Самосогласованные распределения заряженных частиц в магнитном поле. I Текст научной статьи по специальности «Физика»

2004 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10 Вып. 1

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.97

О. И. Дривотин, Д. А. Овсянников

САМОСОГЛАСОВАННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. I*)

Введение. Задача о самосогласованных распределениях для пучка заряженных частиц возникает при высоких плотностях, когда взаимодействие частиц оказывает существенное влияние на их динамику. При этом предполагается, что распределение частиц описывается уравнением Власова, соответствующим концепции самосогласованного поля, согласно которой сила, действующая на частицу, определяется как средняя сила со стороны всего ансамбля частиц. Кроме того, предполагается, что плотность частиц достаточно мала, чтобы пренебречь взаимодействием частиц на близких расстояниях, которое можно было бы учесть введением в уравнение Власова интеграла столкновений.

Эта задача рассматривалась во многих работах, но решения найдены лишь в некоторых частных случаях. В большинстве работ предполагается, что частицы движутся в однородном магнитном поле, направленном вдоль оси пучка.

Наиболее известное решение - распределение Капчинского-Владимирского [1], для которого энергия поперечного движения частиц одинакова, так что фазовая плотность описывается ¿-функцией, и носитель распределения в четырехмерном фазовом пространстве поперечных координат и скоростей занимает трехмерную область. При этом частицы равномерно распределены по сечению пучка.

Другой широко известный простой случай, который также широко известен, - брил-люэновский поток [2], когда все частицы вращаются вокруг оси пучка с одинаковой угловой скоростью. Тогда размерность носителя распределения равна 2. Что касается распределений, занимающих четырехмерный объем в фазовом пространстве, то прежде всего следует назвать распределение «водяной мешок» (см. [1, 3]). Оно характеризуется тем, что его фазовая плотность постоянна в той области фазового пространства поперечного движения, в которой энергия поперечного движения частиц Н меньше некоторой заданной постоянной величины Но, а при больших значениях энергии фазовая плотность равна нулю. Широкий класс распределений может быть получен также с помощью теоремы инверсии плотности [4, 5], когда по заданной плотности частиц в конфигурационном пространстве можно найти соответствующую плотность в фазовом пространстве. Эта теорема применима для распределений, для которых фазовая плотность зависит только от энергии поперечного движения, но не от азимутальной компоненты импульса частиц М.

Были найдены также распределения, обобщающие распределения Капчинского-Владимирского и «водяной мешок», для которых роль энергии играет комбинация Н + кМ,

*' Работа'выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-01-00726).

© О. И. Дривотин, Д. А. Овсянников, 2004

где к - некоторая постоянная [4-6]. Так, аналогом первого будет распределение, для которого все частицы имеют одинаковое значение Н + кМ (распределение типа жест-, кого ротатора). Для распределений, фазовая плотность которых зависит только от комбинации Н + кМ, также применима теорема об инверсии плотности.

Наконец, появились работы, в которых рассматривались распределения в периодическом вдоль оси пучка продольном магнитном поле [4, 5, 7-9]. В них были получены распределения, аналогичные распределениям Капчинского-Владимирского и жесткого ротатора.

В настоящей статье изучается проблема самосогласованных распределений и предлагаются новые распределения для аксиально-симметричного пучка в продольном магнитном поле. Развивается подход, изложенный в работах [11, 12] и основанный на анализе плотности распределения частиц в пространстве интегралов движения. В частности, подробно исследуются самосогласованные распределения для пучка как однородного в продольном направлении, так и неоднородного. При этом в случае неоднородного пучка дополнительно учитывается внешнее электрическое поле. Отметим также, что анализ проводится на основе релятивистских уравнений динамики.

Распределение частиц по интегралам движения. Рассмотрим стационарный аксиально-симметричный и однородный вдоль своей оси пучок заряженных частиц в продольном магнитном поле. Разбросом продольных скоростей частиц будем пренебрегать, считая пучок моноэнергетическим. В соответствии с предположением о продольной однородности продольную скорость частиц в каждом сечении, а также продольную компоненту внешнего магнитного поля будем считать постоянными вдоль оси пучка, хотя полученные далее результаты могут быть обобщены и на случай, когда они медленно изменяются в продольном направлении.

В этом случае уравнение Власова для фазовой плотности п(х, V), также не зависящей от продольной координаты г в силу однородности, может быть записано в виде [11]

дп 1 , е д11 П,дп л

V— +---з — + е V х В — = 0. 1

0х ту 72 ах длг

Здесь х, V - векторы поперечных положения и скорости (поперечное движение рассматривается как нерелятивистское), ей т - заряд и масса частицы, 7 - приведенная энергия частицы, равная 7 = (1 — /З2)-1/2, = ¿/с - приведенная продольная скорость, В - индукция внешнего магнитного поля, и - потенциал.собственного электрического поля пучка, удовлетворяющий уравнению Пуассона

Ы7 = -ер/е о, (2)

р - плотность частиц в конфигурационном пространстве, £о ~ проницаемость вакуума. Фазовая плотность гг(х, V) предполагается нормированной на погонную плотность пучка Ь ~ 3/е/Зс, где / - ток пучка:

У п(х, v) (¿v ¿х = У/>(х) ¿x =

Отметим, что векторное произведение V х В в данном случае рассматривается как двумерный вектор, компоненты которого лежат в плоскости, ортогональной к оси пучка.

Будем считать, что пучок распространяется внутри коаксиальной проводящей трубы кругового сечения и зададим граничные условия для потенциала и (г) в виде

Щ0) = 0, ¿и/йг\г=0 = 0. (3)

Второе условие в (3) можно трактовать как условие отсутствия частиц на оси пучка, движущихся вдоль оси.

Интегрируя уравнения характеристических линий уравнения Власова (1), которые есть уравнения динамики отдельной частицы, можно получить следующие первые интегралы [1]:

т2{ф+и>0) = М, (4)

г2 + ш2т2 + М2/г2 + 4eU(r) = Я. (5)

Здесь r,<p,z- цилиндрические координаты, шо = eBz/2mj, е = e/2m~f3, В2 - компонента В вдоль оси z (поперечные компоненты В предполагаются равными нулю), точка означает дифференцирование по t. Правые части равенств (4) и (5) содержат некоторые постоянные М и Я, которые можно считать интегралами движения. Постоянная Я -это энергия поперечного движения частицы, а постоянная М - азимутальная компонента канонически сопряженного импульса, в обоих случаях с точностью до некоторых множителей.

Интеграл М характеризует азимутальное движение: из (4), зная Миг, можно однозначно определить угловую скорость <р; интеграл Я - радиальное движение. Зная М и Я, можно, используя соотношение (5), попытаться найти г, а тогда будет задана некоторая траектория в фазовом пространстве радиального движения.

Сформулируем достаточное условие, при котором каждой допустимой паре значений М и Я соответствует вполне конкретная траектория в фазовом пространстве радиального движения. Рассмотрим функцию

V0(r)=u>2r2 + 4eU(r),

и предположим, что Vo(r) - строго выпуклая функция, поскольку dVo/dr|г=о = 0, Vo(r) - неограниченно возрастающая функция. В силу этого уравнение

Я = V0(r)

имеет ровно один корень при Я > 0 и не имеет корней при Я < 0. Обозначим этот корень через rmax(0, Я) и положим гтщ(Я, 0) = 0. Рассмотрим также функцию Vm{t) = Vo(r) + М2¡г2 при М ф 0. Эта функция выпукла как сумма двух выпуклых функций и имеет единственный минимум, поскольку Vjw(r) —> оо, dVM/dr —у —оо при г -> 0 и Ум{г) оо, dV^jdv > 0 при г —>■ оо. А тогда при Я, больших этого минимума, уравнение

Я = УмИ (6)

имеет ровно два корня, а при меньших Я - их не имеет. Обозначим корни уравнения (б) через rmin(M,Я), ттлх(М,Н): rmin(M,H) < гтах(М,Н). Согласно (5), движение возможно только в интервале [гт;п(М, Я), гтах(М, Я)], поскольку только в нем определено значение г.

