Сепарабельность многомодулярных пространств,построенных из обобщенных пространств Орлича Текст научной статьи по специальности «Математика»

ysa^ [email protected] Вадим Иванович Филиппов,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики, Саратовский социально-экономический институт (филиал) УДК 515.17 РЭУ им. Г.В. Плеханова

СЕПАРАБЕЛЬНОСТЬ МНОГОМОДУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ, ПОСТРОЕННЫХ ИЗ ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ ОРЛИЧА

Рассматриваем новый вид пространств: многомодулярные пространства. Для этих пространств определяется F-норма и доказывается, что пространство Е^ сепарабельно по соответствующей ~'-норме ' II <р.

Ключевые слова: модулярные пространства, многомодулярные пространства, обобщенные пространства Орлича.

V.I. Filippov

SEPARABILITY OF MULTIMODULAR SPACES CONSTRUCTED FROM THE GENERALIZED ORLICZ SPACES

We introduce a new type of space: the multimodular spaces. For these spaces is determined by the F norm and

it is proved that the space E^, is separable by the respective 'jP-norm |' ||

Keywords: multimodular spaces, modular spaces, generalized Orlich spaces, E spaces.

Модулярные пространства подробно отражены в монографиях [9] и [10].

В данной работе рассматривается обобщение модулярных пространств (многомодулярные пространства), доказывается сепарабельность некоторого вида этих пространств. Для этих пространств определяется

р-норма. Заметим, что обобщенные пространства и

классы Орлича, а также классы 1.... являются частным случаем модулярных пространстЕ.' В работах [8; 11; 12] рассматриваются системы представления в некоторых конкретных модулярных пространствах.

В статьях [3; 4; 7] исследованы ряды Фурье и Фурье -Хаара в специальных модулярных пространствах.

Многомерные модулярные пространства могут быть использованы для получения новых результатов в исследованиях, проведенных в работах [1; 2; 5; 6].

Пространство Е с р-нормой (нормой) будем называть Р-пространством (^-пространством), если оно полно.

Определение 1. Будем говорить, что функционал р: Е —* [0,оо) на действительном или комплексном векторном пространстве Е называется псевдомоду-ляром, если для произвольных X и у, принадлежащих Е, выполняются условия 1)р(0) = 0.

2)Вслучае, когда ¿"действительное,р(—%) = р(х). Бслу Е комплексное, то для любого действительного

Г р(е'^л) = р(х).

3) Для й>0и/?>0ий; + /? = 1 выполняется р(ах + ру) < р(х) + р(у}.

Пусть £¿,1 = 1,2, ...,71,— действительные или комплексные векторные пространства. Рассмотрим множество Е$ , состоящее из элементов

/ = (f1.f2.-JJ, гДе е £г-,; = Пусть /, д £ Ео.Ь - поле скалеров. Введем в множестве Е£ сумму и умножение на скаляр покоординатно. Легко проверяется, что множество является линейным пространством.

Если ри ( = 1,2, ...,71- псевдомодуляры (полу-модуляры, модуляры [2]) В £.,1 = 1,2, ...,71, то 11

РоШ—Улс/а/е^

71 ¿—I

¡=1

является псевдомодуляром (полумодуляром, модуля-ром)в .

Определение 2. Если р0 - псевдомодуляр в Е£ , то

£р" = [/Е£^Итр0(Л/) = о]

называется многомодулярным пространством.

Пусть р0 - псевдомодуляр в . Тогда функционал

71

ш/ |£

является ¿-псевдонормой в

Теорема 1. Пусть Р; - псевдомодуляры в Еи I = 1,п. Если / Е Ер и /ь Е Е^ для к = 1,2,3 ..., то условие /ь — ^ 0 при к —* =с эквивалентно условию р0(о:(Д. —/)) —>■ 0 при к —> =сдля любого

а > 0. Если [к £ Ер для к = 1,2,3 ...,то {Д} является последовательностью Коши в пространстве Ер относительно ^-псевдонормы |Ро, тогда и только тогда, когда р0(а(/к — /¡)) -» 0 при к —> =о,I —» зо

для каждого а > 0. Если р0- 5-выпуклый псевдомодуляр в Ь'У то такое же утверждение имеет силу, если вместо |-1 взять

Определение 3. Предположим, что (Ог,/¿¡), I. = 1, тг - измеримое пространство, т.е. - непустое множество, Е-(Х-алгебра подмножеств из О; и ¡л, -неотрицательная полная мера, не эквивалентная нулю. Будем говорить, что действительная функция <¡0;, определенная на Ог- X {[0,зо)}, принадлежит классу В, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) (р1 (X, V ! есть ^-функция от переменной V > 0 для каждого X £ т.е. является неубывающей, непрерывной функцией, такой, что ^¡(х,0)=0, <рг (х, 1?) > 0 для V > 0, (р1 (х, 1?) -» =о при V — ж.;

2) <р1 (х, I?) является ^-измеримой функцией отх для всех V > 0.

Пусть £; - множество всех действительнозначных или комплекснозначных) У-измеримых и конечных ¿¿¡-почти всюду функцией на £2, с эквивалентностью /¿¡-почти всюду.

Очевидно, что <р< {х,^ (х) ! является У-измеримой функцией от X для каждой и

£¡(/¿00) = 1п. <РЛХ. 1/Дх)1)фг является моду-

ляром в Если ^¡(х, I?) - 5-выпуклая функция

от V для всехх Е П,, где 0 < 5 < 1, то рг- является

^-выпуклым модуляром в £г'.

Определение 4 Пусть Е В,1 = 1,тг. Модулярное пространство £

Р;(/*СО) = /0. (х> 1/(С01)Ф(, состоящее множества всех тех /¿(х}ё£;, для которых / (р^х, -» 0, при а -» +0, назовем

обобщенным пространством Орлича и будем обозначать, при тг = 1, через (р* (£, П, Е, ц) (или коротко

Модулярное пространство Ер

Р0(/Сх}) =ЕГ=1 Р; (Л С*))» состоящее из множества всех тех /(х) £ £д, для которых ^ИГ^/п. (рг(х,а\^{х)\)<1^ 0, при

Л 1

будем обозначать через ^(^П.Е, ц) (или коротко

<РпШУ _

Определение 5. Пусть = 1,71. Множе-

ство всех тех /¿(х) Е Е0 для которых /о, < назовем, при 71= 1,

обобщенным классом Орлича и будем обозначать <р(1,0, Е, ц) (или коротко <р(£)).

Множество всех тех /00 £ Ец, для которых Ро(Ях)) = ;п |№Ю<

из

♦-

будем обозначать через <рп (Д П, Г, ц} (или коротко

<РпШ).

Определение 6. Функция /(х) Е называется ограниченным элементом в если

се/(х) € <рп{Е) для любого а > 0. Множество всех ограниченных элементов в ф* (¿) обозначим через (при п = 1 обозначим через Очевидно, что Е™ есть подпространство (р^ (Е) Определение 7. Функция, определенная на некотором измеримом пространстве (П, Е, ¡л), называется простой, если она /¿-измерима и принимает конечное число значений.

Теорема 2 Пусть А - множество всех простых интегрируемых функций на и пусть Е В,1 = 1,Т1 и локально интегрируема. Тогда Л. Е^ Если, кроме того, мера С-конечна, то есть замыкание множества А по соответствующей Р-норме |-|р (которую в дальнейшем, прип = 1, будем обозначать II" II и называть (р-нормой) и А р-плотно в <р* (¿). К тому же множество Е™ есть замыкание множества А = (Лпо соответствующей £-норме ■ (которую в дальнейшем будем обозначать ■ и называть <Р-НОрМОЙ) И А Р-ПЛОТНО В <рп (£}.

Доказательство. Включение Л' с: Е следует из

1 <Рг"

локальной интегрируемости ££ будет замкнуто в если Е Е™ для к = 1,2,... и к тому же ||/ — Д.-> 0,к -» оо Тогда неравенство Ро («Я ^ Ро (2а(/ - О) + Ро (_2а/п) влечет, что Ро («/) < 00 Для любого а; > 0. Пусть теперь / € /¡СО > 0 на П^ и (— последовательность простых интегрируемых функций, таких, что 0 < £(*) / /(ж) для 1ЁЙ{,1=й

Тогда (*,а(|/ьСО-/|(*)|)) 0 и

<Рг (х,СО-/ (*)I) < <Рг{%, я/СО) Для X Е Ог, а > 0 , кроме того,

4, <Рг (х,а/ - рЕ (а/ ) < =0.

Следовательно, из основной теоремы Лебега о сходимости получим:

А (« (/¿СО - /СО)) - о, Т.е. II/, " - о,

а значит, ]|/ - [к ||£ -» 0, к -» «о.

Если мы откажемся от допущения / (ж) > 0 на О,;, то можно представить / в виде разности:

где

, + = [/ СО, если/(х) > 0; I 0, если / (х) < О,

= | -/ (ж), если / СО < О, { 0, если/О) > 0.

-♦

Очевидно, что Е Е^ и f~ Е Ещ. А далее снова воспользуемся предыдущими рассуждениями. Таким образом, А плотно в Е(р_ по соответствующей ф-норме l'Il^j, а значит, А плотно в Е™ по соответствующей <Р-норме Н1£.

Тот факт, что il - р-плотное множество в (£), доказывается аналогично.

Заметим, что если <Р;(х, г) = <pi(v) не зависит от х, то <Pi всегда локально интегрируема. Тогда (7-конечность в теореме 2 не нужна, так как из неравенств 0 < (х) / / (х) и / (х) Е <р* (L) следует, что <Piifk) интегрируема.

Исследуем проблему сепарабельности в и <Рп(0

Определение 8. Мера Ц называется сепарабель-ной, если существует последовательность (_Dk ) множеств Dj> Е Z, обладающая следующими свойствами:

1)/t(Dfc)< для к = 1,2...;

2) для каждого множества D CIc li(D) < -хз и для любого У > С1 существует индекс к0 такой, что fi(DADkJ < îj, где = U (АДД).

Теорема 3. Пусть «р, Е B,i = 1,плокально интегрируема, мера /¿ï 0"-конечна и сепарабельна. Тогда пространство EJ1 сепарабельно по соответствующей

'Р-норме и обобщенное пространство Орлича (pn (L) р-сепарабельно.

Доказательство. Возьмем последовательность

множеств (Рь), определяющих сепарабельную меру

Пусть Лд - множество всех простых функций вида:

к

3i(x) = ^ Û), 9 = Î9ir-,gi,-,3n)> j= i

где С- — рациональные числа, XD\ ) — характеристическая функция множества D--

Согласно теореме 2 достаточно показать, что множество Лд плотно в А по соответствующей F-норме 1МЦ., и тогда будет следовать, что множество А = (Alr..., AJ плотно в А0 = (Al,...,A%) по соответствующей F-норме 111|

Пусть У; е А¡, yi (х) = Zj=! djxpi (к). где Pj Е Ъ, попарно не пересекаются и ) < ж для ) = 1,2,..., к,у = (y1,...,yi,...,yn). Обозначим di = maxlsj-sfc|d;!|. Возьмем произвольные a > 0 h?j > 0. Тогда можно выбрать множества Dj^, —,Djk из последовательности (Dj гак, что:

Г 1]

I (p&^adjd^ < —

d\ &Р!

h <

для I = 1,2,..., к, i = l,7i.

Возьмем □ pi, буд

: J /=1 J

ем иметь

/Р ^¡(Х -» 0 при £ -» 0. Пусть 5 > 0

такое, что |р (л, < -7]. Выберем раци-

ональные числа (11... , (¡1[. таким образом, чтобы

— с] | < 8 н | < 2di для; = 1,2,..., к,1 = 1,1 Получим:

,71.

к

100 - у, 001 < 5fx) + 2d,pr^OO - О)

1=1

Следовательно,

Pi{«(ih ->'i)) < | (pi(x,2aS)diii +

JPi

+ I <p, \-,4«d, ) r,{x) ~;(n.{x) Jd/J.1 <

i=i

К

< j <Pi(x, 2aS)djii + ) j <p{x, 4adi)dfi.i < rj,

Pi 1 = 1 D; АР/

1~1 о];др/

- у)) < Л-

Заметим, что в случае (х, и) = =

не зависящей от X, предположения о локальной интегрируемости и ^-конечности ¿1,- в теореме 3 излишни.

1. Акимова С.А. Об определяемое™ упорядоченных автоматов полугруппами их входных сигналов // Известия Волгоградского государственного педагогического университета. 2005. № 4. С. 24-27.

2. Безруков А.И., Погожильская Г.Г. Алгоритм визуализации статистики результатов выполнения тестовых заданий, накопленных в системе ACT // Известия Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова. 2015. № 4 (22). С. 178-188.

3. Голубов Б.И. Абсолютная сходимость двойных рядов из коэффициентов Фурье - Хаара функций ограниченной р-вариации // Известия вузов. Математика. 2012. № 6. С. 3-13.

4. Голубов Б.И. Сферический скачок функции и средние Бохнера - Рисса сопряженных кратных рядов и интегралов Фурье // Математические заметки. 2012. Т. 91. Вып. 4. С. 506-514.

5. Гусятников В.Н., Нефедов И.С., Морозов Ю.А. Оптическая перестройка фотонной запрещенной зоны в классической полупроводниковой сверхрешетке при импульсном световом воздействии // Известия Академии наук. Серия физическая. 2001. Т. 65. № 2. С. 303-306.

6. Кублин И.М., Верещагина Л. С. О методологии формирования производственной программы промышленного предприятия // Вестник Саратовского государственного социально-экономического университета. 2010. № 5 (34). С. 83-88.

7. Филиппов В.И. Об усилении результатов А.Н. Колмогорова о рядах Фурье и сопряженных функциях # Известия вузов. Математика. 2012. № 7. С. 21-34.

8. Филиппов В.И. Системы функций, получающиеся сжатиями и сдвигами одной функции, в пространствах

Е<р lim^oo ^^ = 0//Известия РАН. Серия математическая.

2001. № 65:2. С. 187-200.

9. Musielak J. Orlicz spaces and modular spaces. Lecture Notes in Math., 1034. Springer-Veriag, Berlin, 1983.

10. Nakano H. Topology and topological linear spaces. Tokyo, 1951.

11. Filippov V.I. Linear continuous functionals and representation of functions by series in the spaces E„ // Anal. Math. 2001. 27:4. P. 239-260.

12. Filippov V.I. On the completeness and other properties of some function systems in Lp, 0 < p < // Journal Approx. Theory. 1998. 94:1. P. 42-53.