CC BY
185
«СИНДРОМ» БЕСКОНЕЧНОСТИ
В.Д. ЗАХАРОВ
Кафедра теоретической и прикладной механики Факультет полиграфической техники и технологий Московский государственный университет печати 127550 Москва, Россия ул. Прянишникова, д. 2 а
Показано, что понятие континуума приводит к неразрешимой антиномии. Эта антиномия порождает две разные философии математики: одна основана на потенциальной, а другая - на актуальной бесконечности. Последняя уже реализована в современной математической физике. Общая теория относительности и квантовая механика используют геометрические объекты, лишенные кантианской наглядности (“Anschaulichkeit”) и не-конструируемые в области нашей интуиции.
Со времен древних греков и практически по конец XIX в. математики были в философском смысле реалистами, т. е., во-первых, «были уверены, что они доказывают истины, или истинные утверждения» [Бурбаки, 1965, с. 309], и, во-вторых, были убеждены, что их истины относятся к природе. Однако математика имеет дело с абстракциями, она, по словам Платона, «мыслит не о видимых формах, а об идеалах»; в то же время наука о природе (физика) имеет дело с опытом наших ощущений. Как может осуществляться математический реализм, т. е. как математика может описывать природу?
Идеальные образы, изучаемые математикой, Платон отождествлял со своими эйдосами, которые он рассматривал как высшую, подлинную реальность, оформленную в геометрических телах (Платоновых «многогранниках»). В XIX в. была предпринята другая попытка математической реализации эйдосов: это была символика бесконечностей Г. Кантора. Создатель теории множеств рассматривал свои символы бесконечности как некую трансцендентную реальность, как идеальную субстанцию, называемую актуальной бесконечностью. В философском смысле Кантор рассматривал свою бесконечность как абсолют, реализуемый во внемиро-вом бытии, «in Deo» [Клайн, 1984]. Можно определенно утверждать, что Платон не согласился бы назвать актуальную бесконечность своим эйдо-сом. Для греков «бесконечное» всегда соединялось с хаосом, или мэоном (небытием). «Бесконечное» не могло жить в мире «платоновских чистых» форм. Так Платон и выразился в «Филебе» [Платон, т. 3(1), 1971, с. 19]: беспредельное само по себе немыслимо, значит ему не место в умозрительно понимаемых небесах. Поскольку теория множеств привела Кантора к неразрешимым антиномиям, принято считать, что ему не удалось
реализовать свою «актуальную бесконечность» как некую абсолютную идею. На этом основании некоторые математики [Зенкин, 2000] склонны вообще отрицать научную ценность работ Кантора. Мне этот вопрос представляется спорным. Я хочу отстоять иную точку зрения. Моя цель, в частности, — показать, что, несмотря на антиномии, Кантору удалось достичь цели — найти для своей бесконечности место «в небесах», только с одной поправкой: «небеса» стали иными, не платоновскими, и это, конечно, неизбежно. Кантор вводит новое, более общее понятие числа по сравнению с пифагорейцами (сохраняя за ним, однако, пифагорейский статус сущности); он открывает новые и, видимо, им самим не вполне понятые «небеса».
Аристотель, как и Платон, отверг понятие актуальной бесконечности, заявив, что ее нет в действительности, а следовательно, не должно быть и в мыслях. Свою бесконечность он представлял как потенциальную, рождающую множества только конечные, путем прибавления к данному множеству дополнительного элемента. В возможности материя бесконечно делима (т. е. делима потенциально), в действительности же никакой бесконечной разделенности материи не существует. Такое понимание бесконечности, как бесконечной потенциальной делимости, понадобилось Аристотелю, чтобы сформулировать фундаментальный принцип непрерывности, или принцип континуума, с помощью которого он решал проблему движения [Аристотель, т. 3,1981].
Про такую интерпретацию бесконечности Лейбниц заметил [Лейбниц, т. 3, 1984, с. 246], что Аристотель не развязал узел, связанный с проблемой континуума, а скрыл его (и, как я постараюсь доказать, не разрешил апории движения Зенона, а ушел от их загадки). Рассматривая бесконечное только как материю, Аристотель скрыл бесконечность в понятии возможного, лишил ее статуса действительного. Определяя пространство через материю (как место, занимаемое вещами), Аристотель спрятал в понятии возможного также и пространство. Пифагорейцы, как известно, не прятали пространство, а определяли его чисто умозрительно — через число.
Если Аристотель прячет проблему бесконечности в области возможного, то И. Кант спрятал ее в своем феноменализме. По Канту, деление явлений на части происходит лишь в наших мыслях, это деление воображаемое, а не действительное, потому что «частей явления столько, сколько их будет дано нами, пока мы будем в состоянии продолжать деление» [Кант, т.6, 1966, с. 103]. «Иначе говоря, — комментирует П.П. Гайденко,
— если материя не есть вещь в себе, то нет надобности допускать актуальной бесконечности (частей) для обоснования потенциальной бесконечности процесса деления» [Гайденко, 1991, с. 182]. А если отбросить феноменологию и принять метафизику вещей в себе? По Канту (не отри-
давшему существования ноуменов), вещи в себе — это внеприродные сущности, существующие вне времени и пространства, не подчиняющиеся также естественной причинности. Как реализовать континуум в области вещей в себе, если пространство и время утрачивают в ней реальность?
