Седиментация взвеси мелких стоксовских монодисперсных частиц в перемешиваемом слое с движущейся свободной границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.2.001.24

Физика

СЕДИМЕНТАЦИЯ ВЗВЕСИ МЕЛКИХ СТОКСОВСКИХ МОНОДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ В ПЕРЕМЕШИВАЕМОМ СЛОЕ С ДВИЖУЩЕЙСЯ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

В.И. Ряжских, А.А. Богер, М.И. Слюсарев, А.В. Ряжских

На основе диффузионных представлений сформулирована и решена задача об осаждении монодисперсных мелких стоксовских частиц в перемешиваемом плоском слое с вертикально движущейся свободной границей

Ключевые слова: седиментация, монодисперсные стоксовские частицы, движущаяся свободная граница, плоский слой

Введение. Задачи с движущимися границами, классификация и методы решения которых приведены в [1], имеют важное прикладное применение [2]. Ранее в основном рассматривались тепломассо-обменные процессы в гомогенных средах с фазовыми переходами, поэтому их математическая формулировка сводилась к анализу проблемы Стефана и ее разновидностям [3].

В последнее время интерес вызывают задачи для гетерогенных сред с движущимися границами, например [4-6], в которых конвективная составляющая переноса дисперсной фазы, связанная с ее гравитационным осаждением, при моделировании не учитывается. Применение в этом случае подходов механики гетерогенных сред [7] вызывает пока ряд непреодолимых трудностей, связанных с корректной постановкой условий на межфазной границе, существенной нелинейностью интегро-дифференциальных уравнений высокого порядка и т.д. Альтернативой является синтез математических моделей с использованием диффузионных представлений [8], которые апробированы при описании различных процессов осаждения [9, 10].

В связи с этим на примере задачи о переносе малоконцентрированной монодисперсной взвеси мелких стоксовских частиц в плоском слое при перемешивании дисперсионной среды рассматривается кинетика их осаждения в условиях движения с постоянной скоростью свободной границы.

Постановка задачи. В начальный момент времени непроницаемая свободная граница плоского слоя малоконцентрированной однородной суспензии монодисперсных частиц, осаждающихся по закону Стокса, в условиях перемешивания дисперсионной фазы начинает двигаться с постоянной скоростью вертикально вниз. С учетом конвективно-диффузионных представлений о переносе твердой фазы в объеме суспензии математическая постанов-

Ряжских Виктор Иванович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: [email protected] Богер Андрей Александрович - ВУНЦ ВВС ВВА, канд. техн. наук, доцент, e-mail: [email protected] Слюсарев Михаил Иванович - ВГУИТ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: [email protected] Ряжских Александр Викторович - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: [email protected]

ка задачи об идентификации нестационарного концентрационного поля мелких частиц, которые удерживаются силами адгезии при достижении поверхности осаждения [11], представлена следующим образом:

dN (х, e)_SN (х, 9) i д2n (х, е)

59

дХ2

n[h(9),9]

дХ Bo

N (X ,0) = 1; N ( 0,9) = 0 ;

1 5N [ h (9), 9]

Bo

дХ

= 0;

H (9) = 1 -а9,

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

где 9 = м>г/к0 ; X = х/к ; N (X, 9) = п (х, г )/ п0 ; а = ; х - декартова координата, отсчитываемая от поверхности осаждения; г - время; w -стоксовская скорость осаждения частиц взвеси; V -скорость движения границы; п, п0 - локальная и начальная счетные концентрации частиц; к0 -начальная высота слоя; к = к0 - VI; Н = к/к0 ; Во = м>к0/В - число Боденштейна; Б -коэффициент перемешивания.

Численная схема. Вначале система (1)-(5) путём замены

N (X, 9) = Ф( X, 9) exp

■Bo f X +1

2 I 2 ,

(6)

сведена к уравнению без конвективной составляющей

дФ(X,9) _ 1 д2Ф(X,9)

д9 Bo дХ2 с краевыми условиями

Ф(X,0)= exp f X

Ф( 0,9) = 0,

(7)

(8) (9)

г , ч .. 2 <эфгн (е), е] ф[н(е),е]+--1 у ' ] = о, (10)

^ ' ] Во 5Х а с помощью функционального преобразования

X

1 -ае

л =

е

1 -ае

(11)

для которого Якобиан отличен от нуля, исходная задача преобразована к задаче с неподвижной границей относительно

т(%, л) = ф[ х (%, л), е(%, л)]

и представлена в виде

5Т(^л)_ 5Т(%, л) 1 л)

дл

1 + ал

Во а%2

Т(%,0) = ехр | В° % Т( 0, л) = 0,

, (12)

(13)

(14)

Т(1, л) + — (1 + ал)а?/(1, л) = 0. (15)

Линейный характер краевой задачи (12)—(15) позволил использовать классическую маршевую схему с первым порядком точности по п и вторым

по 4 на равномерной сетке = /Д (г = 0, т), где Д% = Цт , лу = }Дл (у = 0,1,2,...):

Т,, ,+1 = аи ,Т,+1,у + ЪЧ., + с г ,Т,,,, г = 1, т -1; (16)

где N (X, ^) - изображение N (X, е), 5 - параметр преобразования Лапласа.

