CC BY
10
Серия «Математика»
Том 1 (2007), № 1, С. 132-140
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского государственного университета
УДК 517.983.51
Сингулярные системы дифференциальных
уравнений с нетеровым оператором
при производной в банаховых пространствах *
О. В. Коробова ([email protected])
Институт математики, экономики и информатики ИГУ, Иркутск
Аннотация. В настоящей работе с помощью конструкции матричной фундаментальной оператор-функции построено обобщенное решение сингулярной системы дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, исследована связь между обобщенным и непрерывным решениями.
Ключевые слова: банахово пространство, нетеров оператор, обобщенные функции, матричная фундаментальная оператор-функция, регулярный пучок матриц
Введение
Рассматривается система дифференциальных уравнений вида
г1и _
мв— = ллй(ь) + / (г) (0.1)
с начальным условием
и(0) = ио, (0.2)
где М, Л - квадратные матрицы порядка в, йвЬМ = 0, Л, В - замкнутые линейные операторы с плотными областями определения, действующие из Е\ в Е2, Е\, Е2 - банаховы пространства, й(Ь) - искомая вектор-функция, каждая компонента которой является функцией со значениями в Е\ , /(г) - заданная вектор-функция, имеющая компоненты со значениями в Е2, под записью Лй(Ь) понимается вектор-столбец вида
* Работа выполнена при финансовой поддержке ИГУ, грант №111-02-000/7-02.
/ Лиг(г) Лй(Ь) = .
\ Ли^(Ь)
Далее предполагается, что оператор В является нетеровым, йгшИ(В)=п, йгшИ(В*) = ш, Б(В) £В(Л), ЁЩ = Е(В), Рг, г = 1,п - базис в N (В), фг, г = 1,ш - базис в N (В*), В имеет полный Л-жорданов набор, оператор Л непрерывно обратим.
В силу необратимости оператора В и йеЬЫ = 0 системы вида (0.1) будем называть сингулярными, причем далее будем считать, что матрица М не имеет Л-присоединенных векторов. Случай, когда йеЬЫ = 0 исследован автором ранее [1].
1. Редукция сингулярной системы дифференциальных уравнений (0.1) к совокупности двух
Введем в рассмотрение матричный пучок (рМ — Л).
Определение 1. Пучок матриц (рМ — Л) называется регулярным, если 1) М и Л - квадратные матрицы одного и того же порядка и 2) Ы(рМ — Л) =0 [2].
Известно [2], что если пучок матриц (рМ — Л) регулярен, то существуют невырожденные матрицы Р и Q такие, что
Р (рМ — Л^ =
Е- 0 А ( Ь 0
0 N ) V 0 Ед
где Е3-д и Е, единичные матрицы соответствующих размерностей, N - нильпотентная матрица порядка д, Ь - квадратная матрица порядка 8 — д.
Этот результат можно сформулировать иначе [3]: существуют невырожденные матрицы Р и Q такие, что справедливы следующие матричные равенства
РМ^ = (Е- °)-Р^ = (Ь Е,
Далее предполагается, что N = 0, т.е. матрица М не имеет Л-присо-единенных векторов. Тогда заменой и,(Ь) = Qv(t) и умножением на Р слева система (0.1) приводится к виду
В (V 0) I = Л (Ь Д ) + «0.
где т = Р7(^.
Полученную систему можно расщепить на две подсистемы: систему дифференциальных уравнений первого порядка
с начальным условием и систему уравнений
ВЬ г(1)= АЬщ(г) + д1 (г),
Уг(0)= V
0 = Ащ(г) + д2 (г),
(1.1) (1.2) (1.3)
здесь введены обозначения
( Мг) \ ( V. -д+1(г)
щ(г) = . ) , Ь2 (г) =
V Ьв-д(г) \ Уз(г)
( д1(г) \ ( дв -д+1(г)
Ш) = . ) , Ш) =
V д.-д (г) \ д.(г)
Пусть выполнены условия:
I) Условие согласования входных данных задачи (0.1)-(0.2) АЩ(0)+ д2(0)=0,
II) Матрица Ь имеет в — д различных отличных от нуля собственных значений Х\,..., \.3-д. В этом случае [2] для матрицы Ь существует невырожденная матрица С такая, что
С-1ЛС =
/Л1 0 0 Л2
00
0 0
^в-д /
Тогда с помощью замены переменных Ь1(г) = Сш(Ь) и умножения на С-1 слева, задача Коши для системы (1.1) распадается на в—д независимых задач
вWl (г) = \г Аиц(г) + ® (г), (1.4)
Wl (0) = = 1,в — д, (1.5)
здесь д(г) = С-1§1(г).
