Схематическое моделирование в ходе решения текстовых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

Психолого-педагогические науки

• ••

77

teacher / Ed. by Asmolova A. G. M. : Education , 2008. 151 p. 3. Geydman B. P, Misharina I. E, Zvereva E. A. Mathematics: Textbook for 4th form of elementary school. Second half year. Moscow, «Russian word». Publishing house MCCME, 2010. 120 p. 4. Federal State Educational Standard of Primary Genaral Education. M. , 2011.

Primechanija

1. Arginskaya I. I., Ivanova E. I., Kormishena S. N. : Uchebnik dlya 4 klassa: V 2 chastyah. Samara: Izdatelstvo «Uchebnaya literature», 2009. 2. Asmolov A. G., Burmenskaya G. V.,Volodarskaya N. A., Karabanova O. A., Salmina N. G., Molchanov S. V. Kak proektirovat universalnie uchebnie deystviya v nachainoy shkole: ot deystviyai к misli: pos. dlya uchitelya / Pod red. A. G. Asmolova. M. : Prosveshenie, 2008. 151 s. 3. Geidman B. P., Misharina I. A., Zvereva E. A. Matematika: Uchebnik dlya 4 klassa nachalnoi shkoli.Vtoroe polugodie. Moskva «Russkoe slovo». Izdatelstvo MCNMO, 2010. 120 s. 4. Federalniy gosudarstvenniy obrazovatelniy standart nachalnogo obshego obrazovaniya. M., 2011.

Статья поступила в редакцию 24.12.2013 г.

УДК 511

СХЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ХОДЕ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

© 2013 Рабаданов Р. Р. Дагестанский государственный педагогический университет

В статье рассматриваются влияния схематического моделирования на процесс нахождения хода решения текстовой задачи, а также показано влияние вспомогательного моделирования на запись различных видов уравнений. Здесь же показано как влияет схематическое моделирование на внедрение элементов алгебраической пропедевтики на уроках математики в начальных классах:, рассматривается сравнение алгебраического и арифметического способа решения текстовой задачи.

The author of the article examines the impact of schematic modeling the process of finding solutions stroke text tasks, and shows the effect of auxiliary simulation to record different types of equations. The author shows an influence of schematic modeling on the implementation of modeling elements propaedeutics algebraic mathematics lessons in primary school is considered a comparison of algebraic and arithmetic method of solving word problems.

V stat’e rassmatrivajutsja vlijanija shematicheskogo modelirovanija na process nahozhdenija hoda reshenija tekstovoj zadachi, a takzhe pokazano vlijanie vspomogatel’nogo modelirovanija na zapis’ razlichnyh vidov uravnenij. Zdes’ zhe pokazano kak vlijaet shematicheskoe modelirovanie na vnedrenie jelementov algebraicheskoj propedevtiki na urokah matematiki v nachal’nyh klassah, rassmatrivaetsja sravnenie algebraicheskogo i arifmeticheskogo sposoba reshenija tekstovoj zadachi.

Ключевые слова: тестовая задача, схематическое моделирование, вспомогательная модель, уравнение.

Keywords: text tasks, schematic modeling, convenience model equation

Kljuchevye slova: testovaja zadacha, shematicheskoe modelirovanie, vspomogatel’naja model’, uravnenie.

В процессе обучения математике текстовые задачи являются как средством формирования многих математических понятий, так и в основном -средством формирования умений

строить математические модели реальных явлений и ситуаций, описываемых в задачах, а также эффективным средством развития мышления учащихся.

78

• ••

Известия ДГПУ, №4, 2013

Для успешного обучения в начальной школе должны быть сформулированы такие познавательные универсальные учебные действия как знаково-символические действия. Основным показателем развития знаково-символических универсальных учебных действий становится овладение моделированием.

Моделирование как действие обучаемого применялось с первых шагов передачи человеком своего опыта подрастающему поколению. Однако лишь настоящему времени принадлежит его активное теоретическое осмысление, а следовательно, и более осознанное применение в практике.

