Сферические дизайны Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 9. 2009

УДК 519.652

СФЕРИЧЕСКИЕ ДИЗАЙНЫ А.Б. Певный, А.М. Дурягин

Даётся определение сферического £ - дизайна в М”. Приводится пример 4-дизайна в Ж3. Подробно исследуется вопрос о виде I - дизайнов на плоскости, их можно назвать круговыми дизайнами.

1. Введение

Пусть t — четное число, t > 2. Система векторов {<^ь (р2, ■ ■ ■ , <Рт} в Еп, ||<^|| = 1, г 6 1 : т, называется сферическим £-дизайном, если для любого 1бКп выполнено тождество

т

1=1

где А > 0 — некоторая константа. Такое определение используется в [3].

При £ = 2 сферические 2-дизайны — это то же самое, что жёсткие фреймы, состоящие из единичных векторов.

Следует отметить, что есть другое определение сферического дизайна, связанное с интегрированием по единичной сфере в Мп (см., например, [2], [4]).

Количество элементов сферического ^-дизайна не может быть меньше некоторой нижней границы. А именно, при I — 2з должно выполнятся неравенство (см. [3]):

(1)

Например, при п — 3,^ = 4, 8 = 2 выполняется неравенство

т > С\ — 6.

Приведем пример минимального (состоящего из 6 векторов) 4-дизайна в пространстве М3.

© Певный А.Б., Дурягин А.М. , 2009.

2. Пример 4-дизайна

Рассмотрим векторы

91 1? 0)? р4 1? 0)?

92 (О? 9ь (^5 ^ l)?

9s 9ft (

где a = 1+2^ золотое сечение. Точки gb...,g6 лежат на сфере Sr радиуса

д=Л/тт^=

Введем единичные векторы — дг/И. Эти векторы обладают свойством равноугольности

\((Pi^ ^‘)| = ъ Ф 3-

Покажем, что система {(р^=1 является сферическим 4-дизайном. Пусть X = {х, у, г} ^ К3. Вычислим сумму

F„(A-)= £[<Й,Л')Г

г=1

= (ах + у)4 + (ау + г)4 + (ос + х)4 + (ах — у)4 + (ау — г)4 + (аг — х)4.

(2)

При возведении в 4-ую степень все нечётные степени х, у, г уничтожатся. Придём к выражению

^4(Х) = 2[(1 + аА)хА + (1 + аА)уА + (1 + а4:)г4: + 6а2х2у2 + 6а2у2г2 + 6а2х222].

Нетрудно подсчитать, что 1 + а4 = За2 = |(3 + л/5)-Введем обозначение

А = 2(1 + а4) = 2 • 3а2 = 3(3 + л/б).

Тогда

^4(Х) = А[хА + уА + *А + Ъх2у2 + 2у2г2 + 2х2г2} = А(х2 + у2 + г2)2 = А||Х||4.

(3)

Подставим в (2) — Кц){. С учетом (3) получим

Значит, система {<^ъ ..., <^б} является сферическим 4-дизайном в К3.

Ясно, что система ..., </?б} не является сферическим 6-дизайном в К3, ибо при п = 3,^ = 6, 5 = 3 выполнялось бы неравенство т > С| = 10, а у нас только 6 векторов.

Дополним систему <^1,..., <р6 векторами —<^і,..., — <р6.

Получившуюся систему из 12 векторов в М3 будем обозначать Ф — {^ъ • • • ? ^12}- Выпуклая оболочка системы Ф является икосаэдром, вписанном в единичную сферу. Система Ф является сферическим 2-дизайном и 4-дизайном.

3. Круговые дизайны

В этом пункте рассматриваются сферические дизайны на плоскости, где і произвольное чётное число, і > 2. Такие дизайны можно назвать круговыми.

Система векторов і} в М2, \\Ь^\\ = 1, к Є 0 : т — 1,

будет круговым і-дизайном, если выполняется равенство

т—1

£№ьА')]‘ = Л||Л-||‘, (4)

к=0

где А > 0 -константа, X = (х, у) - произвольный вектор из К2,

|| А’|| =

Пусть і = 2з. Неравенство (1) принимает вид

т > С]+1 = в + 1 = | + 1.

Если т — | +1, то дизайн будем называть минимальным. При і = 2 минимальный дизайн должен содержать два вектора (т — 2). Два единичных вектора &о и Ь\ образуют 2-дизайн (жёсткий фрейм) только тогда, когда эти векторы ортогональны: (60^1) = 0- В этом случае концы векторов {&о, 61, — 60, —61} совпадают с вершинами квадрата.

В мемуаре [3], р.23, без доказательства утверждалось, что при любом і > 2 половина вершин правильного (і + 2)-угольника, вписанного в единичный круг, образует круговой і-дизайн.

