CC BY
91ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
59
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ВЫПОЛНЕНИЯ КОМПЛЕКСА ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ОПЕРАЦИЙ
Баришполец В. А.
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына, Российская академия наук, http://www.ccas.rn 119333, Москва, Российская Федерация
Поступила в редакцию 20.02.2011
В статье излагаются теоретические основы сетевого моделирования стохастических процессов выполнения комплекса взаимосвязанных операций (работ), которые включают метод построения сетевой модели со стохастической структурой и методы ее анализа. Предложенный метод построения сетевой модели со стохастической структурой позволяет использовать события с широкими логическими возможностями на входе и выходе и, в результате, адекватно отображать стохастический процесс выполнения комплекса взаимосвязанных операций (работ) с целью его исследования, прогнозирования развития, а также оптимизации с точки зрения затрат времени и ресурсов. Для получения оценок вероятностных характеристик сетевой модели со стохастической структурой предлагается применять метод статистических испытаний, численный метод и аналитический метод. Метод статистических испытаний является наиболее универсальным средством получения статистических оценок вероятностных характеристик сетевой модели со стохастической структурой. При его применении не возникает необходимость вводить ограничения на логические возможности событий сетевой модели на входе и выходе. В основе применения численного метода определения оценок вероятностных характеристик сетевой модели со стохастической структурой и случайной продолжительностью работ лежит замена плотности распределения продолжительности каждой работы гистограммой. Аналитический метод может применяться для анализа сетевой модели, содержащей петли и контуры, но имеющей ограничения на логические возможности событий.
Ключевые слова: математическое моделирование, сетевая модель, операция, работа, событие, характеристики сетевой модели.
УДК 519.95
содержание
1. построение сетевой модели со стохастической структурой (60).
1.1. Введение (60).
1.2. Определение сетевой модели со стохастической структурой (60).
1.3. Типы входов событий (61).
1.4. Типы выходов событий (62).
1.5. Правила построения (66).
2. анализ сетевой модели со стохастической структурой при помощи метода статистических испытаний (66).
2.1. Основные положения (66).
2.2. Розыгрыш структуры сетевой модели (67).
2.3. Розыгрыш продолжительности работ сетевой модели (69).
2.4. Определение продолжительности критического пути в отдельной реализации (70).
2.5. Определение необходимого количества реализаций (70).
3. численный метод анализа сетевой модели со стохастической структурой (71).
3.1. Введение (71).
3.2. Две последовательные работы (71).
3.3. Работы, исходящие из событий с выходами типа 1 и 3 (72).
3.4. События с входами типа 1 и 3 (73).
3.4.1. Событие с входом типа 1 (73).
3.4.2. Событие с входом типа 3 (случай 1) (75).
3.4.3. Событие с входом типа 3 (случай 2) (76).
3.5. Определение оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины по ее гистограмме (77).
4. аналитический метод анализа сетевой модели со стохастической структурой (77).
4.1. Последовательные работы (79).
4.2. Параллельные работы (80).
4.3. Петля (80).
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ (83).
ЛИТЕРАТУРА (83).
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
60 БАРИШПОЛЕЦ В.А.
1. ПОСТРОЕНИЕ СЕТЕВОЙ МОДЕЛИ СО СТОХАСТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ
1.1. Введение
В интересах принятияуправленческих решений в социально-экономической, организационнотехнической и военнойсферах всечащеприходится сталкиваться с необходимостью математического моделирования сложных процессов выполнения комплекса взаимосвязанных операций (работ, действий, мероприятий, подпроцессов). целью математического моделирования является исследование этих процессов, прогнозирование их развития, а также их оптимизация с точки зрения затрат времени и ресурсов. Решение этой задачи может быть выполнено с помощью сетевой модели, которая является логико-математической моделью процесса выполнения комплекса взаимосвязанных операций (работ), позволяющей определить параметры процесса исходя из учета параметров отдельных операций (работ) и их взаимосвязей. при этом необходимо отметить, что сложные процессы выполнения комплекса взаимосвязанных операций (работ) могут иметь детерминированный или стохастический характер.
Детерминированными процессами являются такие, для которых четко определены объем и последовательность (взаимосвязь) операций
(работ), конечные и промежуточные исходы. процессы такого типа отображаются с помощью сетевых моделей с детерминированной структурой, для построения и анализа которых имеется хорошо разработанный аппарат математических методов сетевого планирования и управления (СИУ) [1, 2, 3].
Стохастические процессы выполнения
комплекса взаимосвязанных операций
(работ) это такие процессы, которые каждый раз в зависимости от конкретных условий
обстановки протекают по-разному с точки зрения объема и последовательности
(взаимосвязи) операций, а также возможных промежуточных и конечных исходов. Адекватное отображение стохастического процесса возможно только при помощи сетевой модели со стохастической структурой, имеющей большие логические возможности для учета многовариантности взаимосвязей отдельных
операций, промежуточных и конечных 2
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
исходов по сравнению с сетевой моделью с детерминированной структурой. Сетевая модель со стохастической структурой должна позволить получить вероятностное суждение о стохастическом процессе выполнения комплекса взаимосвязанных операций (работ). Методы построения и анализа сетевой модели со стохастической структурой по своей сложности в значительной степени отличаются от методов построения и анализа сетевой модели с детерминированной структурой и к настоящему времени практически не разработаны.
1.2. Определение сетевой модели со стохастической структурой
Логико-математическая модель процесса выполнения комплекса взаимосвязанных работ, представленная в виде взвешенного ориентированного графа G = (N, U), вершины которого из множества N отображают события, а дуги из множества U — элементарные работы (операции, действия), называется сетевой моделью со стохастической структурой, если:
а) любое событие i рассматривается как логический элемент, состоящий из входа и выхода; вход события определяет условия, выполнение которых необходимо для его свершения, а выход показывает, какие исходящие из данного события работы (i,j) могут быть начаты после его свершения;
б) на входе и выходе события i может реализоваться одна из логических операций «И», «ИЛИ» и «исключающее ИЛИ», а также некоторая логическая функция или логическое условие.
понятие «работа», как и в сетевой модели с детерминированной структурой, может иметь следующие значения: действительная работа
— четко определенный элементарный процесс (действие, мероприятие), требующий затрат времени и ресурсов; ожидание — работа, не требующая затрат ресурсов, но потребляющая время; зависимость или фиктивная работа
— логическая связь между двумя событиями, не имеющая образа в реальном процессе выполнения комплекса взаимосвязанных работ, а выражающая лишь отношение предшествования между двумя событиями. Очевидно, фиктивная работа не требует затрат времени и ресурсов.
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Сетевая модель со стохастической структурой может иметь несколько завершающих событий V ,..., V с различными вероятностями P(V1),., P(V) реализации каждого из них. Каждой дуге (i,j) сетевой модели ставится в соответствие время t(ij), необходимое для выполнения соответствующей элементарной работы.
при построении сетевой модели со стохастической структурой предлагается использовать три типа входов и пять типов выходов события, возможные комбинации которых образуют различные виды событий.
1.3. Типы входов событий
Тип 1. Событие j считается свершённым только в случае окончания всех непосредственно предшествующих ему работ (i,j),..., (imj), т.е. на входе события реализуется логическая операция «и» (операция конъюнкции, обозначается символом л). Графическое изображение входа события типа 1 показано на рис. 1.1,а.
В символической форме свершение события j c входом типа 1 можно записать следующим образом:
j = М л • • •л (ij л • • •л (U).
Для сетевой модели со стохастической структурой и фиксированной
продолжительностью работ раннее время свершения события с входом типа 1 может быть дискретной случайной величиной. Для какой-либо конкретной реализации сетевой модели значение раннего времени свершения события j может быть определено при помощи соотношения
tp(I) = 0; tp(j) = max [tp(i) + t(i,j)];i e M
где t(j) — раннее время свершения события j; I — исходное событие сетевой модели; Г:1 —множество
Рис. 1.1. Различные типы входов (а — в) и выходов (г — ж) событий, используемых при построении сетевой модели со стохастической структурой.
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 61 СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
событий, непосредственно предшествующих событию j в данной реализации; t(ij) — продолжительность работы (ij).
Тип 2. Если событие j имеет несколько непосредственно предшествующих ему работ, то свершение события рассматривается как факт окончания одной и только одной какой-либо работы, т.е. в этом случае на входе события реализуется логическая операция «исключающее ИЛИ» (альтернативная дизъюнкция, обозначается символом у). Графически вход события типа 2 будем изображать в виде заштрихованного многоугольника (рис. 1.1,б) с количеством вершин, равным количеству работ, непосредственно предшествующих данному событию. Факт свершения события j может быть выражен в символической форме следующим образом:
j = (ij у - у (ip) у - у (ij).
Раннее время свершения события j в случае реализации на его входе £-й (% = 1,2,...,m) работы равно
tpj)= tp(i) + t(ij (1.2)
Это выражение справедливо для случая, когда продолжительность работ сетевой модели является фиксированной величиной. При этом t (i) может быть значением дискретной случайной величины, поскольку структура сетевой модели стохастическая.
Тип 3. Считается, что событие свершилось, если из m работ, непосредственно предшествующих данному событию, выполнено не менее п работ (1 < n < m, при n = m получаем вход типа 1). На входе события в этом случае реализуется логическая функция, имеющая дизъюнктивно-конъюнктивную форму. Графически вход события типа 3 будем изображать в виде многоугольника, имеющего количество вершин, соответствующее количеству работ, входящих в данное событие (рис. 1.1,в). Каждая вершина многоугольника имеет свой номер. Внутри события также указывается условие его свершения — Спт.
В символической форме факт свершения события j может быть записан так:
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
62 БАРИШПОЛЕЦ В.А.
j = /(i1,j) Л (i2j) Л-Л (jJ)J V ^j Л M Л^Л Рй+1$ У-,
где V — операция дизъюнкции.
Если сетевая модель со стохастической структурой имеет случайную
продолжительность работ, то раннее время свершения события J с входом типа 3 в каждой конкретной реализации определяется следующим образом:
а) для каждой работы (i J), 1 < %< m, определяется раннее время ее окончания по формуле
tpo(iiJ) = tp(i) + t(ij (!.3)
где t(i,J) — фиксированная продолжительность работы (i,J) в данной реализации;
б) полученные значения t (i,), 1 < % < m, записываются в порядке возрастания;
в) из списка проранжированных по возрастанию значений t (i J), 1 < %< m, выбирается n-е по порядку и принимается
tpj = (1.4)
При n = 1 разницы между входами типа 2 и 3, в сущности, нет, так как вероятность одновременного окончания нескольких работ на входе события типа 3 ничтожно мала. Вход типа 2 можно было бы интерпретировать как частный случай входа типа 3. Однако при построении сетевых моделей эти типы входов полезно все же различать, поскольку они имеют разный физический смысл. Например, если при построении сетевой модели мы имеем несколько конкурирующих работ и дельнейшее выполнение комплекса взаимосвязанных работ зависит от того, какая из этих работ будет завершена раньше, то для отображения этой ситуации возникает необходимость с входом типа 3.
