Розв’язування деяких задач з параметрами на основі дослідження квадратичної функції Текст научной статьи по специальности «Математика»

1нтернет, наприклад MOODLE. Системи мютять широкий спектр шструменлв та параметр1в налагодження, використання яких дозволяе дуже гнучко, з урахуванням bcíx необх1дних критерiiв що стосуються тестових завдань, функцш контролю та основних характеристик тесту тдготувати контрольну роботу, провести тестування та записати i проаналiзувати результати з метою всебiчноl ощнки результата та проектування шдивщуально! траекторй' тих, хто навчаеться.

Наступним етапом дослвджень буде експериментальна перевiрка подготовки, проведения тестування та всебiчний аиалiз результата при швчанш природничих дисциплш в дистанцшнш формi.

л1тература

1. Аванесов В. С. Дистантное обучение. Теория и методика педагогических измерений. (http://testolog.narod.ru/Theory19.html) - дата просмотра страницы — 29.01.2007

2. Аванесов В. С. Современные методы обучения и тестового контроля знаний. — Владивосток: Дальрыбвтуз, — 1999. — 125с.

3. Державна нацюнальна програма «Освгга» (Укра1на XXI столггтя). — К.: Райдуга, 1994. — 61с.

4. Захарова И. Г. Информационные технологии в образовании. — М.: Издательский центр АСАDЕMA. — 2005. — 192с.

5. Закон Укра1ни «Про концепщю нащонально! програми шформатизаци» вщ 4 лютого 1998 року № 75/98-ВР // Ввдомост Верховно1 Ради Укра1ни. — 1998. — №27-28. — С.182.

6. Смирнова-Трибульская Е. Н. О концепции подготовки учителей информатики и информационной и коммуникационной технологии. // Науковий часопис НПУ ш. М. П. Драгоманова, серiя № 2. Комп'ютерно-орiеитованi системи навчання: Зб.наукових праць / Редкол. — К.: НПУ ш. М. П. Драгоманова. — № 3 (10) — 2005. — С. 219-225.

7. Смирнова-'Трибульска С. М., Охоцька З. Комп'ютерт тести як простий i приемний споЫб перевiрки знань учня. // Збiрник наукових робiт за ред. проф. Анджея В. Мггаса, III наукова конференция «Педагогiка i 1нформатика», Шльонський ушверситет, Чешин, 28-29 травня 2002. — с. 217-225 (польськ.) Smyrnova-Trybulska E., Ochocka Z.: «Testy komputerowe jako prosty i przyjazny sposób sprawdzania wiedzy ucznia» Praca zbiorowa pod red. prof. Andrzeja W.Mitasa, III Ogólnopolska Konferencja naukowa «Pedagogika i informatyka», Cieszyn, US Filia w Cieszynie, 28-29 maja 2002. — S. 217-225

8. Смирнова-Трибульска С. М. Hot Potatoes — середовище до проектування мультимедшних теста // Науково-методичний часопис «Комп'ютер у школi та мм'!», 2007, № 5, — С. 32-36.

9. Смирнова-Трибульска С. М. 1нформацшно-комушкацшш технологи в професшнш дiяльностi вчителя. Помбник для вчителiв. Науковий редактор: академж АПН, проф., М. I. Жалдак, Херсон: Видавництво «Айлант», — 2007, — 560 с.

10. Смирнова-Трибульска С. М. Дистанцшне навчання з використанням системи MOODLE. Навчально-методичний поЫбник. Науковий редактор: академж АПН, проф., М. I. Жалдак, Херсон: Видавництво «Айлант», — 2007, — 492 с.

11. Смирнова-Трибульская Е. Н. Основи формирования информатических компетентностей учителей в области дистанционного обучения. Монография. Херсон: Издательство «Айлант», — 2007, — 714 с.

12. Теория и практика дистанционного обучения: учебное пособие для студ. высш. учеб. заведений / [Полат Е. С., М. Ю.Бухаркина, М. В. Моисеева и др.; Под ред. Полат Е. С. — М.: Издательский центр «Академия», — 2004. — 416 с.

