СХЕМА РАСЧЕТА ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДО ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2015

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Информатика. Механика

Вып. 4 (31)

УДК 519.21:681.5.072

Схема расчета функций чувствительности до второго порядка для линейных стохастических дифференциальных систем с постоянными запаздываниями

И. Е. Полосков

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул.Букирева, 15 [email protected]; тел. (342) 239-65-60

В работе рассматривается задача оценки чувствительности линейных стохастических дифференциально-разностных систем с аддитивными шумами и кратными запаздываниями к изменению детерминированных параметров. В качестве характеристик чувствительности выбраны первые моментные функции (математические ожидания и ко-вариации) для функций чувствительности вектора состояния до второго порядка. На основе сочетания классического метода шагов и расширения пространства состояния построена цепочка уравнений без запаздывания, которая описывает поведение искомых характеристик.

Ключевые слова: стохастическая система; функция чувствительности-, детерминированный параметр; запаздывание; вектор состояния; математическое ожидание; к овариация.

Введение

При анализе устойчивости и качества систем обычно предполагается, что значения параметров объектов и устройств управления в процессе эксплуатации остаются постоянными. В действительности по разным причинам параметры системы постоянно меняются со временем, а текущие значения параметров отличаются от расчетных. Кроме того, значения параметров могут иметь разброс вследствие допусков на изготовление.

©Полосков И. Е., 2015

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Минобразования и науки России (Задание № 2014/153).

Это приводит к необходимости разработки методов изучения влияния такого разброса.

Известно, что аппарат классической теории чувствительности (ТЧ) [1-8] является важным средством анализа и синтеза различных систем и теоретической основой построения оптимальных систем. Фундамент методов ТЧ составляют классические методы теории малых возмущений, соответствующим образом дополненные и интерпретированные. Основными задачами, рассматриваемыми в ТЧ, являются анализ влияния малых изменений конструктивных параметров и внешних условий работы на динамику системы, а также синтез систем, малочувствительных к изменению этих факторов [9]. Например, при исследовании авто-

матических систем важно знать, как влияет изменение определенного параметра на качество системы.

Теория чувствительности динамических систем совместно с анализом неопределенности изучает зависимость свойств этих систем от их меняющихся параметров и характеристик. Показатель чувствительности служит мерой влияния вариаций параметров на указанные свойства.

В основе разнообразных методов ТЧ лежит использование функций чувствительности, по сути, представляющих собой градиенты интересующих исследователя показателей качества работы объекта по некоторым совокупностям параметров, характеризующих саму систему и внешнюю среду [1].

Вычислив функции чувствительности, можно решить ряд задач анализа и синтеза систем управления, находящихся под действием параметрических возмущений; изучить структурную устойчивость линейных и нелинейных систем [2], включая бифуркации и искажение формы [10], течения с химическими реакциями в аэродинамике [11]; оценить влияние краевых условий в дифференциальных уравнениях в частных производных; решить задачи численной оптимизации (градиентные методы) и оптимального конструирования [11], включая синтез оптимальных (адаптивных) систем [13]; минимизировать функционал стоимости; найти решение ряда проблем теории вероятностей, стохастического анализа, нелинейного программирования, теории управления, движения твердых тел, химических физики и кинетики, атмосферных наук, геофизики, социально-экономических и биологических наук, обратных задач электропроводимости и упругости, теплопередачи, термоупругости, пьезоэлектричества, изучения магнитных материалов, модальной идентификации, особых течений жидкости, включая подземные, надежности, хаоса [14] и т.п.

Можно отметить расчеты чувствительности непрерывных и разрывных систем с сосредоточенными и распределенными параметрами; решений вариационных задач и краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных; (нулей и полюсов) передаточных функций и частот-

ных характеристик; критериев оптимальности [13]; для оценки характеристик отклика (смещений, напряжений, собственных частот, нагрузок, размеров и форм) [15], механической структуры и геометрии тел, параметров материалов (композитов) и конструкций (балки, пластины, оболочки); при анализе скорости химических реакций; моделировании ядерных реакторов, расчете и использовании обратной связи и др.