1.4. Типы выходов событий
Тип 1. Свершение события означает
возможность начала всех непосредственно следующих за ним работ, которые обязательно должны быть выполнены для достижения конечной цели. В этом случае на выходе события реализуется логическая операция «И». Графически выход типа 1 будем изображать так, как показано на рис. 1.1,г. В символической форме условие выполнения работ на выходе события i типа 1 2
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
после его свершения можно записать следующим образом:
i = (i,J1) Л-Л (i,j) Л-Л (iJJ>
где (ij),..., (ijj — работы, исходящие из события i.
Тип 2. Событие имеет одну или несколько непосредственно следующих работ. В результате свершения события i с вероятностью P(ij) 1 < % < m, может начаться только одна %-я работа или же не начаться ни одной работы. В этом случае имеем многоальтернативный выход, т.е. на выходе события реализуется логическая операция «исключающее ИЛИ». Графически выход события типа 2 будем изображать так же, как и вход типа 2 (рис. 1.1,д).
Для возможности анализа сетевой модели необходимо задать вероятности P(ij), ■■■, P(ij), ..., P(ijJ реализации соответственно работ (ij ),..., (ij),..., (ijj на выходе события типа 2. При этом имеет место следующее условие:
ZP(ij) < 1, 1 < % < m.
Очевидно, в том случае, когда ZP(ij ) < 1, 1 < % < m, на выходе события i типа 2 с вероятностью Рт+1 = 1 — ZP(ij), 1 < £ < m, не начнется ни одной работы.
В символической форме условие выполнения работ на выходе события i типа 2 после его свершения может быть представлено следующим образом:
i = (ijj ¥ ... ¥ (ij) ¥ ••• ¥ (ijj
при ZP(ij') = 1, 1 < % < m,
i=(ij) ¥ ■ ¥ (ij) ¥ ••• ¥ (ijj ¥ 0
при ZP(ij) <1,1 < % < m, где 0 — пустое множество.
В том случае, когда при построении сетевой модели не представляется возможным определить вероятности P(ij), 1 < % < m, всё равно может возникнуть необходимость в выходе типа 2. Для различных событий, лежащих на одних и тех же путях сетевой модели, выход и вход типа 2 можно рассматривать как «переключательный элемент» (рис. 1.2, события 4 и 8). Задавая для одной работы на выходе типа 2 вероятность ее реализации, равную 1, а для других работ — равную 0, можно таким образом к общей модели подключать
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
структурой, содержащий события с входом и выходом типа 2.
отдельные фрагменты и определять их влияние на характеристики сетевой модели в целом. С введением выхода и входа типа 2 в подобных случаях отпадает необходимость при расчете характеристик сетевой модели на компьютере вводить в неё исходные данные каждый раз заново. Достаточно их ввести один раз, а затем лишь менять значение вероятности реализации отдельных работ на выходе события типа 2, равное
1 или 0.
очевидно, при построении сетевой модели со стохастической структурой событие с входом типа
2 может иметь место только в том случае, если хотя бы одно из предшествующих ему событий имеет выход типа 2.
Тип 3. Событие i имеет одну или несколько непосредственно следующих работ. Для каждой работы (ij) задается вероятность ее реализации P(i,j), 1 — Г — т. В результате свершения события i могут начаться одна или несколько исходящих из него работ в соответствии с заданными вероятностями их реализации или же не начаться ни одной работы. Если событие i свершилось, то работа (ij), 1 — % — т, реализуется с вероятностью P(ij) или не реализуется с вероятностью 1 — P(ij) независимо от того, реализуются или не реализуются другие исходящие из данного события работы. Следовательно, на выходе события типа
3 выполняются логические функции «ИЛИ» и «исключающее ИЛИ». Графическое изображение выхода события типа 3 показано на рис. 1.1,е. В символической форме условие выполнения работ на выходе события i типа 3 после его свершения может быть записано:
i = [(iJt) V • • • V j V ... V (ijm)] V 0.
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 63 СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
При анализе сетевой модели со стохастической структурой с помощью метода статистических испытаний может оказаться, что в отдельных реализациях из некоторых событий с выходом типа 2 и 3 не будет исходить ни одной работы, и они будут тупиковыми. А это, в свою очередь, может привести к тому, что не будет достигнуто ни одно завершающее событие.
Тип 4. Выход типа 4 с входом любого из трех типов образует события, которые назовём «временными различителями». Эти виды событий имеют равное число работ на входе и выходе. Каждой входящей в событие работе ставится в соответствие одна и только одна исходящая работа. Поставленные в соответствие входящие и исходящие работы имеют одинаковые номера. Если событие («временной различитель») свершилось в результате окончания входящей работы с номером (;, то и начаться может только одна исходящая работа с тем же номером £ Так при входе первого типа Дя работа, окончившаяся последней из всех работ, входящих в событие, приведёт соответственно к началу только Дй исходящей работы (вероятность одновременного
окончания нескольких работ на входе события ничтожно мала). Если событие с входом типа 2 свершилось в результате окончания Дй работы, то и на выходе события рассматриваемого типа начнётся только Дя работа. Событие с входом типа 3 свершается в результате окончания n-й в порядке времени работы, что приводит к началу соответствующей ей работы на выходе события типа 4. Следовательно, в каждой отдельной реализации развитие процесса или структура сетевой модели после события «временной различитель» зависят от входящей в него работы, определяющей свершение этого события. Графическое изображение выхода «временного различителя» показано на рис. 1.1,ж.
Анализ реальных стохастических процессов выполнения комплекса взаимосвязанных работ (операций) показывает, что для их отображения с помощью сетевой модели в ряде случаев применение решающих событий с выходом типа 2, 3 и 4 является недостаточным. Во-первых, не всегда заранее можно определить вероятности реализации работ, непосредственно следующих
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
64
БАРИШПОЛЕЦ В.А.
Рис. 1.3. Фрагмент сетевой модели со стохастической структурой, фигурирующий в примере 1. за событием. Во-вторых, встречаются ситуации, когда условия выбора работ на выходе события не могут быть выражены в рамках «временного различителя». однако в подобных случаях часто представляется возможным сформулировать некоторые логические условия выбора работ. проиллюстрируем это на следующих примерах.
пример 1. Для фрагмента сетевой модели со стохастической структурой, приведенного на рис. 1.3, задано следующее условие: если суммарная стоимость СТ выполнения работ (1,3) и (2,3) не превышает некоторой допустимой стоимости С , то после свершения события 3 выполняются работы (3,4), (3,5) и (3,6). В противном случае выполняется только работа
(3,4). Очевидно, отобразить такую ситуацию с помощью событий с выходом 2, 3 и 4 не представляется возможным.
Пример 2. На рис. 1.4,а приведен фрагмент сетевой модели со стохастической структурой и случайной продолжительностью работ.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
пусть задано условие: работа (2,3) выполняется в отдельной реализации, если tp(2) < t; работа
(2,4) — если 11 < t(2) < t, и, наконец, работа (2,5) — если t (2) > t, где t (2) — раннее время свершения события 2, t^ и t2 — некоторые календарные сроки. Чтобы данную ситуацию отобразить с помощью события с выходом типа 2 (см. рис. 1.4,б), необходимо определить вероятности выполнения непосредственно следующих за ним работ:
Р = Р^Р(2) < t]; Р2 = Pti < tp(2) < t]; Р3 = P[tp(2) > t].
Определение этих вероятностей является сложной задачей, которую в данном случае можно решить путем предварительного анализа фрагмента сетевой модели, состоящего из событий 1 и 2 и работы (1,2).
Рассматриваемую ситуацию можно также отобразить с помощью временных различителей (см. рис. 1.4,в). Здесь события 1 и 2 представляются как сложные: событие I состоит из событий 11 и 111, а событие II — из временных различителей 2 и 2 событий 2*, 2**, 21, 211 и 2Ш. При этом:
T (11,2) = T (17,2) = T (1,2);
t (1я ,2) = tx; t (1,я 2) = 12;
T (27,3) = T (2,3); T (211,4) = T (2,4);
T (2111,5) = T (2,5).
Из рис. 1.4,в видно, что такое отображение рассматриваемой ситуации является довольно сложным.
Тип 5. Кроме условий выбора работ на выходе события, приведенных в рассматриваемых примерах, возможны и другие. В связи с этим, целесообразно ввести ещё выход события типа 5, который назовём обобщенным решающим выходом. Если событие имеет обобщенный решающий выход, то в результате свершения события выполняются одна или несколько работ из числа непосредственно следующих за ним в зависимости от значений параметров, входящих в заданную для данного события совокупность условий выбора работ. В процессе анализа сетевой модели со стохастической структурой заданную совокупность условий выбора работ на выходе события типа 5 можно алгоритмически
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
реализовать при помощи функции перехода, которая имеет следующий вид:
f=f ... п
где f — составляющая функции перехода, которая соответствует работе (ij), исходящей из события i; m — количество работ, непосредственно следующих за событием i.
В соответствии с введенными обозначениями графическое изображение выхода события типа 5 приведено на рис. 1.5.
Функция перехода события i с выходом типа 5 обладает следующими свойствами.
1. Все составляющие f, 1 < £ < m, функции перехода fi определены на некотором множестве параметров [л1, ли, п !}, где l — максимальное
количество параметров. Причем в число параметров функции перехода события с выходом типа 5 может входить время его свершения. События подобного рода отнесем к отдельной группе. Таким образом, в дальнейшем будем рассматривать две группы событий с выходом типа 5. К первой группе относятся события, в число параметров функции перехода которых не входит время свершения события, в противном случае события относятся ко второй группе. Целесообразность такого разбиения событий с выходом типа 5 на две группы определяется особенностями анализа сетевой модели со стохастической структурой. Функцию перехода для событий, имеющих выход типа 5 и относящихся ко второй группе, будем обозначатьf".
Вернемся снова к рассмотренным выше примерам. В первом примере (рис. 1.3) событие 3 с выходом типа 5 относится к первой группе, так как составляющие его функции перехода^ = {f1 23} определены на множестве параметров
[Сг Сдоп}.Во втором примере (рис. 1.4,а) событие
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 65 СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
2 с выходом типа 5 относится ко второй группе в связи с тем, что в число параметров {tp(2), t1, t} функции перехода f2t = f1 ,f 2,f 32} входит раннее время свершения данного события.
