CC BY
38
о
CD
О <
М. О. Луцет M. o. Lutset
Синергетический подход к моделированию инвестиционного
процесса*
Synergetic Approach to Modeling of Investment Process
Луцет Марк Ошерович Lutset Mark osherovich
Институт теплофизики Сибирского отделения РАН Institute of Thermophysics of the Siberian Branch
(Новосибирск, Санкт-Петербург) of the Russian Academy of Science (Novosibirsk,
Главный научный сотрудник Saint-Petersburg)
Доктор физико-математических наук Chief researcher
[email protected] Doctor of Science (physics and mathematics)
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
инвестиции, предприятие, скорость преобразования предприятия, динамика процесса инвестиций
KEY WORDS
the investments, enterprise, speed of transformation of the enterprise, dynamics of process of the investments
РЕФЕРАТ
В статье рассматривается моделирование динамики инвестиций в развитие предприятия. Выводится дифференциальное управляющее уравнение, в которое входят параметры рынка, требования инвестора и характеристики предприятия. Решение уравнения позволяет оценить скорость перехода предприятия в новое состояние, возможность этого перехода и оптимизировать его затраты.
ABSTRACT
In the article modeling of dynamics of investments into enterprise development is considered. The differential operating equation which includes parameters of the market, requirements of the investor and the enterprise characteristic is removed. The solution of the equation allows to estimate the speed of transition of the enterprise at a new condition, possibility of this transition and to optimize its expenses.
В большинстве современных моделей экономических процессов используются многомерные системы алгебраических уравнений [7]. В то же время математикам известно, что одно дифференциальное уравнение эквивалентно бесконечной системе алгебраических уравнений и дифференциальный анализ является мощным инструментом исследования процессов. Опыт использования дифференциального анализа в физике и астрономии успешно используется в химии и биологии [1].
Появилась новая наука — синергетика (совокупное действие), предметом исследования которой являются открытые неравновесные самоорганизующиеся системы. В частности, автоволновые процессы в физике, астрономии, химии и биологии изучаются на основе общей математической модели, содержащей дифференциальное уравнение материального баланса и условия взаимосвязи параметров баланса. Успех в изучении одного процесса дает возможность получить информацию
* Статья подготовлена по результатам работы Зимней школы Президентской академии.
о развитии других и ввести единую классификацию процессов [1; 9; 10].
Волнообразное поведение современной рыночной экономики хорошо известно. Самоорганизация экономики на основе баланса спроса и предложения лежит в основе рыночных отношений. Поэтому естественной выглядит попытка использовать развитый инструментарий автоволновых процессов для изучения изменений экономических процессов во времени [2]. Китайский ученый В.-Б. Занг, работая в шведском Институте перспективных исследований, применил методы синергетики для изучения простейших моделей экономики, и результаты опубликовал в книге [Там же].
В ней рассматриваются нелинейные неустойчивые экономические процессы, такие как регулярные и нерегулярные колебания. Проблемы, относящиеся к эволюции и переменам в экономических системах. С точки зрения синергетиче-ской экономики, устойчивых экономических систем не существует. Внешние и внутренние силы постоянно трансформируют систему. При критических значениях параметров могут возникнуть изменения структуры или хаос. В этих случаях отводится большая роль государству в качестве стабилизатора [Там же].
Введем ряд новых понятий, позволяющих в расширенном пространстве параметров тем же инструментарием провести анализ инвестиционного процесса, одного из основных источников развития современной рыночной экономики.
В основе оценки любого инвестиционного проекта лежит соотнесение инвестиционных затрат и результатов его осуществления. Поэтому будем рассматривать развитие инвестиционного процесса во времени на плоскости, где абсцисса (х) является финансовой осью, на которой суммируются все потраченные на инвестиционный проект средства, а по оси ординат, которую обозначим через Q, изменяются результаты инвестиционного проекта, выраженные через объем производства товаров или услуг (ОПТ), отнесенных
к объему инвестиций. Q может быть 2 выражено либо в натуральном, либо в | денежном эквиваленте с учетом дис- о контирования. о
Далее введем текущие характеристи- го ки производственного процесса. Пусть х Т обозначает производственные затра- н ты (трудозатраты, на энергию, матери- < алы и пр.), отнесенные к ценовому эк- т виваленту ОПТ для учета затрат на повышение потребительских свойств.
Введем понятие плотности потока ОПТ q за единицу времени. Ограничим для рассмотрения класс инвестиционных процессов, в которых изменение q обусловлено изменением Т, возникающим только за счет инвестиций. Иначе говоря, без изменения производственных затрат не возникает потока ОПТ.
Производственные затраты слабо изменяются в инвестиционном процессе (возврат вложенных средств обычно ожидается несколько лет). Пользуясь малостью дТ/дх, для фиксированного значения х можно q разложить в ряд по дТ/дх и, ограничившись первым членом, получить
Q = -ХдТ/дх. (1)
Коэффициент X при выборе знака минус будет положительным, так как положительный поток ОПТ в рентабельном процессе направлен в сторону уменьшения Т. По аналогии с процессом теплопроводности [4], X назовем коэффициентом инвестиционной проводимости. Он зависит от х и характеризует качественную сторону производства.
Аналогично поступим с величиной Q. ОПТ отсутствует при отсутствии затрат на производство, поэтому, пользуясь малостью доли производственных затрат в цене ОПТ, разложим Q в ряд по Т и, ограничившись первым членом для фиксированного х, имеем
Q = СТ. (2)
По аналогии с теплоемкостью [6], коэффициент С назовем инвестиционной емкостью производства. Он зависит от х и вместе с X характеризует качественную сторону производства. Для роста Q
Рис. 1. Эскиз поведения Р и
с ростом х необходимо преобладающее возрастание С над уменьшением Т.
Уравнения (1), (2) дают основные соотношения между параметрами инвестиционного процесса. Чтобы получить управляющее уравнение, составим уравнение баланса между введенными переменными. В балансе должны присутствовать два условия внешнего воздействия. Первое — требование инвестора к ОПТ, основанное на маркетинге, емкости рынка и на возврате вложенных средств с предполагаемой прибылью. Обозначим этот требуемый объем произведенной продукции за единицу времени на единицу инвестиций через Р. Второе — выход на рынок ОПТ за единицу времени на единицу инвестиций в процессе выполнения инвестиционного проекта, который обозначим через Р.
Инвестиции в производство обычно направлены на увеличение производительности труда и (или) на расширение производства, что приводит к увеличению . Характеристикой этого увеличения в ходе инвестиционного процесса является величина
а = /Т. (3)
Вообще говоря, а определяется изменением х и Т, причем зависит от времени только через эти величины, являясь консервативной характеристикой производства. Производственные затраты определяются инвестициями, поэтому
можно, выразив в (3) х через Т, считать а = а(Т). По аналогии с теплоотдачей [4], назовем а коэффициентом производственной отдачи или просто коэффициентом отдачи, а — интенсивностью отдачи.
Разделим изменение затрат на три области. Первой — до инвестиций, соответствуют большие значения Т > Т" и малые а, где Т" — наименьшие затраты перед инвестиционным процессом. Второй — после инвестиций, соответствуют малые значения затрат 0 < Т < Т и большие а, где Т — левая граница третьей области Т < Т < Т". В этой области происходит уменьшение затрат и резкое увеличение коэффициента отдачи в результате инвестиционного процесса. На рис. 1 приведен эскиз описанного выше поведения Р'. Для простоты Р принято постоянным. Остальные обозначения поясним позже, а пока вернемся к построению управляющего уравнения.
Управляющее уравнение должно согласовать требования инвестора и возможности производства. Для этого необходимо найти значения параметров производства С, X, а, обеспечивающие необходимый прирост ОПТ на любой стадии инвестиционного процесса. Для этих значений С, X, а прирост ОПТ в момент £ в точке х за время при изменении инвестиции на Дх, который обозначим через ДQДx, должен быть равен требованию инвестора РД£Дх за
вычетом суммы изменения потока ОПТ ДqДt и вышедшего на рынок ОПТ Г'ДМх. Из (2) имеем
ДQ = СДТДх. Из (1 ) получим
(4)
ДqДt = -д(ХдТ/дх)/дхДхДЬ (5)
Из (4), (5) и условия выше описанного баланса ОПТ, устремляя Дх и Дt к нулю, найдем управляющее уравнение
CдT/дt = Г - Г' + д(ХдТ/дх)/дх. (6)
В общем случае С, X, а могут зависеть от затрат Т. Уравнение (6) совпадает с хорошо изученным уравнением теплопроводности [3; 5; 6; 8] с источником f = Г - Г.
Рассмотрим и применим далее результат, полученный школой Колмогорова в 1937 г. [3], много ранее появления термина синергетика, но эффективно используемый в различных современных исследованиях [5, 6].