Выгоды использования ТЧ основаны на строгом математическом основании (методы возмущений, вариационные принципы) [11].

Но, наряду с положительными моментами, необходимо отметить и трудности, сопутствующие использованию аппарата ТЧ: сложность получения уравнений для функций чувствительности, учет параметров в модели нерегулярными способами, необходимость привлечения нестандартных методов для индивидуального анализа систем, проблемы идентификации корректных граничных условий, длительные численные расчеты и др.

В некоторых случаях для уменьшения объема рутинной работы и обеспечения правильности выполнения длинных аналитических выкладок здесь возможно использование систем аналитических вычислений (компьютерной алгебры, CAB, КА).

В последнее время появились новые направления в развитии теории чувствительности и, в том числе, современной ветви - стохастической теории чувствительности [12]. Например, в работе [2] эта теория распространяется на существенно нелинейные системы со случайными параметрами и шумами. Такие модели описывают разброс характеристик реальных объектов, вызванный случайными отклонениями технологических режимов производства, процессами старения и износа во время эксплуатации; влияние конструкционных параметров на динамику соответствующих объектов и др.

Среди стохастических задач можно отметить следующие: исследование точности линейных стохастических систем; оценка влияния вектора неслучайных параметров на изменение фазовых координат, удовлетворяющих системе линейных (по фазовым координатам, но нелинейным по параметрам)

уравнений, причем мерой влияния параметров является интеграл по времени от квадратичной формы первых и вторых моментов; анализ влияния вектора неслучайных начальных условий на динамику нелинейной неразрешенной относительно старших производных системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) со случайными параметрами и др.

В настоящее время, наряду с анализом чувствительности обычных систем, значительное внимание привлекают объекты, поведение которых описывается уравнениями с отклоняющимися аргументами [16] как детерминированными [17], так и стохастическими [18-20]. Например, в механике сплошных сред важный объект - материалы с памятью (пластичность), а в биологии важны оценки влияния возмущений начальных данных, управлений, запаздываний и др., которые могут быть не только константами, но и функциями времени [21]. Отмечается [22], что анализ чувствительности важен при моделировании и интерпретации прогноза, вносит весомый вклад в искомый результат при построении, идентификации и проверке моделей, оценке надежности и запаса прочности, принятии решений в условиях неопределенности и при упрощении моделей и т.п.

Настоящая работа продолжает цикл наших исследований (см. [23-26]) в рамках указанного выше направления, причем оценивается поведение нового класса систем -линейных стохастических дифференциально-разностных уравнений (СДРУ) с кратными запаздываниями и аддитивными шумами - по отношению к изменению значений детерминированных параметров. Метод исследования основывается на комбинации метода шагов и расширения фазового пространства [27,28].

1. Постановка задачи оценки чувствительности

Определим основные объекты, используемые ниже [2,3,13].

Под чувствительностью динамической системы понимается зависимость свойств этой системы от изменения (вариации) ее параметров и характеристик; способность объ-

екта реагировать определенным образом на определенное малое воздействие, а также количественная характеристика этой способности.

К параметрам систем в рамках теории чувствительности относят начальные условия, коэффициенты уравнений, величины, меняющие порядок системы, собственные частоты, частоты импульсов, запаздывания и др.

Параметрическая чувствительность -чувствительность объекта к отклонениям параметров его основных частей от номинальных значений основных характеристик объекта.

Под вариацией параметров понимают любые отклонения их от значений, принимаемых за исходные (номинальные).

Эти отклонения могут быть известны полностью и описаны некоторыми функциями времени или же известны только с точностью до принадлежности к определенному множеству или классу функций. Вариации параметров могут быть конечными или бесконечно малыми. При этом порядки описывающих их дифференциальных уравнений могут оставаться неизменным или изменяться.

В качестве оценок чувствительности используются функции чувствительности, играющие большую роль в количественной оценке степени влияния разброса параметров системы относительно их номинальных значений на ее динамического свойства.