13. www.moodle.org.pl

14. www.ucheba.ks.ua,www.ucheba.ks.ua/new

Василь ГАЛАН

розв'язування деяких задач з параметрами на основ1 досл1дження квадратично! функци

У cmammi розглянуто деям типи рiвнянь з параметрами, що призводять до до^дження квадратичноi функцй. Задачi умовно розбитi на три типи i наведено вiдповiднi приклади та ix розв 'язання.

Задачi з параметрами — це один з найбшьш щкавих i водночас складних роздшв елементарно! математики. Ытерес до них не випадковий. Теоретичне дослщження фiзичних процеав часто призводить до розв'язування р1внянь, нерiвностей та !х систем, що мютять параметри. А це, ввдповщно, вимагае дослiдження характеру фiзичного процесу залежно вiд значення параметрiв.

У попередш роки задачi з параметрами пропонувалися на вступних екзаменах з математики у бшьшосп ВНЗ. Ще бшьшо! актуальностi питания про методи !х розв'язання набуло в зв'язку iз введенням в Укра!ш зовнiшнього незалежного ощнювання, яке вимагае поглибленого засвоення й систематизацп знань та вмшь з математики.

На жаль, не вс учнi мають досвiд роботи iз завданнями такого типу, що, зрозумiло, призводить до негативних результапв при !х розв'язуваннi i наршань на те, що так1 задачi в школi не розглядались. До певно! мiри об'ективними причинами цього е недостатня кiлькiсть годин, яку можна вiдвести на вивчення важких питань школьного курсу математики, ввдсутшсть вiдповiдно! лiтератури.

Та все ж для розв'язування задач з параметрами не по^бно спецiальних знань, що виходять за меж школьно! програми. Звичайно, для того, щоб вмгти розв'язувати задачi з параметрами, треба мати глибою знання властивостей елементарних функцiй, вмiти розв'язувати р1вняння, нершносп та системи р1внянь та нершностей рiзних титв, будувати графiки та проводити графiчиi дослiдження. Крiм того, розв'язування таких задач передбачае проведення учнями досладницЕко! дяльност та вимагае ввд них певного р1вня математичного та логичного мислення.

Оск1льки задачi з параметрами дуже багатограннi, то обмежимось у статп лише деякими (умовними) типами задач, як1 пов'язаш iз дослiджениям квадратично! функцп.

Перший тип — це задачу в яких потрiбно пор1вняти коренi квадратного рiвняння з деяким числом або числами. Вони формулюються так: при яких значениях параметра кореш (або один коршь) будуть бiльшi даного числа; меншi даного числа; кореш будуть мiститись в даному iнтервалi тощо. Дуже часто при розв'язуванш таких задач знаходять коренi (якщо вони iснують) за формулою коретв квадратного рiвняння, складають систему вiдповiдиих нер1вностей i з не! отримують умови, яким повиннi задовольняти параметри. Але такий шлях е ращональним лише у разi, коли дискримшант квадратично! функцi! е повним квадратом. В бшьшосп ж випадк1в розв'язування вiдповiдно! системи пов'язане з великими техшчними труднощами. Бiльш просте розв'язання можна отримати за допомогою графша квадратично! функцi!.

Отже, нехай задано квадратне рiвияния ах2 + Ьх + с = 0 . Через /(х) позначимо квадратний

тричлен: /(х) = ах2 + Ьх + с, Б = Ь2 - 4ас — його дискримшант; х0 =-Ь — абсцису вершини

2а

параболи. Якщо рiвняння ах2 + Ьх + с = 0 мае два кореш, то менший з них позначимо через х1, а бшьший через х2.

Розглянемо ряд приклад1в першого типу.

Приклад 1. При яких значеннях параметра к кореш рiвняння (2 - к)х2 - 3кх + 2к = 0 дiйснi i

обидва бiльшi — ?

2

Розв'язання. Знайдемо л значення параметра к, при яких ввдбуваються яшсш змiни рiвияння. При к = 2 квадратне рiвняння (2 - к)х2 - 3кх + 2к = 0 перетворюеться в лшшне

2

-6х + 4 = 0, яке мае лише один корiнь х = 3, отже, випадок к = 2 не розглядаемо. Очевидно, що

при к Ф 2 дискримшант Б = (-3к)2 - 4(2 - к) • 2к повинен бути неввд'емним, тобто 17к2 - 16к > 0. Розглянемо два випадки: 2 - к > 0 та 2 - к < 0.

