1 и 2.

В эксперименте желаемая (эталонная) интенсивность распространения пожара формировалась в соответствии с уравнением (27) при заданном значении коэффициента X (рис. 3). В примере было принято, что X = 0,4. Это соответствует заданному

/', км/сут; и', км/сут 4 -

2 -1

О 5 10 Г, сут

Рис. 1. Темпы изменения периметра площади пожара I' (1) и темпы создания заградительной полосы и (2)

Рис. 2. Динамические характеристики ликвидации лесного пожара: 1 — площадь пожара 5; 2 — длина заградительной полосы и; 3 — длина периметра площади пожара I

5;,км2/сут

Рис. 3. Заданная интенсивность распространения пожара

времени тушения пожара, равному 5-6 сут при начальной интенсивности распространения пожара 5'(0) =1,1 км2/сут, которая соответствует реальной на момент начала тушения.

Из рис. 1 видно, что для решения поставленной задачи максимальная интенсивность работ по созданию заградительной полосы ижтах^) должна составлять 4,2 км/сут.

В случае ограничений на управление и ^) < иогр характер тушения пожара, естественно, будет иным. Так, например, при возможности обеспечить максимальный темп создания заградительной полосы и =3 км/сут пожар будет ликвидирован за 7 сут в отличие от планируемого срока (5-6 сут), и пло-

О 5 10 Г, сут

Рис. 4. Динамика тушения пожара при ограничении науправ-

щадь выгорания S при этом увеличится до 9 км2 (рис. 4).

Далее проведем исследования адаптивных свойств алгоритма управления (30).

На рис. 5,а представлены переходные процессы, при которых интенсивность реального пожара а была ниже модельной на 50 %, анарис. 5,6—выше модельной на 50 %.

Из рис. 5 видно, что алгоритм управления чувствителен к изменению параметров пожара (различие относительно модели) и характер процесса тушения отличается от ситуации, в которой модель "точно" описывает реальный процесс (см. рис. 1 и 2). В случае когда реальный темп распространения пожара меньше заявленного в модели (см. рис. 5,а), управление тушением будет даже более эффективным. Это и понятно: здесь управление ориентировано на худший вариант развития пожара по сравнению с ре-

«', км/сут; км2/сут

4-1-

0 5

и', км/сут; Я', км2/сут

10

Г, сут

Г, сут

альной ситуацией. Хуже обстоит дело, когда реальный темп пожара будет больше модельного (см. рис. 5,6). Из рис. 5,6 видно, что в этом случае управление становится неэффективным и "не справляется" с тушением пожара, т. е. рекомендуемые темпы создания заградительной полосы будут ниже темпа распространения реального пожара.

Для повышения адаптивных свойств алгоритма управления применим технологию сочетания метода обратных задач динамики с минимизацией локального функционала качества.

Функционал качества (18) для данной задачи выберем в виде

3(и) = 0,5(5;(г) - 5'(г))2

(31)

где 5э(г) — эталонная траектория изменения площади пожара, определяемая из уравнения

5 э (г) + 'э(г) = 0. (32)

Тогда в соответствии с (19) и (20) получим:

аи(г) = ц д3(и)

аг

ди

д3 (и)

ди

= к(5'э(г) - 5'(г)).

Объединим (33) и (34): ё и(г)

аг

= к" (5;(г) - 5'(г)),

(33)

(34)

(35)

где к * =- к ц.

Я, км2; и, км 6

Т, сут

Рис. 5. Динамические характеристики тушения пожара при интенсивности реального пожара ниже (а) и выше (6) модельной: 1 — темп создания заградительной полосы (управление) и ; 2 — темп изменения площади пожара 5'; 3 — площадь пожара 5; 4 — длина заградительной полосы и

ление

Рис. 6. Динамические характеристики тушения пожара при реализации адаптивного алгоритма управления: 1 — темп создания заградительной полосы (управление) и'; 2 — темп изменения площади пожара 5"; 3 — площадь пожара 5

Рис. 7. Динамические характеристики адаптивного управления тушением пожара при интенсивности реального пожара выше модельной: 1 — темп создания заградительной полосы (управление) и ; 2 — темп изменения площади пожара 5'; 3 — площадь пожара 5

Значение 5) может быть найдено из уравнения (32). Для этого его необходимо проинтегрировать и согласно концепции обратных задач динамики сделать замену — на 5^):

5 ;« = - X(S(t)- 50), (36)

где 50 — площадь, охваченная пожаром на момент

начала его тушения.

Итак, окончательный алгоритм вычисления управления примет вид:

^ = к*(-М0) - 5'(t)). (37)

а t

Из (37) следует, что для реализации "оптимального" управления необходимо измерять текущую площадь пожара и скорость ее нарастания.

Результаты численного моделирования ликвидации пожара при обеспечении темпа работ по созданию заградительной полосы в виде алгоритма (37) представлены на рис. 6.

Видно, что если обеспечить темпы создания заградительной полосы и' в соответствии с рис. 6, то процесс тушения пожара будет достаточно эффективным. Управление в виде, представленном на рис. 6, обеспечивает достаточно эффективный процесс тушения пожара: локализованная площадь сгоревшего леса составляет 8,2 км2 при максимальном темпе работ по созданию заградительной полосы 5 км/сут.

