Симметрия кристалла Лина-Флеминга и построение уравнений погружения Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Студенческая наука

УДК 537.874

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛА ЛИНА-ФЛЕМИНГА И ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОГРУЖЕНИЯ

С.В. БОЯРКИН, М.В. КИМ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Статья подготовлена под руководством доктора технических наук, профессора Кузнецова В.Л.

Рассмотрен подход к выводу матричных уравнений погружения, основанный на симметрии слоев фотонного кристалла Лина-Флеминга. Предложен метод преобразования блочных матриц начальных условий при послойном анализе.

Введение

Структуры с запрещенной зоной, известные более как фотонные кристаллы (ФК), уже более 20 лет привлекают пристальное внимание исследователей [1-3].

Этим термином обозначается новый класс оптических материалов, для которых характерно наличие двух следующих свойств:

1. Периодическая модуляция диэлектрической проницаемости с периодом сравнимым с длиной волн видимого или инфракрасного диапазонов;

2. Наличие обусловленных этими неоднородностями запрещенных зон в энергетическом спектре электромагнитных состояний кристалла.

Последнее означает, что электромагнитные волны с частотой, попадающей в такую запрещенную зону, распространяться в кристалле не могут.

Для разработки и создания новых систем с использованием ФК нужны структуры с заданным энергетическим спектром, т.е. структуры с определенным взаимным расположением запрещенных зон и зон прозрачности. В то же время для разработки технологии изготовления ФК необходима информация о его макрогеометрии (периодичности, форме и размерах вкраплений), а также информация о диэлектрических характеристиках матрицы и неоднородностей, обеспечивающих заданный энергетический спектр. Следует учитывать, что один и тот же (похожий) спектр может быть получен на разных периодических структурах, технология изготовления которых характеризуется различной трудоемкостью. К сожалению, решение задачи об определении макрогеометрии ФК по его заданному энергетическому спектру (задача синтеза) в настоящее время не получено. В современных работах лишь развиваются подходы к решению задачи анализа: по заданной макрогеометрии кристалла восстанавливают его энергетический спектр. Получение относительно простого решения этой задачи позволит построить компьютерную модель ФК, с помощью которой методом перебора параметров можно сформулировать приемлемые рекомендации для разработчиков.

В представленной работе развивается подход к задаче анализа ФК, основанный на использовании метода инвариантного погружения [4]. Он позволяет свести задачу об электромагнитном поле (ЭМП) в кристалле, т.е. задачу для поля в периодической структуре (краевую задачу для уравнения Гельмгольца) к решению начальной задачи Коши для уравнений погружения, относительно матричных коэффициентов отражения Я и прозрачности Т.

Статья посвящена исследованию вопросов симметрии и ее применения при построении электродинамической модели ФК Лина-Флеминга, представляющего собой «поленницу» диэлектрических брусьев.

Отметим, что при такой геометрии в пространственном спектре отраженного и прошедшего поля, как и во всяком ЭБ-ФК, присутствует весь возможный дискретный спектр плоских волн с волновыми векторами кр = {к, + кх ■ п + ку ■ р} , п, р є Z . Здесь:

кх, ку - базисные вектора обратной решетки ФК;

^0 - проекция волнового вектора к0 поля, падающего на ФК.

Волновые вектора дифрагированных на ФК волн не лежат в плоскости, образованной падающим полем и нормалью к верхней границе кристалла, а также в зависимости от индексов п, р є Z образуют различные углы с нормалью, другими словами для ФК закон Снеллиуса не выполняется. Это приводит к тому, что при взаимодействии с кристаллом поляризация поля существенно искажается, возникают так называемые кросс-поляризационные эффекты, которые будут описываться блочной структурой матриц. Такой подход позволяет обойтись без привлечения приближения скалярного поля, часто используемого при описании сложных систем.

Рис. 1. Общий вид ФК Лина-Флеминга

1. Уравнения погружения для первого слоя ФК Лина-Флеминга

В работе [5] были получены уравнения погружения для ФК Лина-Флеминга. Их вывод основывается на идее предельного перехода для элементарного слоя, соответствующего ЭБ ФК, к геометрии кристалла Лина-Флеминга.

Суть предельного перехода ясна из рис. 2. Стрелками указаны направления «растяжения» прямоугольников до их слияния в сплошную полосу.

і і

t t

і

t

_________I

Рис. 2. Иллюстрация перехода к архитектуре Лина-Флеминга

Уравнения погружения для матричных коэффициентов отражения R и прозрачности T имеют вид [5]:

dRsp - - - - - -

-~Т-+RS1 - (PÍ ) • RZ+ R2- 1 ) • RZ+Pl = 0; (і)

dz

-T1

. =ti-T£, + К -(Pp )-Tm . (2)

dz

Здесь:

tm = I -dm dp +C-Dz =

= I-d d +1 - d d -ik(n,s)-Dz + У rp+ d ,(e- 1)koA sin(^d(n-m))-Dz; (3)

nm sp nm sp z V э / / j nm sp p(n m) L

р? =

пт

= р” ^ = у г-^ .<£-1^$1п(Р/<п-т)).а.

гп т п т зр _/ ч V * '

ж(п - т)

Л

(4)

Выражения (3) и (4) описывают взаимодействие волнового поля с элементарным слоем толщины Аг при периодичности структуры вдоль оси ОХ.

Г3р± — функция Грина, представленная в виде матрицы блочной структуры. С учетом сказанного о поляризации дифрагированного поля она имеет вид:

Г± (Ч, ±0) =

( г±

1 нн

V Г±

V уН

'± Л

Ну

(5)

уу у

Каждая компонента такой матрицы описывает преобразование некоторой плоской волны определенной поляризации (горизонтальной или вертикальной) в другую фиксированную моду с вертикальной или горизонтальной поляризацией.

Г к 2<д1 + Чпх 'Чтх )

Г± (д, ±0)т ®

Чп'Чт.

+ -

к ду п-2-ж-кг(т) Л Чп'Чт

\

±

к кг (п)-п-2 ж кг (п)-кт (п) (дУ + Чтх'Чпх ) , Чп Ч,

Л■ Чп'Чт

+-

Г к2'(д2 + Чпх " Чтх )

Г± (Ч, ±0)г ®

±

±

Чп'Чт

к кг (п) - п - 2 - ж Л-Чп'Чт

Чп'Чт е

к-Чуп' 2 - жк2 (т)

Л■ Чп'Чт

(6)

кг (п)- кт (п) (Чу + Чтх'Чпх ) + Чп'Чт

е

(7)

Чп'Чт

Приведенные соотношения справедливы для первого слоя ФК. Решение дифференциальных уравнений (1) и (2) должны удовлетворять простым начальным условиям ^(0) = 0, Т(0) = I. Действительно, если толщина ФК равна нулю, то отраженного поля нет (^(0) = 0), и падающее поле проходит эту плоскость не искажаясь (Т(0) = I ). При переходе к следующему слою ФК Лина-Флеминга его уравнение можно получить по методике, приведенной в [5], проведя растяжения прямоугольников в направлении, ортогональном растяжению первого слоя, а можно использовать симметрию, присущую ФК Лина-Флеминга. Повернув систему отсчета на

угол Ж относительно оси 02 при рассмотрении очередного слоя, приходим к задаче аналогичной задаче первого слоя. Отличие заключается лишь в ориентации волновых векторов падающего поля.

2. Преобразование начальных условий для матричных уравнений погружения при повороте системы отсчета

Как было отмечено в п. 1, при переходе в новую систему отсчета общий вид уравнений погружения сохраняется с точностью до замены параметров ч0х = Ч0у, Ч0у = -Ч0х.

Основные проблемы возникают при формировании начальных условий для решения задачи очередного слоя. Если бы преобразование системы отсчета не использовалось, то результаты расчета предыдущего слоя в точности соответствовали начальным условиям для следующего. При повороте системы отсчета, с переходом к следующему слою, это утверждение не выполня-

т

ется и требуется провести перегруппировку элементов блочных матриц отражения и прозрачности.

Из приведенных соотношений (1)-(7) видно, что изменяемыми параметрами являются проекции волновых векторов дифрагированного поля на верхнюю грань ФК. Если в исходной системе отсчета, для какой-либо компоненты падающего или дифрагированного поля проекция его волнового вектора на плоскость кристалла имеет вид:

Ч = {Ч0 х + ткх, Ч0 у + Рку } , Ч = {Ч0 х + пкх, Ч0 у + Жу } ;

то в повернутой системе отсчета они будут определяться формулами:

Ч ={ Ч0х + Ркх, -Чоу - тку } , Ч = {ч0х + ™х, -Чоу - пку } .

Здесь верхний индекс означает операцию транспонирования.

Сопоставляя приведенные соотношения, приходим к следующему правилу пересчета индексов:

з ® 3 (3 = -п) р ® р (р = -т) п ® п (п = з) т ® т (т = р).

В компактном виде для 4-индексной матрицы получаем следующее правило преобразования индексов:

Кб (чОх, ч0 у) ® КГ (Ч0 х, Ч0 у). (8)

Здесь штрихованные индексы совпадают с индексами матрицы Щт первого слоя,

д0х = д0у , дОу = -д0х .