Для того, щоб кореш були обидва дшсш i обидва бiльшi — (у першому випадку)

необхiдно i достатньо, щоб виконувалась наступна система нерiвностей:

Б > 0, 2 - к > 0,

/(!) =(2 - к) - зк •—+2к >0, (1)

3к —

х0 =-> —.

0 2(2 - к) 2

Щ нерiвностi випливають iз наступних геометричних мiркувань:

' = f (x)

Рис. 1

Xi

Рис. 2

Дiйсно, yMOBi задачi може задовольняти лише такий квадратний тричлен f (x), графш якого зображений на рис. i чи рис. 2. А математично це описуеться за допомогою системи HepiBHOCTrn (i).

Аналогiчно вдругому випадку (2 - к < 0) отримаемо:

I'D > 0,

2 - к < 0. 1

f| 2 J = (2 - к) I 2

-3к •- + 2к < 0, 2

(2)

3к

1

->—.

2(2 - к) 2

Системи (1) та (2) можна записати одшею системою нерiвностей:

D > 0,

(i л Г г i л2 i л

> 0,

(2 - к) • f|1 | = (2 - к) •

3к

>

1

О

2(2 - к) 2

к(17к-16) > 0,

( (1 Л2 1 л

(2 - к) •! 21 - 3к • 2 + 2к

к l к -16 1> 0,

О

(2 - к)-| -1 к +-2|> 0, О

3к

1

> —,

2(2 - к) 2

(2 - к) •(к + 2)> 0, (к - 2 )(2 - к )> 0.

(3)

Розв'яжемо кожну з нер1вностей системи (3) методом iнтервалiв i знайдемо стльний розв'язок.

;/////////////•-•////////////////. — розв'язок першо! нерiвностi системи (3);

16 17

1 2

Отже, розв'язком системи (3) е к е

Bidnoeidb: к е —; 2 |.

17

— розв'язок друго! нерiвностi системи (3);

— розв'язок третьо! нерiвностi системи (3).

16,

17 ;

2

Xn. —

2

Зауваження. Бажано наголошувати учням, що у випадку Б = 0 квадратне рiвняння мае не один корiнь, а два кореш, як збiгаються (двократний корiнь).

Приклад 2. При яких значеннях параметра а коренi р1вняння (2а - 2)х2 + (а +1)х +1 = 0 бiльшi -2, але меншi 0?

Розв'язання. Як i у приклад! 1, необхвдно розглянути випадок, коли коефiцiент бшя х2 буде дорiвнювати нулю (тобто а = 1). Р1вняння набуде вигляду: 2х +1 = 0, його коренем е

х = - 2. Осшльки в умовi задачi не сказано, що рiвняння повинно мати два кореш, то при а = 1

. 1

коршь отриманого рiвняння (х = - задовольняе умову задачi.

Припустимо тепер, що а Ф 1. Умови того, щоб коренi квадратного рiвняння були обидва дiйснi i обидва бiльшi заданого числа, були розглянуп у прикладi 1.

З урахуванням з геометричних мiркувань (прикл. 1, рис 1; 2) отримаемо, що умови того, щоб кореш квадратного рiвняння були обидва дшсш i меншi заданого числа X, аналопчш до тих, як1 наведеш у системi (2). Сдиною ввдмшшстю вiд попереднього випадку е, очевидно, умова, яка повинна накладатись на абсцису х0 вершини параболи, а саме: для абсциси х0 повинна виконуватись нерiвнiсть х0 < X . Отже, розв'язками ще! задачi будуть тi значення а, яш задовольняють одночасно обидвi системи нерiвностей: Б > 0, [Б > 0,

(2а - 2) • /(- 2)> 0,

х0 > -2,

(2а - 2) • /(0)> 0,

х0 < 0.

