CC BY
12
УДК 517.945 Доц. В.П. Карашецький, канд. техн. наук -
НЛТУ Украти, м. Львiв
РОЗРАХУНОК ТРИВИМ1РНИХ ВИХРОВИХ МАГН1ТНИХ ПОЛ1В МЕТОДОМ К1НЦЕВИХ ЕЛЕМЕНТ1В
Виведено основш формули методу кiнцевих елементсв для розрахунку триви-мiрних статичних вихрових магнiтних полiв в областях, заповнених нелiнiйними безгiстерезисними анiзотропними середовищами.
Ключов1 слова: вихрове магнiтне поле, магштна характеристика, лагранжевий тетраедр, метод кшцевих елементiв, кубатурна формула.
Розглянемо краеву задачу розрахунку статичного магштного поля у тривим1рнш област Б об'емом V з розподшеним постшним струмом густи-ною J. Для зручност м1ркувань припустимо, що всередиш област Б маемо однорщне, безпстерезисне середовище з нелшшними магштними властивос-тями. Це вихрове магштне поле описуеться р1вняннями:
тогИ = J , (1)
В = тогА, (2)
де: А - векторний магштний потенщал; И, В - вщповщно вектор напруже-ност магштного поля 1 вектор магштно! шдукцн, пов'язаш м1ж собою через магштну характеристику середовища
И = И[В]. (3)
Вщповщно до вщомого принципу мш1муму збережено! енергн магшт-ного поля, розподш потенщалу А в област Б повинен бути таким, щоб мшь м1зувати цю енергда. Знаходження мш1муму енергн вихрового магштного поля математично екв1валентне розв'язанню р1внянь (1), (2).
Нехай на меж1 Г област розрахунку Б задано розподш потенщалу А , тод1 всередиш област встановлюеться таке магштне поле, якому вщповь дае мш1мум збережено! магштно!' енергн, представлено! функцюналом
Б = \ (Ж - C)dV, (4)
V
В__
де: Ж = \ ШВ; (5)
о
с = и. (6)
Розподш потенщалу А всередиш област Б, що мш1м1зуе функцюнал Б, забезпечуе розв'язання краево! задачь Умову мш1муму функцюнала представляемо у вигляд1
Ыб^
dA
дБ =
V ыА у
Враховуючи довшьшсть вар1ацн дА, визначаемо
дА = 0. (7)
С = 0, (8)
dA
що р1вноц1нно трьом скалярним р1внянням:
dF ^ dF ^ dF
-= 0;-= 0;-= 0, (9)
dAx dAy dAz
де Ax, Ay, Az - проекци вектора A .
Для побудови кшцево-елементно1 моделi заповнимо область розра-хунку сукупшстю лагранжевих тетраедрiв п -го порядку [1].
Нехай внаслщок дискретизаци (трiангулящl) тривимiрноl областi роз-рахунку D маемо M лагранжевих кiнцевих елеменпв (КЕ). Кожному з них присвошо порядковий номер m (m = 1,M) i локальну мерацiю вузлiв, згiдно з якою i -му вузлу m -го КЕ вiдповiдае номер mi. Для вше1 областi розрахунку встановимо Ыткову (наскрiзну) нумерацiю R внутрiшнiх вузлiв i G гранич-них вузлiв. Поточнi значення порядкових номерiв внутрiшнiх вузлiв позначи-мо г .