Если М ф 0 и гтщ.(М,Я) ф гт&х(М, Я), то rmin(M, Я) и гтах(Л/, Я) представляют собой точки поворота частицы (по координате г), в которых г = 0.

Итак, поперечное движение частицы можно описать следующим образом: радиальная координата г частицы возрастает от rmin(M, Я) до rmax(M, Я). При этом частица поворачивается вокруг оси на угол 6<р, который можно найти, используя (4). Затем радиальная координата г убывает снова до значения rmin (М, Я), поворачиваясь на такой же угол 6<р, и т.д. Если же rmiП(М, Я) = rmax(M, Я), то г = 0, г = 0, и траектория

движения частицы представляет собой окружность. При М = 0 картина движения остается почти такой же, за исключением того, что г^Ов точке rm-in (Q,H).

Поскольку в (4), (5) не входит координата <р, то повернув траекторию, соответствующую определенным значениям М и Н на любой угол вокруг оси z, опять получим траекторию, отвечающую тем же М и Н.

Следовательно, если функция U(r) такова, что Vo{r) - строго выпуклая функция, то траектории движения частиц ограничены, и каждой паре М и Н (из области допустимых значений, которая будет рассматриваться ниже) соответствует семейство траекторий, переводимых друг в друга поворотами вокруг оси z.

Введем плотность распределения частиц в пространстве интегралов движения М, Н и обозначим ее через /(М, Н) [11]. Потребуем, чтобы, во-первых, тот потенциал электрического поля U(г), который соответствует данному распределению, был бы таков, чтобы функция Vo(r) была строго выпукла. Как видим, при этом получаются однозначно определенное для каждой пары М, Н семейство ограниченных траекторий, переводимых друг в друга поворотом на некоторый угол вокруг оси z. Во-вторых, потребуем, чтобы частицы, соответствующие каждой допустимой паре JWT, Н, были бы равномерно распределены по всем траекториям такого семейства. Второе условие обеспечивает аксиальную симметрию всего распределения в целом. В-третьих, потребуем также, чтобы для каждой траектории частицы были равномерно распределены по фазам траектории. Другими словами, это условие можно сформулировать так: отрезки траекторий, соответствующие одинаковым интервалам времени движения по ним, должны содержать одинаковое количество частиц. Последнее условие гарантирует стационарность всего распределения.

При выполнении трех указанных выше условий каждая функция f(M,H), определенная при допустимых значениях М, Я, соответствует некоторому стационарному аксиально-симметричному и однородному вдоль оси z распределению.

Установим связь между плотностью /(М, Н) для аксиально-симметричного стационарного пучка й фазовой плотностью. Фазовая плотность имеет различные компоненты

в разных системах координат. Для удобства обозначим через ^^—г плотность

U[a, о,... J

распределения частиц по значениям величин а, 6,... .

Рассмотрим компоненту фазовой плотности в координатах х, у, ж, у, которая во введенных обозначениях будет иметь вид п( — Поскольку одному и тому же

допустимому значению Н соответствуют две величины радиальной скорости (при г2 > 0), то как функция М, Н фазовая плотность имеет две ветви: первая отвечает частицам, удаляющимся от оси z, а вторая - приближающимся. Тогда

DN 1 DN

det

д(М,Н)

д{х,у)

п DN = г г

D(x)y,M,H)'

D{x,y,i,y) 2 D{x,y,M,H) Что касается частиц, для которых г = 0, т.е. движущихся по круговым траекториям, будем считать, что вклад в фазовую плотность от них отсутствует. Данные частицы занимают нулевой объем в четырехмерном фазовом пространстве поперечного движения. Далее увидим, какие ограничения это накладывает на допустимые значения Н.