Об'еднаемо цi двi системи в одну:

Б > 0,

(2а - 2) • / (-2) > 0, (2а - 2) • / (0)> 0, -2 < х„ < 0,

О

(а +1)2 - 4(2а - 2) > 0, (2а - 2) • ((2а - 2) • 4 - 2(а +1) +1) > 0, (2а - 2) > 0, а +1

О

-2 <-

2(2а - 2)

-< 0,

а2 - 6а + 9 > 0, 12(а -1) • (а -1,5) > 0, а > 1,

28 ^а - 9^ (а -1) > 0, 4(а +1) • (а -1) > 0.

= / (х)

Розв'язком ще! системи нерiвностей е а > 1,5. В1дпов1дь: а = 1; а > 1,5 .

Приклад 3. Нехай квадратне рiвняння (а - 2)х2 - 2(а + 3)х + 4а = 0 мае коренями х1 та х2. Знайти ва таи а, що х1 та х2 задовольняють умови х1 < 2 < 3 < х2.

Розв'язання. Перш шж розв'язувати цю задачу, розглянемо И спрощений варiант.

Знайдемо умови, за яких число в лежить мiж коренями квадратного тричлена /(х) = ах2 + Ьх + с. Нехай а > 0 (рис. 3). Якщо число в лежить мiж коренями, то значення квадратного тричлена при х = в менше нуля, тобто виконуеться нерiвнiсть /(в) < 0. Але тодi виконуеться i нерiвнiсть а • /(в) < 0 .

Аналопчно, у випадку а < 0 (див. рис. 4) виконуеться нерiвнiсть /(в) > 0, але враховуючи, що а < 0, отримаемо а • Г (в) < 0.

Отже, в обох цих випадках буде виконуватись нерiвнiсть

а • /(в) < 0 (4). Очевидно, що випадок, у якому а = 0 , можна не розглядати.

Умова (4) е необхвдною i достатньою для того, щоб кореш квадратного рiвняння ах2 + Ьх + с = 0 ( /(х) = ах2 + Ьх + с ) були обидва дшсш i число в лежало мiж ними (тут е достатньо

а

/ (в)

V У

Рис. 3.

= / (х)

щкавий момент: при розв'язуванш задач такого типу не по^бно шукати дискримiнант, оскшьки iз (4) автоматично слiдуe, що О > 0).

1з вищесказаного випливае метод розв'язування задачi. Оскшьки числа 2 i 3 повинш лежати мiж коренями цього рiвняння, то умова (4) мае одночасно виконуватися i для числа 2, i для числа 3. Отже, розв'язком будуть тi значения а, як задовольняють систему нерiвностей:

(а - 2)((а - 2) • 4 - 2(а + 3) • 2 + 4а) < 0, (а - 2)((а - 2) • 9 - 2(а + 3) • 3 + 4а) < 0,

4(а - 2)(а - 5) < 0, 0 "¡7(а - 2)|а - 36 1< 0,

Розв'язком ще! системи е iнтервaл (2; 5).

В1дпов1дь: а е (2; 5).

Приклад 4. При яких дшсних значеннях параметра а кореш рiвняння х2 - 2х - а2 +1 = 0 лежать мгж коренями рiвняння х2 - 2(а + 1)х + а (а -1) = 0?

Розв'язання. У цш зaдaчi дискримiнaнт першого рiвияння е повним квадратом. Дшсно:

- 2х - а2 +1 = 0. О = (-2)2 - 4(-

-а 2 +1) =

9

4 + 4а 2 - 4 = 4а

2

Рис. 5

1 - а

4О = 2|с

= 1 + |а|. Очевидно, що модуль в останшх двох рiвностях, незалежно вiд того, як1 значення набувае а, можна опустити, оскшьки нас не цiкaвить, який з корешв в цьому

-1 + а (при а > 0 ^ 2, х2 = х1).

випадку ми позначаемо через х1, а який через х2. Тобто х1 = 1 - а, х ввдповщно, х1 = 1 + а , х2 = 1 - а , при а < 0, але тодi !х можна позначити х' Позначимо /(х) = х2 - 2х - а 2 +1, g(х) = х2 - 2(а +1)х + а(а -1) .