Функции чувствительности первого и второго порядка вектора состояния для детерминированных систем определяются соотношениями

Х1 (г) = [хцз(г)}, хцу --

Х2(г) = [хЩи(г)},

дх()

дРз д2хг (г)

Р=Ро

дРздрк

Р=Ро

где х(г) = {х1(г),х2(г),...,хп(г)}т - вектор СОСТОЯНИЯ, Р = {Р1Р2, ...,Рг }т, Ро = {Р01,Р02, • ••) Рог}т _ векторы параметров и их номинальных значений,Т - символ транспонирования.

Для непрерывных динамических систем функции чувствительности удовлетворяют

дифференциальным уравнениям специального вида, которые получаются формальным дифференцированием исходных уравнений модели по параметрам и должны решаться совместно с последними при р = р0, а термин " методы уравнений чувствительности" относится к широкому классу вычислительных методов, которые определяют чувствительность с помощью вывода и решения соответствующих уравнений.

Функции чувствительности содержат ценную информацию, например, для решения задач синтеза систем автоматического управления. Одной из важнейших задач является синтез систем, обладающих минимальной чувствительностью к вариации параметров.

Нетрудно увидеть, что условием существования функции чувствительности является непрерывность фазового вектора системы по отношению к параметрам, которые могут быть как постоянными, так и зависящими от времени.

Кроме того, в теории чувствительности используются понятия основного (базового, номинального, невозмущенного) и дополнительного движений.

К прямым задачам ТЧ, в которых по известным функциям чувствительности вариациям параметров определяются характеристики дополнительного движения, относятся проблемы анализа точности, инвариантности, устойчивости, управляемости и наблюдаемости возмущенных систем.

Большое практическое значение имеет обратная задача, которая заключается в оценке изменения параметров системы по наблюдению вызванного ими возмущения выходного сигнала. Вычисленные вариации параметров по отклонению выходного сигнала можно использовать для активного воздействия на параметры системы управления с целью улучшения качества работы системы в целом.

Рассмотрим систему линейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) с кратными постоянными запаздываниями (СДРУ) следующего вида:

к

р) = ^2 £к,к-е&р) X(г - 1т; р) +

е=о

+ Ск (г; р)+ Нк (г; р) V (г),

¿0 + кт <г < Т + <х, (1.1)

где г - время; т > 0 - основное запаздывание; к ^ 1 - целое; X е Мга - вектор состояния; V(•) е Кт - вектор независимых гауссовых белых шумов с единичными ин-тенсивностями,

Е[V(г)] = 0, е V(г) Vт(г')1 = е б(г — г1)

(Е - символ математического ожидания, Е - единичная матрица); р е Кг - вектор детерминированных параметров, причем ро -вектор их номинальных значений.

Будем считать, что на интервалах (¿о + кт, г0 + (к + 1) т], к = 0, 1, 2, ..., к — 1, вектор состояния X(г; р) удовлетворяет системам СДУ/СДРУ в следующей форме:

К

х(г;р) = ^2 Як,к-е(г;р) X(г — £т;р)+ £=о

+ Ск(г;р)+ Нк(г;р) V(г), (1.2)

причем в уравнениях (1.1) и (1.2) <2,К}К-г, НК(г; р) и сК(г; р) (к = 0, 1, 2, ..., к) - извест-

г

но-дифференцируемые по компонентам век-р

Кроме того, предположим, что известны все необходимые числовые характеристики случайного вектора X°(р) = X (¿о ; р)- В частности, пусть для вектора X°(р) заданы вектор математических ожиданий

т

\р)= Е [X °(р)]

и матрица ковариации

со(р)= Е\Xо(р) {Xо(р)}т

где

Xо (р) = X о(р) — т°(р).