Поскольку для каждой пары М, Н частицы равномерно распределены по углам и фазам траекторий, значение —^дл- ц-\ ПРИ фиксированных Âf, H не зависит ни от уг-ловой координаты <р, ни от радиальной координаты г в пределах интервала

['min

(M,tf),rmax(M,tf)]. Тогда

DN ff DN , J DN rr4

Щя) = JJ W^M7H)TdTdv = 2nW^PiM'H)- (7)

где через Р(М, Я) обозначен интеграл

Р(Я,М) = [ % = [ Лт (8)

У кI У у/н - ш2г2 - М2/г2 - 4еи(г) v '

(интегралы по г берутся от гт1п(М, Я) до гтах(М, Я)). Заметим, что подкоренное выражение в (8) всегда положительно в силу сделанного выше замечания. Равенство (7) перепишем в виде

/(м(х,у),я(х,у)) Ч'>. 2тгР(М(х,у),Я(х,у))' т

Его смысл в том, что оно устанавливает связь между фазовой плотностью п(х, v), заданной в фазовом пространстве поперечного движения частиц, и /(М, Я) - плотностью частиц в пространстве, где фазовыми переменными являются интегралы движения М, Я и которое будем называть пространством интегралов движения. Напомним, что введение плотности /(М, Я) и использование формулы (9) возможны для стационарного аксиально-симметричного пучка при выполнении трех введенных выше условий.

Используя соотношения (7), (9), можно выразить плотность частиц в пространстве конфигураций

Г 1 Г

в(г) = / —-/

^ > ] О(®,у,ЛГ,Я) 2тгг У

¿М&Н

Л(г) П(г)

я(х,у,х,у) |г|

Здесь П(г) - множество допустимых значений М, Я, которое будет рассматриваться ниже. Подставляя выражение для фазовой плотности через /(М, Я), имеем

п _ [ __/(М, Я) <Ш ¿Я_

_ 27ГГ У Р(М, Я)(Я — М2/г2 — и^г2 — 4еС/(г))1/2' ( '

Подставляя (10) в уравнение Пуассона, записанное в цилиндрических координатах, и учитывая, что производные по <р и г обращаются в нуль в силу симметрии распреде-< ления, получаем интегродифференциальное уравнение для потенциала и(г)

£ (Ш___в Г /(М,Н)<1М<Ш_

¿/йг~ 2Ж£о] Р(М, Я) (Я — М2/г2 — ш^т2 — 4е{7(г))1^2' ^ '

Л(г)

Таким образом, задача о построении стационарных самосогласованных распределений, однородных вдоль оси пучка и аксиально-симметричных, сводится к решению краевой задачи (3), (И).

Далее будем рассматривать ограниченный по радиусу пучок: г < Л, где Я - радиус пучка. Будем считать, что радиус пучка Я не зависит от координаты г. Определим множество допустимых значений М и Я. Обозначим его через Пд. Из (5) следует, что

Я < М2/Я2 +ш20Я2 + 4е17(Д). (12)

Вместе с тем

я> УмЫМ)), (13)

где го{М) - значение г, при котором функция Ум {г) минимальна. Множество определяемое неравенствами (12), (13), представлено на рис. 1.

Рис. 1. Множество П(г).

Границы множества П(г) изображены жирными линиями, границы множества Пд -тонкими.

Рассмотрим также множество Г2(г) всех допустимых значений интегралов движения М и Н для частиц, траектории которых проходят'через точку с координатой г. Ясно, что это множество задается неравенствами (12) и

H>VM{r).

(14)

Наибольшее значение \М\ определяется из условия одновременной разрешимости неравенств (12) и (14), которое имеет вид '

\М\ < tR

и2 U(R)-U{r)^

R2 — г2

Множество П(г) также представлено на рис. 1.

В четырехмерном фазовом пространстве с координатами г, <р, уг = г, их = г(у? + и>о), множество

+ v\ < wlR2 + 4eR

1 — т2 j R2

>2U(R)-U(r) R2-r2

(15)

является множеством всех допустимых значений фазовых переменных и соответствует замыканию множества Qr. Когда у? и г в (15) фиксированы, г Е [О, Д], получаем сечение указанного фазового множества поверхностями г = const, (р = const, которые представляют собой эллипсы с центром в точке vr = 0, = 0 и полуосями {wq(R2 - г2) + 4e{U{R) - U{r))}1!2, {u%R2 + 4eR2{U{R) - U{r))/{R2 - г2)}1/2, направ-ленными вдоль осей vr и vt соответственно. Эти сечения при различных г показаны на рис. 2 (зависимость от ip отсутствует благодаря аксиальной симметрии).

Тонкие линии изображают границы множества допустимых значений vr, для четырех значений г: 0,ri,r2, R (0 < < гг < R). Все точки внутри границ допустимы. Но носитель действительной плотности распределения может не совпадать со всей областью, находящейся внутри границ, а только должен содержаться в этой области. В качестве примера на рис. 2 показан носитель плотности распределения Капчинского-Владимирского, для которого все частицы имеют одно и то же значение интеграла

движения Н: Н = ш'^К2 + 4е(и(К) — II(г)) [1]. Поэтому носитель в фазовом пространстве представлен окружностями у2 + у± — шЦЯ2 - г2) + Ае{ЩЙ) - и (г)) (жирные линии на рис. 2). Точка в начале координат изображает поток Бриллюэна, в котором все частицы вращаются как единое целое вокруг оси г с угловой скоростью —и>о [2].

Рис. 2. Множества допустимых поперечных скоростей при различных значениях г.

Распределения, однородные по сечению пучка. Будем искать такие распределения частиц, для которых плотность частиц в конфигурационном пространстве р(г) постоянна по всему поперечному сечению:

(16)

РУ } \ О, г > Д.

В этом случае имеем 11(г) = -рог2/4£0- Вводя переменную и:

и2 = ш1 - рое/ео (17)

(ш2 > 0 для ограниченного пучка), получаем Р(М,Н) = 7г/2о>, и выражение (10) запишем следующим образом:

НМ,Н)ШйН

П(г)

(Я — М2!г2 — иРг2)1/2'

(18)

Множества допустимых значений М и Я определяются неравенствами (12)—(14), которые в этом случае для Од и П(г) соответственно принимают вид

М2 я л л М2 __ М2 2 2

2и\М\ < Я < + а;2Я2, ы2г* + л— < Я < + иУ для Г2р и П(г) соответственно.

Множество Пл показано на рис. 3.

О М

Рис. 3. Множество Г2д для однородного пучка. 1 - верхняя граница значений Я: Пд: Я = М2/Я2 + и2Я2, 2 - нижняя граница значений Я: Пд: Н = 2ш\м\.

Простейшее известное распределение - поток Бриллюэна. Для него все частицы обладают одними и теми же М, Я: М — г(ф + шо) = О, Я = ы2Я2 = 0. Оно изображено на рис. 3 точкой. Предположим, что

/(М,Я) = /о<КЯ-Яо-Ш), /о > 0, (М,Я)еПд,

(20)

где 6(Н — Н(М)) обозначает простой слой на поверхности Я = Я(М), плотность которого по отношению к переменной Я равна 1. Это означает, что для некоторого множества

Н)5{Н — Н{М)) с1М с1Н = J Г(М,Н(М))йМ п э

для произвольной интегрируемой функции Р(М, Я). Здесь 5 - пересечение поверхности Я = Н{М) с множеством П.

Для распределения (20) плотность частиц б(г) не зависит от г при г < Я. Действительно.

- [ КН - Нр-кМ) <1М<Ш = ~ тг2т ] (Я - М2/г2 - иЧ2)1/2

^/о

П(г)

Мг

_ ^/о Г

7г2г у i М1

(Яо + Ш - М2/г2 - с^г2)1/2 7Г

= А).

Здесь Мх и М2 - корни знаменателя в подынтегральном выражении М1>2 = кг2/2 ± (Рг4/4 + Я0г2 - оЛ4)1/2.

Наибольшее значение г, которое удовлетворяет условию к2г*/4 + Н0г2 - ш2г* > О, равно [Но/(и2 — к2/^)]1/2. Вместе с тем оно равно Я. Следовательно, имеем Но = Я2{и2-к2/ 4).

Легко видеть, что и М2 представляют собой абсциссы точек пересечения прямой линии Я = Но + кМ с границами множества О,д : Я = 2шМ и Я = -2шМ, поскольку эти границы также определяются условием, что упомянутый выше знаменатель подынтегрального выражения равен нулю. Очевидно, Но > 0 и к2 < 4а;2.

Нетрудно показать, что прямая линия Я = Но + кМ является касательной к параболе Я = М2/Я2 + ш2Я2, которая есть верхняя граница Я, принадлежащих Таким образом, носитель плотности распределения (20) - отрезок прямой, касательный к криволинейной части границы множества Од и содержащийся в (отрезок А'В' на рис. 3). Предельными положениями отрезка являются прямолинейные части границы множества Пд.

Распределение Капчинского-Владимирского - частный случай распределения (20), соответствующий к = 0 (отрезок АВ на рис. 3).

Заметим, что значения /о могут быть произвольно велики. Действительно, подставляя выражение для р в (17) и разрешая относительно а;, получим

е/о +

27гег0

.2/2 11/2 £ J0 , ..2

4Щ \

Если /о —оо, главный член последнего выражения равен 7Г£оь>о(£/о)-1' Поэтому ро -> боиЦе — рв (Рв — £B2j/2m - плотность бриллюэновского потока). Множество Qr сжимается в точку (0,0), поскольку размер множества CIr определяется ш, и и —У 0. Таким образом, предельное распределение при /0 —>• оо - бриллюэновский поток.

Распределения (20) хорошо известны как простейшие частные случаи так называемого распределения типа жесткого ротатора [4, б]. В общем случае это распределение, плотность которого в фазовом пространстве зависит только от комбинации Я + кМ, но не от Я и М отдельно. Плотность такого распределения в конфигурационном пространстве не обязательно однородна. Ее можно найти, если применить теорему об инверсии плотности [4, 5].

Средний угловой момент почти для всех распределений (20) не равен нулю, за исключением распределения Капчинского-Владимирского. По этой причине такие распреде-. ления не являются хорошими моделями пучка, поскольку реальный пучок запускается со средним моментом, равным нулю. Поэтому перейдем далее к линейным комбинациям распределений (20), среди которых также могут быть распределения со средним угловым моментом, равным нулю.

Нетрудно понять, что получим равномерные по сечению пучка распределения, беря произвольные линейные комбинации распределений (20). Например, рассмотрим линейную комбинацию конечного числа распределений (20)

/(М, Я) = ]Г fkS(H - Н0(к) + кМ), fk > 0, (21)

кек

где Но(к) = Я2(ш2 — к2/4) > 0; К - некоторое числовое множество, К С (—2ш,2ш). Подставляя (21) в (18), имеем

4 Ро = "

кек

Аналогично предыдущему легко показать, что значения Д могут быть произвольно велики. Если fk—^oo для какого-либо к Е К, то р0 еош^/е, и предельное распределение - также бриллюэновский поток. В общем случае

2 ы

/(М,Я) = I f(k)S(H = Ho{к) + kM)dк, /(*)> 0. (22)

-2о>

Найдем /с, соответствующие значениям М и Я в (22). Из уравнения Я = (ш2—к2/4)Я2+ кМ имеем

2 М±(М2-ЯД2+и>2Д4)1/2

к1)2 = ^

(23)

Из (23) следует, что ¿А; = с1Н(М — кЯ2/2) Тогда выражение (22) может быть записано в виде

ДМ, Я) =

м'/ДЧ^я2 о

/(к{)6(Н - Д2(и>2 - Л?/4 - к>М)) ±Н

/ £

Г... ¿=1

2ы"|АГ|

/(*!)+/(ы

(МЗ-Яда+ы2^)1^' Подставляя (22) в (18), можно получить

2ы 2и>

_ [ [ №*кШ [

р0"тг2Г 7 У (Яо + АгМ-М2/г2-Л2)1/2 - тг У

-2и>Г*(г) -2ы

Распределения (20) и (22) являются новыми и не могут быть получены на основе подхода, примененного в [4, б], в котором каждое распределение описывается с использованием своего эффективного потенциала, и поэтому два из них не могут быть легко объединены.

Простейший случай, который не может быть сведен к предыдущим, - распределение (22) с /(*) = ^о, = *р/(4«2):

"Кр

/(М'Я) = 2и2(М2 — ЯД2 + ш2Я4с)1!2' .. .. (24)

Четырехмерный объем носителя плотности такого распределения, вообще говоря, не равен нулю. Распределение (24) показано на рис. 4.

Плотность точек на рисунке представляет реальную фазовую плотность, которая дается выражением

Ро 1

п =

2-киу/П2 - г2 — •и2/(1 — г2/Я2) — ь].

как это следует из (9). Здесь у± = г(<р + с^о)- Как и прежде, можно показать, что допустимы любые конечные значения f(k).

Очевидно, первые два рассмотренных распределения (20) и (21) являются частными случаями распределения (22).

л Vr

г = О, IR

v± r~R

Рис. 4• Фазовая плотность для распределения f(H,M) = кр/(2ш2(М2 - ЯЛ2 +и^Д4)1/2) при различных значениях г.

Интегральное уравнение для плотности распределения. Более общие результаты можно получить, рассматривая выражение (18) для плотности р(г). Подставляя в левую часть (18) выражение (16) и учитывая, что область интегрирования определяется неравенствами (19), приходим к интегральному уравнению для функции /(М, Я)

rRu> М2/Я2+ы2Д2

dM

-tRu Mi/rl+w^r*

ео

= J dM J {H-u2r2-M2/r2)~1'2f(H,M)dH,

г < R. Здесь левая часть не зависит от г (г < Д), но в правой части пределы интегрирования зависят от г. Задача состоит в том, чтобы найти функцию f(M, Я) такую, чтобы результат интегрирования также не зависел бы от г. Введем переменные у, а и функцию F(ki, к2):

Н = M2/R2 - u2{R2 - т2)у2 sin2 а + а>2Д2, М - г Ruy cos а,

F(ki, к2) = f{M, Н){М2 - ЯД2 + и2Д4)1'2,

где ~ угловые коэффициенты прямых, проходящих через точку (ilf, Я) и касательных к кривой Я = M2/R2 + oj2R2, которая является частью границы множества ÜR. Выражая их через у, а, имеем

к\ — у cos(a - 0), кг = ycos(a + в), в — arceos r/R.

Очевидно, что ki Е (—2и>,2и>), г — 1,2. Из того, что а Е [0,7г], следует ki > к2. Таким образом, F(ki, к2) задана в треугольнике — 2и < к2 < < 2а». Положим, что в треугольнике —2а; < ki < к2 < 2и функция F(ki, определяется равенством

= -л. (25) Тогда рассматриваемое интегральное уравнение примет вид

2тг 1

J-(T^W5-ydyia■ (26)

Qo

TT"

о о

Нетрудно видеть, что уравнению (26) удовлетворяет функция Р(кх,к2) = /1(^1) + /2(^2). Учитывая условие (25), найдем, что /2(2) = Д (я) +с (с - некоторая постоянная). Не умаляя общности, можно считать, что с = 0. Тогда

ИМ Н) = /i(fei) + /1(^2)

Итак, имеем тот же результат, что и для интегрального представления (22), полагая Д (*) = /(*).

Анализируя уравнение (26), можно получить и другие плотности /(Я, М), для которых распределение частиц однородно по сечению пучка. Решение уравнения (26) можно искать в виде ряда

F{x,z)= Ys0™*™2"

m=0 n=О

или полинома по х, г. Можно видеть, что коэффициенты сто произвольны, причем должна быть обеспечена сходимость ряда

£

СтОХ

при X Е (-1,1), и с0т = ст0. Кроме того, из (25) следует, что стп = сппг, т,п > 0. Условию неотрицательности функции /(Я, М) можно удовлетворить для ограниченной функции Г(ж,г),х,г Е (—1,1) в результате добавления некоторой положительной постоянной ,Р0 к Р(х,г).

Рассмотрим, например, полином третьей степени: = с\хх + С2Х2г2 +сз(жг3+

х3г). Подставляя его в (26), найдем коэффициенты этого полинома и соответствующую плотность

_ —с(Я - ш2Я2)(10М2 - 5ЯД2 + 2ш2Л4) + Г0 П ' (М2-ЯД2+о>2Д4)1/2

Покажем, что значения функции могут быть как угодно велики. Обозначим

интеграл в правой части (26) через /о. Пусть /о —> оо. Подставляя £о =ш21о/^2 в (17), получим, что /?о —> £ош2/е — рв и и; 0, так что множество сжимается в точку (0,0). Это означает, что предельное распределение при То —> оо - бриллюэновский поток.

Отметим в заключение, что развиваемый в статье подход может быть применен также для пучков, неоднородных вдоль своей оси, которым посвящена ч. II. Для таких пучков получены аналогичные результаты.

Summary

Drivotin О. I., Ovsyannikov D. A. Self-consistent charged particle distributions in a magnetic field. I.

The self-consistent stationary distributions for beam in uniform longitudinal magnetic field are considered. The particles are assumed to be evenly distributed in the beam cross-section and in longitudinal direction. The wide classes of self-consistent distributions are found particular cases of which Eire distributions known before.

Литература

1. Капчинский И. M. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М., 1966. 312 с.

2. Brillouin L. A theorem of Larmor and its importance for electrons in magnetic fields // Phys. Rev. 1945. Vol. 67, N 7-8. P. 260-266.

3. Hofmann I. Transport and focusing of high intensity unnetralized beams // Applied charged particle optics / Ed. by A. Septier. Pt C: Very-high-density beams. New York, 1983. P. 49-140.

4. Davidson R. C., Chen C. Kinetic description of high intensity beam propagation through a periodic focusing field based on the nonlinear Vlasov-Maxwell equations // Particle Accelerators. 1998. Vol. 59. P. 175-250.

5. Davidson R. C. Three-dimensional kinetic stability theorem for high-intensity charged particle beams // Physics of Plasmas. 1998. Vol. 5, N 9. P. 3459-3468.

6. Давидсон P. Теория заряженной плазмы / Пер с англ.; Под ред. А. А. Коломенского. М., 1978. 216 с.

7. Gluckstem R. L. Analytic model for halo formation in high current ion linacs // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73, N 9. P. 1247-1250.

8. Gluckstem R. L., Cheng W.-H., Ye H. Stability of a uniform-density breathing beam with circular cross-section // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, N 15. P. 2835-2838.

9. Gluckstem R. L., Fedotov A. V., Kurennoy S., Ryne R. Halo formation in three-dimensional bunches // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 4977-4990.

10. Власов А. Д. Самосогласованные цилиндрические пучки постоянной плотности //t Журн. техн. физики. 1981. Т. 49, вып. 9. С. 1821-1826.

11. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Об определении стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Журн. вычисл. мат. и матем. физики. 1987. Т. 27, N° 3. С. 416-427.

12. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. О новых классах стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка заряженных частиц с постоянной плотностью // Журн. вычисл. мат. и матем. физики. 1989. Т. 29, № 8. С. 1245-1250.

Статья поступила в редакцию 10 мая 2004 г.