CC BY
26
Сходимость итерационного метода восстановления неравномерно дискретизованного сигнала
Приводится исследование сходимости итерационного метода восстановления сигнала с отсчетами, пропущенными вследствие перегрузки АЦП. Метод заключается в некоторой начальной аппроксимации отсутствующих отсчетов, переходе в частотную область, ограничении полосы сигнала до некоторой известной ширины, обратному преобразовании во временную область и сопоставлении новых значений с исходными данными. Несмотря на успешные результаты моделирования и экспериментальных измерений, опубликованные ранее, строгое аналитическое доказательство приводится в этой статье впервые.
Курахтенков Л.В.,
м. н. с.,
Постановка задачи
Рассмотрим дискретный сигнал на временном промежутке Т с шагом дискретизации А1. При добавлении к сигналу мощной помехи возникает перегрузка АЦП, в результате которой на выходе АЦП возникает максимально возможное значение, обусловленное разрядностью АЦП, а на дополнительном выходе АЦП возникает индикация перегрузки. Задача состоит в восстановлении суммарного сигнала для последующей фильтрации помехи.
Данная проблема сводится к задаче аппроксимации некоторой действительной функции по набору заданных значений в некоторых точках. При этом предполагается, что функция ограничена, интегрируема с квадратом (сигнал имеет ограниченную энергию) и имеет компактный носитель преобразования Фурье (ограниченный спектр сигнала). В качестве точек с известными значениями будем брать не все отсчеты, а только те, в которых не возникает перегрузки АЦП. Отметим, что в общем случае их распределение является неравномерным.
Для простоты будем считать: /":[0,1]—>М,
|/(/)|<Л при некотором А> 0, зирр /с [-0,0]. Имеется разбиение отрезка [0,1 ]: 0 = </дг = 1,
такое что 7/+1 — А/, I = Кроме того опре-
делено множество индикаторов перегрузки {у( }; , такое что
О, при /(';) = У'Ы-А’*
V, = • А, при /(*,■)> А;
-А,при/(*,)<-А.
При аппроксимации предполагается, что функция / периодически продолжается за пределы отрезка [0,1],
так что фактически функция предполагается равной тригонометрическому многочлену степени О с периодом 1:
/(О = Х(Л» ™{2™)+Ьп еои(2яп)) = X ■
л=0
Такая аппроксимация сразу дает набор значений для спектра сигнала.
Аппроксимация сигнала тригонометрическим многочленом
В предположении известной ширины спектра сигнала, возможно восстанавливать отсчеты, в которых произошла перегрузка с помощью следующего итеративного метода [1].
Алгоритм 1. В указанных предположениях решение может быть вычислено по следующему итеративному алгоритму:
Шаг 1. Для каждой серии пропущенных отсчетов tm+|( найти три точки, такие что значение сигнала
в этих точках определено. Естественным образом находятся две точки из границ пропущенного интервала (т-\^т*к* *0,т * N-к. В качестве третьей точки
можно выбрать / или / , а в случае, когда эти
отсчеты неопределенны или пропущены, следует выбрать ближайший к краям интервала принятый отсчет.
Шаг 2. По трем найденным отсчетам построить кубический сплайн и присвоить пропущенным отсчетам сигнала значения сплайна в соответствующих точках.
Шаг 3. Произвести дискретное преобразование Фурье по всем N отсчетам и получить N коэффициентов Фурье.
Шаг 4. Если все, кроме искомых О коэффициентов Фурье равны нулю, то произвести обратное преобразование Фурье и завершить выполнение алгоритма. В противном случае обнулить «лишние» коэффициенты Фурье и произвести обратное преобразование Фурье.
Шаг 5. Для тех отсчетов I■, для которых у(/Л = 0
ПОЛОЖИТЬ = ДЛЯ тех отсчетов, для которых
но
у(/;) = Л, но /у А<А или =
положить /(/,■) равным значению соответствующего сплайна в точке . Перейти к шагу 3.