Графшами обох функцiй е параболи, вики яких спрямоваш вгору. Зробимо схематичний рисунок (рис. 5):

1з рисунка видно, що розв'язком зaдaчi буде розв'язок системи нерiвностей:

g(х1) < 0, g(х2) < 0,

о

(1 - а)2 - 2(а +1)(1 - а) + а(а -1) < 0, (1 + а)2 - 2(а +1)(1 + а) + а(а -1) < 0,

о

(а-1) • (4а +1) < 0, - 3а -1 < 0,

о

14 • (а-1) • (а + 0,25) < 0,

| а > - -1. I 3

Розв'язком ще! системи нерiвностей е iнтервaл (-0,25; 1). В1дпов1дь: а е (-0,25; 1).

Зaдaчi другого типу, при розв'язуванш яких потрiбно застосовувати теорему Вiетa. Приклад 5. Знайти найменше значення виразу х1 + х|, якщо х1 та х2 — коренi рiвняння х2 - 2ах + а + 6 = 0.

Розв'язання. Знайдемо, при яких значеннях а рiвняння буде мати кореш, тобто при яких значеннях а О = 4а2 - 4(а + 6) > 0 . Розв'язком ще! нерiвностi буде а е (- ю;-2]и [3;+<»).

Використавши теорему Вiетa, виразимо суму х2 + х| через коефiцiенти лiвоl частини рiвияння:

х12 + х^ = (х1 + х2)2 - 2х1х2 = (2а)2 - 2(а + 6) = 4а2 - 2а -12. Позначимо через g(a) квадратний тричлен g(a) = 4а2-2а-12 i дослвдимо функцiю g(а). Ця функщя квадратична, грaфiком 11 е парабола, вики яко! спрямовaнi вгору. Найменшого значення ця функдiя набувае у сво1й

вершинi, тобто при а = —. Функщя g (а) спадае при а е!-»;1

4 I 4

i вiдповiдно зростае при

. Врахуемо тепер, що а е(-да;-2]у [3;+»). Залишаеться знайти g(-2) та g(3) i

X

а е

nopiBHara ввдповвдш значення. Маемо g (-2) = 8 ; g (3) = 18. Отже, найменшим значенням виразу Xj2 + x^ е 8.

Bidnoeidb: 8.

Приклад 6. При яких значеннях a piзниця корешв piвняння 2x2 - (a + 1)x + (a -1) = 0 дopiвнюе 1хньому добутку?

Розв'язання. Розглянемо, при яких значеннях a piвняння мае кореш. В цьому випадку D > 0 О a - 6a + 9 > 0 о (a - з)2 > 0. Остання неpiвнiсть правильна при a е R . Враховуючи теорему Вiета i умову задачi, отримаемо, що розв'язками будуть значення a, яш задовольняють систему piвнянь:

Xj X2 — Xj • X2,

a -1 2 , a +1

О

X1 + X2 — "

2

a-1

= 2 ; a-1

Xi + X2

2

a +1

О

2

a

X1 = I, = 1 X2 = 2 ,

a a -1

зввдки — —- О a — 2 .

4 2

a -1 2 .

Bidnoeidb: a — 2 .

Приклад 7. При яких значеннях a piвняння aX2 + x + a -1 — 0 мае два piзних дшсних

1 1

кореня x1 та x2 , що задовольняють нергвшсть

> 1?

Розв'язання. Знайдемо, при яких значеннях a piвняння мае два piзних дшсних кореш, тобто при яких a дискримшант D > 0 :

г 1-v2 1 +v2 ^

1 - 4a(a-1) > 0, О 4a2 - 4a -1 < 0, О a е

I 2 ' 2

V У

Очевидно, що a — 0 не задовольняе умову задач^ тому a е

г 1 -42 Л г 1+V2^

Використовуючи теорему Вiета, виразимо модуль piзницi

11

через a. Маемо:

1 1

Ч _-\(x2 - X1 )2 — + x1 )2 - 4 x1x

1__4 a-1 _

^ V-4a2 + 4a +1

2 « a a

a-1 a

. Тут aФ1.

T-, • » -4a2 + 4a +1 , I „ 2 „ , .

Враховуючи умову задачу отримаемо: -:-:-> 1, О V-4a + 4a +1 > |a -1, О

- 4a 2 + 4a +1 > a 2 - 2a +1, О a е I 0;6

Осшльки a ф 1, то розв'язком неpiвнoстi е: a е (0;1)u11

Bidnoeidb: a е (0;1)u 11;6 I.