В [3] рассмотрена задача с начальными данными (задача Коши) для (6) и доказано, что решение уравнения (6) с источником f, удовлетворяющим достаточно слабым условиям,стабилизируется со временем и стремится к непрерывной и гладкой функции типа бегущей волны Т(х, €) = Т(Х = х - VI) с предельными значениями Т(-ж) = Т2, Т(+») = Тх, где = КТ2) = 0 (см. рис. 1).
Таким образом, решение типа бегущей волны является аттрактором в поле направлений уравнения (6), к которому асимптотически притягиваются почти все траектории решений задачи Коши. Как следует из опыта решения уравнения (6) (см.: [3; 5; 6; 8]), период стабилизации оказывается достаточно малым, поэтому, пренебрегая им, можно принять
Т(х, Г) = Т(Х = х - vt),
(7)
где V — скорость бегущей волны, определяемая в ходе решения граничной задачи с условиями
Т(-ж) = Т2, Т(+ж) = Т:, дТ/д£(±»)^0.
Задача эта нелинейная из-за наличия V. Заметим, что известная формула бизнеса — «время — деньги» приобретает в (7) математическую форму. Из (7) и (6) имеем
vcdT/dX + й(ХйТ/йХ)/ ах + Г - Г = 0.
(9)
В общем случае уравнение (9) решается численными методами. Рассмотрим простейший вариант, имеющий аналитическое решение, в котором все коэффициенты, входящие в (9), можно приближенно считать не зависящими от Т, и пренебречь переходной областью, то есть принять Т' = Т". Решение удобнее искать в безразмерном виде. Для этого введем единицы измерений переменных:
х0 =£ 0 = {Уа1 , Ч = С/а1, Vo =>Р>С , fo = а1(Т2 - Т1)
и безразмерные величины:
(10)
0 = (Т - Т1)/(Т2 - Т1), у = Х/Х0,
и = v/Vo, а = аз/а1, (11) V = (Т - Т1ИТ2 - Т1).
Для постоянного Г из условия f = 0 (см. рис. 1) имеем
Г = а1Т1 = а3Т2. (12)
Для постоянных а1 и а3
Г = а1Т при Т < Т, Г' = а3Т при Т > Т.
(13)
Подставляя (10)-(13) в (9) и принимая Т(Х = 0) = Т, получим искомый безразмерный вид уравнения (9):
ё20/ёу2 + иё0/ёу - 0 = 0 при 0 < V (у < 0),
(14)
о <
о <
®(У)
-10
-6 -4 -2 0 2 4
Рис. 2. График решения при а = 0,1, V = 0,6
10
й29/йу2 + ий9/йу + а(1 - 9) = = 0 при 9 > V (у > 0).
(15)
Граничные условия (8) принимают безразмерный вид:
9(-да) = 0, 9(+да) = 1,
(16)
Уравнение (16) вместе с условиями непрерывности 9 и ее производной при у = 0 полностью определяет решение уравнений (14)-(15). Это решение легко получить в виде:
= veky при у < 0.
(17)
где
9 = 1 - (1 - v)emy при у > 0, (18)
к = -и/2 + (и2/4 + 1)1/2 > 0, (19) т = -и/2 - (и2/4 + а)1/2 < 0, (20)
и =
V2 -а(1 -V)2
{(1 — ^[а(1 — V)+V]}
1/2
. (21)
На рис. 2 показан график полученного решения для а = 0,1, V = 0,6.
Таким образом, мы получили решение, которое определяется двумя неотрицательными параметрами — а и V, меньшими единицы.
Скорость распространения инвестиционного процесса изменяется в рассматриваемой модели от -да до принимая нулевое значение, как следует из (21), при
V =
1 + Та)
(22)
Для а = 0,1 Vo = 0,24. Эта точка является параметром бифуркации для системы. Для V < Vo траектория инвестиционного процесса после начального короткого периода вернется в исходную точку, так как скорость будет отрицательна. Для V > Vo переход на новый уровень продолжится со скоростью и.
Характерный график скорости от V приведен на рис. 3. Бесконечные значения скорости при V, равном 0 и 1, связаны с отсутствием переходной зоны, т. е. с предположением равенства Т' = Т" (см. рис. 1). В рассматриваемом случае для Т' Ф Т" = Т2 бесконечное значение предельной скорости определяется именно этой переходной зоной в размерном выражении
Рис. 3. Характерная зависимость скорости от V
для конечной предельной скорости [3; 5]:
^Пр| = (^[а^Т' - Т1)/ (Т" - Т )]1/2.
(23)
Формулу для предельной скорости типа (23) можно найти в случае достаточно произвольной зависимости коэффициентов от Т [3, 5]. Предельная скорость определяется значением производной от f в окрестности точек Т и Т", но на ней мы останавливаться в настоящей работе не будем и займемся далее анализом информации, которую можно получить развитым выше инструментарием.