Нетривиальность преобразования (8) потребовала дополнительной проверки своей справедливости, базирующейся на теореме Пойтинга. Суть этой теоремы заключается в том, что плотность потока энергии падающего поля равна алгебраической сумме потоков энергии дифрагированных однородных мод.

П = П++ П- = у у | к+ (п, з) | -1„,^ кс ь Ет |2 +уу | к: (п, з)У\ЬСг ,е’„ |2. (9)

а п,з а п,з

Отметим, что неоднородные моды в этой проверке игнорируются, поскольку они не переносят энергию в направлении, перпендикулярном плоскости ФК.

На рис. 3 проиллюстрировано правило (8), преобразование начальных условий записанных

в виде блочной матрицы при повороте системы отсчета на угол Ж. Аналогичные преобразования проведены и для блочных матриц коэффициента прозрачности Т.

Описанная процедура формирования начальных условий для матричных уравнений погружения использовалась для численного моделирования взаимодействия излучения с ФК Лина-Флеминга. Проведенные вычисления показали справедливость (9) и соответственно соотношения (8) для исходной и трансформированной матриц.

Заключение

В работе представлен основанный на использовании свойств симметрии ФК, альтернативный изложенному в [5], подход к выводу уравнений погружения.

Полученные результаты полностью совпадают с результатами работы [5], где использовался другой метод расчета. Это свидетельствует о достоверности полученных результатов.

'R-ІЇ' Rï- Ri,!-1

R---1 Кґ КҐ

^-1 ■■

1,-1 р-1,-1 р-1,-1

R1,0 R1,1

Rs =

0,0 0,0

j R-1,o R-1,1

■ !R-o10-w R

0,0 0,0 0,0

■ R0,-1 R R

0,0 0,0 ;■ ■ R1,-1 R1,o R1

0,0 0,1 0,0 D0,0

RZ =

■

R,1-,1

; »

■■

4R-i,-1 ' R-1,0 R-І

R01-1 Ri o' 1 R0

R1-1 Ri;1 r;,1

\ (

R -

R1

R-

И і

R0,1 Iі

\ R00

■■ > 0:1

\ \ R-1

■ ■■ \ R0,l \ ■■ Nv-\ ■■ ■

■ ■ R1

R0

R-

R1-1

R°-°

R

1,-1

1,-1

R1,-1

R0

R

1,-1

0,-1

R-1,1 '■

n<h>

ra

'\R--u-1

\ ..y

\

^ R11 ^ R11

•^•■¿¿-10^ -1,-1

-----p 0,0

R-1,0 ■■ ■■ ' ---------------------------------^R-1,-1

R--

л

.■y

R-a

Рис. 3. Иллюстрация процедуры формирования начальных условий

Л

\

\

У

V

1,-1

1,-1

V

V

1,-1

V

V

■ V

V

ЛИТЕРАТУРА

1. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimensional interface: TE polarization. // Progress In Electromagnetic Research, PIER 24, 1999.

2. Барабаненков Ю.Н., Барабаненков М.Ю. Метод соотношений переноса в теории резонансного многократного рассеяния волн с применением к дифракционным решеткам и фотонным кристаллам. ЖЭТФ, 2003. - Т. 123. - Вып. 4.

3. Кособукин В.А Фотонные кристаллы. Физико-технический институт им А.Ф Иоффе РАН // Окно в Микромир. -№ 4. 2002.

4. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. - М.: Наука, 1986.

5. Кузнецов В.Л., Рудковский А.С. Трехмерная модель взаимодействия электромагнитного поля с фотонным кристаллом конечной толщины // Научный Вестник МГТУ ГА, серия Прикладная математика. Информатика, №145, 2009.

THE GEOMMETRY OF THE LINA-FLEMING CRYSTAL AND EMBEDDING

EQUESTIONS CONSTRUCTIVY

Boyarkin S.V., Kim M.V.

The approach of the embedding equations constructing, basics on the symmetry of the photon crystal Lina - Fleming is considered. The method of initial conditions for block matrices according layer analyses is proposed.

Сведения об авторах

Бояркин Сергей Валерьевич, 1987 г.р., студент факультета прикладной математики и вычислительной техники МГТУ ГА, область научных интересов - многократное рассеяние, фотонные кристаллы, поляризационные эффекты в периодических структурах.

Ким Максим Владимирович, 1987 г.р., студент факультета прикладной математики и вычислительной техники МГТУ ГА, область научных интересов - компьютерное моделирование, фотонные кристаллы, численные методы.