Решение краевой задачи (19), (20)

^ (X, 5 ) =

^сЬ (шН) + ^ (юН) - ехр ГВо Н

1(шН )/ю + ^ сЬ (шН)

- 1сЬ («ЮГ )} ехр Г-Во X ] +1, (21)

Во2 и

где ю = д/--+ Во-5 .

V 4

Обращение (21) по теореме Ващенко-Захарченко [14] позволило получить решение исходной задачи в аналитическом виде:

™ I 1

N (X, е) = !^*т [к (X - Н)]-

т=1 [ 2М-И

1 Г (V н-м 8Ш (ц»х) Г Во -Во Со8 (X - Н )]--"- еХР Н

I В^,

х ехр | X | ехр

К

К + Во Во 4

К + Во

Во 4

Во- Н

ВКНс

- 81П (ц"Н) - Н 81П (ц"Н)

(22)

где

Т,,0 = ехр ^Во, , / = 0, т ; Т0,,. = 0 ; (17)

Тт,у = йу (4Тт-, -Тт-2,у ) , У = 0,1,2,. . (18)

Дл а/Дл ^ ^ 2Дл ^,у = Во Д%2 2 (1 + ауДл) ' = Во Д%2 ; Дл а/Дл , 1 + ауДл

; й. = -

',у Во Д%2 2 (1 + ауДл)' у Во Д%+ 3 (1 + ауДл)' для которой устойчивость и сходимость доказаны в [12].

Приближенное решение. Применение одностороннего преобразования Лапласа [13] к системе (1)-(5) является вполне оправданным, если а □ 1. Полагая Н в (5) параметром, получим изображение системы (1)-(5) в виде

й2 N (X, 5 ) | в^ (X, 5)

dx2

dx

- Во- 5^ (X, 5 ) = - Во;

(19)

/ ч ч 1 (н, е) n(0,5) = n(н,е)+—--^ ; = 0, (20)

где - корни характеристического уравнения

* <к-н )=-Ю,

н = 1-ае.

Вычислительный эксперимент. Вычисления проводили следующим образом: задавались значениями а, Во, 0, выбирали Дц □ (10-5 ^ 10-3 )Д% , где

= 10-3 ^10-1, затем в соответствии со схемой (16)-(18) рассчитывали сеточную функцию, значения которой модифицировали обратным преобразованием координат (11) и возвращались к исходной безразмерной концентрации согласно (6). Результаты расчетов сравнивали с (22).

В случае неподвижной свободной границы интенсивное перемешивание (рис. 1, а) ускоряет процесс осаждения, при слабом перемешивании (рис. 1, б) происходит осветление суспензии вблизи свободной поверхности с одновременным дрейфом максимума концентрации в направлении дна. Кроме того, полученные результаты, по существу, являлись тестовыми и подтвердили эффективность вычислительной схемы и корректность ее использования при а>0.

Во dX

5

Рис. 1. Концентрация частиц при а=0, Во=0,1 (а), Во= 10,0 (б) и различных 9: а - 1 - 0,001; 2 - 0,01; 3 -0,03; 4 - 0,087; б - 1 - 0,01; 2 - 0,03; 3 - 0,5; 4 - 1,0; о -вычислительный эксперимент; — - приближенное решение

При а<1 (рис. 2) картин процесса существенно не меняется, а приближенное решение вполне адекватно описывает изменение локальной концентрации частиц.

б

Рис. 2. Концентрация частиц при а=0,1, Во=0,1 (а), Во= 10,0 (б) и различных 9: а - 1 - 0,001; 2 - 0,01; 3 -0,03; 4 - 0,087; б - 1 - 0,01; 2 - 0,1; 3 - 0,5; 4 - 1,0; о -вычислительный эксперимент; — - приближенное решение

Когда скорость седиментации частиц эквивалентна скорости перемещения свободной границы, физическая картина процесса остается практически той же самой, однако приближенное решение дает заниженную концентрацию при слабом перемешивании (рис. 3, б), оставаясь вполне точным при интенсивном перемешивании (рис. 3, а).

а б

Рис. 3. Концентрация частиц при а=1,0, Во=0,1 (а), Во=10,0 (б) и различных 9: а - 1 - 0,001; 2 - 0,01; 3 -0,03; 4 - 0,087; б - 1 - 0,01; 2 - 0,1; 3 - 0,5; о - вычислительный эксперимент; — - приближенное решение

Даже при а □ 1 (рис. 4) физическая картина процесса остается той же самой, причем превышение значения концентрации частиц в начальный момент времени не наблюдается, по-видимому, из-за бесконечной скорости поглощения частиц поверхностью осаждения. Следует обратить внимание на то, что приближенное решение и в этом случае при Во □ 1 вполне точно описывает изменение концентрации частиц в слое.

а б

Рис. 4. Концентрация частиц при а=10,0, Во=0,1 (а), Во=10,0 (б) и различных 9: а - 1 - 0,001; 2 - 0,01; 3 -0,03; 4 - 0,05; б - 1 - 0,01; 2 - 0,05; о - вычислительный эксперимент; — - приближенное решение

Заключение. Проведенный теоретический анализ показал правомочность предложенного подхода для описания изменения концентрации монодисперсных частиц при их седиментации в условиях конвективного перемешивания дисперсионной среды с одновременным перемещением свободной границы. Такой подход можно использовать при анализе указанной задачи при произвольном законе изменения скорости движения свободной границы и для более сложной геометрии с возможным обобщением на полидисперсный случай.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по гранту № 13-08-00261.

Литература

1. Crank, J. Free and moving boundary problems [Text] / J. Crank.- Oxford: Clarendon Press, 1984. - 425 p.

2. Tarzia, D.A. A bibliography on moving-free boundary problems for the heat-diffusion equation [Text] / D.A. Tarzia // The Stefan and related problems. MAT: Serie A. -2000. - №2. - P. 297-301.

3. Gupta, S.C. The classical Stefan problem: Basic concepts, modeling and analysis [Text] / S.C. Gupta. - London, 2003. - 404 p.

4. Красильников, В.В. Диффузионные модели роста тонких пленок и нанокластеров [Текст] / В.В. Красильников, С.Е. Савотченко, И.В. Удовенко // Научные ведомости БелГУ. Сер. Физико-математические науки. -2006. - № 6 (26), Вып. 12. - С. 107-113.

5. Городцов, В.А. Конвективная теплопроводность и диффузия в одномерной гидродинамике [Текст] / В.А. Городцов // Журн. эксперим. и теор. физики. - 1999. -Т. 116, Вып. 5 (11). - С. 1616-1629.

6. Жекамухов, М.К. О моделировании процесса металлизации керамики в условиях вакуума [Текст] / М.К. Жекамухов, В.К. Кумыков // Фазовые переходы, упорядоченные состояния и новые материалы. - 2007. - № 2. - С. 1-4.

б

а

а

7. Нигматулин, Р.Н. Основы механики гетерогенных сред [Текст] / Р.Н. Нигматулин.- М.: Наука, 1978.- 336 с.

8. Математическая модель процесса перемешивания и сепарации полидисперсного материала в кипящем слое [Текст] / И.А. Буровой, А.Х. Ибраев // Изв. вузов. Сер. Цвет. металлург. - 1971. - Т. 14, № 1. - С. 136-139.

9. Харин, В.М. Осаждение криогенных взвесей в резервуарах [Текст] / В.М. Харин, В.И. Ряжских, Р.М. Завадских // Теор. основы хим. технол. - 1991. - Т. 25, № 5. -С. 659-669.

10. Харин, В.М. К теории осаждения [Текст] / В.М. Харин, В.И. Ряжских // Теор. основы хим. технол. - 1989. -Т. 23, № 5. - С. 651-658.

11. Веригин, А.Н. Кристаллизация в дисперсных системах: Инженерные методы расчетов [Текст] / А.Н. Веригин, И.А. Щупляк, М.Ф. Михалев. - Л.: Химия, 1986. -248 с.

12. Самарский, А.А. Вычислительная теплопередача [Текст] / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. - М.: Едито-риал УРСС, 2003. - 784 с.

13. Дёч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования [Текст] / Г. Дёч. - М.: Физматгиз, 1971. - 288 с.

14. Беляев, Н.М. Методы теории теплопроводности [Текст] / Н.М. Беляев, А.А. Рядно. - М.: Наука, 1982. - Ч.1. -327 с.

Воронежский государственный технический университет

Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»

Воронежский государственный университет инженерных технологий

SUSPENDED FINE STOKES MONODISPERSE PARTICLES SEDIMENTATION IN THE STIRRED LAYER WITH FREE MOVING BOUNDARY

V.I. Ryazhskih, A.A. Boger, M.I. Slyusarev, A.V. Ryazhskih

Based on diffusion concepts the problem is formulated and solved on the monodisperse fine Stokes particles deposition in a stirred flat layer with moving vertically free boundary

Key words: sedimentation, Stokes monodisperse particles, moving free boundary, flat layer