Характеристики процесса тушения пожара при увеличении темпа его распространения на 50 % по сравнению с модельным представлены на рис. 7.

Из рис. 7 видно, что процесс тушения пожара носит устойчивый характер по сравнению с алгоритмом управления (30) (см. рис. 5,б). При этом обеспечивается заданная интенсивность тушения пожара, определяемая параметром X и соответствующая заданному времени тушения (5-6 сут). Однако для ликвидации такого пожара требуется значительное управляющее воздействие, максимальное значение которого равно 11 км/сут; при этом итоговая площадь сгоревшего леса составит 17,5 км2.

Заключение

В заключение хотелось бы высказать практические рекомендации по использованию алгоритмов управления вида (30) и (37). Алгоритм (30) предпочтительнее использовать на начальной стадии тушения пожара, когда необходимо осуществить предварительный прогноз тенденции развития пожара и необходимых затрат сил и средств для его локализации в заданные сроки. Причем следует отметить, что эти прогнозы носят достаточно приблизительный характер. Алгоритм же (37), адаптированный к изменению параметров пожара, желательно использовать в качестве рекомендаций для определения заданных темпов работ по созданию заградительной полосы в ходе тушения в реальном времени. Как видно из (37), интенсивность работ (управление и'(0) будет являться функцией площади пожара и его скорости изменения 5'^). Естественно, от точности измерения этих параметров пожара будет зависеть точность и эффективность управления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петров Б. Н., Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1980. — № 4. — С. 19-36.

2. Петров Б. Н., Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1980. — № 5. — С. 21-33.

3. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики в теории автоматического управления. Цикл лекций : учебное пособие для вузов. — М. : Машиностроение, 2004. — 573 с.

4. Колпаков В. Ф. Один из подходов моделирования лесных пожаров с целью повышения эффективности их ликвидации // Безопасность жизнедеятельности — 2011. — № 4. — С. 43-47.

5. Колпаков В. Ф. Параметрическая идентификация модели лесных пожаров // Безопасность жизнедеятельности — 2012. — № 5. — С. 39-44.

6. Охорзин В. А. Прикладная математика в системе МАТНСАБ : учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. — СПб. : Изд-во "Лань", 2008. — 348 с.

Материал поступил в редакцию 28 мая 2013 г.

English

SYNTHESIS OF THE ADAPTIVE CONTROL ALGORITHM LIQUIDATION OF FOREST FIRES

KOLPAKOV V. F., Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, Moscow City University of Psychology and Education (Sretenka St., 29, Moscow, 127051, Russian Federation; e-mail address: [email protected])

ABSTRACT

The article is devoted to the use of modern methods of mathematical modeling for forecasting and decision-making in extinguishing forest fires. One of the best approaches synthesis, in a sense, management, using real and model parameters of a fire is considered. As the tool is selected the method of inverse problems of dynamics, which is based on the use of reliable mathematical models of the control object.The main mathematical equations of this method in its classical form and its possible adjustments to improve the adaptive properties are summarized. Model the spread of fire was represented by a non-linear differential equation, the output coordinate, which is the area covered by the fire, and the input (control) — the pace of building barrage strip. The paper developed an algorithm extinguish a forest fire in a barrage of recommended rate of establishment of the band at various stages of extinguishing it. The effectiveness of the algorithm has been confirmed by numerical simulations.

Keywords: mathematical modeling; forest fires; dynamic model; method of inverse dynamics; control algorithm.

REFERENCES

1. Petrov B. N., Krutko P. D. Obratniyye zadachi dinamiki upravlyayemykh sistem. Lineynyye modeli [Inverse problems of the dynamics of control systems. Linear models]. Izv. ANSSSR. Tekhn. kiberneti-ka— News Academy of Sciences USSR. Tech. Cybernetics, 1980, no. 4, pp. 19-36.

2. Petrov B. N., Krutko P. D. Obratnyye zadachi dinamiki upravlyayemykh sistem. Nelineynyye modeli [Inverse problems of the dynamics of control systems. Nonlinear models]. Izv. ANSSSR. Tekhn. kiber-netika — News Academy of Sciences USSR. Tech. Cybernetics, 1980, no. 5, pp. 21-33.

3. Krutko P. D. Obratnyye zadachi dinamiki v teorii avtomaticheskogo upravleniya. Tsikl lektsiy: ucheb-noye posobiye dlya vuzov [The inverse dynamics problem in control theory. Lecture series. A manual for schools]. Moscow, Mashinostroyeniye Publ., 2004. 573 p.

4. Kolpakov V. F. Odin iz podkhodov modelirovaniya lesnykh pozharov s tselyu povysheniya effektiv-nosti ikh likvidatsii [One approach to modeling of forest fires in order to improve the efficiency of their elimination]. Bezopasnost zhiznedeyatelnosti — Life Safety, 2011, no. 4, pp. 43-47.

5. Kolpakov V. F. Parametricheskaya identifikatsiya modeli lesnykh pozharov [Parametric identification of the model forest fires]. Bezopasnost zhiznedeyatelnosti — Life Safety, 2012, no. 5, pp. 39-44.

6. Okhorzin V. A. Prikladnaya matematika v sisteme MATHCAD: uchebnoye posobiye. Izd. 2-e [Applied mathematics for the MATHCAD. Textbook. 2nd ed.]. Saint Petersburg, Lan Publ., 2008. 348 p.