Использование разных знаково-символических средств для выражения одного и того же содержания выступает способом отделения содержания от формы, что всегда рассматривалось в педагогике и психологии в качестве существенного показателя понимания учащимися задачи. Из разных видов деятельности со знаково-символическими средствами наибольшее применение в обучении имеет моделирование.

Модель - это искусственно построенный аналог исследуемого объекта, процесса, ситуации, который отражает структуру связей и отношений исследуемого объекта для получения новой информации об изучаемом объекте. Под моделированием, таким образом, можно понимать способ построения модели.

В зависимости от действия, которого обеспечивают схематизированные модели делятся на вещественные и графические. Так, вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и так далее), могут быть представлены разного рода инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обобщенного схематического воссоздания ситуации задачи. К ним относят: 1) рисунок; 2) условный рисунок; 3) чертеж; 4) схематический чертеж (или просто схема).

В процессе моделирования выделяются следующие этапы: выбор модели, работа с моделью и переход к реальности.

Аналогические этапы (компоненты) входят в состав учебного моделирования:

- предварительный анализ текста;

- перевод текста на знаковосимволический язык, который может осуществляться вещественными или графическими средствами;

- соотнесение результатов полученных на модели, с реальностью (с текстами)

Каждый компонент деятельности моделирования имеет свое содержание со своим составом, которые, согласно психологическим исследованиям, должны стать самостоятельным предметом усвоения.

В ходе работы с моделью вынесение во внешний план элементов задачи и их отношений настолько обнажает связи и зависимости между величинами, что иногда перевод сразу ведет к открытию решения. Однако во многих задачах перевод текста на язык графики является только началом анализа, а для решения требуется дальнейшая работа со схемами. Именно здесь возникает необходимость формирования у учащихся умения работать с моделями, преобразовать их. При этом необходимо иметь в виду, что уровень графической подготовки при построении модели и работе с ней (согласно психологическим исследованиям) определяется главным образом не степенью владения учеником техникой выполнения графического изображения, а тем, насколько он готов к мысленным преобразованиям образно - знаковых моделей, насколько подвижно его образное мышление.

При создании различного типа моделей очень важно определить, какая информация должна быть включена в модель (символы, знаки) будут употребляться для каждой выделенной составляющей текста. Очень важно определить, какие из них должны иметь одинаковую символику, а какие - разную.

Работу с моделью можно вести в двух направлениях:

- достраивание схемы, исходя из логического выведения, расшифровки данных задачи;

- видоизменение схемы, ее переконструирование. Соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью (с текстом).

Моделирование осуществляется для того, чтобы получить новые данные о реальности или ее описании, поэтому необхо-

Психолого-педагогические науки •••

димым моментом деятельности моделирования является соотнесение результатов с текстом. Из практики известно, что учащиеся после решения задачи так или иначе проверяют свои ответы для доказательства того, что они удовлетворяют условиям и требованиям задачи. Принципиально важным при проверке ответов решения задачи для деятельности моделирования является не столько выявление правильности (точности), сколько соотнесение данных, полученных на модели, с ее описанием в тексте. Поскольку перевод текста на знаково-символический язык, приводящий к построению модели, является важным этапом решения задач и вместе с тем вызывает наибольшие трудностями у учащихся, рассмотрим его на конкретных примерах

Задача 1. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 180 км друг от друга вышли два мотоциклиста навстречу друг другу. Скорость одного - 34 км/ч, а скорость другого - 26 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через: а) через 2 ч? б) через 3 ч? в) через 5 ч? г) через 7 ч?

Решение задач на движение трудно поддается мысленному представлению, а схематические рисунки дают возможность раскрыть связи между данными и искомым.

Проработаем над составной задачей.

- Прочитайте задачу.

- О чем говорится в задаче? (О движении двух мотоциклистов навстречу друг другу). Как будем оформлять наглядную интерпретацию этой задачи (В виде схемы с указанием направления движения). Какие величины можно выделить в задаче? (Расстояние, скорость, время.). Что известно в задаче? (Скорости мотоциклистов и расстояние между ними.) Что нужно узнать? (На каком расстоянии будут находиться мотоциклисты друг от друга через 2 ч, 3 ч, 5 ч, 7 ч.). (Кто может справиться с решением задачи самостоятельно, тот записывает решение сначала по действиям, а потом в виде выражения. Если вам трудно решить задачу самостоятельно, то работаем коллективно).

