CC BY
121
70
УДК 517.926
А.В. Махоркин
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОД НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ
Изучаются структура решений и вид некоторых сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые могут быть получены методом нормальных форм.
In this paper are considered the structure and form of singular perturbation differential equation and method of normal forms.
А. Рассмотрим сингулярно возмущенную систему нелинейных дифференциальных уравнений
е" • X = f (е, t, X) , (1)
где п е Ы; X = (х1,...,хп)Т; е — малый параметр; Д(еД,х)=A(е,t)• x+g(е,t,x); А(е, {) — п х п -матрица с элементами — формальными или сходящи-
ад
мися в окрестности нуля степенными рядами А(е, {) = ^ А^ер • ^ ;
р+Ц = 0
ад
Ару — постоянные п х п -матрицы; g(е, t, х) = ^ gk(е, ^ • хк; gk(е, ^ —
1*1=2
формальные или сходящиеся в окрестности нуля векторные степенные ряды; к = (к1,к2,..., кп) — п-вектор с целочисленными неотрицатель-
I! I х—' 1 1 к1 к2 кп
ными компонентами, \к\ = ^ к , х = х1 • х2 •... • хп .
]=1
Заменим неавтономную систему п дифференциальных уравнений (1) расширенной п + 2 -мерной автономной системой дифференциальных уравнений введением новой независимой переменной т:
— = Д(еД)• х + g(е,t,x), — = 0, — = еп . (2)
dт dт dт
Полученную систему (2) запишем в векторной форме:
^ = Ву + У (у), (3)
dт
(А(0,0) 0 О')
0 0 0
ч 0 5 °у
А(0,0) = А00; 5 = 1 при п = 1 и5 = 0 при п> 1; У = (Де,t,х)-А(0,0)х,0,(1 -5)еп)Т. Не умаляя общности, будем полагать, что А(0,0) = |д — нижнетре-
где y = (x1,...,xn,e,t)r; B =
- (n + 2)x(n + 2)-постоянная матрица;
Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 70 — 75.
угольная нормальная жорданова форма, тогда (п + 2) х (п + 2) -матрица В = |в — нижнетреугольная нормальная жорданова форма. Обозначим А1,...,Ап собственные числаА(0,0), тогда X1,...,Ап,0,0— собственные числа матрицы В.
Построим для автономной системы дифференциальных уравнений (3) нормальную форму [1; 2] заменой переменных [1; 3]:
у = z + Ь^), (4)
где 2 = (г1, г2,..., гп, гп+1, гп+2)т; к(г) = (к1 (г), к2 (г),..., Нп (г), Нп+1 (г), Нп+2 (г))Т — формальный векторный степенной ряд без постоянных и линейных членов. Такая замена называется нормализующим преобразованием [2].
Поскольку (4) — нормализующее преобразование, то будем считать равными нулю все резонансные коэффициенты [3] формального векторного степенного ряда к( г). Так как два последних уравнения
системы (3) в нормальной форме, то пусть кп+1(г) = 0, кп+2(г) = 0,
гп+і = £,гп+2 = £.
Обозначим ~ = (г1,г2,...,гп)т и к(є,£,~) = (к1(г),к2(г),...,кп(г))т, тогда нормализующее преобразование (4) примет вид
х = ~ + Ь(єД,г), (4)
где все резонансные коэффициенты к(є, £,~) равны нулю, а нерезонансные — однозначно определены [3; 4].
Резонансные соотношения для системні (3)
(Я, А) = А*, (5)
где ] = 1,2,...,п, ц = (ц1,ц2,...,цп) -п -вектор с неотрицательными целочис-
п
ленными компонентами; (ц, А) = ^цк • Ак. Нормальная форма автоном-
к=1
ной системы (3) имеет вид [4]
йг
— = Вг + Ъ( г), (6)
йт
где Ъ(г) - п + 2 -вектор с компонентами — формальными степенными рядами без постоянных и линейных членов; Ъп+1(г) = 0, Т+2(г) = 0 при п = 1 и Т+2(г) = єп при п > 1; все нерезонансные коэффициенты Ъ 1(г),..., Ъп (г) равны нулю, а резонансные — однозначно определяются.
Сделаем далее ряд предположений.