Многие математики, относящие себя к реалистам, рассматривали абстрактные математические образы, возникающие в их голове, совершенно в духе Платона, т. е. признавали их самостоятельное бытие как таковых, вне связи с видимыми вещами, от которых они могли бы быть абстрагированы. В пику аристотелевому объяснению происхождения общих понятий (как результата абстрагирования от вещей видимого мира), математические понятия создавались математиками прежде, чем для них находился какой-либо их аналог в мире явлений, изучаемых физикой. Однако в природе всегда находились эти аналоги, что было похоже на чудо. Так, знаменитый физик Е. Вигнер [Вигнер, 1971], назвал чудом сам факт существования законов природы, которые формулируются в математических понятиях. Он удивлялся «непостижимой», на его взгляд, эффективности математики в естественных науках, когда математические понятия, созданные отнюдь не для физических приложений, находили свое применение к объяснению явлений природы.
Если, таким образом, природа непричастна к возникновению математических понятий, то непонятно, откуда они происходят. Свой ответ на этот вопрос дал выдающийся математик XX века Чжень Шеншень, введший такое в высшей степени абстрактное математическое понятие, как связность на расслоенных пространствах. Когда ему сообщили, что эта абстракция нашла применение в физике, он выразился так: «Но ведь никак нельзя сказать, что это мы, математики выдумали связности на расслоениях, — ясно, что они существовали и до нас» [Клайн, 1984, с. 408]. Суть этого ответа, очевидно, в том, что общие понятия не происходят: они существовали всегда — так и ответил бы Платон. Но остается еще один вопрос: почему для математических понятий непременно находятся аналоги в природном мире? В этом последнем вопросе выражен так называемый «пифагорейский синдром», против которого борются столь многие философы [Аронов, 1996]. «Синдром» состоит в отождествлении возникающих в нашей голове математических образов с реально существующими и от нас не зависящими вещами — правомерно ли такое отождествление и почему оно делается?
Пространство, которое, наряду с числом, лежит в основе платоновского идеального Космоса, — это особое, метафизически понимаемое геометрическое пространство. Платон впервые в античной науке вводит это понятие, четко отделяя его от физического пространства чувственного мира вещей [Гайденко, 2000]. Трудность понимания учения Платона о пространстве обусловлена тем, что пространство («хорэ») имеет у него
иной онтологический статус, нежели число. Оно не относится ни к миру вечных идей, ни к чувственному миру вещей [Платон, т. 3(1), 1971], но выступает как нечто третье, промежуточное между миром эйдосов и миром вещей. Оно является некоей «материей», но не чувственно явленной, а «интеллигибельной материей» (по позднейшему определению Прокла). Пространство — нечто мэональное, существующее лишь по причастности к эйдосу. В противоположность будущей философии Канта, у Платона геометрия не выходит из области метафизики. Умозаключения, опирающиеся на чувственное созерцание, Платон называет «незаконными умозаключениями», и в этом он расходится со всем дальнейшим развитием математики, как античной (Евклид, широко применявший именно построения), так и послеантичной, вплоть до математики XX века, когда положение резко изменилось. Именно теперь геометрия окончательно ушла от наглядности, «воззрительности» (кантианского Anschaulichkeit), резко повернув от аристотелевского физического пространства к платоновскому геометрическому пространству. Современная геометрия не ориентирована на образы созерцаний, хотя бы существующие только в нашем воображении. Образы созерцания — «подобия» геометрических объектов — все более уподобляются теням, отбрасываемым этими объектами на стены платоновской Пещеры. «Тени» — наблюдаемые вещные тела — давно перестали быть точными копиями оригиналов. Про современную математическую физику Эйнштейн сказал: «Если теоремы математики прилагаются к отражению реального мира, то они не точны; они точны до тех пор, пока они не ссылаются на действительность» [Эйнштейн, т. 2, 1966, с. 83]. Опытно данная «действительность» все более удаляется от точных копий оригиналов, изучаемых математикой. Эти «точные копии оригиналов» порождают математические модели, применение которых к опытно данной действительности приводит к антиномиям.
Какой же ответ на вечные философские вопросы о конечности и бесконечности мира дают современные математические модели Вселенной, построенные на основе теории гравитации А. Эйнштейна? В этой теории объем Вселенной — трехмерное понятие, трехмерное же пространство не абсолютно, и его объем не обязан быть инвариантом произвольных преобразований систем отсчета. Выяснилось [Захаров, 2003, с. 236], что, вследствие относительности пространственных расстояний, сам факт конечности или бесконечности трехмерного объема космологической модели Фридмана зависит от выбора системы отсчета: бесконечная Вселенная может вместиться в конечный объем, стоит только перейти в другую систему отсчета. Это стало научным подтверждением антиномии Канта о конечности и бесконечности мира. Как только Кант применил свою методологию к познанию мира всего возможного опыта, т. е. захотел испытать
бесконечное в мире чувственного опыта, он пришел к неразрешимой антиномии: мир и конечен, и бесконечен как в пространстве, так и во времени.
Целесообразно сравнить две первые антиномии Канта с двумя другими. Третья и четвертая антиномии разрешимы, поскольку их тезис и антитезис относятся к различным объектам: к миру природы и к миру свободы, между которыми Кант полагает непроходимую границу. Напротив, первая и вторая антиномии относятся к одному и тому же предмету: это мир как целое, и оказалось, что этот предмет можно мыслить и конечным, и бесконечным. Обе первые антиномии Канта неразрешимы, потому что один и тот же предмет, к которому они относятся, является самопротиво-речивым.
Как вообще говорить о бытии-в-мире общих понятий? Это, как видим, есть вопрос «пифагорейского синдрома»: можно ли отождествлять абстрактные понятия с реально существующими вещами в мире? Можно или нельзя разрешить «синдром» — зависело от того, как решался вопрос о существовании. Что такое означает существование в математике? В отношении пространства и времени проблема формулировалась так: если признать пространство и время актуально существующими, то каким образом они даны актуально? Из чего они сложены и как можно их «построить»?
Для древних греков, с их идеей конечного Космоса, устроенного по математическому плану, вопрос о существовании математических объектов решался с помощью их фактического построения за конечное число шагов. То, чего нельзя построить, не существует. Можно «построить» пространство или нет — это вопрос о составленности пространства из частей: составлено ли оно из неделимых элементов или бесконечно делимо? Аналогично ставился вопрос и о времени. Это — вопросы о непрерывности или дискретности пространства и времени. Неизбежно ли пространство (как и время) есть континуум?
Мы знаем, что древнегреческие философские школы решали этот вопрос по-разному. Для пифагорейцев мир, а также вмещающее его пространство состоят из неделимых элементов — «точек». Противоположный тезис защищали элеаты (Парменид), отрицавшие онтологический статус множественности. Для них мир, как сущее, — одно, не составленное из частей и потому существующее вне пространства. Оно неизменно и потому существует вне времени.
Позиция пифагорейцев казалась выигрышной: они нашли фактический способ построения пространства и мира — с помощью чисел и числовых отношений. Но вскоре выяснилось, что «число» пифагорейцев не всемогуще и не может полностью описывать пространство. Оказалось, что отношение диагонали квадрата к его стороне не может быть выражено пи-
фагорейским (т.е. рациональным) числом — таким, которое можно было фактически построить. Открытие самими пифагорейцами несоизмеримости подрывало их метафизику пространства, что дало повод элеатам (в особенности Зенону) подвергнуть суровой критике сами идеи пространства и времени, вплоть до полного их отрицания. Тогда возникал вопрос о реализации континуума, о бытии актуальной бесконечности.
Из апорий Зенона хрестоматийным образом делают вывод: если пространство мыслить как нечто актуально данное (заполняемое бесконечностью его точек), то оно противоречиво для разума: оно и бесконечно велико, и бесконечно мало. Этим отрицательным результатом воспользовался Аристотель, который в своей метафизике движения устранит актуальную бесконечность и заменит ее потенциальной бесконечностью. Я постараюсь показать, что этот вывод не обязателен: можно сделать вывод противоположный.
Принято считать [Гайденко, 1991, с. 182], что Аристотель своим представлением непрерывности как бесконечной потенциальной делимости разрешил апории движения Зенона. В качестве аргумента приводится следующее: в апории «Ахиллес» Зенон не учитывал, что время, в течение которого Ахиллес пробегает данный отрезок пути, также непрерывно, т. е. делимо до бесконечности. Если же учесть, что непрерывности пути соответствует непрерывность времени, то парадокс снимается. «Поэтому ошибочно, — пишет Аристотель, — рассуждение Зенона, что невозможно пройти бесконечное, т. е. коснуться бесконечного множества отдельных частей в ограниченное время» [Аристотель, т. 3,1981].
Мне кажется, здесь ошибочно не рассуждение Зенона, а рассуждение Аристотеля. С. Трубецкой [Трубецкой, 1910, с. 270] замечает: все то, что говорит Зенон о пространстве, справедливо в равной степени и относительно времени; и сам Зенон имеет в виду параллелизм времени и пространства в своих апориях движения. Движение столь же мало наполняет время, как вещество — пространство. Промежуток времени столь же противоречив, как и промежуток пространства: он одновременно и состоит из неделимых «точек» (моментов), и делим до бесконечности - он и бесконечно велик, и бесконечно мал. Движение тоже лишь ложным образом занимает время, не заполняя его, и поэтому остается опять-таки непонятным, как движение может совершиться или закончиться в определенный промежуток времени. Если мы не прячем, подобно Аристотелю, метафизические понятия «время» и «пространство» в самой природе (материи), а даем им возможность существовать самостоятельно, то нас постигает то, что и открыл Зенон, - противоречие.