- Можем ли мы сразу ответить на поставленный в задаче вопрос? (Нет.) Почему? (Не знаем какое расстояние проходят вместе за 1 ч, 2 ч и т. д.). Как узнать за 1 ч сколько километров проходят лыжники? (34 + 26 = 60 км). - Чему равна скорость приближения лыжников? (60 км/ч). Как узнать какое расстояние пройдут мо-

79

тоциклисты за 2 ч. (Расстояние, пройденное за 1 ч равно (34 + 26) км, это и есть скорость движения, его умножим на 2). Где будут мотоциклисты через 2 ч. (На расстоянии 180 - (34 + 26) • 2 = 60 километров друг от друга). Где будут находиться мотоциклисты через 3 ч.? 5 ч? 7 ч? Вычислите расстояние между мотоциклистами. В котором часу встретятся мотоциклисты? В каком направлении будут двигаться мотоциклисты после встречи? Найдите расстояние между мотоциклистами через 5 ч, через 7 ч. Запишите выражение для каждого случая движения и вычислите расстояние между ними.

Дети убеждаются, что скорость сближения до встречи и скорость удаления после встречи меняется по закону: (26 + 34) • t

До встречи расстояние между мотоциклистами будет меняться так: 180 - (34 + 26) • t , а после встречи имеет вид: (34 + 26) • t, т. е. скорость движения при движении навстречу и в противоположном направлении находят сложением скоростей движущихся тел.

Работа со схемами к задачам.

На доске появляются схемы к задачам (рисуем схемы, комментируя каждый шаг).

Выбор схемы задачи, соответствующая решенной задаче.

Для подготовки учащихся к осознанному усвоению структуры текстовых задач можно использовать приемы выбора, преобразования и конструирования различных схематических чертежей.

26 км/ч 1 ч 34 км/ч

^ 180 км

через 3 ч через 3 ч

--------> <---------------

180 км

через 5ч 5 ч через 5 ч

> <

180 км

__________через 7 ч____________

через 7 ч 180 км

Рис. 1

80

• ••

Известия ДГПУ, №4, 2013

- Посмотрите на схемы и выберите те, которые подходят к решенной задаче для случаев а), б), в), г). Обоснуй свой выбор.

- Что вы можете сказать по схеме 1, по схеме 2?

- Нарисуйте схему к задаче по пункту б).

Поэтапно на схематических рисунках (Рис. 1) показан переход от встречного движения к движению противоположного направления.

Рассмотрим задачу на нахождение чисел по известным их попарным суммам, которые встречаются в учебниках начальной школы по различным УМК.

Задача 2 [1. С. 104]. У Робинзона и Пятницы вместе 11 орехов. У Робинзона и его Попугая 12 орехов. У Пятницы и Попугая 13 орехов. Сколько всего орехов у Робинзона, Пятницы и Попугая?

Решение задач такого вида представляет определенные трудности для учащихся, а схемы «в отрезках» наталкивают на верный путь решения.

Робинзон

Пятница

11

Попугай

Робинзон

}

12

Рис. 2

По предложенной схеме (Рис. 2) видно, что в общей сумме орехов повторяются по два раза число орехов каждого. Отсюда 12 + 13 + 11 = 36 орехов два раза больше всего орехов Робинзона, Попугая и Пятницы вместе взятых. Всего орехов Робинзона, Пятницы и Попугая равно 36 : 2 = 18 орехов. Отсюда вспомогательная словесная модель:

число орехов Робинзона = 18 - (число орехов Попугая + число орехов Пятницы), число орехов Робинзона = 18 - 13 = 5;

число орехов Пятницы = 18 - (число орехов Робинзона + число орехов Попугая), число орехов Пятницы = 18 - 12 = 6;

число орехов Попугая равно 18 -(число орехов Пятницы + число орехов Робинзона), число орехов Попугая = 18 -11= 7.

Такая схема «в отрезках» наводит на подсказку и приводит к верному ответу, в частности, сама схема может быть решением.