Докажем это утверждение путём непосредственной проверки равенства (4).

Пусть і — четное, і > 2. Положим

Разделим окружность на 2т — t + 2 частей и рассмотрим векторы у ( ктг ктг\

bk — cos —, sm — , к е 0 : m — 1. (6)

\ m m)

Это половина векторов с концами в вершинах правильного

2т-угольнпка.

Теорема. Векторы (6) образуют р - дизайн с константой

л m(p — 1)!!

Ap = ~pi\

для любого р — 2, 4,..., t.

4. Вспомогательное утверждение

Перед доказательством теоремы установим хорошо известную лемму о точности квадратурной формулы прямоугольников для

тригонометрических полиномов.

Лемма. Разделим отрезок [0, 2тг] на 2т равных частей с шагом h = Тогда для любого тригонометрического полинома

р

/и = ctk cos к(р + bk sin kip) k=0

порядка p, где p < 2m — 1, справедливо равенство

г»27г 2m—1

fM'bP = L'£ftm (7)

m ' \mJ

j=о

Доказательство. Полином f((p) можно записать в виде

№ = ^2 <ье**-

к=—р

Достаточно доказать (7) для функции егк,р, \к\ < р. При к = 0 получаем равенство 27Г = 2-7Г. Если же 1 < \к\ < р < 2т — 1, то сумма в (7) будет геометрической прогрессией со знаменателем

д = ^ктг/т ф г

Сумма в (7) равна

п2т 1 р21ктт 1

-—г =!—г- = °’

q — 1 q — 1

а интеграл также равен нулю. □

5. Доказательство теоремы

Произвольный вектор X = (х,у) можно представить в виде

X = г cos 9, у = г sin в,

где г = \J х2 + у2 = ||Х||, а в - некоторый угол.

Тогда для любого р = 2,4,..., t справедливы равенства

(bk,X) = r( cos — cos # + sin — sin в) =r COS (—-в),

V m m / V m /

m—1

Y,l(h.X)f = r»S(e), (8)

/c=0

где

m—1 7

' гС7Г

/с=0

Поскольку р чётное, ТО функция COSP (р имеет период 7Г. Отсюда

^ 2m—1 7

1 г / ктт

к=О

Выражение [сой((^ — в)]р является тригонометрическим полиномом порядка р по переменной (р. В силу (5) 2т = £ + 2, отсюда р < £ — 2т — 2 < 2т — 1. По лемме

1 777 Г 777

ад = 7>~ [«*(*> - 0)№ = — / [сой Л, (9)

^ ^ «/о ^ «/о

так как при сдвиге аргумента 27г-перподнческой функции на фиксированное число в интеграл не меняется. Последний интеграл вычисляется в ’’Курсе” Фихтенгольца (Т.2, п. 312):

Г2ж Г/2 0-1)!!

/ совр (рс1(р = 4 / совр срскр = 2ж—

</о </0

В силу (8) и (9) придем к равенству

Х>*,А-)]-=т(р~1)П||АТ

к=0

Теорема доказана.

р!!

Замечание. Добавим к системе (6) противоположные векторы

—Ьо, — &i, • • •, —bm-1- Получим систему из 2т векторов

у ( ктг . ктг\

bk — cos —, sin — , к е 0 : 2m — 1. (10)

V m m /

Эти векторы направлены в вершины правильного 2т-угольника.

Векторы (10) также образуют круговой р-дизайн (с константой 2Ар). Можно сказать также так: вершины правильного 2т-угольника образуют круговой р-дизайн при любом р — 2,4,..., 2т — 2 (из формулы (5) следует, что t = 2т — 2).

Более подробные сведения о сферических t - дизайнах можно найти в [1]- [4].

Литература

1. Андреев Н.Н., Юдин В.А. Экстремальные расположения точек на сфере// Матем. просвещение. Сер.З. Вып.1. 1997. С. 115-121.

2. Waldron S. Generalized Welch bound equality sequences

are tight frame// Technical Report. 18 March 2003

(http: //www. math. auckland. ac. nz/^waldron)

3. Bruce Reznick. Sums of even powers of real linear forms// Memoirs of Amer. Math. Soc. 1992. V.96. №463. P. 1-155.

4. Bannai E., Munemasa A., Venkov B. The nonexistence certain tight spherical designs// Алгебра и анализ. 2004■ Т. 16. Вып. 4-С. 1-23.

Summary

Pevnyi А.В., Duriagin A.M. Spherical designs

Definition of spherical t-design is made. The example of 4-design M3 is presented. The designs on a plane is in detail investigated, it is possible to name them circular designs.

Сыктывкарский университет

Поступила 11.03.2009