Историк греческой философии Т. Гомперц [Гомперц, т. 1, 1911, с. 173], отстаивая точку зрения Аристотеля, утверждает, что зеноновы апории «Дихотомия» и «Ахиллес» разоблачают не ложность понятия движения, а
ложность понятия бесконечности, как существующей актуально. Однако ложность понятия бесконечности обнаруживается лишь только тогда, когда мы начинаем прилагать его к миру вещей — к описанию движения тел. Цель же Зенона была — разоблачить не ложь понятий, а ложь действительности. «Отец диалектики» вскрывал, что понятия могут жить самостоятельно, отдельно от вещей и представлений, и что они могут, в своей отвлеченности, противоречить вещам. Поэтому абстрактное понятие актуальной бесконечности, как таковое, в своем отвлечении, нисколько не является ложным, пока оно не прилагается к миру явлений. А если мы начинаем применять его к действительности, получаются апории, т. е. антиномии, которые, однако, не отрицают существование актуальной бесконечности.
Мы покажем это с помощью следующего рассуждения, которое мы проведем, пользуясь разработанной О. Коши теорией пределов. Апория «Дихотомия» Зенона утверждает, что исчерпать отрезок длины 1 путем его бесконечного деления невозможно. В математическом выражении это означает, что формула
00
Е 1/2 к = 1 (1)
к=1
не верна. И это действительно так, если знак оо в этой формуле означает потенциальную бесконечность (как его и понимал сам Коши) [Катасонов, 1999]. Потенциальность означает, что мы можем брать число п хоть и как угодно большим, но конечным! И тогда сумма этого конечного числа конечных величин
п
Бп - 2 1/2 к к=1
всегда оказывается конечной и притом меньшей числа 1: 8П = 1 - 1/2п. Сколько бы раз мы ни делили отрезок, эта сумма никогда не станет равной 1, и Зенон был прав, утверждая, что исчерпать таким образом отрезок невозможно. Теперь представим, что знак оо в формуле (1) означает бесконечность актуальную. Тут мы имеем сразу бесконечное множество конечных величин вида 1/2к, дающих в сумме конечное число, и конечный отрезок полностью исчерпывается. Тогда, и только тогда формула (1) имеет смысл, состоящий в том, что ряд (1) сходится, и его сумма равна 1. Антиномия возникает потому лишь, что отрезок считается потенциально, а не актуально делимым до бесконечности.
Аналогичное математическое рассуждение можно было бы провести по поводу апории «Ахиллес». Теперь можно утверждать, что апории Зенона — это неразрешимые антиномии, являющиеся греческим провозвестием первых двух антиномий Канта. Можно принять и их тезис, и их ан-
титезис, так же как можно принять Вселенную конечной или бесконечной
— это утверждают и «положительные науки». Зенон заключал из своих антиномий об отсутствии времени и пространства, стало быть, и об отсутствии движения. Аристотель же объяснил движение в обход апорий Зенона. Он не опроверг метафизику элеатов, а создал свою собственную.
Метафизику элеатов, как, впрочем, и метафизику пифагорейцев, можно отвергнуть, но нельзя опровергнуть. И та, и другая метафизики утверждают лишь тезис либо антитезис некоей неразрешимой антиномии, связанной с понятиями «непрерывность» и «дискретность». Но разум одинаково может мыслить и пространство, состоящее из неделимых элементов, и пространство бесконечно делимое. Это и иллюстрирует в чистом виде вторая антиномия Канта. Ее тезис — это основное положение пифагорейцев: всякая сложная субстанция в мире состоит из простых частей — неделимых монад. Ее антитезис есть основное положение элеатов: в мире нет ничего простого (неделимого), хотя, правда, они к этому прибавили бы еще, что в мире нет и ничего сложного, ибо в мире вообще нет множественности.
Итак, можно и утверждать реальное бытие актуальной бесконечности, и отрицать его. Это будут две разные метафизики, на каждой из которых можно строить математику, так что оказывались возможными разные пути развития математики. И великий вопрос, который до сих пор стоит перед математикой, заключается именно в этом: на чем лучше строить математику — на утверждении или на отрицании актуальной бесконечности? И чем следует руководствоваться при решении этого вопроса? Чтобы ответить на эти вопросы, посмотрим, к чему пришла математика на том пути, на который она встала вместе с Г. Кантором. Этот путь самым крупным математикам, вроде Д. Гильберта и Г. Вейля, показался райским. Все знают слова Д. Гильберта: «никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». Однако в 1897 году прозвучал первый тревожный звонок: не пора ли спуститься с небес на землю? И даже более того: не пора ли вообще забыть о небесах? Уже первые обнаруженные антиномии теории множеств, например, знаменитая антиномия Б. Рассела, показывали, что некоторые множества нельзя признать существующими.