2. На любом допустимом наборе значений
параметров [л1,., ли,..., л1} каждая из
составляющих f, 1 < £ < m, функции перехода f принимает значение 0 или 1. Если составляющая функции перехода f = 1, то соответствующая ей работа (ij) выполняется после свершения события i, в противном случае — нет. Значения составляющих функции перехода определяются на основе заданной совокупности условий выбора работ на выходе события i.
Пусть в первом примере составляющей f функции перехода f соответствует работа
(3.4) , составляющей f3 — работа (3,5) и составляющей f33 — работа (3,6). Тогда при любых допустимых значениях параметров {C*z, С *Оо}, удовлетворяющих условию С*г < С *0п , функция перехода события 3 принимает вид/3 = (1, 1, 1), т.е. после свершения события 3 выполняются работы
(3.4) , (3,5) и (3,6). Если же указанное условие не выполняется, то функция перехода события 3 принимает вид f = (1, 0, 0). Это означает, что после свершения события 3 выполняется только работа (3,4).
Теперь рассмотрим второй пример. Пусть составляющей f2 функции перехода f2t соответствует работа (2,3), составляющей f2 — работа (2,4) и составляющей f2 — работа (2,5). При любых допустимых значениях параметров {t*(2), t*, t*2} функция перехода события 2 принимает следующий вид: f'2t = (1, 0, 0), если выполняется условие t* (2) < t*; f2t = (0, 1, 0), если выполняется условие t*1 < t*(2) < t*2; f2t = (0, 0, 1), если выполняется условие t*(2) > t*2. В первом случае после свершения события 2 выполняется работа (2,3), во втором — работа (2,4) и в третьем — работа
(2.5) .
3. Для всякого допустимого набора значений параметров [п/,..., пf,..., П} хотя бы одна из составляющих функции перехода f принимает значение, равное 1.
Очевидно, в первом примере для любого допустимого набора значений параметров Cs и С0п свойство 3 функции перехода f3 будет выполнено, т.к. в соответствии с заданным условием выбора работ после свершения события 3 будет
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
66 БАРИШИОАЕЦ В.А.
выполняться хотя бы одна из непосредственно следующих за ним работ. То же самое можно сказать и о функции перехода f2t во втором примере.
1.5. Правила построения
Для построения сетевой модели со стохастической структурой могут быть использованы пятнадцать видов событий, которые образуются в результате комбинации рассмотренных типов входов и выходов. С помощью этих видов событий практически можно отобразить все ситуации, имеющие место при моделировании стохастических процессов выполнения комплекса взаимосвязанных операций (работ, действий, мероприятий, подпроцессов). На рис. 1.6 в качестве примера приведена сетевая модель со стохастической структурой, отображающей процесс
выполнения комплекса взаимосвязанных работ по созданию одной из сложных технических систем.
При построении сетевой модели со стохастической структурой должны выполняться те же правила, что и при построении сетевой модели с детерминированной структурой [1], т.е. в сетевой модели не должно быть тупиковых и хвостовых событий, петель и т.п. Однако здесь надо обратить внимание на то, что в сетевой модели со стохастической структурой допускается наличие контуров. Необходимость наличия контуров объясняется физической сущностью стохастических процессов
выполнения комплекса взаимосвязанных
операций (работ). В отношении контуров при построении сетевой модели со стохастической структурой должны соблюдаться следующие правила: в контуре должно быть, по крайней 2
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
типа 2; события контура с входами и выходами других типов не должны иметь непосредственно предшествующих и непосредственно
следующих событий, не принадлежащих контуру.
2. АНАЛИЗ СЕТЕВОЙ МОДЕЛИ СО СТОХАСТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ ПРИ ПОМОЩИ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
2.1. Основные положения
В настоящее время основным методом анализа сетевой модели со стохастической структурой может быть метод статистических испытаний [4]. Он является наиболее универсальным средством получения статистических оценок вероятностных характеристик сетевой модели, содержащей все предложенные виды событий, чего нельзя сделать с помощью других методов. При анализе сетевой модели со стохастической структурой с помощью других методов возникает необходимость вводить ограничения на логические возможности событий на входе и выходе, в то время как метод статистических испытаний позволяет при необходимости расширять логические возможности событий. К его достоинствам следует также отнести сравнительную простоту реализации на компьютере и возможность получить искомую оценку в принципе с любой степенью точности.
При математическом моделировании стохастических процессов выполнения комплекса взаимосвязанных работ
(операций, действий, мероприятий,
подпроцессов) имеет место, как правило, сетевая модель со стохастической структурой и случайной продолжительностью
работ. Метод статистических испытаний допускает использование практически
любых распределений вероятностей
продолжительности работ сетевой модели. Недостатком метода статистических испытаний является его трудоемкость, вызванная тем, что число испытаний (реализаций), обеспечивающее приемлемую точность и надежность статистических оценок, велико, исчисляется сотнями и тысячами, а это в свою
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 67 СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
очередь требует больших затрат машинного времени.
С помощью метода статистических испытаний можно получить статистическую функцию распределения F*'(tk) и оценку математического ожидания tkp случайной величины
продолжительности критического пути Тр, а также оценку коэффициента критичности каждой работы (ij) по формуле
Kp (i, j) =
j)
N - N0 ’
где n(ij) — число реализаций, в которых работа (ij) принадлежала критическому пути; N — общее число реализаций при анализе сетевой модели; Ng — число реализаций, в которых не было достигнуто ни одно завершающее событие. Коэффициент критичности определяет вероятность принадлежности данной работы к критическому пути. Работы с большим коэффициентом критичности характеризуют наиболее узкие места стохастического процесса выполнения комплекса взаимосвязанных работ (операций).
Статистическая функция распределения F* (tp) случайной величины Т позволяет установить с заданной степенью риска продолжительность выполнения комплекса взаимосвязанных работ, а оценки коэффициентов критичности показывают, на каких работах необходимо сосредоточить внимание, чтобы заданное время свершения завершающего события не было сорвано.
Если сетевая модель со стохастической структурой имеет несколько завершающих событий V,, ..., V , ..., V , то статистическое распределение вероятностей и оценка математического ожидания определяются для каждой случайной величины Т' (1 < r < s).
Кроме того, в этом случае определяется оценка вероятности свершения каждого завершающего события по формуле
P*(V) = N/N, (I < r < s)
где N — число реализаций, в которых было определено значение Т .
•L kp, r
Основная суть применения метода статистических испытаний для анализа сетевой модели со стохастической структурой
и случайной продолжительностью работ заключается в следующем. В результате многократного розыгрыша структуры сетевой модели и продолжительности работ в соответствии с заданными распределениями вероятностей получаем набор реализаций, каждая из которых представляет сетевую модель с детерминированной структурой и фиксированной продолжительностью работ. На основании полученных значений tkptkptkp в N реализациях можно построить статистическую функцию распределения F*(tjp) и определить оценку математического ожидания tkp случайной величины Т равную
1 N
t * = — V tv
кр N .
Кроме того, выделение работ, принадлежащих критическому пути в каждой реализации, позволяет определить оценку коэффициента критичности каждой работы (ij). Если сетевая модель имеет несколько завершающих событий V (1 < r < s) , то на основании полученного в результате статистического моделирования набора значений каждой величины Т также можно получить оценку вероятности свершения каждого завершающего события V .
2.2. Розыгрыш структуры сетевой модели
Двигаясь от исходного события к завершающему событию сетевой модели, для событий с выходами типа 2 и 3 в соответствии с заданными вероятностями P(ij') необходимо определить, какие работы выполняются в данной реализации («вероятностный» розыгрыш). Кроме того, для каждого события i с выходом типа 5, относящегося к первой группе, исходя из полученных значений составляющих функции перехода fi определяем, какие непосредственно следующие за этим событием работы имеют место в данной реализации.
В процессе розыгрыша структуры сетевой модели при переходе от события ik к событию i'k+1 на входе последнего проверяется выполнение всех логических условий, необходимых для его свершения. В противном случае событие ik+1 и все исходящие из него работы исключаются из дальнейшего рассмотрения. Например, если в
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
68 БАРИШПОЛЕЦ В.А.
а — исходная сетевая модель; б, в — возможные ее реализации.
сетевой модели, сетевой граф которой показан на рис. 2.1а, в очередной реализации (рис. 2.1б) на выходе события 2 будет выполнена работа (2,3), а на выходе события 4 — работа (4,5), то событие 5 не свершится, так как на входе не будут выполнены необходимые логические условия. В этом случае будет достигнута конечная цель, выраженная завершающим событием 3.
Для того чтобы свершилось событие 5, необходимо выполнение работ (2,5) и (4,5) (рис. 2.1в). В этом случае будет достигнута конечная цель, выраженная событием 7. Если в рассмотренной сетевой модели у события 5 вход типа 1 заменить входом типа 3 (рис. 2.2а), то в результате розыгрыша структуры сетевой модели возможны реализации, показанные на рис. 2.2б-2.2д.
Выбор из m работ, исходящих из события i с выходом типа 2, какой-то одной работы можно рассматривать как моделирование полной группы событий A„ .... A , .... A , A каждое из которых
1 ' Ч m m+1 -L
наступает соответственно с вероятностью P(ij),
.. P(ij) .... P(ijJ, ^mX^ где событие ^^m+1 означает, что не начинается ни одна работа.
Это моделирование может быть осуществлено следующим образом.
Рис. 2.2. Пример 2розыгрыша структуры сетевой модели: а — исходная сетевая модель; б-д — возможные ее реализации.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Составим (m+1) интервалов для значений Rf случайной величины R, имеющей равномерное распределение в интервале (0,1):
£ P(i, j) < tf<£ P(i, j);
v=1 v=1
m-1 m
XPi,j)< R P(i,j);
V=1 V=1
m
Ё p(f- jL
V=1
Попадание значения Rfслучайной величины Rв n-1 n
интервал от S P(i’ j) до Z P(i, jv ) равносильно
V =1 V=1
событию A так как имеет одинаковую с ним вероятность
P(i, J) = Z P(i,j) - S P(i’ j).
v=1 V =1
Таким образом, сравнивая значение Rf случайной величины R с величинами Z P(i > j ) (1<q<m) и 1, определим работу на выходесобытия типа 2, которая должна иметь место в данной реализации, или же получим, что после свершения события не начинается ни одна работа. Очевидно, для правильно составленной сетевой модели все события с выходом типа 2 после розыгрыша ее структуры в полученной реализации будут иметь не более одной непосредственно следующей работы.
Исходя из описанной процедуры выбора работ на выходе события типа 2 легко разработать процедуру выбора работ на выходе события типа 3. Значение Rf случайной величины R сравнивается со значением вероятности P(ij). Если Rf < P(i,j), то работа (ij) выполняется в данной реализации, в противном случае — не выполняется. Затем берется другое значение R?+1 случайной величины R и сравнивается со значением вероятности P(i,j2) и так далее, пока не будет просмотрена работа (i,jj, исходящая из события i. Если для этой работы имеем P(ijJ — Rf+(m-1), то она выполняется, в противном случае — нет. Таким образом, сравнивая значения Rf, ..., Rf+(m-1) случайной величины R соответственно с величинами P(i,j), ..., P(ijJ, определим работы на выходе события типа 3, которые выполняются в данной реализации, или
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
же получим, что после свершения события i не выполняется ни одна работа.
Процедура выбора работ на выходе события типа 5 в общем случае заключается в следующем. после свершения события i определяются значения параметров {п),...,п?. . ,п\} для составляющих функции переходаf . В соответствии с полученными значениями параметров на основе заданных логических условий выбора работ вычисляются значения составляющих функции перехода f = (f,..., fdp f™ ). Из множества непосредственно следующих за событием i работ (j), 1 Д Д Д m, выполняются те, которым соответствуют составляющие функции перехода, равные 1, т.е. работа (j) выполняется в том случае, если fi = 1.
2.3. Розыгрыш продолжительности работ сетевой модели
после розыгрыша структуры сетевой модели в полученной реализации для каждой работы формируется значение случайной величины T ее продолжительности на основе действительного или аппроксимирующего распределения вероятностей (во втором случае, как правило, принимается бета-или треугольное распределение [5]). Действительное распределение вероятностей продолжительности работы может быть установлено при наличии для нее статистических или нормативных данных. Если таковых нет, то для аппроксимирующего распределения вероятностей даются количественные экспертные оценки некоторым его характерным точкам. Обычно такими точками являются минимальная (оптимистическая) — t ,
' ' min
максимальная (пессимистическая) — t и
' ' max
наиболее вероятная — t продолжительности работы.
одним из точных методов моделирования случайных величин, подчиненных определенным законам распределения, является метод, предложенный Нейманом [4], в основе которого лежит использование выборок равномерно распределенных случайных чисел.
пусть требуется моделировать на компьютере реализации tv случайной величины T с плотностью f(t). Областью изменения случайной величины T служит интервал (t ,t ). Поместим
J -L ' min max
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ^9 СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Рис. 2.3. Моделирование случайной величины T с плотностью распределения ft).
область, ограниченную осью абсцисс и кривой распределения f(t), внутри прямоугольника, ограниченного осью абсцисс и прямыми t = t ,
l l min
t = traX№ = maXf(t) = f (РИС- 2-3).
Возьмем Y1 и Y2 — равномерно распределенные величины в интервалах (t ,t ) и (0,f)
•L ' min max ' У,
соответственно. Будем осуществлять выборки пар случайных чисел и Y2p (^ = 1, 2, 3, ...). Если случайная точка (Y^ , Ydp) в Дм розыгрыше принадлежит области C, т.е. выполняется соотношение
Y< f Y), (2.1)
то число Y1 принимается в качестве значения случайной величины T, подчиненной закону распределения f(t), т.е. Р = Y^ . Если же Y1 > f(Y-1), то случайная точка (Y^ , Y2p ) в Дм розыгрыше не принадлежит области C и потому отбрасывается. Розыгрыш должен повторяться до тех пор, пока не будет найдена пара случайных чисел Y-1 и Y1, удовлетворяющих соотношению (2.1).
Так как при моделировании случайных чисел на компьютере в качестве исходной совокупности {Rf}, = 1, 2, 3, ...) берутся,
как правило, значения случайного числа R, имеющего равномерное распределение в интервале (0, 1), то значения случайного числа Y с равномерным законом распределения в некотором интервале (a, b) могут быть получены из соотношения
Yf = a + W(b - a).
Таким образом, в рассматриваемом случае
= Cn + R1 (Cax - Cin l R f , £=1,2,3,...
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
70 БАРИШПОЛЕЦ В.А.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
2.4. Определение продолжительности критического пути в отдельной реализации
В результате розыгрыша структуры сетевой модели и продолжительности ее работ получаем очередную реализацию, которая представляет сетевую модель с детерминированной структурой и фиксированной продолжительностью работ. Для этой реализации с помощью соотношений
(1.1)—(1.4) для событий с входами типа 1, 2 и 3 вычисляется раннее время их свершения f (Д. Для завершающих событий сетевой модели имеем С (V) = С, 1 < r < s.
2.5. Определение необходимого количества реализаций
Из всех оценок характеристик сетевой модели со стохастической структурой самой сложной с точки зрения определения является статистическая функция распределения F*(tk) случайной величины Tkp. Поэтому именно для нее рассмотрим процедуру определения необходимого количества реализаций, которое будет приемлемым и для оценок других характеристик.
Если F(tp) — функция распределения случайной величины Tkp и F*(tkp) — статистическая функция распределения результатов N независимых испытаний Tkp, то согласно теореме Гливенко при N ^ ж имеем
P{sup | F\tkp ) - F(tkp)Н> 0} = 1,
—ro<t
т.е. при N ^ ж статистическая функция распределения неограниченно приближается к действительной. На основании вышеуказанного поступаем следующим образом.
Сначала моделируем Nf значений величины Tkp, где Nt выбирается произвольно достаточно большим, и строим статистическую функцию распределения F* (tkp) . Затем производим еще N2 испытаний (N2 также выбирается произвольно) и на основании (N? + N2) реализаций строим статистическую функцию распределения F'2(tkp)
. Принимаем F'2(tkp) за фактическую функцию распределения, а F* (tkp ) считаем статистической функцией распределения. Определяем значение максимального расхождения между этими функциями (рис. 2.4)
Di = max| F1ihp ) - )|. 2
Рис. 2.4. Статистические функции распределения F* (tkp ) и F* (tkp ) .
Находим ф = и по таблице 1 определяем
P(V 6
Таблица 1
Л Р(Л) Л Р(Л) Л Р(Л) Л Р(Л)
0.3 1 0.6 0.86 0.9 0.39 1.2 0.11
0.4 1 0.7 0.71 1.0 0.27 1.3 0.07
0.5 0.96 0.8 0.54 1.1 0.18 1.4 0.04
Если эта вероятность достаточно велика (0.3—
0.95), то на основании критерия Колмогорова [6] расхождение между F* (tkp) и F2*(tkp) можно считать несущественным, а число реализаций (N1 + N2) вполне достаточным. Значения 0.3<P(X)<0.95 считаются оптимальными. Допустимыми значениями могут быть 0.1<P(X)<0.95. Если P(X) > 0.95, то случайность сравниваемых
статистических функций распределения является сомнительной.
Если вероятность P(X) мала, то расхождение между F* (tkp) и F2*(tkp) нужно считать
существенным. В этом случае производим еще N2 испытаний, на основании (N1 + 2N2) реализаций строим статистическую функцию распределения F (ty,) и определяем
d2 = max| F2(tkp)- F3(tkp )l;
находим X2 - D2y/+ N2 и т.д. до тех пор, пока значение Р(Х) не будет достаточно большим. Тогда необходимое количество реализаций равно N = N1 + nN2.
Если наиболее оптимальным интервалом значений X считать промежуток (0.5-1.0), то необходимость использования табл. 1 фактически отпадает.
В том случае, когда сетевая модель имеет несколько завершающих событий V (1 < r < s), необходимое количество реализаций определяется следующим образом:
N = max Nr,
1<r<s
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
где N — необходимое количество реализаций при построении функции распределения случайной величины T .
kp,r
Таким образом, при анализе сетевой модели со стохастической структурой с помощью статистического моделирования количество реализаций, необходимое для достижения заданной точности, может быть определено только в процессе моделирования.
3. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА СЕТЕВОЙ МОДЕЛИ СО СТОХАСТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ
3.1. Введение
Анализ сетевой модели со стохастической структурой и случайной продолжительностью работ с помощью метода статистических испытаний требует больших затрат машинного времени, которые существенно зависят от количества работ и событий сетевой модели, а также от необходимой точности результатов. В данном разделе предлагается численный метод анализа сетевой модели со стохастической структурой и случайной продолжительностью работ, требующий меньших затрат машинного времени. Однако применение этого метода возможно только тогда, когда при построении сетевой модели используется не более четырех видов событий, получаемых в результате комбинации входов и выходов типа 1 и 3.
при определении оценок вероятностных характеристик сетевой модели с помощью этого метода плотность распределения f(t) продолжительности T(i,j) каждой работы (ij) заменяется кусочно-постоянной функцией (гистограммой) fj (t). Разрабатывается ряд преобразований, позволяющих по гистограммам продолжительностейработпостроитьгистограммы, а также получить оценки математического ожидания и дисперсии времени свершения событий сетевой модели со стохастической структурой. Кроме того, с помощью данного метода представляется возможным определить для каждого события сетевой модели оценку вероятности его свершения к заданному сроку.
Гистограмма продолжительности любой работы сетевой модели может быть построена на основании имеющихся статистических данных или аппроксимирующегораспределениявероятностей.
Во втором случае для автоматического построения гистограмм с помощью компьютера необходимо иметь процедуры их построения по заданному закону распределения, разработка которых достаточно проста.
перейдем теперь к изложению теоретических основ предлагаемого метода.
3.2. Две последовательные работы
Обозначим случайные величины продолжительности работ (ij) и (j,k), показанных на рис. 3.1, соответственно через T(ij) и Tj,k), а суммарную продолжительность выполнения двух последовательных работ — через T(i,k) = T(i,j) + Tj,k). Пусть для этих работ известны: P[(ij)/i] и P[(j,k)/j] — условные вероятности их реализации; f*(t) и fjk(t) — гистограммы распределения их продолжительностей. Необходимо для случайной величины T (i,k) построить гистограмму fjk(t) , а также определить вероятность реализации последовательности двух работ P(i,k).
Как известно, под гистограммой случайной величины T понимается кусочно-постоянная функция
Гил 7p пРи 'mn + 4 - 1)h < t < tmn + 4= 1,b,
J (t) = 1 h
О при t < 'min U t > tmax,
где t , t — соответственно нижняя и верхняя границы гистограммы; b — количество разрядов гистограммы; h — шаг гистограммы, h = (t -1 )/b; p— частота (статистическая оценка вероятности) попадания случайной величины T в полуинтервал [t. + (Г- 1)h; t + Щ.
L min ' ' min '
Следовательно, гистограмма распределения случайной величины T полностью задается набором характеристик:
(Cm, tmax. h (UJlU Ъ\ Pu P*,-, Pb) ■
Допустим, что гистограммы fj(t) и fjk(t) распределения случайных величин T(ij) и Tj,k) определяются набором характеристик:
Л Laxit, Л h (или b), рДй jpb]{i, J)),
причем h = h = h.
r я jk
Рис. 3.1. Две последовательные работы.
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
72
БАРИШПОЛЕЦ В.А.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В основу методики построения результирующей гистограммы f* (t), определяемой набором характеристик
(Х»ш(Х k X C.xO',к\ К(или b,t X л(х kX-, Рь,к (X X)), (3.2)
где hk = h, положен метод композиции (свертки) равномерных распределений.
известно, что распределение случайной величины Z, равной сумме двух неотрицательных независимых случайных величин X и Y, каждая из которых распределена равномерно на отрезках [c, c + h] и [d, d + h] соответственно, подчиняется закону Симпсона (закону треугольника) с функцией плотности
g (2) = i~-
z - (c + d)
h
при c + d < z < c + d + h,
2 z - (c + d)
при c + d + h < z < c + d + 2h,(3.3)
h h 0 при c + d > z или z > c + d + 2h.
Графически это показано на рис. 3.2. отметим, что вероятности попадания значений случайной величины Z в полуинтервалы [c + d; c + d + h) и [c + й + h; c + й + 2h) равны между собой,
т.е.
P(c + d < z < c + d + h) -= P(c + d + h < z < c + d + 2h) - 0.5. (3.4)
Вид распределения Симпсона (3.3) и свойство (3.4) позволяют сделать ряд выводов относительно результирующей гистограммы
fi*(t).
1. Нижняя и верхняя границы
результирующей гистограммы fik(t) равны соответственно сумме нижних и верхних границ
исходных гистограмм f (t) и f* (t) , т.е.
\t ■ (i,k) = t ■ (i, j) +1 ■ (j,k);
I min \> / min J / minx./9 v/9
II (i, k) = t (i, j) +1 ( j, k).
^ max V ’ ’ maxV’J/ max \J ’ ’
(3.5)
Рис. 3.2. Равномерное и треугольное распределение случайных величин X, Y и Z=X+Y.
2. Количество разрядов результирующей гистограммы fik(t) равно сумме числа разрядов исходных гистограмм f (t) и f* (t) , т.е.
bik = bij + j (3.6)
3. Если значение продолжительности T(i,j) первой работы попадает в i^-й разряд гистограммы
fy(t) с частотой j), а значение
продолжительности Tj,k) второй работы — в £ -й
разряд гистограммы fjt (t) с частотой p (j, к) , то суммарное значение продолжительности T(i,k)
двух работ попадает в разряды ^ + %2 -1)
или ^ = (£j + ) результирующей гистограммы
fik(t). Вероятность попадания значения T(i,k) в эти разряды можно оценить с помощью следующего соотношения: pl (i,к) = 0,5(i, j)p*2 (j, к), где i = ^.
Учитывая, что разряды любой гистограммы с различными номерами не пересекаются, формула для расчета оценки полной вероятности попадания случайной величины T(i,k) в ы-й разряд
результирующей гистограммы fik(t) будет иметь вид:
Р* (г, к) = 0,5^ p (г, j)[р*^ (j, к) + р*+ы (j, к)] =
^ =1
=0,5Z р*2 (j, к)[р*_52 (i, j) + р*+i_52 (г, j)]; (3.7)
52 =1
£ =1, b; ^2 =1, bk; * =1 bk ■
Таким образом, с помощью соотношений (3.5)—(3.7) могут быть определены все
характеристики (3.2) гистограммы fik(t).
Если для двух последовательных работ (ij) и j,k) вероятности их реализации не равны единице, т.е. 0 < P[(ij)/i] < 1 и 0 < P[(j,k)/j] < 1, то вероятность их совместной реализации равна
P(i,k) = P[l4)/i\P[(j,k)/]].
С помощью соотношений (3.5)—(3.7) может быть решена также следующая задача.
3.3. Работы, исходящие из событий с выходами типа 1 и 3.
По известной гистограмме f (t) времени свершения события j и гистограммам fk (t),v = 1, q , времени выполнения работ (j,kv),
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 73 СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
исходящих из события j, необходимо построить гистограммы (t) времен окончания работ
(j,kV) и определить полные вероятности P(j,kV) реализации работ (j,kV), если известны вероятности ЩЛ)/А их реализации при условии свершения события j с выходом типа 3, а также вероятность P(j) свершения события j.
Независимо от типа выхода события j время окончания T°(j,k') работы (j,k) равно T°(j,k) - Tj)
+ j).
Следовательно, для построения гистограмма: fjk (t) можно использовать методику, изложенную выше. Для этого в соотношение (3.7) вместо p* (j, j) необходимо
подставть * (j) а вместо [p*m(j, к) + p*m+1_4i (j, к)]
подставить [рш_5i (j, kv) + рш+ы (j, kv)].
Значение Pj,k) определяется следующим образом: P(j,k) - Р[(/Л)/]Р(/).
3.4. События с входами типа 1 и 3
Требуется построить гистограмму fj (t) времени свершения события j и определить вероятность его свершения Pj), если известны гистограммы (t), v = 1,m , времени окончания
работ {ij), входящих в событие j, а также полные вероятности P(ij) их реализации.
3.4.1. Событие с входом типа 1.
В соответствии с логическими условиями входа типа 1 вероятность свершения события j к моменту времени t может быть определена по формуле
P(T(/)<t} -
- P{V(i,)<t, ..., T°(iJ)<t,...,T°(imj)<t},
где T(j) — время свершения событияj, T°(ij) — время окончания работы (i,), v = 1, m .
В силу независимости случайных величин T°(iJ), v = 1, m , получаем
m
P{T(J) < 1} = ПPTA • j) < »>•
v =1
Иными словами, функция распределения F(t) времени свершения события j есть произведение функций распределения рС (t) , v = 1, m , времен окончания входящих в него работ:
m
F( >) = П FA)- (3-8)
v=1
Это соотношение используется для построения гистограммы f (t).
Допустим, что гистограммы f*° (t) сдвинуты относительно друг друга на целое число шагов. Тогда легко показать, что нижняя и верхняя границы гистограммы f. (t) могут быть
определены следующим образом:
Cm O') = max(Cn (к . J 1. m}>
v 0 — (3.9)
Cax 0) = maX(Cax (iv . J )/v= 1
где t°. (i , j) и t0 (i , j) — соответственно нижняя
min У v ’ J / ma^ v ’ J /
и верхняя границы гистограмм случайных величин ПкА v= 1, m .
Из соотношений (3.9) следует, что гистограммы fVj (t) сдвинуты также на целое число шагов относительно гистограммы f. (t) времени
свершения события j, т.е.
CrnOl , J) = CnO) + КЛ
СЛК , Л = Cax О) + КЛ,
где KV, KV = 0, ±1, ±2,...
Значения разрядов гистограммы fj (t)
определяются в следующей последовательности.
Сначала находятся значения верхних границ t (i j) всех разрядов каждой гистограммы fj (t) по формуле
^ (V ’ Л = Cn (iv ’ j) + p 1 biv j , (3 10)
где \ j — количество разрядов гистограммы
f*0 (t) , v = 1, m .
Затем последовательно вычисляются оценки вероятностей P(iJ) того, что время T°(ij) окончания каждой работы (i,) будет меньше значений t (ij), р = 1,b^., по формуле:
р а, j)=р* {т0 (к, л < (i, j)}=х ра (iv ’ j)-
a=1
Необходимо отметить, что P* (iv , j) , P = 1, b- ., являются значениями статистической функции распределения F* (t), которые она принимает в точках t(ij).
Аналогично формуле (3.10) определяются значения верхних границ t j) всех разрядов гистограммы f* (t):
t,ij) - кЗ + Л м = 1, b, (3.11)
где b. — количество разрядов гистограммы f* (t) .
В соответствии с соотношением (3.8) находится статистическая функция
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
74
БАРИШПОЛЕЦ В.А.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
распределения F*(t) случайной величины Tj):
m
P(J) = P'{T(j) < t„ (j)} = П P (V. J), (3.12)
v=1
где
£v =
^min (f)- ^min (V > f
h
+ И, H = 1, bi
считая, что p (iv, j) = 1 при Д > bK j.
из выражения (3.12) следует, что оценка вероятности попадания случайной величины T(j) времени свершения события j в у-й разряд гистограммы fj (t) может быть определена следующим образом:
p* (j) = К (j)- P*-i (j), * = 1 b, р0 (j) = о. 13)
Таким образом, с помощью соотношений (3.9) и (3.13) могут быть определены все характеристики для гистограммы fj. (t), когда гистограммы f* (t) сдвинуты друг относительно друга на целое число шагов.
В общем случае гистограммы f* (t) могут быть сдвинуты относительно друг друга на нецелое число шагов, как это показано на рис. 3.3. В этом случае будем полагать, что нижняя граница tmi(j гистограммы fj (t) времени свершения события j совпадает со значением, определяемым по формуле (3.9). Тогда верхнюю границу tma(j) гистограммы fj (t) можно
определить по формуле: t (j) = t j) + bh. (3.14)
Количество разрядов b гистограммы fj (t) находится с помощью системы неравенств:
kmCO + bjh > tLax C'),
[CrnC + (bj - 1)h < 4x(jX
(3.15)
где 4* 0) = max{4x (К, J )/v = 1 m)-
v
Рис. 3.3. Гистограммы f* (t) и fj (t) случайных величин T°(ivj), у = 1, m и Tj).
Значения разрядов гистограммы fj (t)
определяются в следующей последовательности.
Обозначим через 8, y = 1, m, величину смещения гистограммы f *° (t) относительно гистограммы f j (t). Значение 8v может быть найдено с помощью соотношения
g = 4nQ > J) + kv[h - СмО^
h
где hv определяется с помощью
неравенств:
\СЛК , j) + К h > CmCf),
Kin (iv , j) + (kv - V>h < Oin 0).
системы
Затем вычисляются значения верхних границ t j) всех разрядов гистограммы fj (t) по формуле (3.11). Далее последовательно находятся оценки вероятностей Pj(iv, j) того, что время T°(ij) окончания каждой работы (ij) будет меньше значений tj), где ц= 1, b■, по формуле
P’jdy,j) =
£ P{(ir’ j) + ЗуРу+А, J)
£=1
при у
j - r>,(3.16)
1 при у > bj.
Значения у вычисляются с помощью системы неравенств
jko > j)+Yh ^ ^ и),
[КО, j) + (Y + l)h > t,(j).
и, наконец, оценка вероятности попадания случайной величины T(j) времени свершения события j в у-й разряд гистограммы fj (t) определяется следующим образом:
K<s>=П PA J) -П Kx. . j).
V=1 V=1
H =1. bj. P0(iv. j) = °-
(3.18)
все характеристики (3.1) в общем случае, когда
Таким образом, с помощью соотношений (3.9), (3.14), (3.15) и (3.18) могут быть определены
гистограммы f. (t) гистограммы f 0 (t) сдвинуты относительно друг друга на нецелое число шагов.
При построении гистограммы fj (t) времени свершения события j предполагалось, что время окончания каждой работы (ijj), у = 1, m , входящей в это событие, является случайной величиной. Если же некоторые работы, входящие в событие j, будут иметь фиксированное время окончания, то
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 75 СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
построение гистограммы fj (t) будет несколько отличаться от процедуры, рассмотренной выше.
Допустим, что из m работ, входящих в событие j, работы (ij), r = 1, l имеют фиксированное время окончания f(ij), а работы (ij), v = 1,(т — l)
, — случайное TJ(i,j). Тогда результирующая гистограмма f*(t) строится следующим образом.
С помощью соотношений (3.9), (3.14) и (3.15) определяются значения t (/) и t (/) при условии
L ______ min*' max* / l J
V = l,(m — l) . Затем находится величина
t О) = max{t 0(ir . i)/r = i. L
r
Если выполняется условие t (j) > tmax(j)
, то время свершения события / является фиксированной величиной, равной t (j), и необходимость в построении гистограммы fj (t) отпадает.
В случае, когда t (j) < t (/), время свершения события / есть величина случайная. Тогда в качестве нижней границы гистограммы fj (t) принимается
Ln(J) = max{tпan(]), t(/)}. ^
Верхняя граница гистограммы fj (t)
определяется по формуле
Lx O') = LnO) +
где b находится с помощью системы неравенств
JOrnO) + bjh > tmax{j),
[LnO) + (bj - 1)h < tmax (J)■
Оценка вероятностей p^( j) попадания
случайной величины Tj) в р.-й разряд гистограммы fj (t) определяется с помощью процедуры (3.16)
- (3.18) при v = l,(m — l) .
И, наконец, для события с входом типа 1, реализующим логическую операцию «И», вероятность свершения события равна
m
р( j)=п p(‘v • j >•
V =1
3.4.2. Событие с входом типа 3 (случай 1).
Для свершения событияj требуется выполнение из m непосредственно предшествующих ему работ только одной (т.е. n = 1). В соответствии с логическими условиями входа типа 3 событие j свершится к моменту времени t, если к этому моменту окончится хотя бы одна из входящих в событие j работ. Однако вероятность свершения события / к моменту времени t удобнее оценивать через вероятность того, что к моменту времени
t не окончится ни одна из входящих в событие j работ, т.е.
P{Tj) < t} = F(t) = 1 - P[TJ(ij > t, ..., TJ(ij > t,
..., nj > t}.
Вероятность того, что время T°(iJ) окончания работы (i j не меньше величины t при известной функции распределения FO (t), может быть определена следующим образом:
Р[ПУ) > 4=1 - P«j) (t) . _ _
Так как случайные величины TJ(ij), у = 1, m, независимы, то имеем
m
P{T(J) < 1} = 1 - П [1 -P(K, j)F°, (»)]•
v=l (3.19)
Величина P[T(j) < t} есть полная вероятность свершения события к моменту времени t, т.е.
р[т/ < ,} =
= P[Tj) < t/s,} [1 - Щ] + Р{Т(/)<//,г,}Р0 (3.20)
где sозначает, что событие j не свершилось, а s,
- что свершилось.
Вероятность свершения события j для рассматриваемого случая равна
m
P(j) = 1 -П -р(К'№ (3.21)
V =1
Так как величина P[Tj) < t/sJ} = 0, то из соотношений (3.19)—(3.21) можно получить
m
1 -Пр -р(к, л К, (<)]
P{T(j) < t / si} = -------------.
1 -П [i -Pi',,)]
V =1
Из данного соотношения легко получить вероятность попадания величины T(j) в
полуинтервал [t; t + h), равный шагу гистограммы
fj(t):
P[t < T(j) < t + h/s,} =
П [1 -pF, j) К, (t)] - П [1 -pF, j ) L (t+h)]
V = 1 V =1
(3.22)
1 -n [1 -p(K. j )]
Это выражение используется при построении гистограммы fj (t) .
Перейдем к методике расчета приближенных значений статистической функции F’* (t) распределения случайной величины TJ(ij). Рассмотрим общий случай, когда из m работ, входящих в событие j, работы (ir,j), r = 1, l,, имеют фиксированное время окончания f(ij), а работы (ij), V = 1,(т — l), - случайное TJ(ij). Если работ
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
76
БАРИШПОЛЕЦ В.А.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
с фиксированными сроками окончания нет, то будем полагать, что l = 0. Для каждой из работ (i,j), r = 1, l, статистическая функция распределения имеет вид:
F *0(t)
м
0 при t < 10(ir, j),
1 при t > 10(ir, j).
(3.23)
Для любой работы (ij), v = 1,(m -/)
, статистическая функция распределения выражается соотношением
0 при t < t° 0V, j),
2 p*(i. , j) nPu t - C (iv , j) + rh r = i, (Д -E
£-1
Fi,(t) = 1
■A . t - [t (i , j) + yh] .
2 PS C , j ) + ------------------------- Py + 1(iv , J )
(3.24)
;-i
nPu tl (iv, j) + rh < t < tl (iv, j) + (r +1)h,
0 < y < 6 , считая po (/_ , j) - 0;
з nPu t ^ c (iv, j)-
Исходя из логических условий, реализуемых на входе события j для рассматриваемого случая, нижняя граница tmnj) гистограммы f (t) вычисляется по формуле:
Cm O') = ° (ir, j), Cn (K , j) ' r = 0, l,
r ,v
v = \,(m -1)}, (3 25)
а верхняя граница t j) — по формуле t (j) = t (j) + CC (3.26)
Значение С определяется с помощью системы неравенств
Cm CZ) + О,- - 1)h < max{t° (ir , jX Cax (iv , j)}
r ,v
<
t . (j) + b h > max{t0 (i , j), t° (i , j)},
mm \J / j { V r ’ J " max V v ’3 / J J
l r ,v
где r = 0, /, v = 1, (m - /).
На основании соотношения (3.22) оценка вероятности попадания случайной величины Tj) в Дй разряд гистограммы определяется следующим образом:
p5 (i)
П {1 - P(i,, i)Д>,ь(i) + (5- 1)*]}
1-П t1 - P(K ,i)]
П {1 - P C,i) СЖЗ i) + 5*]}
1-П t1 - p(K,i)]
5 = 1, b
(3.27)
Значения статистических функций распределения времени окончания работ в точках t j) + С - 1)h и t (j) + fh вычисляются по формуле
min min
(3.23) для работ, имеющих фиксированное время окончания, и по формуле (3.24) — для работ со случайным временем окончания.
Таким образом, с помощью соотношений (3.25)—(3.27) могут быть определены все характеристики (1) гистограммы fj (t) .
Вероятность P(j) свершения события j с входом типа 3 при n = 1 равна
m
р( j)=i-П -р(р • j )]■
V =1
3.4.3. Событие с входом типа 3 (случай 2).
Для свершения события j требуется выполнить из m непосредственно предшествующих ему работ n работ, где n > 1. Методика построения гистограммы fj (t) в этом случае заключается в следующем.
Введем С^ событий jl, l = 1, C’^ , со входом типа 1, где СП — число сочетаний из m по n
. В каждое такое событие входят n работ (jj) из совокупности (i, j), v= 1, m, и исходит одна фиктивная работа. Затем аналогичным образом
введем Cnm+1 событий j , I = (спт +1), (Cm + Cp1) , в каждое из которых входит (n + 1) работ (ij) из совокупности (i'^,j), и так далее до тех пор, пока не будет введено событие j , l = Cn + C"+1 + ... + Cm , в которое входят m работ (i j), т.е. все работ^1 (i, j). Очевидно, что для свершения события j необходимо и достаточно свершения одного из введенных таким образом событий jl . Следовательно, все исходящие из них фиктивные работы можно объединить на входе события j0 типа 3 со значением n = 1.
Таким образом, вместо совокупности работ (i,j) и события j получим эквивалентную совокупность действительных работ (ij), фиктивных работ
(се и событий j , I=\,(cnm+cnm+i+...+cm), со
входом и выходом типа 1, а также событие j0 с входом типа 3 и значением n = 1 .
Пример такого преобразования для события j с m = 3 и n = 2 приведен на рис. 3.4. Предложенное топологическое преобразование позволяет использовать при построении гистограммы fj (t) полученные ранее соотношения для событий со входами типа 1 и 3 при значении n = 1. Однако необходимо отметить, что такое преобразование
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 77 СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Рис. 3.4. Топологическое преобразование фрагмента сетевой модели со стохастической структурой. выполняется с учетом возможности одновременного окончания нескольких работ на входе события j.
На первом этапе с использованием соотношений (3.9), (3.14), (3.15) и (3.18) строятся гистограммы f. (t). Учитывая, что время
окончания фиктивных работ (j j0) совпадает с временем свершения событий j , на втором этапе по результатам, полученным на первом этапе, с помощью формул (3.25)—(3.27) строится гистограмма fj (t) = fj (t).
Перейдем к определению вероятности Pj) свершения событияj со входом типа 3 для данного случая. Обозначим через
(К ,1 >-> Wr ,v >-> Wr ,m )/v = 1 m;
r = ; w ,v= 0; 1}
множество возможных исходов реализации совокупности входящих в событие j работ (ij) V = 1,m . Здесь wrv = 1, если работа (i j) реализуется при r-м исходе, и w'г = 0 — в противном случае. Будем считать, что для г ф г* существует такое v, при котором wrv ф w, т.е. среди множества возможных исходов нет совпадающих. Легко показать, что вероятность г-го исхода может быть определена с помощью следующего соотношения
P (J) = П [Р(‘v • 1)Г' [1 - Р(‘v , j)]
-Wr v +1
v =1
Учитывая, что для свершения события j необходимо выполнение не менее n работ (ij), получим окончательное выражение для Pj):
p( j)=Z P (j),
reR
___ m
где Z R = {r 1 Z Wr,m ^
r^R v=l
3.5. Определение оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины по ее гистограмме
Для определения значения оценки математического ожидания M*[T] случайной величины Tпо ее гистограмме fj(t) используем
известную из теории вероятностей формулу определения математического ожидания случайной величины
го
M [T ] =| tf (t )dt.
Подставляя сюдаft) - f*(t) получим
м 'IT ] = \ tf +| h 1 p
h |=1 V 2 J
(3.28)
где tmm — нижняя граница гистограммыf*(t), p^ — частота попадания случайной величины T в ф-й разряд гистограммы.
Для определения значения оценки дисперсии D*[T случайной величины T по ее гистограмме f*(t) воспользуемся известной формулой
D[T ] = J t2 f (t )dt - M 2[T ].
Сделав подстановку ft) - f*(t), получим
D [T] =
15 ('-+f61 - Ё [5 (д *)
I c„ +_ *\p
(3.29)
С помощью формул (3.28) и (3.29) можно определить оценки математического ожидания и дисперсии случайных величин T(j) — времени свершения любого события j и T0(i,j) — времени окончания любой работы (,).
4. АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОД АНАЛИЗА СЕТЕВОЙ МОДЕЛИ СО СТОХАСТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ
Аналитический метод целесообразно применять для анализа сетевой модели со стохастической структурой и случайной продолжительностью работ, при построении которой используются два вида событий: событие с входом типа 2 и выходом типа 1; событие с входом и выходом типа 2. Основная идея этого метода предложена в [3], где получено дальнейшее развитие и конкретизация, позволяющие его практическое применение. В отличие от метода статистических испытаний и численного метода аналитический метод может применяться для определения вероятностных характеристик сетевой модели со стохастической структурой, содержащей петли и контуры.
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
78
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
БАРИШПОЛЕЦ В.А.
Для каждой работы (ij) сетевой модели
необходимо знать плотность распределения f(t) ее продолжительности T(ij). Для работ (ij), исходящих из события i c выходом типа 2, должны быть заданы вероятности их реализации P(ij) в случае свершения события i. при этом необходимо, чтобы выполнялось условие
m
£ p(f’ j)=i-
4=1
В результате анализа сетевой модели могут быть определены для любого завершающего события V (r = 1, m) математическое ожидание M[T J и дисперсия D[T J времени его свершения T(V) = T а также вероятность свершения этого события P(V).
На первом этапе анализа сетевой модели для каждой работы (ij определяется производящая функция моментов:
го
G, (s) = M[em('n] = J e-f (t)dt, (4.1)
если T(i,j) является непрерывной случайной величиной, или
G, (s) = M [e-’r<^ >] = £ e’-"j<pv (i, j), (4.2)
v=1
если T(ij дискретна, где s — действительное число (вспомогательный параметр).
Производящая функция моментов однозначно определяет распределение вероятностей. Знание производящей функции моментов G(s) случайной величины T равносильно знанию всех ее начальных моментов целых порядков. Для этого, продифференцировав r раз обе части равенств (4.1) и (4.2) по s, получим:
дГ ^
— [G(s)J = f estff (t )dt
OS /Т- \
-” (T непрерывна),
d_
dsr
[ОД] = S ^ fyPy
V =1
(T дискретна).
Положив s — 0, получим:
— [G(s)]
os
— G(s)]
ds
= J ff (t )dt = M [Tr ] = ar
—да
n
= £ tV pv = M[Tr ] = a ,
(4.3)
r
s=0
r
V =1
s=0
где — начальный момент r-го порядка.
В таблице 2 описаны некоторые наиболее важные распределения вероятностей и указаны соответствующие производящие функции моментов.
Производящая функция моментов случайной величины T обладает следующими свойствами:
1. При T = t = const имеем D(s) = M[est] = est.
да
2. G(0) = 1, так как J f)dt = 1-
—да
3. Свойство мультипликативности: если T , ..., T, ..., T — независимые случайные величины с производящими функциями моментов G(s), ..., G(s), ..., GJs), то nроизводящая функция случайной величины j = ^ j равна
n v =
G(s) = П Gv (А (4.4)
v =1
т.е. производящая функция суммы независимых случайных величин равна произведению производящих функций моментов этих величин.
Именно это свойство и делает применение производящих функций моментов весьма полезным во многих вопросах, связанных с суммами независимых случайных величин.
4. Производящая функция моментов связана с характеристической функцией g(s) следующим образом:
G(ls) = g(s) где i = yf~1. (4.5)
Другими словами, если в производящей функции моментов G(s) заменить s на is, то получим характеристическую функцию g(s) случайной величины T. Зная эту функцию, можно определить плотность распределения непрерывной случайной величины T с помощью следующей формулы:
го
f(t) = — 1e -stg(s)ds- (4.6)
—го
Соответствующее выражение имеет место и для плотности распределения p(t) дискретной случайной величины T. Таким образом, производящая функция моментов случайной величины T вполне определяет соответствующий ей закон распределения.
На втором этапе анализа сетевой модели для каждой работы (i,j) необходимо определить функцию W (s), которая вводится специально и
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
____________________________ СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 79
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Таблица 2
тип распределения плотность распределения G(s) M[T| D[T|
Биноминальное (Бернулли) C‘np‘ (1 - рТ‘ t=0,1,...,n; 0<p<1 (1 + pes - p)n np np(1-p)
Отрицательное биноминальное (Паскаля) C+,-1 p (1 - p)‘ , t=0,1,2,... ~\r p 1 - es + pe \ r (1 - p) p r(l- p) p2
геометрическое p(1-p)t t=0,1,2,... P 1 - p 1- p
1 - e + pe p p2
Пуассона X -x 7!e ’ exp[A(es - 1)] A A
Нормальное 1 (t - m)2 аы2п L 2a J t e] - да, да[ exp[sm + 0.5s2a2] m a2
Экспоненциальное (показательное) jXe~Xt, t > 0, [0, t < 0 l >> I ^ -i 1 X i X2
гамма b а tb-lea‘, t > 0, j r(b) ’ ’ [o, t < 0 1 - i' _ a _ -b b a b 2 a
равномерное на отрезке [a,b] ■ f 1 r „ , t e [a, b], b — a 0, t g [a, b], sb sa e - e (b - a)s a + b 2 (b - a)2 12
Обозначения: G(s) — производящая функция моментов, M(T) — математическое ожидание, D[T] — дисперсия. Плотность распределения p(t) — T дискретна, f(t) — T непрерывна.
равна произведению производящей функции моментов Gj.(s) данной работы (ij) на вероятность ее реализации P(i,j), т.е.
W (s) = G j(s)P(ij) (4.7)
Эта функция содержит в себе вероятность выполнения соответствующей работы и плотность распределения ее продолжительности.
Определим теперь эквивалентные W-функции для трех частных случаев: совокупности
последовательных работ, совокупности параллельных работ и совокупности, состоящей из двух работ с общим начальным событием, одна из которых образует петлю. При этом предполагается, что продолжительности рассматриваемых работ являются независимыми случайными величинами.
4.1. Последовательные работы
Рассмотрим фрагмент сетевой модели, состоящий из двух последовательных работ (рис. 4.1а). Исходные работы в соответствии с выражением (4.7) имеют W-функции W (s) = G (s)
P(ij) и Wk(s) = Gjk(s)P(j’k).
Для эквивалентной работы (i,k), показанной
на рис. 4.1б, W-функция имеет вид W (s) = G k(s) P(i,k). Поскольку P(i,k) = P(ij)Pj,k) и в силу (4)
Gk(s) = Gj(s)Gjk(sl то
Wk(s) = Gj(s) Gk (s) P(ij) P(j,k) = W..(s) Wrk(s). (4.8)
a '5
Рис. 4.1. Две последовательные работы (а) и их эквивалентное представление (б).
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
80
БАРИШПОЛЕЦ В.А.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Полученный результат (4.8) может быть обобщен на случай трех и более последовательных работ: W-функция эквивалентнойработы для нескольких последовательных работ равна произведению W-функций этих работ. Очевидно, что если из совокупности последовательных работ какая-либо работа (ij) исходит из события с выходом типа 1, то для вероятности ее реализации имеем P(ij) = 1.
4.2. Параллельные работы
Определим эквивалентную функцию W (s) для двух параллельных работ (ij) и (ij)' между событиями с выходом и входом типа 2 (рис. 4.2).
Пусть эти работы имеют следующие W-функции: Wjs) = Gjmij' и Wj) = Gjs) P(ij". Для эквивалентной работы (ij), показанной на рис. 4.2б, по определению имеем W(s) = G (s)
Вероятность реализации эквивалентной работы (ij) равна вероятности свершения события
j. В свою очередь, вероятность свершения события j равна вероятности реализации работы (ij) или работы (ij)". Отсюда имеем P(i,j) = P(j) =
т' + p(v)" ^ i.
Распределение вероятностей времени свершения события j представляет собой композицию распределений, характеризующих работы (ij) и (ij)" при условии реализации одной из них. Производящая функция моментов композиции двух распределений равна:
G (s) P(i, j)'+ g (s) p (i, j)"
p(i, j)'+ p (i, j)"
Тогда
W (^) =
G (s)P(i, j)’+ О] (s)P(i, j)"
= —----------j-------[P(i, j) ’+ P(i, j)"] =
P(i, j)’+ P(i, j)"
Gj (s) = Gj (s)
= W (s) + W (s). 2
Таким образом, W-функция эквивалентной работы для любых двух параллельных работ между событиями с выходом и входом типа
Рис. 4.3. Две работы, одна из которых образует петлю (а),
и их эквивалентное представление (б).
2 определяется в результате суммирования
W-функций рассматриваемых работ. Формула (4.9) может быть обобщена на случай трех и более параллельных работ: W-функция эквивалентной
работы для нескольких параллельных работ равна сумме W-функций этих работ.
4.3. Петля
Рассмотрим фрагмент сетевой модели, состоящий из работ (ij) и (i,i), последняя из которых образует петлю (рис. 4.3а). Этот фрагмент может быть преобразован в другой, состоящий из бесконечной совокупности параллельных путей, один из которых состоит из работы (ij), а все остальные — из одной или нескольких работ
(i,i) и работы (ij) (рис. 4.4). С помощью правила (4.8) каждый из таких путей можно свести к эквивалентной работе, а затем полученную совокупность параллельных работ с помощью правила (4.9) свести к одной работе, эквивалентной исходному фрагменту сетевой модели (рис. 4.3 б), т.е. WE(s) = IW(x)+W^)Wy)+W^IW(s)+IWi;(s)
wi}(s) + ... = iw.(s)[i + x wm (s) ].
m=1
Полученное выражение можно упростить, зная, что биноминальный ряд [1 — W..(s)]-1
раскладывается следующим образом:
[1 - IW(x)]-1 = 1+ГД) + ^;(х)+^;(х)+... =
= 1 + X wm (s) .
m=1
Следовательно, окончательно имеем:
WE(S) = iy..(j)[1-W..(j)]'1 = Wj(s)/(1-W..(s)). (4.10) Таким образом, фрагмент сетевой модели, изображенный на рис. 4.4, сводится к одной
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ °
Рис. 4.5. Замкнутая сетевая модель с контурами.
единственной работе, для которой W-функция определяется с помощью выражения (4.10). Описанная процедура может быть использована и для контуров, поскольку с помощью правила (4.8) контур сводится к петле.
Исходя из вышеизложенного, на третьем этапе последовательно-параллельную сетевую модель со стохастической структурой, содержащую контуры и имеющую одно завершающее событие, можно с помощью правил (4.8)—(4.10) привести к эквивалентной работе. Если же сетевая модель имеет несколько завершающих событий, то с помощью топологического преобразования она приводится к нескольким эквивалентным работам между исходным и завершающими событиями.
Чтобы полученный результат можно было применить для произвольной сетевой модели со стохастической структурой, необходимо последнюю с помощью соответствующего алгоритма привести к последовательнопараллельному виду.
Для понимания последующего материала введем ряд определений.
Контуром первого порядка называется контур, который не содержит других контуров.
Контуром порядка m называется множество из m несоприкасающихся (не связанных между собой) контуров первого порядка. Несоприкасающимися являются такие контуры, которые не имеют общих событий.
Замкнутой сетевой моделью называется сетевая модель, в которой каждый путь принадлежит, по крайней мере, одному контуру.
В качестве примера рассмотрим замкнутую сетевую модель, изображенную на рис. 4.5, для которой найдем все контуры и определим их порядок. На рис. 4.6-4.8 изображены контуры первого, второго и третьего порядка соответственно для сетевой модели, приведенной на рис. 4.5. Например, контуры первого порядка К1 и К2 образуют контур второго порядка, а контуры К К2 и К3 — контур третьего порядка.
Обозначим W-функцию контура порядка m через W(m,s). Очевидно, W-функция контура первого порядка равна произведению W-функций работ этого контура, т.е.
W(1,5) = П W (s); (4.11)
(г, j )sk
W-функция контура порядка m равна произведению W-функций контуров первого порядка, образующих рассматриваемый контур, т.е.
W(m,s) = (1 s). (4.12)
$=i
В работе [3] показано, что для замкнутой сетевой модели справедливо следующее топологическое уравнение, известное как правило Мейсона: 1-ZW(1,s)+XW(2,s)-£W(3,s)+...+
модели, изображенной на рис. 4.5.
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
82
БАРИШПОЛЕЦ В.А.
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
где £W(£s) — сумма W-функций для всех возможных контуров Дго порядка.
Для того чтобы уравнение (4.13) можно было применить к открытой сетевой модели, необходимо ввести дополнительную работу с W-функцией WA(s), соединяющую завершающее событие Vс исходным событием Iсетевой модели. Затем для модифицированной сетевой модели нужно найти все контуры вплоть до максимально возможного порядка. Функция WA(s) необходима для того, чтобы найти эквивалентную W-функцию WE(s) для исходной сетевой модели.
На рис. 4.9 исходная сетевая модель изображена в виде «черного ящика» с W-функцией WE(s). Полученная замкнутая сетевая модель содержит один контур первого порядка, для которого на основе правила (4.13) и выражения (4.11) получаем, что
1 - W(1,s) = 1 - WA(s)WE(s) = 0 или
WA(s) = 1/WE(s). (4.14)
Отметим, что функция WA(s) обязательно содержится в топологическом уравнении, поскольку введенная работа (V,I) является элементом, по крайней мере, одного контура первого порядка. Поэтому важность полученного результата (4.14) состоит в том, что если в топологическом уравнении замкнутой сетевой модели WA(s) заменить на 1/WE(s) и решить его относительно WE(s), то получим эквивалентную W-функцию для исходной сетевой модели. 2
Рис. 4.10. Открытая сетевая модель со стохастической структурой.
Рассмотрим процедуру определения функции WE(s) с помощью топологического уравнения (4.13) на примере открытой сетевой модели, изображенной на рис. 4.10.
Для этого необходимо выполнить следующие шаги.
1. Замкнуть исходную сетевую модель работой
(4.1). В результате получим модифицированную сетевую модель (рис. 4.11).
2. В полученной замкнутой сетевой модели найти все контуры порядка £ = 1, m и определить для них W-функции с помощью выражений (4.11) и (4.12). В данном случае имеем четыре контура первого порядка с W-функциями:
Wi(1,s) = W1 i(s);
W2(1,s) = W2J(s)WJ2(s);
Wj(1, s) = W, 2(s)Wz J(s)WAf(s);
W4(1, s) = W, 2(s)W2 j(s)Wj 2(s)WJs) =
= Wb2{s)W2i j(s)Wj 4(s)[1/WH(s)].
Контуры Wf(1, s) и W2(1, s) являются
несоприкасающимися и комбинируются для образования контура второго порядка с W-функцией
W(2, s) = W(1, s)W2(1, s) = Wb1{s)W2 j(s)Wj 2(s).
3. Используя топологическое уравнение (4.13), получить выражение для WE(s):
1 - [W;(1, s)+W2(1, s)+W3(1, s)+W4(1, s) + W(2, s) =
= 1 - W11(s)-W2j(s)Wj2(s)-W12(s)W2j(s)Wj 1(s) -- Wb (i)Wz j(s)Wj2(s)[1/WH(j)] + Wt (s)W2 j(s)Wj 2(s) = = 0.
Отсюда имеем
что является эквивалентной W-функцией для сетевой модели, изображенной на рис. 4.10.
Покажем, каким образом с помощью значения WE(s) можно определить математическое ожидание M[TkpJ и дисперсию D[TkJ] времени свершения
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 83 СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
завершающего события сетевой модели T(V), а также вероятность свершения этого события P(V).
поскольку WE(s) = GE(s)P(V), можно получить P(V = WE(s)/GE(s). (4.15)
Так как GE(0) = 1, то при s = 0 из этого выражения следует
P(V) = We(0) (4.16)
С помощью выражений (4.15) и (4.16) получим
Ge(s) = We(s)/P(V) = We(s)/We(0). (4.17)
На основании выражения (4.3) находим первый и второй начальные моменты аг и а2 для случайной величины T(V):
а, =| Ю (s)]|
д 2
«2 [А (Ц<4-18)
Первый начальный момент а есть математическое ожидание M[Tkp] времени
свершения завершающего события T(V), а дисперсия этой случайной величины вычисляется по формуле
D \Tkp ] = а2 -а12- (4.19)
Кроме того, в случае необходимости, с помощью выражений (4.5) и (4.6) можно определить плотность распределения fV(t) случайной величины T(V).
Если сетевая модель со стохастической структурой имеет несколько завершающих событий V (r = 1, rn), то описанную выше процедуру надо выполнить относительно каждого завершающего события.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследование процессов выполнения комплекса взаимосвязанных операций (работ, действий, мероприятий, подпроцессов), прогнозирование их развития, а также их оптимизация с точки зрения затрат времени и ресурсов вызывают необходимость моделирования этих процессов на уровне построения развернутых логико-математических моделей. Причем, в связи со стохастичностью рассматриваемых процессов — зависимостью объема и последовательности работ, промежуточных и конечных исходов операций от обстановки их протекания — адекватность моделирования обеспечивает лишь сетевая модель
со стохастической структурой, учитывающая всю многовариантность взаимосвязей отдельных операций. Теоретические основы такого моделирования представлены в настоящей
работе. Сформулирована соответствующая постановка задачи, изложены способы ее решения — предложен метод построения сетевой модели со стохастической структурой и случайной продолжительностью работ,
получены статистические оценки вероятностных характеристик модели с использованием
метода статистических испытаний, а также численного (с заменой плотности распределения продолжительности каждой
работы гистограммой) и аналитического метода для анализа сетевой модели сложной логической структуры.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зуховицкий СИ, Радчик ИА. Математические методы сетевого планирования. М., Наука, 1965, 254 с.
2. Основные положения по разработке и применению систем сетевого планирования и управления. М., Экономика, 1965, 197 с.
3. Филипс Д, Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. М., Мир, 1984, 312 с.
4. Бусленко НП, Голенко ДИ, Соболь ИМ и др. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). М., Физматгиз, 1962.
5. Голенко ДИ. Статистические методы в
системах сетевого планирования и управления. Сб.: Сетевое планирование и управление. М.,
Экономика, 1967.
6. Вентцель ЕС. Теория вероятностей. М.,
Физматгиз, 1962.
Баришполец Виталий Анатольевич
д.т.н, проф, действительный член РАЕН, ВЦ им. А.А. Дородницына РАН, в.н.с. 119333, Москва, ул. Вавилова, 40, тел. .+7 499 135 2489, [email protected].
РЭНСИТ | 2011 | ТОМ 3 | НОМЕР 2
84
BARISHPOLETS VA.
INFORMATION TECHNOLOGIES
NETWORK MODELING OF STOCHASTIC PROCESSES OF PERFORMANCE OF A COMPLEX OF THE INTERCONNECTED OPERATIONS (WORKS)
Barishpolets V.A.
Dorodnicyn Computing Centre, Russian Academy of Sciences, http://www.ccas.ru
40, Vavilova str., 119333 Moscow, Russian Fegeration
In article theoretical bases of network modeling of stochastic processes of performance of a complex of the interconnected operations (works) are stated, which include a method of creation of a network model with stochastic structure and analysis methods. The offered method of creation of a network model with stochastic structure allows to use events with wide logical possibilities on an input and an output and, as a result, adequately to display stochastic process of performance of a complex of the interconnected operations (works) for the purpose of its research, development forecasting, and also optimization from the point of view of expenses of time and resources. It is offered to apply a method of statistical tests, the numerical method and an analytical method to obtaining of estimations of probability characteristics of a network model with stochastic structure. The method of statistical tests is most a universal remedy of obtaining of statistical estimations of probability characteristics of a network model with stochastic structure. At its application there is no necessity to enter restriction on logical possibilities of events of a network model on an input and an output. At the heart of application of the numerical method of determination of estimations of probability characteristics of a network model with stochastic structure and casual duration of operations changeover of distribution density of duration of each operation by the histogram lies. The analytical method can be applied to the analysis of the network model containing loops and circuits, but having restrictions on logical possibilities of events.
Keywords: mathematical modeling, network model, operation, work, event, network model characteristics.
UDC 519.95
Bibliographies — 6 references
KENSIT, 2011, 3(2):59-84_______________________________
references
1. Zukhovitsky SI, Radchik IA. Matematicheskie metody setevogo planirovaniya [Mathematical methods of network planning]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 254 p.
2. Osnovnye pologheniya po ragrabotke i primeneniyu sistem setevogo planirovaniya i upravleniya [The main provisions on the development and application of systems of network planning and management]. Moscow, Ekonomika Publ., 1965, 197 p.
3. Filips D, Garsia-Dias A. Metody analiga setey [Methods for analysing networks]. Moscow, Mir Publ., 1984, 312 p.
4. Buslenko NP, Golenko DI, Sobol’ IM at all.
Metod statisticheskikh ispytaniy (metod Monte-Karlo) [Method of statistical tests (Monte-Carlo method)]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1962, 332 p.
5. Golenko DI. Statisticheskie metody v sistemakh setevogo planirovaniya i upravleniya [Statistical methods in systems of network planning and management]. Collect.: Setevoe planirovanie i upravlenie [Network 2
Received 20.09.2011
planning and management]. Moscow, Ekonomika Publ. 1967.
6. Ventzel’ ES. Teoriya veroyatnostey [Probability theory]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1962.
2 НОМЕР | ТОМ 3 | 2011 | РЭНСИТ
