CC BY
72
Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 15 (230). Физика. Вып. 10. С. 45-51.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
А. В. Захаров, Н. А. Лихачев
СЕЧЕНИЕ ПОГЛОЩЕНИЯ ФОТОНОВ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЧЁРНЫМИ ДЫРАМИ
Предложен способ вычисления сечения поглощения чёрными дырами фотонов в случае разделения переменных в уравнении Гамильтона—Якоби, отличный от метода эффективных потенциалов К. А. Пирагаса. Найдено сечение поглощения фотонов полем Керра—Ньюмена—де Ситтера, которое может быть использовано для вычисления полного потока поглощения излучения чёрными дырами указанного класса в ранней Вселенной в зависимости от темпов её расширения. Определены границы изменения параметров чёрной дыры Керра—Ньюмена—де Ситтера, которые зависят от значения космологической постоянной.
Ключевые слова: общая теория относительности, космология, чёрные дыры, вращающаяся чёрная дыра, решение Керра, сечение поглощения излучения.
Введение. Очевидно, что захватываемое чёрной дырой излучение в эргосфере становится релятивистским газом. Говоря о сечении поглощения фотонов, мы будем рассматривать траектории таких фотонов, которые упираются в эргосферу чёрной дыры. Сечение поглощения фотонов интересует нас в первую очередь по той причине, что оно позволяет рассчитать полное поглощение излучения чёрной дырой из её окрестностей и вклад излучения в рост массы сверхмассивных чёрных дыр на стадии их становления в ранней Вселенной [1].
Если уравнение Гамильтона—Якоби пробной частицы или фотона
ё,к
^ д V д ^
----£ (х) —£ (х)
Эх ^ ' Эх ^ '
,2
= шп
допускает разделение переменных для аддитивной функции действия, тогда сечение поглощения находится методом эффективных потенциалов К. А. Пирагаса [2].
Таким методом, в частности, были найдены сечения поглощения для метрики Керра в предельном случае раскрутки чёрной дыры и некоторых значений углов падения фотонов по отношению к оси вращения [3].
В отличие от работы И. Г. Дымниковой [3] мы найдём сечение поглощения фотонов в общем виде для метрики Керра—Ньюмена— де Ситтера, включающую метрику Керра как частный случай. При этом мы будем использовать более простой и понятный метод по сравнению с методом эффективных потенциалов.
Суть метода проясняет аналогия с лучом света, испытывающего полное внутреннее отражение на границе раздела двух сред. Когда угол падения становится меньше предельного угла полного внутреннего отражения, луч поглощается оптически менее плотной средой. Конус, проведённый под углом предельного полного внутреннего отражения, вырезает телесный угол поглощения света, исходящего из одной точки в оптически более плотной среде. Этот телесный угол, делённый на полный телесный угол, и будет сечение поглощения. Данную ситуацию иллюстрирует рис. 1.
в
Рис. 1
На рис. 1 изображены два конуса: конус предельного угла полного внутреннего отражения и внутренний конус направлений вектора импульса фотонов в точке О, которые поглощаются второй средой.
В каждой точке О пространства вводится сферическая система координат наблюдателя
г
с углами а и в, через которые мы будем задавать направление импульса фотона, проходящего через данную точку. С чёрной дырой связаны свои координаты [г, 0, ф, /|. в которых задана её метрика. В этих координатах задаётся точка начала системы координат наблюдателя О [г0, 90, ф0,
Для вращающихся чёрных дыр форма основания конуса с предельными углами полного внутреннего отражения отличается от круга. Наша задача заключается в определении этой формы. Это означает, что нам необходимо найти зависимость для линии контура в от а. Найдём эту зависимость в параметрическом виде, что облегчает задачу интегрирования полного потока. В качестве параметра выберем координату фотона г, которая определяется из двух условий: нормальная к поверхности раздела составляющая скорости фотона обращается в ноль и так же равна нулю её нормальная производная (при предельном угле полного внутреннего отражения луч скользит по поверхности раздела сред). Для движения фотона в поле чёрной дыры нормальная составляющая скорости и нормальная производная заменяются на радиальную составляющую скорости и производную по параметру г от радиальной скорости. Эти величины одновременно должны обращаться в ноль в одной и той же точке г. Тогда и только тогда луч, прошедший через точку О, будет соответствовать предельному углу полного внутреннего отражения. Отметим, что аналогия гравитационного поля и среды с переменной оптической плотностью рассматривалась Камалем Нанди в работе [4].