Для юнцево-елементно! обласл функцiонал F з урахуванням (4) - (6) набуде вигляду
и и
F =1 Fm = 2 № - Ст), (10)
т =1 т =1
де: =\ Wdv; (11)
Ут
Ст =| Cdv; (12)
Ут
Ут - об'ем т -го КЕ. Утворимо 3R ^рний вектор-рядок i вектор-стовпець проекцiй потенцiалу А у внутршшх вузлах
А = (Ах1,...,Ахя,Ау1,...,AyR,Azl,...,AzR); А* = (А^AxR,Ау1,...,AyR,Azl,...,AzR)* (13)
Умова мшмуму функцiонала F з урахуванням (9) рiвносильна нель ншнш системi алгебрашних рiвнянь
Ф*м==0. (14)
Застосуемо для (11), (12) кубатурш формули чисельного штегрування за об'емом лагранжевого тетраедра [1]. Наприклад, у випадку використання лагранжевих тетраедрiв першого порядку, кшьюсть вузлiв у яких р=4, одержимо
Fm = 1 Ут ^(№тг - Ст), (15)
4 ¿=1
де: Ст1 = Ат1^т1 ; (16)
№т1 =\ HdB . (17)
0
Представимо залежност компонентiв потенцiалу А в межах т -го КЕ повними полшомами першого степеня
Ах = Ахтктк* = ^^т*Ахт* ; Ау = Аутктк* = ккт*Аут* ; А = ^ткт^к* = ккт*^т* ? (18)
кт* —
(21)
де Ахт = (Ахт1...? Ахт4) ; Аут = (Аут1...? Аут4) ; Azm = (Агт1,...? Azm4) (19)
• вектори-рядки значень вщповщно Ах, Ау, Az у вузлах т -го КЕ;
к = а X у, г) (20)
А и
• координатнии вектор-рядок поточно: точки з координатами х, у, г;
1 хт1 ут1 гт1 1 хт2 ут2 гт2 1 хт3 ут3 гт3 1 хт4 ут4 гт4
• координатна матриця, рядки яко! е координатними векторами вигляду (20) у вузлах т -го КЕ,
де Ахт*, Аут*, Агт*, к*, кт - вщповщно вектори-стовпцi i матриця, транспоно-ванi по вiдношенню до Ахт, Аут, Ат, к , кт*.
Проекци Вх, Ву, Вг вектора В в mi -му вузлi з урахуванням (2) i (18) набудуть вигляду
ЭА7 дАу
Вхтг = ("
ду дг дАх дА.
_)|хтъ утъ гтг = ^тК^У* АутК^пг!* = Кт^Агт* КтлАут*; (22)
Вутг = ( )|хтъ утъ гтг = АхтК^Пг!* АгтК^Пг1* = Кт1Ахт* КгтАгт* ; (23)
дг дх
де
В .= (дАу-х-у-г = А К (х) - А К (у) = К (х) А • -К (У) А
¿-'гтгу )\лтг-> Утъ ¿тг у^ тг* -Г1х^^тг* "-тг^ут* ^тг-^х
дх ду
К(х) = к(х)к-1 ' К(у) = к (у)к-1 ' К(г) = к(г)к-1 '
тг "тг "'т* ' тг "тг "т* ' тг "тг"т* '
К(х) = к-1к(х) • К (у) = к-1к (у) • К(г) = к-1к(г) •
тг* ~ Кт п-тг* , лтг* _ Кт Ктг* > лтг* _ лт лтг* э
(24)
(25)
(26)
г дк
ктх = ~ \xmг, утг, гтг = (0, \ 0> 0);
дх
г дк
кту) =—\хтг, утг, ?тг = (0,0,1,0); (27)
ду
г дк
кт? = ~ |xmг, утг, гтг = (0, 0 0 1) ; дг
кт/*, кту *, ктг* - стовпщ, одержанi транспонуванням рядкiв (27).
Диференцшючи вираз (15) по вектору Ахт i враховуючи (22)- (24), одержуемо
г dFm 1 4 d Вт'__- - 1 4 ¿Втг - ^^^^^
рхт* =~г =~ Ут/,~Г. ( I + Атг^тг) = ~ УтУ, (_7= Нтг + Jхтг~Г, ) =
Л и А * Л и А 7 "
dAxm 4 г=1 dAxm 0
dAr
4 г=1 dAxm ш1хт
1 ^ х—* ydBxmi dBл}mi dB7mi „ т dAv
— V (^хтги ^утг ¿г ^гтг Т _
_ л т^ V п хтг^ ~ п утг^ п гтг "т" ^ хтг у*
4 г=1 dAxm М-^хт &А:хт иА
1) =
14 г г 1 г
= — Ут^ (к{пй*Иут1 - КШУ*И2Ш1) + — VmJхш*-, (28)
4 1=1 4
де Jхш* = хш1 Jxш4)* (29)
• вектор-стовпець заданих значень проекцн Jx вектора J у вузлах ш -го КЕ. Диференщюючи вираз (15) за вектором Ауш i Аш з врахуванням (22) -
(24) одержуемо
Фуш* = Б = — ^Х (КшХ*Нш - Кш}*Нхш1) +1 уш*; (30)
dAyш 4 1=1 4
фш* = Б = 1 ^Х (ШНхшг - КшХ*Иушд +1 2ш* , (31)
dA7ш 4 1=1 4
де <^уш* = (Jyш1,..., «^уш4)*; ^= (JZш1,..., «^ш4)* (32)
• вектори-стовпщ заданих значень вiдповiдно Jy, Jz вектора J у вузлах ш -го КЕ.
Нелшшну систему рiвнянь (14) розв'язуеться, зазвичай, ггерацшним методом Ньютона. Для визначення внеску ш -го КЕ в систему рiвнянь (14) необхщно:
• знайти вектори фхш*, Фуш*, фш* на кожнiй iтерацii за формулами (28, 30, 31);
• за таблицею вщповщносп локально!' i сггково!' нумерацii встановити номери т вузлiв, як збiгаються з вузлами ш1,...,ш4;
• кожний елемент векторiв фхш*, фуш*, фш*, який вiдповiдае т -ому внутршньо-му вузлу, внести вщповщно в т -е, (т +1) -е, (т + 2) -е рiвняння системи (14).
Повну систему рiвнянь (14) одержимо, виконавши цю процедуру для вЫх М елементiв. В цьому випадку викладена вище процедура використо-вуеться на еташ формування вектора нев'язок. Бiльш трудомiсткою опера-цiею е складання для векторно! функцн ф* = (фl,...,фR,Фyl,...,ФyR,Фzl,...,ФzR)* матрицi Якобi ф розмiрностi 3Я х 3Я. Виведемо загальш вирази, що вико-ристовуються для ще! мети.
Диференщюючи вираз (28) за вектором Ахш*, отримуемо матрицю роз-мiрностi 4x4:
ф = <Лфхш* = 1 (z) ^ушг К (у) (33)
фххш = ~ 4 Х {Кшг* ЖТ ~ Кш<* ■ ()
и/1хш* ^ I =1 и/1хш* и/1хш*
З врахуванням (22)- (24) i магштно! характеристики середовища (3), яка рiвноцiнна трьом скалярним залежностям
Их = Их[Вх, В у, Bz ]; Ну = Иу[Вх, В у, Bz ]; И z = И2[ВХ, Ву, Bz], (34)
маемо
ф =1V Х(К>)л, (^Вхш' ^^ч)- Т(у)(л. ^^ +
Уххш ~ ' ш / , ухш! у*. ~ уууш1 у*. ~ уу2ш1 у*: ) 1^-Шi*\yZХШl ~ у2уш1 у*.
4 i=1 dАхш* dАхш* dAХШ* dAХШ* dAХШ*
+vzzшi Т ) = ^ШХ (КШ]*(УуушКШ1 У^КЩуЬ КШУ)^КЩ) v'zzшiK<m^^)) , (35)
^хш* 4 i =1
де Ууут1, Уугт1, Угут1, Уггт1 - елементи тензора диференщального питомого маг-нiтного опору середовища
V
Н
аВ
дНх дНх дНх
дВх дВу дВ2
дНу дНу дНу
дВх дВу дВ2
дН2 дН2 дН2
дВх дВу дВ2
т -го КЕ.
Ухх Уху У X2
Уух Ууу Уy2
У 2X У 2y У 22
(36)
Для безгiстерезисного середовища на основi теореми взаемност Уу2 = , тому Уут = Уzymi •
Диференцiюючи вираз (28) за векторами Аут* i А^*, отримуемо матриц
ф = афхт* = 1V у(К(2)У ,К(х) —У .К(*)) - К (у)(У ■£(*)— У К^))) (37) аАут* 4 i=!
Фxzm = ~ф = — Ут^ ^т/^ухт^т^ ^ууж^Ж^ — KЖi*(y2xmiKЖiХ — yzymiKmУ) • (38) аAzm* 4 1=—
Продиференцiювавши вирази (30), (31) за векторами Ахт
* , Аут* i Azm* ,
отримаемо такi матрицi:
Ф
а Фут* 1
ухт
аАхт* 4
= а Фут* _ 1
лУт^ (KЖгí>*(yzymiKnt'i УzzmiKmfy ^т^^гут^т^ yX2miKЖУ); (39)
^хт* i=1
1 4 г г г г
фуут = ^ = Ут^ (К^тЫ —угхт^Кт}} — KЖl¡*(yx2miKЖггi — Уххт^К^т^)^^ , (40)
аАут* 4 а Фут* 1
ут* "г i=1 4
фу2т = Г = ^т^^гхт^т У2утКт1) К<пг^*(У ххтКт1 yxymiKmlУ); (41)
аАт 4 ^=1
ф2хт = аф = - Ут^ СКту^хутА) ^хт-Кт^ — К^^уут^т — yy2miKЖlУ) ; (42)
аАхт* 4 i=1
ф2ут = ~Ф = 1 Ут^ (Кту ''>*УxzmiKml ^ххт^тЬ — K<nгi>*(yy2miK<Жгí> — yyxmiKm2У) ; (43) аАут* 4 i=1
фzzm = ~ф = 1 Ут^ (Кгп1*(у ххт^пу ^хут^тл) — КтЛ*Уухт^пуг — yyymiK<жгí>У) • (44) аAzm* 4 i=1
Для того, щоб визначити вклад т -го КЕ в матрицю Якобi ф, необхщ-но обчислити матрищ фххт , Фхут , Фxzm , фухт ,фуут , Фyzm , Фzxm , Ф^ут , Фzzm на кож-нш ^ерацн за формулами (35), (37) - (44) i пiдсумувати вс !хш елементи з вiдповiдними елементами матрищ ф за такими правилами:
• елемент фххту, Фхут), Фх^ту належить вщповщно т -й, п(5 + Я) -й, п(5 + 2Я) -й клгтит матриц1 ф, де п, 5 - с1тков1 номери вузл1в з локальними номерами 1 т);
• елемент фухтц, фуущу, фу2ту належить вiдповiдно (n + R)s -й, (n + R)(s + R) -й,
(n + R)(s + 2R) -й клiтинi матрицу ф ;
• елемент ф2хт1]-, фгуту , фггту належить вiдповiдно (n + 2R)s -й, (n + 2R)(s + R) -
й, (n + 2R)(s + 2R) -й кттит матрицу ф .
Повну матрицю Якоб1 ф одержимо, виконавши цю процедуру для Bcix КЕ елемеилв.
У випадку використання лагранжевих тетраедрiв 2-го, 3-го i 4-го по-рядкiв потрiбно застосувати вiдповiднi кубатурш формули чисельного штег-рування[1] i провести вивiд основних залежностей за викладеною вище методикою.
Лггература
1. Карашецький В.П. Кубатурш формули чисельного штегрування за об'емом тетраед-ра на основ1 штерполяцшних повних пол1ном1в // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Льв1в : РВВ НