Сдвиговое течение жидкости с пределом применимости ньютоновской модели в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532

СДВИГОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ С ПРЕДЕЛОМ ПРИМЕНИМОСТИ НЬЮТОНОВСКОЙ МОДЕЛИ В ЗАЗОРЕ МЕЖДУ ДВУМЯ КОАКСИАЛЬНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

В.Н. Колодежнов

В статье рассматривается задача о сдвиговом течении жидкости в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами. Реологическая модель жидкости предполагает предел применимости ньютоновской модели вязкости. Получено аналитическое решение для распределения скорости в канале

Ключевые слова: вязкость, неньютоновская жидкость, распределение скорости

Вязкие жидкости, для которых связь между компонентами тензоров напряжений и скоростей деформаций носит нелинейный характер, относят к разряду неньютоновских [1-3]. При этом, как правило, для описания свойств нелинейно-вязких жидкостей принимают реологическую модель вида

°г, =-5Ц • Р + 2 -М/ 2) -Су ; (1)

и 3 = 1,2,3;

{2 = S11'

B22 +S22

B33 +S33

8ц — Bn — 823 — 8

12

23

31

где Т j , 8 j - компоненты тензоров напряжении и

и

скоростей деформаций, 5ij символ Кронекера; P - давление; ¡u(I2) - некоторая функция второго инварианта I2 < 0 тензора скоростей деформаций, которая, собственно говоря, и характеризует нелинейные свойства вязких жидкостей.

Вид функции и(I2 ) постулируется на основе обработки соответствующих экспериментальных данных. В том случае, когда U(I2 ) = const , жидкости называют ньютоновскими, а эту функцию - динамической вязкостью.

Как показывает анализ литературных источников, известны примеры нелинейно - вязких жидкостей, для которых функция и(12) демонстрирует различное поведение на тех или иных интервалах изменения второго инварианта тензора скоростей деформаций [4-5]. При этом для некоторых жидкостей можно допускать как интервалы изменения I2 , на которых выполняется условие u(I2 ) = const (ньютоновское поведение), так и интервалы нелинейной зависимости u(I2) (неньютоновское поведение).

Колодежнов Владимир Николаевич - ВГТА, техн. наук, профессор, тел. (473) 255-55-57

д-р

Будем считать, что в рамках модели (1) в зависимости от диапазона изменения /2 жидкость демонстрирует различные реологические свойства.

Пусть существует некоторое критическое значение второго инварианта тензора скоростей деформаций /2сгн > 0 , ниже уровня которого

(т.е при /21 < /2 г, ) жидкость демонстрирует

чисто ньютоновские свойства и характеризуется постоянным значением динамической вязкости.

Если же выполняется условие |/21 > /2 сг1(, то зависимость /л(/2) в (1) описывается степенной функцией.

Предполагая дополнительно, что отдельные ветви графика функции /и(/2) должны “сшиваться” при N = /гс, непрерывно - дифференцируемым образом приходим к следующей реологической модели

, Т(1)-

а! = —51 • P + ЇТІ2>

|I2І S I \{ 2 I > I

(2)

i, j = 1,2,3;

Д1) _

Т(2) = 2mm

ij

n

(n—1X

2,crit

IT

+

( I > п—1

— {2 і

к\ {2,crit у

ij^

где - динамическая вязкость жидкости на ньютоновском диапазоне изменения второго инварианта тензора скоростей деформаций; п -реологическая константа.

В модели (2) и далее верхним индексом в скобках отмечаются номера соответствующих диапазонов изменения второго инварианта тензора скоростей деформаций, на которых рассматривается соответствующая характеристика

(напряжение, скорость, градиент скорости и т.д.).

Рассмотрим одномерное установившееся течение несжимаемой неньютоновской жидкости, подчиняющейся реологической модели (2), в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами. Будем считать, что внутренний цилиндр с радиусом RI приводится в движение вдоль продольной оси симметрии под действием приложенного к его поверхности касательного напряжения TwI = const > 0 . Внешний же цилиндр с радиусом R2 > RI остается неподвижным. Априори будем предполагать, что возникающее в зазоре распределение скорости обеспечивает выполнение условия

(3)

{2,min < {2,crit < {2,max '

{2,min = Rmifl {2(r)};

R1<r <R2

{2,max = RmaX \{2(r)\}

R1<r<r2

где г - радиальная координата, отсчитываемая от оси симметрии коаксиальных цилиндров.

Выполнение условия (3) означает, что область течения должна быть разбита на две зоны с границей раздела в виде окружности неизвестного пока радиуса Ям, удовлетворяющего, тем

не менее, неравенству Я} < Ям < Я2 . Тогда распределение скорости жидкости в поперечном сечении канала следует представлять в форме

\и(1)(г );

u(r) = <

u

(2)

(r);

Ri < r < RM ; Rm < r < r2;

(4)

Z1)

Естественно потребовать, чтобы функции (г) и и(2)(г) в (4) “сшивались” например, непрерывно - дифференцируемым образом на общей границе зон течения.