Использование схематического моделирования позволяет построить процесс знакомства с составной задачей на основе частично-поискового метода: при таком подходе достаточно после решения простой задачи задать еще один вопрос, и схема приобретает новый вид, моделируя ситуацию составной задачи.

Учитель обращает внимание на возможность выполнения этого задания разными способами и подводит учеников к выводу, что одна и та же ситуация может моделироваться по - разному Основное назначение различных видов наглядности (картинок, рисунков, схем и чертежей) при ознакомлении с текстовыми задачами состоит в том, чтобы способствовать лучшему пониманию учениками содержания, зависимостей между величинами, входящими в эти задачи, способствовать выбору и обоснованию каждого действия.

Схема следующей задачи показывает, чтобы получить 90 к сумме трех равных отрезков поэтапно прибавляются 25 и 50.

Задача 3 [1. С. 95]. Шла по улице семья крокодилов: дед, два отца да два сына. Всем вместе было 90 лет. Сколько крокодилов шло по улице? Сколько лет каждому, если каждый отец старше своего сына на 25 лет? По предложенной краткой записи трудно детям найти верное решение задачи, а вот по второй схеме (Рис. 3) с отрезками легко предложить решение арифметическое и параллельно алгебраическое.

Дед - ? на 25 >---- -4 Дед - 25 П 25

Отец - ? на 25 > -1 . -- 90 лет Отец | | 25 J 90 лет

Сын - ? <—-I Сын | |

Рис. 3

Психолого-педагогические науки •••

81

На схеме выделены три отрезка равной длины, равные возрасту сына и их сумма равна 90 -25 - 50 = 15. Возраст сына равен 15 : 3 = 5 лет, а возраст отца 5 + 25 = 30 лет и возраст деда равна 30 + 25 = 55 лет. Параллельно составим уравнение, обозначив возраст сына через х. Тогда возраст отца равен (х + 25) лет и возраст деда (х + 25) + 25 лет. Так как всем вместе им 90 лет, то уравнение имеет вид: х + (х +25) + (х + 25) + 25 = 90. Отсюда 3х + 75 = 90, х = 5. Задача 4. Два куска одинаковой ткани стоят 360 р. В

одном из них 5 м, а в другом -4 м. Сколько стоит каждый кусок ткани?

Учитель совместно с учащимися обсуждает условие задачи. Составляется её краткая запись (табл. 1).

Таблица 1

цена количество стоимость

одинаковая 5 м. ?р. 1

4 м. ?р. J 360 р.

При поиске плана решения задач используем схемы разбора, приведенные в табл.2.

Таблица 2

Решение задачи можно дать в нескольких способах

Способ 1:

1) 5 + 4 = 9 (м.)

2) 360 : 9 = 40 (р.)

3) 40 • 4 = 160 (р.)

4) 360 - 160 = 200 (р.)

Способ 2 (записать самостоятельно, не изменяя первые действия).

Мы считаем, что проверить правильность решения поможет графическая модель задачи. Такую модель можно использовать и для проведения исследова-

ния: она помогает выявить условия, при которых задача имеет (или не имеет) решение, найти число решений, выяснить, как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин и т. д.

Таким образом, удачно составленная модель способствует, как формированию у учащихся умения решать текстовые задачи, так и её проверке, помогает найти рациональный способ решения и организовать индивидуальный подход при обучении решению текстовых задач.

Примечания

1. Гейдман Б. П., Мишарина И. Э., Зверева Е. А. Математика. Учебник для 3 класса общеобразовательных учреждений. Первое полугодие. Москва «Русское слово». Изд. МЦНМО. 2013.

Notes

1. Geydman B. P, Misharina I. E, Zvereva E. A. Mathematics. Textbook for 3thd form of educational institutions. First half. Moscow “Russian word.” MCCME. 2013.

Primechanija

1. Geydman B. P., Misharina I. E., Zvereva E. A. Matematika. Uchebnik dlya 3 klassa obsheobrazovatelnih uchrejdeniy. Pervoe polugodie. Moskva. «Russkoe slovo». Izd. MCNMO. 2013.

Статья поступила в редакцию 20.12.2013 г.