Каждую из этих новых задач (1.4)—(1.5) можно исследовать методом работы [4]. Обобщенное (и непрерывное) решения таких задач построены с помощью фундаментальных оператор-функций.
2. Исследование сингулярной системы дифференциальных
уравнений (0.1)
Пусть й(Ь) - непрерывное решение задачи (0.1)-(0.2). Продолжим это решение и функцию f (г) нулями при г < 0, т. е. рассмотрим функции
М(г) = й(Ь)в(г), ~](г) = 7(Ь)в(Ь), где в(г) - функция Хевисайда [5].
Тогда задачу Коши (0.1)-(0.2) можно переписать в обобщенных функциях в виде
СрЛ ___
ив— = лли(г) + у (г)в(г) + ивщб(г),
или как систему сверточных уравнений относительно й(Ь) € К+ (Е\) (К+ (Е1) - класс обобщенных функций с ограниченным слева носителем)
(мв5'(г) — ллб(г)) * ъ(г) = 7(г)д(г) + мвщ5(г). (2.1)
Здесь 5(Ь) - дельта-функция Дирака.
Определение 2. Матричной фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора (Мв5'(Ь) — ЛЛ5(Ь)) на классе К+(Е2) будем называть такую обобщенную матричную оператор-функцию Е(1), что справедливы равенства
(мвб'(г) — ллб(г)) * Е(г) * ъ(г) = ъ(г) Щг) € к+ (Е2)
и
Е(г) * (мвб'(г) — ллб(г)) * щ(г) = щ(г) чщ(г) € к+ (Е1).
Таким образом, если существует свертка Е(Ь)*(/(Ь)9(Ь) + Мвщ5(г)), то она является единственным решением системы сверточных уравнений (2.1) в классе К+(Е^, т. е.
Цг) = Е(г) * (У(г)в(г) + мвщ5(г)), (2.2)
что, в свою очередь, позволяет строить обобщенные (и классические) решения системы дифференциальных уравнений (0.1). Справедлива
Теорема 1. Если оператор Б нетеров, п > т, Б имеет полный А-жорданов набор , г = 1,п, 3 = 1,р[6], г = 1,т, 3 = 1>Рг} -
Л*-жорданов набор, оператор А непрерывно обратим, пучок матриц (р,м — Л) регулярен, выполнены условия I и II, то дифференциальный оператор первого порядка (мвб'(г) — ЛЛ5(г)) имеет в классе К+(Е2) матричную фундаментальную оператор-функцию вида
Е (г) = Яб(г) * ( Е10г в°(г)) * Рт, (2.3)
где
Ет(г) = С5(г) *
( —А-1б(г)
(£1 (г) 0 ... 0 \ 0 £2(г) ... 0
0 0 . . . £в-д(г)
* С-15(г),
т =
0 —А-15(г)
\
\
— матрица порядка д.
0 0 ... —А-15(г)
Оператор-функции £1 (г) имеют следующий вид
£1(г) = В+ех1АвП
п Рг
I — ЕЕ^) А*.
г=13=1
(з)\ Л,п(Р1-3 + 1)
в(г)—
—
г=1
Рг-1 (рг-к
Е\Е \Тк-1^г-к+1-з)${к)(г)
к=о { 3=1
[4], I = 1,в — д.
(3) ___
Здесь фг , г = т + 1,п, ^ = 2,рг являются произвольными функциона->,(1)
лами из Е2 и фг = 0, г = т + 1,п.