Принимая во внимание модель (2), условно первую зону будем называть зоной ньютоновского, а вторую - соответственно, неньютоновского течения.

Для такой задачи в цилиндрической системе координат, оси которой сориентированы традиционным образом, уравнение динамики жидкости с учетом условия неразрывности потока, в безразмерной форме записывается следующим образом.

d-(ґ •г;г )= 0; dr

(5)

При этом, касательные напряжения по зонам течения определяются с учетом (2) в виде

Т(1) = 2 • (R2 1) ■,(1).

La

0 <

т(2) =

2-(R2 — 1)

n • La

Г(1)\ < 1; (6)

1—n —(—у'(2)}n ]; ](1)| > 1 ; (7)

В соотношениях (5) - (7) и далее приняты следующие обозначения

r = -

R

R2 =RL ; R'=Rm •

R

и = ■

Us

= -

Y' a) =—Y

(i)

R1

1 du(l) dul(l)

2 •fiZH 2dr dr' ’

Y(l) =—2 -fi

(i) = 2 ~

Re =

P-D • Us

du()

dr

Eu =-

i = 1,2;

M

p-u2s

La = Re- Eu =

m1 ■ R1 ■

2,crit

и5 = 2 • я1 • .^; В = 2 • (Я2 - Я1),

где х и5 - характерное принимаемое в качестве масштабного значение скорости; ^ - скорость сдвига; р - плотность, жидкости; Яв, Ей , Ьа -критерии подобия Рейнольдса, Эйлера и Лагранжа, соответственно; В - гидравлический диаметр канала.

Верхним штрихом во всех приведенных выше соотношениях отмечены безразмерные величины.

Запишем граничные условия задачи

r' = 1:

(2)

= —1;

r' = R' ; u'(1) = u'(2) -

= —1:

г' = Я'2 ; и'и> = 0 .

С учетом этих граничных условий можно показать, что из (5) с учетом (6), (7) распределения скорости в поперечном сечении канала, а также величина радиуса Я'м , определяющего

границу раздела зон ньютоновского и неньютоновского течений, определяются с учетом соотношений

Я2

'(1)

(r') = RM- ln

R'm < r' < R2;

(8)

RM

\ m

+

+

RM= La

2 - (R2 — 1)

- dr'; 1 < r' < RM ; (9)

r

rz .

T

T

u

r

1

n

r

Скорость ик1 поступательного движения внутреннего цилиндра, которая устанавливается в стационарном режиме при заданном значении приложенного к его поверхности напряжения т№1, определяется с учетом (9) следующим образом

и

К! == и'(2)(1) = я'- 1п

и

[ Якл

ЯМ;

+

ЯМ

+

1 --

Я' Л

- ёг'.

Безразмерное значение объемного расхода жидкости Q , которая увлекается в движение внутренним цилиндром, будет определяться из выражения

Q =

Q' =

п-(я2 -я2)-и8

(Я22 -1)

Я2

|г'- и'(2)(г')- ёг' +1г' -и'(1) (г')-с

Полученное решение, которому соответствует разбиение области течения на две зоны, имеет место в том случае, когда параметры рассматриваемой системы удовлетворяют условию

1 < ям < Я2 (11)

или с учетом (10)

Ьа

1<

< Я2 .

(12)

2 - (Я2 -1)

Анализируя (12), можно видеть, что, вообще говоря, в зависимости от соотношения исходных параметров возможны три различных схемы течения.

Для формализации условий реализации таких схем течения с учетом (12) введем в рассмотрение два характерных значения критерия подобия Лагранжа, определяемых чисто геометрическими параметрами зазора между коаксиальными цилиндрами Ьа1 = 2 - (Я2 -1) ; Ьа2 = 2 - Я'2 - (Я'2 -1) .

Рассмотрим теперь особенности течения для каждой из этих схем.

1О. Пусть исходные параметры системы таковы, что выполняется условие вида Ьа < Ьа1.

Это означает, что формально Я'м < 1 . При этом

граница раздела зон ньютоновского и неньютоновского течений становится виртуальной и оказывается расположенной “внутри” подвижного цилиндра. Тогда весь кольцевой зазор между цилиндрами будет заполнен лишь пер-

вой зоной ньютоновского течения жидкости с постоянным значением динамической вязкости

М1.

Нетрудно показать, что распределение скорости в таком случае будет описываться хорошо известным соотношением Ьа

и

’(1)

(г') =

-- 1п\

2 - (Я2 -1) У г

(13)

которое является правомерным уже для всего зазора между цилиндрами 1 < г < Я2 .

При этом, безразмерная скорость установившегося поступательного движения внутреннего цилиндра под действием приложенного к его поверхности касательного напряжения, естественно, с учетом (13) будет определяться из выражения

и\ = и' (1)(1) =------—-----1п(Я2).

5 ' 7 2-(Я2 -1) v 2>

Безразмерное значение объемного расхода жидкости Q , которая увлекается в движение внутренним цилиндром при такой схеме течения, будет определяться из выражения

Я2

|г' - и,(1)(г') - ёг'.