Математика до Кантора строилась на основе формальной логики Аристотеля, поэтому многие философски мыслящие математики, такие как Лейбниц или Пуанкаре, могли считать, что математический объект существует, если определение этого объекта не содержит противоречия ни в самом себе, ни в принятых допущениях. Такое определение удовлетворило далеко не всех математиков, и меньше всего Г. Кантора: из него не следовало, что так определенный объект обладает какой-либо реальностью. Большинство математиков, следуя традиции греков, соглашались
признать существующим лишь то, что соответствовало реально «сущим», зримым, земным объектам (как, например, натуральные числа). Кроме того, многие из математиков были по философским убеждениям кантианцами и понимали математику как конструирование идеальных объектов в нашем чистом созерцании. Как известно, этим характерным принципом Кант отделял математику от метафизики: объекты, не конструируемые в области созерцаний, относились им не к математике, а к метафизике.
Можно ли «сконструировать» бесконечное множество? О множествах счетной мощности, имеющих кардинальное число такое же, как натуральный ряд, речь не шла: их можно было «построить» путем пересчета с помощью чисел натурального ряда. Но каким образом построить множество, которое нельзя пересчитать, а именно континуум? (Г. Кантор сам доказал знаменитую теорему о несчетности континуума).
Тысячелетия континуум рассматривался как нечто априори данное, ни на что не разложимое - со времен Аристотеля это свойство называлось «непрерывностью множества точек числовой прямой». Тем самым по-стулативно принималось, что континуум ни из чего не может быть построен. Для греков же это означало, что он не существует, и, таким образом, все эти тысячелетия вопрос о природе континуума висел в воздухе. Г. Кантор пошел против тысячелетней традиции. Он вернулся к пифагорейской задаче: захотел сложить континуум из более элементарных множеств, допускавших конструктивное определение в форме реального построения.
Континуум нельзя пересчитать, но тогда нельзя ли его, по крайней мере, вполне упорядочить, подобно натуральному ряду? В таком случае его можно было сконструировать, как множество всех упорядочений счетного множества. Другой проблемой было — доказать континуум-гипотезу, утверждающую, что не существует множества, для которого кардинальное число (мощность) было бы промежуточным между кардинальными числами множества натуральных чисел и континуума. Доказательство этой гипотезы пролило бы свет на устройство континуума. Обе задачи были направлены на одно: познать континуум.
Уже из самой постановки задачи можно было предвидеть, что столкнутся лбами две философии математики, выражающие два различных взгляда на познание. Для первой (кантианской) философии «познать» — значит построить, сконструировать в области наших созерцаний. Другая философия — та, которой раньше не было, которую не допускал и сам Кантор. Для нее слово «познать» вовсе не было тождественно словам «построить», «сконструировать». Она допускала познаваемость математических объектов, в принципе не конструируемых в созерцаниях — непознаваемых с точки зрения кантианской философии. Эта философия стирала кантианскую демаркационную линию между математикой и ме-
тафизикой. Иными словами, она допускала существование математических объектов как ноуменов, доступных только дискурсивному мышлению, исключающему всякую их наглядность. Повторяю: Кантор не хотел и даже не допускал такой философии математики, которая уводила континуум в область потустороннего. Когда он ставил перед собой задачу построения континуума, он хотел свести континуум с небес на землю, показать его реальность в наших земных представлениях, но вовсе не собирался разрушать перегородку между небом и землей, стирать кантианскую демаркационную линию.
Параллельно с Г. Кантором аналогичную задачу решал Ю. Дедекинд, который впервые сумел дать определение иррационального числа (в сущности, континуума), как актуально сущего, вне всякой связи с их геометрической наглядностью, путем разбиения всех рациональных чисел на непересекающиеся классы, такие, что любое число первого класса меньше любого числа второго класса. При этом, если оказывается, что в первом классе отсутствует наибольшее рациональное число, а во втором — наименьшее, тогда по Дедекинду, сечение (т. е. разбиение) всех рациональных чисел на два класса определяет нечто, что мы называем иррациональным числом. Удалось ли Дедекинду «сконструировать» иррациональные числа из рациональных? Данное им определение — чисто негативное («апофатическое»): оно лишь говорит, чем иррациональное число не является, но не дает нам никакого представления, что такое оно есть, и, тем более, не дает никакого способа его построения. Как заметил А. Пуанкаре, «Дедекинд под именем несоизмеримого числа разумеет простой символ, т. е. нечто, совершенно отличное от представления, которое создают себе обыкновенно относительно величины, считая ее измеряемой, почти осязаемой» [Пуанкаре, 1983, с. 23]. Иными словами, иррациональные числа не имеют интуитивного смысла: их не удается вывести из сферы метафизики, свести с неба на землю.