Разделение переменных в уравнении Гамильтона—Якоби для метрики Керра— Ньюмена—де Ситтера приводит А. В. Тихоненко в работе [5].
Мы выпишем из этой работы метрику, первые интегралы уравнения Гамильтона—Якоби для фотона и его радиальную скорость.
А именно, метрика в координатах [г, 9, ф, имеет вид
ga'-
А, - ■ A0a2sin2 и 0 0 (АаА0 _ А,) a sin2 и
А5А АЛА
0 _А А, 0 0
0 0 А, Ае 0
А, - ■ A0a2sin2 и 0 0 (А2аАе_А,а2 )sin2 и
АЛА АЛА
. (1)
Л. =
1 —Лг2 3
(г2 + а2)- 2Мг + г2 + Q2
Д a =( г2 + а2),
Ах = г2 + а2 cos (0)2, Ал = 1 +1 Ла2,
А0 = 1 + -Ла2соъ2 0.
0 3
Уравнение Гамильтона—Якоби для метрики Керра—Ньюмена—де Ситтера допускает разделение переменных, если положим
S (х) = Et + Lj + R(r) + S (0);
В результате получаются первые интегралы движения фотона:
Д р 2 + g =А 2Л (qL - рД а )2 , (2)
А.
ґ
А2
L
sin (0)
2
aP sin 0
А и, P = E,
P = L, ф
■K, (3)
(4)
(5)
где К, Ь, Е — первые интегралы движения; Р, Р Р9, Рг — обобщённые импульсы.
Через них записываются компоненты четырёх — скорости фотона, применяя преобразования Лежандра для Гамильтоновых динамических переменных. В нашем случае и' = £кРк.
Нам потребуется только радиальная компонента вектора скорости:
Д Р
Ur (* ) = ■
Ат
(6)
Сечение поглощения фотонов. Подставим в формулу (6) обобщённый импульс из интеграла (2), получим
U (* ) = j- (А
;А a2L - 2А2лaLEr2 -
'2
-2А2Л a3 LE + А2Л E 2r4
+А2лE2r2a2 + А2лE2a4 - kAr)2.
(7)
Обозначим правую часть формулы (7) как и(г), тогда, в соответствии с нашим методом, запишем систему двух уравнений:
\ди (г)
Здесь обозначено:
dr
- = 0,U (r ) = 0 \.
(8)
Решим систему (8) относительно констант K и L:
K = -
4 (3 + Ла2 )2 Árr2 E2
L =
(rЛа2 + 2Лг3 + 3M - 6r)
(гЛа4 + Лг3а2 + 3a2M + 6rQ2 - 9Mr2 + 6г3) E
(9)
а (гЛа2 + 2Лг3 + 3М -6г)
Теперь выразим интегралы через обобщённые импульсы фотона в точке О [г0, 90, ф0,
K =
sin 0„
1 + — Ла2 cos2
х P2 +
2
- aP sin 0„
2
1 + -Ла2 3
1 + — Ла2 cos2
(10)
L = рг
Обобщённые импульсы выразим через импульс фотона и углы. Мы выбрали ось ОХ наблюдателя в плоскости оси OZ, которая направлена в центр чёрной дыры, и оси вращения чёрной дыры. Тогда
Рф = PR sin в sin a, Pe = PR sin в cos а, (11)
R0 — расстояние в касательном плоском пространстве от чёрной дыры до точки наблюдателя О.