5

До третього типу вiднесемo задачi, розв'язування яких не вимагае накладання умов на кореш квадратного piвняння, але яш пoв'язанi з дoслiдженням квадратично1 функцiï.

ax3

Приклад 8. При яких значеннях параметра a функщя f (x) — —— (a -1)x2 + 2x + 5 строго

зростае на всш сфеpi визначення?

Розв'язання. Сферою визначення цiеï функцiï е D(f ) — R .

12

Xi • X

12

X, • X

12

1 2

2

2

2

X, X

х,х

X, X

X, X

а

12

12

12

12

а

5

6

5

Похедна функцп f '(x) = ax2 - 2(a -1)x + 2. Знайдемо tî значения a, при яких похщна функцiï буде невiд'eмною при будь-яких x е R.

З урахуанням умов задачi отримаемо, що розв'язками будуть tî значения a, для яких виконуеться система нерiвностей:

Зауваження. При розв'язуванш задач такого типу треба звернути увагу на поширену помилку, яко! припускаються учнi, саме: при знаходженш промiжкiв зростання шукають тi значения х, за яких виконуеться нерiвнiсть /'(х) > 0. Як ведомо, ця нерiвнiсть е тiльки достатньою умовою зростання функцп, але не необхедна. В курсi математичного aнaлiзу доводиться, що функдiя зростае (спадае) на штерв^ (а,Ь), якщо похiднa ще! функцп /'(х) додатна (вiд'емнa) скрiзь на цьому iнтервaлi, за винятком зашнченого числа точок, в яких ця похедна дорiвнюе нулю. Класичним прикладом е фунщя у = х3, яка строго зростае при х е Я , але похiднa яко! дорiвнюе нулю при х = 0. Тому, якщо на дискримiнaнт О накласти лише умову О < 0 , то задача буде розв'язана не повшстю.

Приклад 9. Знайти вс значения параметра а, при яких функцiя у = 1о§3((2 - а)х2 - 2ах - а +1) визначена при будь-яких х е Я.

Розв'язання: Логaрифмiчнa функдiя визначена при (2 - а)х2 - 2ах - а +1 > 0. Остання нерiвнiсть буде виконуватись при будь-яких х е Я , якщо 2 - а > 0 та О < 0, тобто:

Наведет приклади та ïx розв'язування показують, що у багатьох випадках задачi з параметрами можна розв'язати за допомогою достатньо простих методiв.

л1тература

1. Горнштейн П. I., Полонський В. Б., Яюр М. С. Задачi з параметрами. — Тернопiль: Шдручники i поЫбники; 2004. — 256 с.

2. Шарова Л. И. Уравнения и неравенства. — К.: Вища школа, 1981. — 280 с.

У cmammi до^джуеться теоретико-методологiчне тдхрунтя створення pi3Hux munie тдручнитв з тоземног (тмецькоÏ) мови для ВНЗ i виокремлюються основш параметри, в межах яких вiдбуваеmься процес тдручникотворення. Останш вiдiграюmь роль орiенmuрiв крumерiального забезпечення подальшого наукового дискурсу. Для цього nроаналiзовано наступний ряд дефiнiцiй: парадигма освти ^ освтня система ^ цш навчання ^ навчальна програма ^ тип тдручника ^ функцп тдручника ^ змiсmовuй модуль навчання iноземноïмови за профестним спрямуванням.

Вибiр Украшою курсу на входження в европейський економчний та освимй проспр, процеси глобалiзацiï та iигернацiоналiзацiï дшових стосунюв у рiзниx сощальних сферах спричинили потребу в пiдготовцi випускникв ВНЗ, яю вiльно володшть шоземною мовою i культурою iншомовного спшкування. Нинi пiдручники з iноземниx мов у немовних ВНЗ мають допомогти студентам здобути такий р1вень комушкативжд компетенци, що дае змогу 1'м спiлкуватися на професiйну тематику або продовжувати навчання за кордоном. Знання iноземниx мов стали «ключовою квалiфiкацiею» як у професiйному, так i приватному житп сучасжл молодо1' людини.

Марш ДУТКА

особливост1 проектування п1дручник1в з hime^koï мови для вищих навчальних заклад1в