Замечание. Условие выхода из алгоритма на шаге 4 на практике проверяет не абсолютное равенство нулю избыточных коэффициентов Фурье, а их незначительность, т.е. \/к | < е, к > О •
Для формализации данного метода введем следующие обозначения индикаторов множеств значений и частот:
/г('*) = {0’1} ' выход с индикатора перегрузки
АЦП, принимающий единицу на корректно принятом отсчете и обращающийся в ноль на перегруженном значении сигнала. В предположении известной функции f,
можно продолжить значения этой функции из множества дискретных отсчетов на всю область определения f:
Аналогичный индикатор множества обозначим для частот:
*оН =
1,м>є[-0,0]
О, и> £ (-оо,-О] и [О,со)
/.(О.Ифл
И, наконец, в завершении У1 —й итерации, посчитаем преобразование Фурье полученной функции:
СО
У№""л'
Заметим, что функция /(/) имеет ограниченный спектр и представима в виде
Л (О - Л-і(0*
віпП/
пі
Действительно, из вышеуказанного выражения для f, имеем преобразование Фурье произведения, то есть
свёртку:
/л(/)=[г"^)еЫ’^=Ж
-Е= ]/п(^)^ = Л-,(0*-Ё=
у!2л V 2п _?а у12тг
еК'сіи’ =
1 БІїШ/
т
Оценка ереднеквадратического отклонения
Утверждение 2: Среднеквадратическое отклонение уменьшается с ростом количества итераций. Доказательство:
Рассмотрим среднеквадратическое отклонение точного решения от (/7 — 1)-й итерации:
| И|" |ГН-^, (ы)\2 XV +
-оо -О
Далее, множества, которые индицируют эти функции, будем обозначать 1Т и соответственно.
Введем обозначение для “ограниченного” сигнала
7(0=/(0/г(0+^-8вп(/(0) (1-/г(0) и его
1 1
преобразования Фурье 1 •
Положим начало итеративного процесса:
7,(/)=/(/).
На Л -й итерации получим:
/Л0 = ^7=
Заместим известные отсчеты:
7-(0=/-(/)+[/(0-/.(0]'/г(0=
+ | \F(w)-Fn_^(w)\~c^w =
= ||р(и’)-^-|(и,)/п(“’)|2<л'+
-Й
+ | |^Г(И/)-^Г«-1(И;)| | |^Г(И')- ^
я\[-я.а] -а
Далее,по равенству Парсеваля:
1кИ-^Н|2^=/|/(0-/,(0|2^=
-52 -»
=Л/(0-/л(0|2л+/|Л0-/Л0|2^=
>т 1^г
=1\т-/.(')•
1т
+ | |/(0-/Л0Г^>ЛД')-7.(')|2<*= ||/(0-7Л0|2^-
[4Й'Г ,т
Применив еще раз равенство Парсеваля, имеем:
00 00
Ц/М - 7, (0|2 = Л^М - *:М|2 ^
-00 -00
Таким образом,
00 оо
||/г(^)-/7„_,(^)| сЫ?> с/ы'
-00 -оо
что и доказывает утверждение.
им
Итерационные методы аппроксимации
Пусть преобразование сигнала через АЦП задается равенством у — Ох. Здесь X - неизвестный входной
сигнал, у - известный принятый сигнал, И - соответствующее преобразованию, отображение функции в функцию в непрерывном случае или последовательности в последовательность в дискретном случае. Решением этой задачи является х = О '_у, где £Г' - обратное
преобразование.
На практике описать в явном виде обратный оператор бывает сложно, а в некоторых случаях невозможно. Тем не менее, возможно найти решение в виде итерационного уравнения = Рхк, где - оператор, полученный некоторым образом из D . Кроме того, может содержать в себе некоторые ограничения на сигналы, с которыми приходится работать, например ограниченность спектра.
Такой итеративный процесс применим в случае, когда последовательность {хЛ сходится к единственному
решению. В общем случае сходимость требует бесконечного количества итераций, но приемлемая аппроксимация может быть получена за конечное число шагов.
При построении итеративного процесса, первым делом надо определить ограничивающий оператор С, такой что:
х = Сх,
тогда и только тогда, когда X удовлетворяет определенным свойствам. Например, в случае ограниченного по полосе непрерывного сигнала,
В этом случае, сигнал с ограниченным спектром, преобразуемый данным оператором не изменяется. Таким образом, наблюдаемый сигнал представим в виде: у = йСх.
Один из подходов по получению итерационного уравнения, получается из представления вида:
х = Сх + Л(у - йСх),
где параметр Я может быть как константой, так и функций от нескольких независимых параметров или функцией от X.