Подставим все эти обозначения в формулы (9). Получим уравнения в параметрическом виде на sina и sinP:
sin в sin a =
= гЛа4 + r3Ла2 + 3a2M + 6rQ2 - 9Mr2 + 6r3 = a (гЛа2 +2r 3Л + 3М -6r) R0 ’
1 +1 Ла2 cos2 0O jsin2 p(i - sin2 a)R0 +
R0 sin a sin в
- aP sin 0„
x
1 +—Ла2 cos2 0„ =
4
=-31 r
(г2 (3 + Ла2) х(Лг2а2 -За2 + Лг4 + 6Мг -
-362 - 6г2))/(гЛа2 + 2Лг3 + ЗМ - 6г)2. (12)
Из системы (12) находим формулу для sina и smp. Выражения для sina и smP приводятся в приложении (П1), (П2).
Формулы (П1) и (П2) позволяют найти профиль сечения поглощения фотонов черной дырой, представленной решением Керра— Ньюмена—де Ситтера, при любом допустимом значении параметров решения и при любом ракурсе наблюдателя по отношению к оси вращения чёрной дыры. Для этого необходимо выразить проекцию основания конуса на плоскость касательного пространства наблюдателя через синусы этих углов и определить граничные значения параметра г.
Граничные значения определим из условия sina = 0. Решим это уравнение, используя числитель формулы (13) и выберем действительные корни.
1
1 н3
Г =-------------+
Ш1П ~ к 2 , г
3 Ла + 6 -Л2а2 - 6Ла4 - 60)2Ла2 -3602 + 27М2
+
(Ла2 + 6) H 3M
+
+
Ла2 + 6'
r = 2r
max min
(13)
Здесь обозначено Н = -81МЛ2а6 - 729МЛа4 - 243Мб2Ла2 --1458Мб2 - 1458а2М + 729М3 + 3^2Ла2 +18^2;
2 = 3Л 4а14 + 18Л3а12 + 54Л3а‘°б2 + 486Л 2а*М2 + +324Л 2а8б2 + 324Л 2а 604 + 4374М 2Ла6 +
+1944Ла 4б4 +1458Ла 6 2М2 + 6561М2 а4 + +648б6Ла2 +13122М62а2 - 6 561М V +
+3 88866 - 218764М2.
При изменении параметра г от г[тт] до г[тах] угол а меняется на величину п.
Чтобы получить вторую половину контура сечения поглощения, необходимо поменять знак параметра вращения чёрной дыры и знак проекции на ось ОУ. Вторая половина контура симметрична первой, так как синусы чётные функции по параметру вращения.
Допустимые параметры решения Керра— Ньюмена—де Ситтера. Чтобы получать физически корректные профили сечения поглощения, необходимо соблюдать рамки допустимых значений параметров чёрной дыры. Проведём исследование этого вопроса.
Параметры чёрной дыры удовлетворяют условиям существования горизонта событий
+
и эргосферы. Для метрики Керра—Ньюмена это \а\ < 1^2Ы2 - 4д2 .
Для метрики Керра—Ньюмена—де Ситтера ситуация усложняется тем, что наличие горизонта событий определяет полином четвёртого порядка. Чтобы иметь устойчивое стационарное решение, необходимо, чтобы полином
1
1
А г (г) = 2г2 + а2-Лг4 —Мг2 а2 — 2Мг + <2
имел бы локальный минимум в действительной положительной точке и два локальных максимума и этот минимум должен быть отрицательным.
Для того чтобы условие на экстремум
4 3 2 2
4г —Лг —Лга - 2М = 0 имело три действи.
3 3
тельных корня, необходимо, чтобы выражение под квадратным корнем в решении кубического уравнения в радикалах было бы отрицательным.