Доказательство. В соответствии с определением матричной фундаментальной оператор-функции необходимо проверить справедливость равенства
(ывб'(г) — АА5(г)) * Е(г) * ъ(г) = ъ(г) Щг) е К+ Е).
Подставим в левую часть этого равенства выражение для Е(1):
(ыв5'(г) — АА5(г)) * Е(г) * ъ(г) = (ывб'(г) — ЛА5(г)) * Я5(г)* *( Е:() пт! * Р8(г) * ъ(г) = (мяв5'(г) — лдА5(г))*
( Е:(г ЧЧ * Г5(г) * й(г) = (Р-15(г) * Г5(г))•
Ч 0 о(г))
( Е: (г) 0 Ч 0 Б(г))
•(мдв5'(г) — лдА5(г)) * ( Е1(} в°(г)) * Р*(г) * и(г) = = Р-15(г) * (Рмдвё'(г) — РлдА5(г)) * ( ^ ) * Р5(г) * и(г) = Р-1б(г) *
*Р5(г) * и,(г) = Р-15(г) *
в( V 0)*'(г) — а(10 0 )т | *
0 Ед
(в5'(г) — АЬ5(г)) * Е:(г)
( Е: (г) 0 N V 0 Б(г) )\
0
—А5(г) * Б(г)
0
*
*
0
Так как
СИНГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ
*Р5(г) * %(г). (в5'(г) — ль5(г)) * Е/(г) = (в5'(г) — ль5(г))*
/£1(г) о
*с5(г) *
0
о е2(г) ... о V о о ... (г))
* С-15(г) =
I£\(г) о
= (св5'(г) — льс5(г)) *
о \
о е2(г) ... о
* с-15(г) =
оо
■-в-а(г))
= (С5(г) * с-15(г))(св5'(г) — льс5(г)) *
(
*с-15(г) = с5(г) *
в5'(г) — л
\
(£1(г) о ... о \ о £2(г) ... о
V о о ... £в-д(г)) \
5(г)
/А1 о ... о \ \
о А2 ... о
V о о ... Ав-а )
/
£1(г) о
о
о £2(г) ... о V о о ... £3-я (г))
* с-15(г) = с5(г) * 15(г) * с-15(г) = 15(г),
1
(здесь (в5'(г) — АЛ5(г)) * £1 (г) = 15(г)[4])
(—Л5(г))*п(г) = (—Л5(г)у
(—л-15(г) о ... о \ о —л-15(г) ... о
\
=15(г),
о ... —л-15(г))
то
(мв5'(г) —ЛЛ5(г))*Е (г) *и(г)=р-15(г)*15(г)*Р5(г) *и(г)=15(г) *и(г)=а(г).
Справедливость равенства
Е(г) * (мв5'(г) — ЛЛ5(г)) * щ(г) = щ(г) Ущ(г) € к+ Е)
доказывается аналогично. □
*
*
а
о
Теорема 2. Если в условиях теоремы 1, п < т, то матричная оператор-функция Е(г) вида (2.3) является фундаментальной для дифференциального оператора (Мв5'(г) — ЛА5(г)) на подклассе обобщенных функций из К+(Е2), удовлетворяющих условиям
(еХгАв+1:,ф^ в (г) * щ (г) = 0, I = 1,в — д, V = п + 1,т. (2.4)
Теорема 3. Если выполнены условия теоремы 1, то задача (0.1)-(0.2) имеет в классе К+ (Е\) единственное обобщенное решение вида
ъ(г) = е(г) * (У(г)в(г) + мвщ5(г)).
В развернутой форме где
I Wl(г) \ (Ьв-д+1(г)
Мг) = С
1 , щ(г) =
V а.-д (г)
п
а(г) = — £
Рг-1 ( к
£ <£ хк-3 *?+1-л\ ¿рг-1-к)(г)
к=1 (з = 1
V Ьв(г)
+ К+
г=1
т Рг п рг
+ ££Сцхрг-3*(Рг+1-з) + £ в+еХ1 Ав+1А*(Рг-з) +
г=1 3=1 т+1 3=1
г рг
..........' ',00 \ Л*(Рг+1-3)) _ (\АаО
10 ' 1
1г
+ в+еХ1Ав+(1-т)(1 — ЕЕ(;ф(3)) А^г+1-3)) • (\iAw0 + дг(т)+ 0
п т Рг
+ £ Ы^кА^Цг + ££&(г)х>-1*(3)+
к=т+1 г=13=1
п
+ £ Ы(г)*кк1^)в(г)[4}, I = 1,в — д, г = тгп(т,п),
к=т+1
VI(г) = —А-1д1(г)в(г), I = в — д + 1,в.
Здесь введены обозначения при г = 1,т, ] = 1,рг,
Сг3 = — ТР+гч (XАа0 + д(0)М3)) — (дг(0),ф(-1))
х1 х1
—^ (д(3-1)«У),ф(1Г),
pi-j
& = ТО (^W - 9¡k\0)MPi k=0 Xl
(pi-k+1-j)
при i = m + l,n, j = l,pi,
-ij
xpi-j
- {91 -
xpi-1
CiPi = - w-1 {Ф),ФГ)-----^ {9Г"\0),ФГ)
dPi)
XPi
ÁPi-2),
Pi-1
Ш = -£ ol+т (9Ík)(t) - 9¡k)(0)MPi-k)) k=0 Xl
где ^г € г = 1,и - биортогональная система элементов к ^, т.е.
(<Рг,Чк) = $гк, г, к = 1~и.
В силу произвольности функционалов ф\ при г = т + 1,и, ] =
2,рг соответствующие им коэффициенты сц оказываются свободными параметрами, а функции £ц(Ь),г = т + 1,и произвольными.
Следствие 1. Если в условиях теоремы 3 свободные параметры с^, г = т + 1,и, ] = 1,рг положить 'равными нулю, а начальные условия йо и функцию /(Ь) выбрать такими, что сц =0, г = 1,т, ] = 1,рг, то обобщенное решение (2.2) окажется классическим (непрерывным).
Теорема 4. Если выполнены условия теоремы 2, то в соответствии с условием (2.4) функция й(Ь) = Е(Ь) * (/(Ь)в(Ь) + МБйоб(Ь)), будет являться обобщенным решением задачи Коши (0.1)-(0.2), если для функции (/(Ь)в(Ь) + МБйоб(Ь)) при V = и +1,т будут выполняться условия
(еХ1АБ+1, ф„) в(Ь) * (МБио,5(Ь) + /¡(г)в(г)) =0,1 = 1,з - д, (2.5)
причем свободных параметров и произвольных функций в обобщенном решении в этом случае нет.
Следствие 2. Если в условиях теоремы 4 начальные условия щ и функцию /(Ь) выбрать такими, что сг^ =0, г = 1, и, ] = 1,рг и выполнено условие (2.5) то обобщенное решение и(Ь) окажется классическим (непрерывным).
1
Замечание 1. Если условие согласования I не выполняется, то порядок сингулярности как матричной фундаментальной оператор-функции, так и обобщенного решения повысится, а величина такого повышения будет определяться структурой корневого подпространства матричного пучка (рМ — Л) и является объектом дальнейших исследований.
Список литературы
1. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений первого порядка в банаховых пространствах // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Труды IX Международной Четаевской конференции, посвященной 105-летию Н.Г.Четаева, Иркутск - оз.Байкал, 12-16 июня 2007г./ — Иркутск, 2007. — С. 138-144.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
3. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Наука, 1988. — 157 с.
4. Фалалеев М.В., Гражданцева Е.Ю. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных и дифференциально-разностных операторов с нетеровым оператором в главной части в банаховых пространствах // Сиб.мат.журн. — 2005. — Т. 46, № 6. — С. 1393-1406.
5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981. — 512 с.
6. Сидоров Н.А., Романова О.А., Благодатская Е.Б. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части // Диф-ференц.уравнения. — 1994. — Т. 30, № 4. — С. 729-731.
O. V. Korobova
The singular systems of differential equations with neter operator by derivative in Banach spaces
Abstract. In this paper using the matrix fundamental operator-function the generalized solution of singular system of differential equations in Banach spaces is described and the connection between generalized and continuous solutions is investigated .