По поводу «неудачи» Дедекинда вспоминается история безуспешных попыток доказательства V постулата Евклида. Она закончилась с доказательством того, что доказать его невозможно, потому что сам постулат от остальных аксиом не зависит. Факт этой независимости означал, что V постулат Евклида есть антиномия: он не уживается с законом противоречия логики Аристотеля. Его можно считать и истинным, и ложным, ибо, как потом выяснилось, геометрию можно строить как на утверждении этого постулата, так и на его отрицании, причем ни одна из двух взаимоисключающих геометрий не имеет логического преимущества перед другой. А когда встал вопрос, какая геометрия описывает внешний мир, он тотчас был решен А. Пуанкаре: любая. Мир может быть описан любой геометрией, и наш выбор геометрии зависит от нашей физики. Физика выбирает ту геометрию, которая ей удобнее для описания мира.
Кантор не смог вывести ни одно из двух утверждений — ни существование вполне упорядоченных множеств, ни континуум-гипотезу - из аксиоматики теории множеств, построенной его учеником Цермело, потому что это невозможно-, оба эти утверждения от аксиом Цермело не зависят. Независимость первого из них была доказана К. Геделем (1940 г.), второго — П. Коэном (1963 г.). Факт этой независимости тоже означал, что можно строить математику как на утверждении аксиомы выбора (эквивалентной, как показал Цермело, гипотезе о полной упорядоченности множеств), так и на ее отрицании,— математику нецермеловского типа. С другой стороны, можно строить математику и на утверждении континуум— гипотезы (как ее и мечтал строить Кантор — это была бы «земная», канторовская математика), и на ее отрицании. И это последнее открывало возможность иной, неканторовской математики, объекты которой нельзя конструировать, потому что они не феномены, а ноумены. В ней континуум есть метафизическое, неконструируемое понятие.
Оказалось, что подступиться к континууму просто так нельзя: он не позволяет свести себя на землю. Он предпочитает оставаться неразрешимой тайной. Об этом свидетельствует тщета бесчисленных попыток крупнейших математиков разрешить загадку континуума, «уничтожив» в его описании актуальную бесконечность. Все их усилия кончались крахом: актуальная бесконечность не хочет покидать континуум. Не меньшее разочарование испытывали и физики, видя, до какой степени затруднительно обосновать непрерывность в описании природы. Так, один из создателей квантовой механики Э. Шредингер, по его словам, испытал потрясение, узнав про канторово «совершенное множество». Оказалось, что континуум точек, заключенных в интервале (0; 1), — это «непрерывность» сплошь дырявая: из этого множества можно выбросить сколь угодно много элементов — и останется множество той же мощности, что и исходное, хотя «его мера равна нулю». Континуум как бы говорит нам, что он — ноумен: или берите меня всего целиком, или целиком отвергайте. Если мы его примем (естественно, как ноумен, т. е. как актуально данную бесконечность), то математика станет иной — нам придется принять совсем новую, некантианскую философию математики: придется забыть про ту демаркационную линию, которой прежде математика отделялась от метафизики.
Удивительно, что именно неудача Кантора, проистекшая из несбыточности его мечты, явилась, на мой взгляд, его величайшим посмертным триумфом. Ибо утверждение «континуум построить нельзя» означало лишь: его нельзя построить из конечных неделимых элементов — феноменов. Однако теперь выяснилась, наконец, его природа — чисто ноуменальная: он состоит из канторовских метафизических чисел-сущностей.
Установление этого факта открыло путь к новой философии математики. На этот путь одинаково побоялись встать и математики, и физики.
После кризиса в математике, вызванного антиномиями теории множеств, подавляющее большинство математиков (школы логицистов, ин-туиционистов, формалистов и др.) отвергло идею актуальной бесконечности. Им казалось, что цель оправдывает средства: метафизика изгонялась из математики. Однако средства были убийственными для самой классической математики: без идеи актуальной бесконечности огромное количество истинных формул математики оказались не выводимыми аксиоматически, многие известные теоремы оказались теперь недоказанными, да и само понятие «доказательство» теряло строгий смысл [Захаров, 2000]. Боязнь метафизики перевесила все, затмила даже боязнь пифагорейского синдрома, привела к отказу от поисков истины в математике. Греческое наследие (платонизм) было в испуге оставлено. Математика предпочла пойти по кантианскому пути, оставшись при одной феноменологии, при «образах» созерцаний. Феноменологическая философия торжествует в математике до сих пор.
Лишь А.Ф. Лосев - из всех философов математики - оказался верен идее актуальной бесконечности, «той бесконечности, которая свою идею содержит сама в себе, а не вне себя... Ясно, что только в актуальном виде бесконечность стала для нас чем-то определенным, стала, скажем, идеальным предметом, в то время как потенциальная бесконечность имела свою определенность вне себя, поскольку она никогда не могла достигнуть своего предела... Мы хотим, чтобы континуум стал для нас самостоятельным предметом, так, чтобы за его сущностью нужно было идти не к чему-то другому, а к нему же самому... А это значит, что континуум должен предстать перед нами не просто как бесконечность, но именно как актуальная бесконечность или как число трансфинитное» [Лосев, 1997, с. 366] При этом Лосев понимает континуум диалектически, не как нечто раз и навсегда ставшее, а в плане становления — «алогического становления, данного как актуальная бесконечность» [там же, с. 366].