-432 + 216Ла2 - 36Л2а4 + 2Л3а6 + 243М2Л
Л
< 0.
Из этого условия находим ограничение на параметр вращения.
(л ,----------- Л
3
а2 <
1 - ^3бМ2Л +2
Л
(14)
Теперь выберем из трёх действительных экстремумов максимум. При соблюдении условий (16) мы получим три действительные точки экстремумов г = {Я, Я2, Я3}, где
і —432 + 216М2 Л — 36Л2М4 + 2ЛМ6 + 243Ла2 д2
Л
—162аЛ2
*1=-
1 3
^лУбА-А
2 2
а сов
У
л
Т3л/бЛ-Л
2а2 соб
2п 1 г
— + - 3 3 3
л
1
ТзТбЛ—А
2а2 008
(15)
зЛ
Построим графики функций {^, ^,^3} по формулам (15) (рис. 2).
Рис. 2. Положение экстремумов отмечается на оси ординат в зависимости от параметра раскрутки чёрной дыры а, который откладывается по оси абсцисс
Сплошная линия занимает среднее положение, и она отвечает за локальный минимум. Сплошной линии отвечает функция R3.
Теперь подставим функцию R3 в полином (16) и потребуем, чтобы он принимал отрицательное значение. Это соответствует изменению сигнатуры метрики на горизонте событий.
Из этого условия находим ограничение на заряд Q устойчивой чёрной дыры Керра— Ньюмена—де Ситтера:
<22<- Р
где
216Л
Р = -324 + 36М2Л - 144Ла2 + +3Л2М4 -12 а2М2Л2 +
+(288 - 24М2 - 4Л2М4 -72а2 -
1 2
-П + — 3 6 3
(16)
-72Ла2 + 12а 2М2 Л2 )х8І +(12 М 2Л-36-Л2М4) ос -144Мл/3^ (6Л-Л2М )2
+
-Р +- 3 3 ' 3 , 1 1 г
-П + - 3 3 3
При выводе условия (16) мы придерживались положительного значения космологической постоянной.
В общем случае решения Керра—Ньюмена— де Ситтера имеется аналог теоремы о волосах: по мере раскрутки кулоновский заряд чёрной дыры исчезает.
Проиллюстрируем данную теорему, построив график функции (16) для максимально возможного кулоновского заряда Q (рис. 3).
Рис. 3
Рис. 3. Зависимость ограничения на Кулоновский заряд решения Керра—Ньюмена—де Ситтера от параметра вращения чёрной дыры
На рис. 3 по оси ординат отложена величина допустимого заряда Q, определяемая по формуле (16), от параметра вращения а.
Мы видим, что заряд должен исчезать по мере раскрутки чёрной дыры, как и в поле Керра— Ньюмена. Однако в нашем случае существенным параметром является космологическая постоянная Л. С уменьшением значения космологической постоянной величина допустимого заряда возрастает.
Заметим, что предельным переходом мы не сможем получить из формул (13) и (14) ограничения для решений Керра—Ньюмена, так как при Л = 0 метрика имеет параболу второго порядка без локального минимума.
Контуры сечения поглощения фотонов чёрной дырой типа Керра—Ньюмена—де Ситтера. В заключение приведём контуры сечения поглощения для ряда значений параметров. Для этого построим параметрические графики в Декартовых координатах, откладывая по оси ординат обобщённый импульс фотона в точке О Рф = Рзт(Р)зт(а)К^, а по оси абсцисс Р0 = = Р8т(Р)со8(а)К0
Положим импульс фотона единичным.
Если наблюдатель находится в плоскости экватора чёрной дыры, то контур сечения поглощения близок к окружности, которая смещается в сторону вращения чёрной дыры по мере возрастания параметра её вращения. Сравните рис. 4 и рис. 5.