Q' =

(Я2 -1) 1

С учетом (13) отсюда получаем

&=-

Ьа - (Я22 -1 - 2 - 1пЯ2) 4 - (Я22 -1) - (Я2 -1)

Такая схема с одной зоной ньютоновского течения будет иметь место при сравнительно небольших значениях касательного напряжения ты, удовлетворяющих условию

Тм>1 < 2 - м1 ■ д/12,сги .

(14)

2 . Пусть исходные параметры системы таковы, что выполняется условие вида Ьа1 < Ьа < Ьа2 .

Для такого случая выполняется неравенство (11) и сечение канала делится на две зоны с границей раздела г' = Я'м . Первая зона (в поперечном сечении канала) ньютоновского течения в форме кольца (Я'м < г' < Я'2 ) располагается у

поверхности внешнего неподвижного цилиндра. Вторая зона неньютоновского течения также в форме кольца ( 1 < г' < Я'м ) охватывает собой

внутренний подвижный цилиндр. Решение для такой задачи уже было получено выше и распределение скорости определяется соотношениями (8) - (10).

Эта схема с двумя концентрическими зонами ньютоновского и неньютоновского течений будет иметь место при некоторых промежуточ-

г

2

м

ных значениях касательного напряжения twI удовлетворяющих условию

R. ,-----

>2,cnt . (15)

R2

2 - м1 ^/2,сгИ < тк1 < 2 - м1 ■ и - ^/2~с

Я1

3 О. Пусть исходные параметры системы таковы, что выполняется условие вида Ьа>Ьа2.

Это условие означает, что Я'м > Я'2 и граница

раздела зон течения, как и в п.1О, становится виртуальной, формально выходя за пределы внешнего цилиндра. В такой ситуации кольцевой зазор поперечного сечения канала оказывается полностью заполненным второй зоной неньютоновского течения.

Можно показать, что распределение скорости для такой схемы течения будет определяться следующим соотношением

1

Т *-/ 1 п

= Ui-n •

I --

La

2 • (R'2 -1) • r'

• dr'.

Отсюда сразу же получаем выражение для определения скорости установившегося движения внутреннего цилиндра под действием приложенного к его поверхности касательного напряжения

R2 |

US = u'(2)(i) = jb

- n •

I-

La

2•(R'2 -1)• r'

Безразмерное значение объемного расхода жидкости через поперечное сечение канала, которая увлекается в движение внутренним цилиндром, для третьей схемы течения должно определяться из выражения 2 Я2

Q' =-----------Г г' - и'(2)(г') - ёг'

(Я'2 -1) Г

Такая схема с одной зоной неньютоновского течения может быть реализована при сравнительно больших значениях касательного напряжения тк1, удовлетворяющих условию

Twi > 2 'Mi ■ • т]12,c

RI

Таким образом, принимая во внимание все сделанные выше допущения, получено аналитическое решение задачи о течении жидкости с пределом применимости ньютоновской реологической модели. Показано, что в рамках исходной постановки возможны три различные схемы течения. В случае, когда выполняется условие (14), в канале реализуется течение “чисто” ньютоновской жидкости с постоянным значением динамической вязкости. При промежуточных значениях касательного напряжения, удовлетворяющих условию (15), в канале формируется течение по схеме двух коаксиально расположенных цилиндрических слоев. При этом в слое, который примыкает к поверхности внешнего неподвижного цилиндра, реализуется течение по схеме обычной ньютоновской жидкости. В слое же, который примыкает к поверхности внутреннего подвижного цилиндра, реализуется течение по схеме нелинейно - вязкой (неньютоновской) жидкости. Получено выражение, определяющее радиус границы раздела этих слоев. И, наконец, для достаточно больших значений касательного напряжения, когда выполняется условие (16), в канале реализуется течение нелинейно-вязкой жидкости.

Литература

1. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. - М.: Мир, 1964. - 216 с.

2. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров. - М.: Химия, 1977. - 439 с.

3. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978. - 311 с.

4. Nakamura T., Ueki M. The high temperature torsional deformation of a 0.06 % C mild steel. // Trans. Iron Steel Inst. Jap. 1975, V.15, № 4. p. 185 - 193.

5. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. - М. Наука, 1982. 352 с.

6. Колодежнов В.Н. Конвективный теплоперенос при течении в плоском канале ньютоновской жидкости с пределом применимости степенного закона вязкости. // Вестник ВГТУ. Т.6, № 1, 2010. С. 115-118.

Воронежская государственная технологическая академия

SHEAR FLOW OF FLUID WITH A LIMIT APPLICABILITY OF NEWTON’S MODEL IN THE GAP BETWEEN TWO COAXIAL CYLINDERS

n

V.N. Kolodezhnov

In article the problem of shear flow of fluid in the gap between two coaxial cylinders is considered. Rheological model assumes the fluid with a limit the applicability of Newton's model of viscosity. An analytical solution for velocity distribution in the channel was found

Key words: viscosity, non-newtonian liquid, velocity distribution