Лосев в сущности оправдывает пифагорейско-платоновскую традицию, в которой число есть посредник между становящимся и ставшим -космическая причина, формирующая и движущая мир. В этой греческой традиции числа выступают в роли сущностей, эйдосов. Не только Пифагор, но и Платон не могли отрешиться от представления о том, что сущность проявляется лишь в конечной форме. Однако, если бы пифагорейцы приняли бесконечности так же, как они принимали свои числа, т.е. как актуальные сущности, отождествляемые с вещами, то их метафизика легко пережила бы открытие несоизмеримости. Всякая несоизмеримость исчезает, если допустить актуальную бесконечность сравнений, т. е. принять трансфинит за новое число. Таким образом, с помощью трансфини-
тов Кантор решил задачу, перед которой остановились пифагорейцы. Поэтому можно считать, что в чисто философском смысле, даже независимо от канторовской теологической интерпретации трансфинитов, его актуальная бесконечность реализовалась.
«Победа» математического феноменологизма оказалась пирровой еще потому, что, отвергая математику ноуменов, мы отвергаем ту математику, которая была затребована новой физикой.
Какую математику предпочесть для описания мира? Можно отвечать: любую. Какая математика нам понадобится — зависит от нашей физики. В течение трех столетий нашу физику устраивала математика, обходившаяся без ноуменов. Физика строилась на идее непрерывности материи
— ей требовалась математика, основывающаяся на идее непрерывного пространства, ну, а такая математика возможна без метафизики: ее можно строить финитными методами, на идее непрерывности в ее аристотелевской формулировке.
XX век показал, что новая физика требует новой математики. Миропонимание — это пространствопонимание, однако в мире квантов оказалась неприменима субстанциальность классического пространства: там пришлось отказаться от его главнейших свойств — непрерывности и даже линейной упорядоченности (причинности). По признанию Эйнштейна, инициатора исследований микромира, это смахивало на «попытку дышать в безвоздушном пространстве». Именно в этом смысле Э. Шредин-гер высказался о том, что все попытки использования старого, привычного понятия континуума для описания свойств микромира оказались тщетными и окончились провалом. Причину Шредингер видел в том, что этот старый привычный континуум вдруг оказался пугающе сложным и концептуально непонятным. По его словам, само понятие дискретности в мире элементарных частиц было навязано физикам против их воли. Оно возникло как средство спасения от тайны континуума — как «контрзаклинание против злого духа, требующего изгнания» [Шредингер, 2001, с. 54].
«Изгнание злого духа» привело Шредингера к чисто феноменологической интерпретации квантовой механики — интерпретации, которая вошла в русло общей неопозитивистской трактовки физики XX века. Она выразилась в словах Шредингера, произнесенных им при избрании в Прусскую Академию в 1929 г. [Тростников, 1980, с. 150]: «...Дело идет не о суждении относительно действительного свойства природы, как она выступает перед нами, а о целесообразности или удобстве того или иного образа нашего мышления, с которым мы подходим к явлениям природы...». Эта фраза оправдывает отказ от онтологии в физике, от физической истины; она означает приспособление к фактам опыта, принятие
«истины факта» — полную придавленность пифагорейским синдромом [1].
По поводу понятия «существования» заметим, что существуют разные модусы реальности. Канторовские бесконечности вполне отвечают этому представлению: иерархия этих бесконечностей призвана заполнить средостение между небом и землей. В отличие от Аристотеля, для которого реальны лишь конечные числа и вообще нет «неба», у Кантора его транс-финиты — настоящие посредники между Абсолютной Бесконечностью в Боге и земной конечностью. Такое канторовское построение вполне отвечало платоновскому пониманию числа и пространства. Науки в древности питались от родника религии. Так, математика возникла в виде выражения религии пифагорейского союза. О пифагорейском синдроме заговорили, когда науки оторвались от религии и от реальности. Пифагорейцы были религиозны и реалистичны — для них «синдрома» не возникало. Неслучайно из всех математиков Нового времени, вероятно, один лишь Кантор не испытывал «синдрома»: дав решение новой задачи пифагорейцев, он совершенно был убежден, что «интрасубъективная» реальность чисел (как абстракций) всегда совпадает с их «транссубъективной» реальностью (как отображений внешнего мира) [Катасонов, 1999]. Сам Кантор, будучи глубоко верующим, истолковывал свою иерархию бесконечностей как лестницу Иакова, ведущую с земли на Небо. И хотя его религиозная интерпретация наталкивалась на обвинения в пантеизме и вела его к противоречию с идеей божественной свободы (это подробно описано в книге В.Н. Катасонова [Катасонов, 1999]), религиозный смысл канторовских абсолютов этим не снимается. В божественной интерпретации архетипов не может не быть антиномий, потому что сам Бог — антиномия.