На рис. 4 представлен контур сечения поглощения фотонов чёрной дырой Керра— Ньюмена—де Ситтера для наблюдателя в плоскости экватора А = П . Параметр вращения а = 0 2
= 0,2. На рис. 5 контур при параметре вращения а = 0,65 смещён в сторону вращения чёрной дыры — ось ОУ.
1,5-
/ 1_
/ 0,5-
1 -1 -0,5- 0,5 1 1,5 }
\ -1-
\^5-
( Ь
V -1 о 0,5 1 1,5/
Рис. 4
Рис. 5
При наблюдениях с позиций, близких к оси вращения чёрной дыры, контур сужается в направлении вращения и напоминает эллипс, который также смещается по мере увеличения параметра вращения а, что представлено на рис. 6 и 7.
0,2
гт
I ' ' ' 1 I
Рис. 6. Сечение поглощения при 0О =—,а = О,20о
■йЗэ
'-Т^Чг--е^-ч
Рис. 7. Сечение поглощения при 60 =—, а = 0,6560
Сечение поглощения находится как отношение телесного угла, проведённого из точки О наблюдателя и упирающегося в контур предельного угла поглощения фотонов:
йт
йт
(17)
пр
В силу громоздкости формулу (17) не приводим в развёрнутом виде. Отметим, что она позволяет получать численные значения при соблюдении условий на допустимые параметры чёрной дыры.
Заключение. Полученные нами результаты, представленные на графиках, полностью соответствуют исследованиям и выводам И. Г. Дым-никовой [3]. Но вместе с тем наши результаты
г
содержат дополнительные параметры решения Керра—Ньюмена—де Ситтера: заряд и космологическую постоянную. Полученные нами результаты позволяют в определённых допустимых рамках изменения параметров чёрной дыры интегрировать потоки, поглощаемые чёрной дырой излучения в адиабатической динамике. А именно, пусть ранняя Вселенная заполнена равновесным тепловым излучением с плотно-
4 с ВТ (г )4
стью р =----- .
с
Тогда чёрная дыра, по прошествии времени прохождения светом расстояния R0 от излучения, сосредоточенного в объёме, поглотит часть dV = 0О^0^1 ф0^0, dM = о^¥.
Корректному расчёту адиабатического раздувания реликтовой чёрной дыры вплоть до сверх-массивной в ранней Вселенной за счёт поглощения излучения мы посвятим следующую работу.
Список литературы
1. Zakharov, A. V. To problem of gravitation len-sing by massive scalar wormholes / А. В. Захаров // Учебные записки : сб. науч. ст. Вып. 8. Уфа : Изд-во БГПУ, 2007. 224 с.
2. Жук, И. Т., Пирагас, К. А. // Изв. вузов. Сер. Физика. 1982. Т. 4. С. 77.
3. Дымникова, И. Г Движение частиц и фотонов в гравитационном поле вращающегося тела / И. Г. Дымникова // Успехи физ. наук. 1986. Т. 148. Вып. 3. С. 393-429.
4. Тихоненко, А. В. Nandi, K. K. On the optical-mechanical analogy in general relativity / K. K. Nandi // Amer. J. Phys. 1995. Р. 251-256.