Во-первых, мы получаем возможность проследить траекторию движения инвестиционного процесса в денежно-временном пространстве и выбрать наиболее приемлемый для инвестора вариант.
Во-вторых, формулы для скоростей процесса дают аналитический инструмент для оптимизации объема инвестиций и времени возврата средств.
В-третьих, получаем оценку требований инвестора. Как видно из рис. 2, завышенные требования возврата средств или ограниченность объема рынка приводят к отрицательным скоростям и «схлопыва-нию» инвестиционного процесса.
ОБОЗНАЧЕНИЯ X — финансовая ось, на которой суммируются все потраченные на инвестиционный проект средства к моменту ^ Q — объем производства товаров или услуг (ОПТ), отнесенных к объему инвестиций;
Т — производственные затраты (трудозатраты, на энергию, ресурсы и пр.), отнесенные к ценовому эквиваленту ОПТ для учета затрат на повышение потребительских свойств; q — плотность потока ОПТ за единицу времени, возникающую за счет изменения инвестиций на единицу; X — коэффициент инвестиционной проводимости; С — коэффициент инвестиционной емкости производства; N — число единиц товаров или услуг в ОПТ;
с — удельная инвестиционная емкость
производства; Г — требуемый объем произведенной продукции за единицу времени на единицу инвестиций; Г — выход ОПТ на рынок за единицу
времени на единицу инвестиций; а — коэффициент производственной отдачи или, просто, коэффициент отдачи;
о <
Т" — наименьшие затраты производства
перед инвестиционным процессом; Т — левая граница третьей области Т < Т < Т", где происходит резкое уменьшение затрат и увеличение коэффициента отдачи в результате инвестиционного процесса; f = Г - Г;
единицы измерений переменных:
Х0 =5 о = ^ , *0 = С/а1
и0 , fo = al(T2 - Ti)
безразмерные величины:
0 = (T - T1)/(T2 - T1),
У = 0' u = v/v0' a = 0,3/0,1, v == (T - Ti)/(T2 - Ti).
Литература
1. Васильев В. А., Романовский Ю. М., Яхно В. Г. Автоволновые процессы / Под ред. Д. С. Чер-навского. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 240 с.
2. Занг В. Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999.
3. Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С. Исследование уравнения диффузии, соединенного с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ, секция А. Т. 1, вып. 6. 1937. С. 1-26.
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VI: Гидродинамика. 3-е изд. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.
5. Луцет М. О. Предельная скорость переключения режимов кипения // Письма в ЖТФ. Т. 24, вып. 9. 1998. С. 21-27.
6. Львовский Ю. М. Предельная скорость распространения тепловой волны по сверхпроводнику с током // ЖТФ. Т. 54, вып. 9. 1984. С. 1663-1670.
7. Справочник директора предприятия / Под ред. М. Г. Лапусты. 5-е изд. М.: ИНФРА-М, 2001. 750 с.
8. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: ГИТТЛ, 1953.
9. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.
10. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.
References
1. Vasilyev V. A., Romanovskiy Yu. M., Yakhno V. G. Autowave processes / Under the editorship of D. S. Chernavsky. M.: Science, 1987 . 240 p.
2. Zang V. B. Synergetic economy. Time and changes in the nonlinear economic theory. M.: World, 1999.
3. Kolmogorov A. N., Petrovsky I. G., Piskunov N. S. Research of the equation of the diffusion connected to increase of quantity of substance, and its application to one biological problem // Bulletin of the Moscow State University, section A. Vol. 1-6. 1937. P. 1-26.
4. Landau L. D., Lifshitz E. M. Theoretical physics. Vol. VI: Hydrodynamics. 3rd ed. M.: Science, 1986.
5. Lutset M. O. Limiting Speed of switching of modes of boiling // Letters in JTP. Vol. 24-9. 1998. P. 21-27.
6. Lvovskiy Yu. M. Limiting speed of distribution of a thermal wave on a superconductor with current // JTP. Vol. 54-9. 1984. P. 1663-1670.
7. Guidance of the director of the enterprise / Under the editorship of M. G. Lapusta. 5th ed. M.: INFRA-M, 2001. 750 p.
8. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Equation of mathematical physics. M.: GITTL, 1953.
9. Haken H. Synergetrics. M.: World, 1980.
10. Haken H. Synergetrics. Hierarchy of not stability in self-organizing systems and devices. M.: World, 1985.