I. Все собственные числа матрицы А(0,0)-А1, А2,..., Ап — различны.
71
72
II. аеЬ А(0,0) Ф 0, т. е. все числа А1, А2,..., Ап отличны от нуля.
III. Для любых неотрицательных целых ц1,..., цп и любого ] = 1,..., п А - (ц,А) Ф 0, кроме случая ц1 =... = ц;'-1 = Ц+1 =... = цп = 0, ц = 1.
Заметим, что для системы (1) из предположения III следуют предположения I и II. Если считать, что предположение III выполняется, то в нормальной форме (6) Ък(г) = Ск(є,Ь) • ~к, где к = 1,2,...,п,Ск(є, Ь) - формальные степенные ряды без постоянных членов. Это означает, что
нормальная форма (6) — = А(0,0)~ + Т(є,Ь)~, — = 0, — = єп, (7)
йт йт йт
где Z(є,í) = йія^С^єД), ...,Сп(є,Ь)) — диагональная п х п -матрица с ненулевыми элементами — формальными степенными рядами С1(є,Ь), ...,Сп(є,Ь).
Исключая в выражении (7) независимую переменную т, получим неавтономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
єп • ^ = [А(0,0) + 2(єД)]~ (8)
Так как система (8) линейна и при выполнении предположения I матрица А(0,0) + Т(є, Ь) - диагональная, то общее решение системы (8) выглядит следующим образом:
ь
~ = ехр[є-п (А(0,0)Ь + | Т(є, т)йт)] • С, (9)
0
где С = (С1,С2,...,Сп) - постоянный вектор. Так как по предположению А(0,0) = йiag(А1, А2,..., Ап), то общее решение (9) примет форму
2к = ехр[є-п(АкЬ + }ск(є, т)1т)] • Ск (к = 1,2,..., п). (10)
0
Вышеизложенным доказана следующая теорема:
Теорема 1. Если сингулярно возмущенная система нелинейных дифференциальных уравнений
£п • х = /(£(Ь,х) * (11)
удовлетворяет предположению III, то:
1. Существует замена переменных
х = ~ + ~(є, Ь,~), (12)
* Обозначения смотри выше
у которой резонансные коэффициенты Н(е, г,~) равны нулю, а нерезонансные
- однозначно определены, приводя систему нелинейных дифференциальных уравнений (11) к линейной форме:
еп • й~ = А(е, *)2, (13)
йг
где А(е, г) = А(0,0) + Z(е, г).
2. Общее решение системы дифференциальных уравнений (11) представляется формальными экспоненциальными рядами
хк = ~к + ~к (е, г,~), (14)
где к = 1,2,..., п и 2к определяются соотношением (10).
В. Рассмотрим сингулярно возмущенную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
еп • X = А1(е, г)х, (15)
где п е Ы; е — малый параметр; х = (х1,...,хп)Т; А1(е,г) - п х п-матрица с элементами, формальными или сходящимися в окрестности нуля, степенными рядами, т. е. Л1(е,Ь) = ^Л11ке11к, Л11к — постоянные п х п -матрицы.
Заменим линейную неавтономную систему (15) расширенной п + 2 -мерной автономной системой нелинейных дифференциальных уравнений введением новой независимой переменной т:
— = А1(££г)х, — = 0, — = еп. (16)
йт йт йт
Расширенную систему (16) запишем в векторной форме:
йТ = В1У + У1(у), (17)
йт
где у = (х1 ,х2 ,...,хп, е,і); В1 =
(А1(0,0) 0 0
0 0 0
0 5 0
Л
- (п + 2) х (п + 2) -матрица,
5 = 1 при п = 1 и 5 = 0 при п > 1; У1(у) = ([А1(є,і)- А1(0,0)]х,0,(1 -5)єп)т.
Не умаляя общности, можно считать, что матрица А1(0,0) = 7а1 -
нижнетреугольная жорданова нормальная форма, следовательно, и матрица В1 = ]Ві - нижнетреугольная жорданова нормальная форма.
Обозначим А1, А2,..., А" собственные числа матрицы А1(0,0), тогда А1,А2,...,А",0,0 - собственные числа матрицыВ1.
Приведем заменой переменных автономную систему дифферен-
та
74
циальных уравнений к нормальной форме [1; 2]:
у = 2 + Нг(г), (18)
где 2 = (21,22,...,2п,2п+1,2п+2)т; Нг(х) = (Нl1(z),Н2(z),...Н1(z),Н1+1(z),Н1+2(z)/ — векторный формальный степенной ряд без постоянных и линейных членов.