Таким образом,
х = Рх = Лу + Сх-ЛОСх = Лу + (1 - ЛО)Сх = Лу + йх >
откуда и получается итерационное уравнение:
хш=рхк=ЛУ + Схк.
Начальное условие зачастую принимают х0 = Лу,
хотя в общем случае Х() может быть любым. Выбор
параметра Л может влиять на сходимость итерационного метода.
Далее будем считать, что сигнал X и сигналы, получаемые на итерациях Хк , являются элементами полного
нормированного линейного пространства с нормой • . Предположим, что
| /7х( - Fxj | < г ||х( - х/1
выполняется для всех X/ и X, из некоторого замкнутого подпространства пространства сигналов. Если О < г < 1, то оператор Т7 называется сжимающим отображением, или просто сжатием на этом подпространстве. Если г = 1, то оператор называется нерастягивающим, а если г = 1, а равенство достигается только в
случае Ху = XI, то оператор г называется строго нерастягивающим.
Таким образом, расстояние между преобразованными с помощью такого оператора сигналами уменьшается.
По теореме Банаха о неподвижной точке, если оператор г является сжатием на некотором подпространстве, то он имеет неподвижную точку X. Более того, при
любом выборе начального сигнала Х0 из данного подпространства хк —> х при к —> оо.
Сходимость метода
Рассмотрим сигнал X, как вектор-столбец из П отсчетов. Введем матрицу
О = diag {/г (хк)}, 1Т (хк) = А ■
Тогда сигнал Ох содержит все корректно принятые отсчеты, а вместо перегруженных отсчетов имеет нули. Пусть г£(/)) = с1 - количество ненулевых элементов на
диагонали матрицы О , то есть количество корректно принятых отсчетов.
Напомним, что
/ (УИ = {1,и'е[_аП1 •
п |0,и>$£ (-00,-0] и [о,00 )
Аналогичное обозначение введем для матрицы /п=Ля£{/п(щ)}- Пусть гк(в) = гк(1п) = 20 + 1,
то есть п -(20 + 1) частот обнулятся после преобразования В. При этом распределение нулей и единиц на диагонали будет следующим: первые О + 1 элементов будут равны единице, затем следует ц — (20 + 1) нулей,
а затем опять О единиц.
Тогда оператор ограничения спектра по частоте является композицией В = Р _1/0Р •
Утверждение 3: Если <^>20 + 1, х = (1-0)х и
Х = Вх, то д г = 0.
Доказательство:
Равенство * = (/-£))х означает, что все корректно принятые отсчеты X- = 0,такие что 1Т(^Х-) = 1 • Тогда х = ^х= V р.х,. где Р ( — I -я строка матри-
/,/г(д:/)=0
цы дискретного преобразования Фурье И . Кроме того, для /7-(2^ + 1) компонент выполняется X. — 0 при
/„(*,) = 0.
Таким образом, получим л-(2Г2 + 1) уравнений с нулевой правой частью:
X Рк1х, = хк = 0 - = 'е" » Для некоторых
*Мч)г0 77 7 V/?
индексов к .
Такая система линейных уравнений может быть определена подматрицей Р размера
(л-(2Л + 1))х(л-</), причем (/7-(20 + 1))<(л-с/), так как по условию с1 > 20. +1. С учетом распределения нулей и единиц в матрице /^, все /?-(2£1 + 1) индексов к могут быть получены как циклический сдвиг из и-(20 + 1) последовательных чисел по модулю П.
Таким образом, можно считать, что элементы
] -2жД
р —_______о и берутся для последовательных чисел
Ч 1~ л/и
к = 1,..,,(^п — (2Г2 + 1)) и умножаются на некоторую
фиксированную константу, зависящую от сдвига. Таким образом, столбцы такой подматрицы будут линейно независимыми (это будет матрица Вандермонда, умноженная на константу), а значит все некорректно принятые отсчеты XI равны нулю. Как было сказано в начале, все корректно принятые отсчеты тоже равны нулю, а значит X = 0, что и завершает доказательство.
Зададим итерационный метод аппроксимации
*(*+1> = Лс(А) = Лу + (1- ЩВх
.<*)
Утверждение 4: При Яє[0,2] уравнение х = Рх
имеет решение.