5. Тихоненко, А. В. Анализ уравнений Гамильтона—Якоби в искривленном пространстве-времени в пакете Mathematic [Электронный ресурс] / А. В. Тихоненко. URL: http://www.exponenta.ru/ educat/systemat/tikhonenko/gamilton/index.asp
Приложение
гЛа4 + r3Ла2 + 3а2М + 6rQ2 - 9Mr2 + 6r3
sin a =--------—7-------------------------------------------------------2-3- -ч-. (П1)
a sin гЛa +2r Л + 3М -6r)R0
■ a 1
sin p =------------------------r~.--------------------г----X
sin 60 (гЛа2 + 2r3Л + 3M - 6г)(-Ла2 -3 + sin(60)2Ла2)R0a
x(-81 a4 M2 - 9 as M2 Л2 +
(-6Л3а10М - 216а4MQ2Л - 36a6MQ2Л2 - 36Л2а8М - 54Ла6М - 324а2MQ2)г +
(-324Ла2 - 117Л2а4 - Л4а8 - 324 - 18ХЛ3а6)г6 +
(^3a8M - 108Ла4M + 972Q2M + 108Q2MЛ2а4 + 648Q2MЛa2 -324а2M + 36ЬЛ2а6M)г3 + (-72Л2а6Q2 -216Q4Ла2 -36Q4Л2а4 + 324а4M2Л + 54а6M2Л2 --12Л3a8Q2 - 108Ла^2 - 9Л2а8 + 486a2M2 - 324Q4 - Л4а12 - 6Л3а10)г2 - 54 a6 M2 Л +
(-144Л2а4Q2 - 12Л3а6Q2 -486M^a2 - 8Ж2Л2а4 -540 Л a2 Q2 - 24 Л3 а8 --648Q2 - 729M2 - 90Л V - 2Л4а10 - 108Ла4)г4 +
+(216 Л2 а4 M +18 Л3 a6 M + 972 M + 810 Л а2 M) г5 +
+((72AVM - 324a4M + 432a 4MQ2A - 54Лa6M + 18Л 3a10M +
+72a6MQ2A2 + 648a2MQ2)r + (-972aM2 + 36Q42a4 + 216Лаб - 324Q2a2 +
+216Q4Ла2 + 18Л3a10 + 3Л4a12 + 108Ла4Q2 - 108a6M2Л2 + 63Л V + 324a4 +
+324Q4 - 648a4M2Л + 180Л^6Q2 + 36Л3a8Q2)r2 +
+(972a2M - 108Л2a6M + 324Лa4M - 108Q2MЛ2a4 - 36Л3a8M - 972Q2M - 648Q2MЛa2)r3 +
+27a8 M2Л2 + (48Л^8 + 4Л4a10 + 180Л2a6 + 216Лa4 + 729M2 + 486M2Aa2 +
+8М 2Л 2а4 + 756Ла 2 + 64802 + 36Л3а602 + 288Л 2а 4£2) г4 +
+243а4М2 + 162а6М2Л + (-432Л2а4М - 972М - 54Л3а6М - 1134Ла2Ы)г5 +
+ (432Ла2 + 30Л3а6 + 324 + 189Л2а4 + Л4а>6) 8т2 90 +
(-45Л2а8 -324а4 -3Л4а12 -216Ла6 -108Ла6 -12Л3а10 +324а4М2Л-36Л3а862 +
+108а6М2Л2 - 72<24Л2а4 - 144Л2а6д2 - 21664Ла2)г2 +
+(-108Ла 4М + 72Л2 а 6М + 36Л3а8М + 6486 2М Ла2 + 2166 2М Л2 а4) г3 +
+ (-72Л2а6 - 24Л3а662 - 36Л3а8 - 4Л4а10 - 216Л2а6 - 432Ла262 --486М2Ла2 - 162М2Л2а4)г4 +
(-108а6М2Л + (36Л3а6М + 648Ла2М + 324Л2а4М)г5 -81а4М2 +
+ (-30Л3а6 - 144Л2а4 - 216Ла2 - 2Л4а8)г6 - 27а8М2Л2)8Ш4 60 +
((-108<22МЛ2а4 + 36Л2а6М - 12Л3а8М)г3 + (2Л4а10 + 12Л3аб62 + 81М2Л2а4 + 72Л2а6 + 12Л3а8)г4 + +(36а6Мб2Л2 + 6Л3а10М)г - (108Л2а4М - 18Л3а6М)г5 +
+(Л4а12 + 3664Л2а4 - 54а6М2Л2 + 12Л3а8^2)г2 +
1 л
+9а8М2Л2 + (ЛV + 12Л3а6 + 36Л2а>6)8Ш6 60)2 . (П2)