Последние два уравнения автономной системы (17) в нормальной форме, то есть можно считать, что Н'!+1(г) = 0, Н'п+2(г) = 0 и хп+1 = е, хп+2 = ї. Более того, автономная система (16) линейна по х, следовательно,
Н,(г) = (Н\(г), Н21(г),...,Н1(г))т = Щ(е(ї)~,
где ~ = (х1,22,...,хп)т; Щ(е(ї) -п х п -матрица, элементы которой — формальные степенные ряды без постоянных членов.
В этом случае резонансные соотношения имеют вид
Ак =А (к,] = 1,2,...,п). (19)
Пусть предположение I выполняется, тогда у нормальной формы автономной системы дифференциальных уравнений (17)
^ = ( + гг(ее1))х, (20)
ат
где Хг(є,ї) = diag(Zll(є,ї), Ъ\(є,ї),..., Ъп1(є,ї), Ъп*1(є,ї), Тп*2(є,ї)) — диаго-
нальная п х п -матрица с элементами Zik (є, ї) = С^ (є, ї)хк (к = 1,2,..., п),
+1(є,ї) = 0,Zn+2(є,ї) = 0 при п = 1 и Zn+2(є,ї) = єп при п > 1. Здесь Ск (є, ї) - формальные степенные ряды без постоянных членов.
Предположение I означает, что резонансные соотношения (19) выполняются только при к = ] .
Запишем нормальную форму (20) в развернутом виде:
— = А1 (0,0)~ + Z1(є, ї)~,— = 0, — = єп, (21)
ат ат ат
где ’~1 (є,ї) = diag(Zll(є,ї), Z21 (є,ї),..., Zrll (є,ї)).
Исключим в нормальной форме (21) независимую переменную т:
єп • 2 = [А1(0,0) + 21(є,і)]г. (22)
В полученной системе (22) матрица А1 (0,0) + Z1 (є, ї) диагональная в силу предположений I, следовательно, фундаментальная матрица линейной системы дифференциальных уравнений (22) имеет вид
ї ~
Ф(є, ї) = ехр[є-п (А1 (0,0)ї + | ¿~1 (є, т)ат)], (23)
0
так как А1(0,0) = diag(}},А2,...,Ап), то матрицу (23) можно записать как
ї ~
Ф(є, ї) = ехр[є-п (diйg(А1ї, А2ї,..., Апї) +1 ¿~1(є, т)ат)]. (23')
0
Это позволяет получить фундаментальную матрицу сингулярно возмущенной линейной системы (15) из нормальной формы (18):
Ф(є, Ь) = Ф(є, Ь) + Н(є, Ь)Ф(є, Ь), (24)
или
Ф(є, Ь) = [Еп + Н(є, Ь)]Ф(є, Ь). (24')
Таким образом, доказана теорема.
Теорема 2. Если сингулярно возмущенная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
єп • X = А1(є,Ь)х (25)
удовлетворяет предположению I, то:
1. Существует линейная замена переменных х = ~ + Щ(є, ї)~, приводящая систему (25) к линейной системе дифференциальных уравнений єп • ~ = А1(є,ї)~, где А1(є,ї) = А1(0,0) + Z1(є,ї)- диагональная пх п-матрица (обозначения смотри выше).
2. Фундаментальная матрица сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений (25) представляется формальными экспоненциальными рядами (23; 24).
Заключение. Если предположение I не выполняется, то сингулярно возмущенная система дифференциальных уравнений (25) линейной заменой переменных приводится к блочно-диагональной линейной системе дифференциальных уравнений, размер блоков которой кратен соответствующим собственным числам матрицы А1(0,0).
75
Список литературы
1. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979 .
2. Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах / УМН. 1972. Т. 27. Вып. 5. С. 119-184.
3. Bibikov Yu.N. Local theory of nonlinear analytic ordinary differential equations. Springer-Verlag, 1979.
4. Ван Д., Ли Ч., Чоу Ш.-Н. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. М., 2005.
Об авторе
А.В. Махоркин — канд. физ.-мат. наук, доц. РГУ им. И. Канта.