Учитывая то, что система СДРУ (1.1), (1.2) линейная, а возмущение гауссово, несложно сделать вывод о нормальности векторного случайного процесса процесса X(г) - решения указанной системы. Это позволяет в рамках настоящего исследования ограничиться оценкой функций математического ожидания

тх (г; р)= Е [X (г; р)]

и ковариации

Сх(г; Р)= Е Х(г; Р) Xт(г; Р)

процесса X(г; р) (Х(г; р) = X(г; р) — тх(г; р)), а также функций чувствительности этих характеристик к изменению вектора параметров.

2. Схема решения задачи

Для того чтобы исследовать случайное изменение вектора X(г; р) и его числовых характеристик при значениях времени г > Ьо посредством преобразования немарковского векторного процесса в марковский, необходимо расширить пространство состояния системы. Для реализации этой процедуры введем следующиее обозначения:

8 е [0,т], гд = го + д • т, Ьмт ^ т,

Дд = (гд ,гд+1], д = 0,1,2,...,Мт, = 8 + гд, У(8) = X

X д (8)= X (8д), V д (8)=У (8д ),

2 = ео1(У, Xо), Z1 =со\^о, X1),

22 =ео1Х 1, X2), ...

X д (0)= X д-1(т), V д (0)= Уд-1(т),

где ео1(-) - вектор, состоящий из компонентов векторов-аргументов. Здесь и далее равенства случайных векторов выполняются

Р

краткости опускается.

Рассмотрим по шагам последовательность полуотрезков Дд, д = 0,1, 2,..., Ыт-0°. Начнем с До- Определенный на поДо

2о(8) удовлетворяет системе СДУ (точкой

8

У(8) = 0, У (0) = хо,

X о(8) = Яоо (8о) X о(8) + Со(8о) +

+ Но(8о) Vо(8).

1°. Проанализируем поведение системы До Д1

полуотрезках векторный процесс 21(8) является решением системы СДУ вида:

У(8) = 0, У (0) = хо,

X о(8) = 2оо(8о) X о(8) + Со (8о) +

+ Но(8о) Vо(8),

1

X 1(8) =^2 Яи(81) Xе(8) + £=о

+ С1(81) + %1(81) V1 (8).

До

Д1 Д2

ео1(У, Xо, X1, X2) можно представить так: У(8) = 0, У (0) = Хо, X о(8) = Яоо(8о) X о(8) + Со (8о) +

+ Но(8о) Vо(8),

X 1(8) = ^ Яи(81) Xг(8) +

£=о

+ С1(81) + Н1(81) V1 (8),

X2(8) = ^ Я2е(82) Xе(8) +

£=о

+ С2(82)+ Н2(82) V 2 (8).

До Д1 Д2

Дк расширенная система СДУ примет вид:

У(8) = 0, У (0) = Хо, Xо(8) = Яоо(8о) Xо(8) + Со(8о) +

+ Но(8о) Vо(8),

1

X 1(8) = ^ Ян(81) Xе(8) + £=о

+ С1(81) + Н1(81) V 1(8),

X2(8) = ^2 Я2£(82) X¿8) +

£=о

+ С2(82)+ Н2(82) V2(8),

Xк (8) = ^ Ям(8к) X¿(8) +

£=о

+ Ск(8к ) + Нк (8 к ) V к (8).

(к+1)°. Если для предыдущих полуотрезков расширенные системы СДУ формировались однородно, то с данного шага техника построения систем СДУизменяется интер:

У(в) = 0, У (0) = Хо, Xо(в) = 2оо(8о) Xо(в) + Со(8о)+

+ Но(во) Vо(з),

X 1^ = 22 (*1) Xг(8)+

г=о

+ С1(в1)+ Н1(в1) V 1(8),

XX2(8) = ^ Я21 (82) X£(8) +

г=о

+ С2(82)+ Н2(82) V2(8),

Xк(8) = 22 0-кг(8к) Xг(8) +

г=о

+ Ск (8 к) + Нк(8к ) V к (8),

Xк+1(8) = ^2 £кг(8к+1) Xг+1(8)+

г=о

+ Ск(8к+1) + Нк(8к+1) Vк+1(8).