Доказательство:
Для начала докажем нерастягиваемость оператора Р. Она зависит только от нерастягиваемости оператора
(/ — ЯО) В ■ Действительно при любом сдвиге Лу будет выполнено:
Рх{,) - Рхи,\\ =
|Лу + (І- ЩВх(і) - [Лу + (I - Лй)Вхи)) = = ||(/-/Ш) Вх(і) - Лу + (/ - Лй) &с0)||,
то есть Р и (/-ЯD)Z? нерастягивающие или растягивающие одновременно.
Нерастягиваемость оператора В следует из унитарности матрицы дискретного преобразования Фурье и
нерастягиваемости матрицы /<•, проекции на подпространство. Таким образом, оператор Р будет нерастя-гиваемым, если (/ — ЯО) является нерастягиваемым.
Это выполняется при Я е[0,2], так как только в этом
случае собственные значения I — Л будут находиться в пределах единичного шара.
Нерастягиваемость Р доказана.
Так как Р является непрерывным, нерастягивающим, и отображает непустое компактное замкнутое подпространство в себя, то у него есть неподвижная точка. Утверждение 5: В указанных обозначениях, пусть
с/ > 2Г2 + 1, а Я е(0,2). Тогда оператор Р является
строго нерастягивающим и имеет единственное решение, которое задается как
х = НтРпх^°К
п->00
, (°) для любого X .
Доказательство:
Предположим обратное: пусть выполняются требования с! > 20 + 1 и Я е(0,2), но оператор Р не является строго нерастягивающим. Тогда существует ненулевой вектор у = х^ — х^ Ф 0, такой что:
Рх{() - Рх
(Л
|(/-Я£>)Ду|| = ||Яу|| = ||у||.
Так как оператор В проецирующий, из равенства норм ||5у|| = ||у|| следует равенство самих векторов:
Л
Ву = у. А значит, (л-(20 + 1)) компонент V равны нулю. Но тогда из равенства
7-Я£>)у||= /(1-Я)2 X X у^ =
V *.Му»Н './г(»',)=о
= І X у* + X ^~2Л X уї+л2 X =
'.Му/Н
= Л/|МГ-Л(2--г) I •?-
V 1-і
следует, что V = 0 при /г ( у.) = 0. Тогда к вектору V можно применить утверждение 2, из которого следует что V = 0 - противоречие.
Значит оператор Р является строго нерастягивающим и имеет единственную неподвижную точку, которая и является пределом описанного итеративного процесса.
На практике скорость сходимости зависит от начального приближения. В качестве него можно выбрать:
1. сигнал с известными отсчетами на своих местах и нулями вместо перегруженных отсчетов;
2. сигнал с известными отсчетами на своих местах и максимумом с соответствующим знаком вместо перегруженных отсчетов;
3. сигнал с известными отсчетами на своих местах и интерполированными отсчетами в пропущенных сегментах.
Оценка количества арифметических действий
На каждой итерации производится два дискретных преобразования Фурье, которые выполнимы за
2-п \о%(п) + 2 (20+ 1)1<^(2Й +1) умножений и
3-/7-к^(я) + 3-(20 + 1)-1о§(20 + 1). Для получения
сигнала, с которого начинается итерационный процесс, требуется получение нескольких сплайнов, количество которых зависит от числа и распределения пропущенных отсчетов.
Следует отметить, что число и распределение пропущенных отсчетов напрямую влияет только на первое приближение, от которого, в свою очередь, зависит количество итераций. Но сложность выполнения каждой итерации отдельно от распределения и числа пропущенных отсчетов не зависит.
ЛИТЕРАТУРА
1. Курахтенков Л.В. Новые методы интерполяции сигнала с нерегулярной дискретизацией и их применение // T-Comm, 2010.-№11.
2. Аджемов С.С., Курахтенков J1.B., Романов Э.Ю. Задача интерполяции сигнала с нерегулярной дискретизацией // Т-Comm, 2009. - №4.
3. Курахтенков Л.В. Особенности применения методов интерполяции сигнала с нерегулярной дискретизацией // Т-Сошш, 2011.-№П.
4. Landau Н. Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions // Acta Math., 1967
5. Landau H.J., Poliak H.O. Prolate spheroidal wave functions // Fourier Analysis and Uncertainty - II. Bell Syst. Tech. J.1961. -Vol.40. - P.65-84
6. Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции // М.: Наука, 1976.
7. Хургнн Я.И., Яковлев В.П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике// М.: Физматгиз, 1962.