Герман Вейль написал: «Бог, конечно, есть, потому что математика, несомненно, непротиворечива. Но есть и дьявол, потому что мы никогда не сможем доказать ее непротиворечивость» [2]. Хочется возразить Вейлю: математика несомненно противоречива, иначе она смогла бы решить главнейший для нее вопрос — доказать собственную непротиворечивость, если не своими средствами, то средствами метаматематики (для этой цели и создававшейся). Противоречивость — перманентная форма существования математики. Само рождение математики (у пифагорейцев) уже ознаменовалось противоречием — математика зачата в противоречии, в противоречии («кризисе») она пребывает и по сей день.
То же самое, чуть ли не слово в слово, можно сказать о физике. Она родилась в противоречии (противоречие в аристотелевом объяснении движения так и не было устранено окончательно [Захаров, 2003]) и всегда существовала в форме вновь открываемых противоречий — неразрешимых антиномий. В ней пространство и время — и непрерывны, и дис-
кретны, и это же самое можно говорить о материи — она и волны, и корпускулы. Вселенная — и Космос, и Хаос, а определяющая природу причинность — и детерминистская, и спонтанная.
Наконец, предметы математики и физики находятся друг по отношению к другу в неразрешимом противоречии. Идеи и равны вещам, и отделены от них пропастью, так что разрешать «пифагорейский синдром» бессмысленно; он есть главная неразрешимая антиномия всей философии естествознания. И особенно явно это обнаруживается в идее бесконечности, в ее тайне.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Критику неопозитивизма и операционализма в методологии современной физики см.: Захаров В.Д. Введение в метафизику природы. М., 2003.
2. Цит. по: Клайн М. Математика. Утрата определенности. - М.: Мир,1984.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аристотель. Физика. Сочинения в 4 томах. Т. 3. - М.: Мысль, 1981.
2. Аронов P.A. Пифагорейский синдром в науке и философии И Вопросы философии. - 1996.-№ 4.
3. Бурбаки Н. Теория множеств (исторический очерк к гл. I - IV). - М.: Мир, 1965.
4. Вигнер Е. Этюды о симметрии. - М.: Мир, 1971.
5. Гяйденко П.П. История греческой философии в ее связи с наукой,- М.: «Университетская книга, 2000.
6. Гайденко П.П. К истории проблемы непрерывности: трансформации и традиции // Традиции и революции в истории науки.- М.: Наука, 1991.
7. Гомперц Т. Греческие мыслители. Т. 1,- С.-Пб., 1911.
8. Захаров В.Д. Введение в метафизику природы. М., 2003.
9. Захаров В.Д. Истина в науках о природе, ч. I. Математика и истина // Вестник РУДН, сер. «Философия». - 2000. - № 1.
10. Захаров В.Д. Тяготение от Аристотеля до Эйнштейна. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003.
11. Зенкин A.A. Новый подход к анализу проблемы парадоксов // Вопросы философии. - 2000. - № 10.
12. Кант И. Сочинения в 6 томах. Т. 6. - М.: Мысль, 1966.
13. Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным. Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. - М.: Мартис, 1999.
14. Клайн М. Математика. Утрата определенности. - М.: Мир, 1984.
15. Лейбниц Г.В. Сочинения в 4 томах. Т. 3. - М.: Мысль, 1984.
16. Лосев А. Ф. Диалектические основы математики. Хаос и структура. - М.: Мысль, 1997.
17. Платон. Сочинения в 3 томах. - М.: Мысль, 1968-1971.
18. Пуанкаре А. Наука и гипотеза // Пуанкаре А. О науке. - М.: Наука, 1983.
19. Тростников В.Н. Мысли перед рассветом. - Париж, 1980.
20. Трубецкой С.Н. Метафизика в Древней Греции. - М., 1910.
21. Шредингер Э. Наука и гуманизм. Физика в наше время. - Москва-Ижевск.: Изд-во РХД, 2001.
22. Эйнштейн А. Геометрия и опыт. Сочинения в 4 томах. Т. 2. - М.: Наука, 1966.
THE INFINITY “SYNDROME”
V.D. ZAKHAROV
Department of Theoretical and Applied Mechanics,
Faculty of Polygraphist Technique and Technologies,
Moscow State Polygraphist University 127550 Russia, Moscow,
Pryanishnikov Str., 2a
It is shown that the continuum notion engenders an insoluble antinomy. This antinomy raises two different philosophies of the mathematics: one of them is based on the potential infinity another is based on the actual one. The latter one has been already realized in the modern mathematical physics. The general relativity and quantum mechanics use the geometrical objects deprived of the Kant’s “Anschaulichkeit” and not constructed in our intuition.