№. И наконец рассмотрим временные полуотрезки Д^ Дь ..., Ам (М = Жт)■ Построим систему СДУ для вектора 2N в виде

У(8) = 0, У (0) = Хо,

X о(8) = Яоо (8о) X о(8) + Со(8о) +

+ Но(8о) Vо(8),

X 1(8) = ^2 21г(81) Xг(8)+

г=о

+ С1(81)+ Н1(81) V 1(8),

X2(8) = 22 0-2£(82) Xг(8) +

г=о

+ С2(82)+ Н2(82) V2(8),

Xк(8) = 22 £кг(8к) Xг(8)+

г=о

+ Ск(8к ) + Нк (8 к ) V к (8),

Xк+1(8) = 22 £кг(8к+1) Xг+l(8) +

г=о

+ Ск (8к+1) + Нк (8к+1) Vк+1(8),

XN(8) = 22 &кг(8м) Xг+м-к(8) +

г=о

+ Ск (8м ) + Нк (8м ) V N (8).

3. Уравнения для моментных функций

Построим теперь ОДУ для моментных функций, а также для требуемых функций чувствительности на основе цепочки уравнений для векторных случайных процессов

(г), д = 0, 1, 2, ..., М^

Для векторных функций математического ожидания

т

(8) = со1 (шу (8),тх о(8),

тх 1(8),...,тхд(8))

на участке Дд такая система управляющих уравнений будет выглядеть так:

п[х (8) = Я[д](8) т[Х(8) + (8), (3.1)

тX 8 — ^ "8 ,,0Х 1

а для матрицы ковариаций

СХ](8) =

СУУ СУХо СУХ1 СХоУ СХоХо СХоХ1 СХ1У СХ1Х0 СХ1Х1

СХд У СХд Хо СХд Х1

на том же участке

сухч

СХоХч СХ1ХЧ

Схд хд

¿1Х](8) = Я[д](8) СХХ (8)+ [Я[д](8) СХ(8)] Т+

+ Н[д](8) {Н[д](8)}Т, (3.2)

где

СХХ< = Е

X г(8){ X , (8)}

т

X г(8) = X г (8) — тхг(8),

Я[д](8) =

" 0 0 0 0

0 Яоо (8о) 0 0

0 Я1о(81) Яп(81) 0

0 Я2о (82) Я218) Я22 (82)

_ 0 Ядо (8д) Яд1(8д) Яд2 (8д)

НЫ(8) =

0 0 0 0

0 Но(8о) 0 0

0 0 Н1(81) 0

0 0 0 Н2(82)

0 0

0

0

0 0 0 0

Ядд(8д)

0 0 0 0

Нд (8д)

,[д]

(8) = ео1 (0, Со(8о),

для д ^ к и

Я[д](8) =

С1(81), С2 (82), ..., Сд (8д))

Я[к](8) Я12(8) Я21(8) Я[£(8)

я12 (8) =

0 0 0 0

0 0 ... 0

Н2'^(8) =

'Нк (8к+1) 0 0 0 Нк (8к+2) 0 0 0 Нк (8к+ъ)

0 0 0

Нк (8д)

0 0 0

(8~) =ео1( С[к^8), Ск (8к+1),..., Ск (8д )) .

для д > к.

Начальные условия для уравнений (3.1) и (3.2) будут выглядеть так:

т[о](0)

т то

т[д](0)

сХ](0) =

т[д-1] (0) тд-1(т)

Со Со

оо

сХ (0) =

с

[д-1]

х С.

[д] 21

(0) С С.

с[\ = [Схя-1У(т) Сх-Х(т) ...

С12 = {С[}} т, С2д1= С г 1Х,_ 1 (т)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Схд-1Хд-2 (т)], (3.7)

(3.8)

(3.9)

Я[д1(8) =

0 0 Яко(8к+1) Як1(8к+1) ... Як,к-1(8к+1) 0 0 0 Яко(8к+[) ... Як,к-2(8к+2)

я[2(8)}т=

Ятк(8к+1) Ят>к-1(8к+2) 0 Ятк(8к+2) 0 0

0 0

Н[д](8) =

0 0 0

Ят,к-1(8д) яТкк(8д)

Н[к](8) 0 0 Н[д1(8)

4. Уравнения для функций чувствительности

На основании уравнений для первых моментов можно построить ОДУ для функций чувствительности. Для этого достаточно левые и правые части построенных уравнений продифференцировать один раз по р\ и дважды по р\, рц, X, ц, = 1, 2, ..., г в точке Р = Ро

т[Х](8), то, С[Х\8), Со, Я[д](8), Н[д](8), С[д](8) ввести единообразные обозначения значений

Р = Ро

например,

т

[д]

х

(8) = тХ](8)

Р=Ро

т

[д] хл

(8) =

д т1ХХ](8)

Р=Ро

m

[9]

XX/

(s) =

d2mX (s)

dpxdpj

P=Po

то искомые уравнения на шаге д будут выглядеть так:

тХ (8) = а[д] (8) тХ (8) + с[д (8), (4.1)

m %[(s) = Q?](s) mX(s)+

Ля]

+ Q[x](s) mXx(s) + cX(s), (4.2)

m Xx/(s) = qXJ (s) mX(s)+ + Q[X](s) mXj(s) + Q[X](s) mXx(s)+

+ Q[X(s) mXx/(s) + cX (s), (4.3)

[q]

cqX (s) = Q[X] (s) (s)+QX (s) eg (s)] T+ + HX(s) {H[x](s)}T, (4.4)

cXx(s) = QlX(s) cX(s) + Qx(s) cXx(s) + + QX(s) c^XsV+[Q[x](s) cqxx(s)]T+ + HlX(s) {H[я\з)}Т+H[x\s) {?H?(s)}T

(4.5)

^ я]

С'хх,(8) = ЯХ, (8) СХ(8) + ЯТ (8) СХ,(8) + + ЯХ(8) СХх(8) + Я[д](8) СХх»(8) +

+ (8) С-Х (8) + ^(8) С[Х,(8)]Т + + ЯХ(8) СХх(8) + Я[д](8) С[д]хМТ+ + ЯХЦ (8) {Н [д](8)}Т +НХ(8) {Н[д](8)}Т +

+ НХ(8) {НХ(8)}Т +Н[д](8) {Н%1 (8)}Т.

(4.6)

Начальные условия для этих уравнений естественным образом могут быть получены из соотношений (3.3) - (3.9).

Заключение

Построенные в работе уравнения (4.1) - (4.6) представляют собой замкнутую систему детерминированных обыкновенных

Xfc\ г1я]

дифференциальных уравнений относительно математических ожиданий и матрицы ко-вариаций векторного случайного процесса, определяющего состояние системы, и функций чувствительности. Численное интегрирование этих уравнений не требует использования метода Монте-Карло [29], а следовательно, и множественных имитаций для расчета искомых характеристик. Кроме того, для указанного интегрирования не нужны специальные алгоритмы, ориентированные на дифференциальные уравнения с запаздыванием.

Список литературы

1. Пугачев B.C., Казаков II. /•,'.. Евланов Л. Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Машиностроение, 1974. 400 с.

2. Розепвассер Е.Н., Юсупов P.M. Чувствительность систем автоматического управления. Л.: Энергия, 1969. 208 с.

3. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М.: Сов. радио, 1972. 240 с.

4. Frank P.M. Introduction to system sensitivity theory. New York: Academic Press, 1978. 386 c*

5. Eslami M. Theory of sensitivity in dynamic systems: An introduction. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1994. XVIII, 600 p.

6. Kleiber M. Parameter sensitivity in nonlinear mechanics: Theory and finite element computations. Chichester: John Wiley k, Sons Ltd, 1997. 424 p.

7. Saltelli A., Tarantola S., Campolongo F., Ratto M. Sensitivity analysis in practice: A guide to assessing scientific models. Chichester: John Wiley k, Sons Ltd, 2004. 232 p.

8. Adam,s B.L., Kalidindi S.R., Fullwood D. T Microstructure sensitive design for performance optimization. Amsterdam: Elsevier, 2013. XIV, 410 p.

9. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.: Мир, 1988. 428 с.

10. Ohsaki М., Ikeda К. Stability and optimization of structure: Generalized sensitivity analysis. Springer Science + Business Media, LLC, 2007. 221 p.

11. Stanley L.G., Stewart D.L. Design sensitivity analysis: computational issues of sensitivity equation methods. Philadelphia: SIAM, 2002. 162 p.

12. Socha L. A survey of quantitative and qualitative methods of sensitivity analysis for stochastic dynamic systems // Stochastic Structural Dynamics l:New Theoretical Developments /Y.K.Lin, I.Elishakoff (eds.). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1991. P. 193-222.

13. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А.Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

14. Cacuchi D.G. Sensitivity and uncertainty analysis. Boca Raton: Chapman k, Hall / CRC, 2003. Vol. 1. 285 p.

15. Choi K.K., Kim N.H. Structural sensitivity analysis and optimization. Springer Science+Business Media, Inc., 2005. 335 p.

16. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

17. Рубан А.И., Уттмев К.Т. Корректность линейного приближения в теории чувствительности для динамических моделей с запаздываниями // Автоматика и телемеханика. 1996. Вып. 7. С. 43-51.

18. Рубаник В.П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Нзд-во "Университетское", 1985. 143 с.

19. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально - функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. 421 с.

20. Kushner H.J. Numerical methods for controlled stochastic delay systems. Boston: Birkhauser, 2008. XIX+281 p.

21. Rihan F.A. Sensitivity analysis for dynamic systems with time-lags // Journal of

Computational and Applied Mathematics. 2003. Vol. 151, № 2. P. 445-462.

22. Rihan F.A. Adjoint sensitivity analysis of neutral delay differential models // Journal of Numerical Analysis, Industrial and Applied Mathematics. 2010. Vol. 5, № 1-2. P. 95-101.

23. Полосков И.Е. Об одном подходе к оценке чувствительности нелинейных систем к изменению параметров // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2002. С. 58-69.

24. Полосков И.Е. О чувствительности линейных стохастических систем к изменению детерминированных и случайных параметров // Там же. Пермь, 2005. Вып. 37. С. 128-137.

25. Полосков И.Е. Чувствительность линейных стохастических дифференциально-разностных систем к изменению детерминированных параметров // Там же. Пермь, 2007. Вып. 39. С. 197-204.

26. Полосков И.Е. Расчет чувствительности некоторых нелинейных дифференциальных систем с запаздыванием к изменению детерминированных параметров // Вестник Пермского ун-та. Информационные системы и технологии. 2011. Вып. 12 (38). С. 70-75.

27. Полосков И.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. 2002. № 9. С. 58-73.

28. Poloskov I.E. Symbolic-numeric algorithms for analysis of stochastic systems with different forms of aftereffect // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM). 2007. Vol. 7, № 1. P. 2080011-2080012.

29. Fishman G.S. Monte Carlo. Concepts, algorithms and applications. New York: Springer-Verlag, 1999. XXV, 698 p.

Scheme for calculation of sensitivity function until the second degree for linear stochastic differential systems with constant delays

I. E. Poloskov

Perm State University, 614990, Perm, Bukirev St., 15 [email protected]; (342) 239 65 60

In this paper we consider the problem of estimating the sensitivity of linear stochastic differential-difference systems with additive noises and multiple delays to a change of deterministic parameters. The first moment functions (expectations and covariances) for the sensitivity functions of the state vector to the second order were selected as characteristics of the sensitivity. A chain of ordinary differential equations without delays was derived on the basis of combination of the classical steps' method and an expansion of the state space. These equations describe the behavior of the required characteristics.

Keywords: stochastic system,; sensitivity function; deterministic parameter, delay, state vector, mathematical expectation; covariation.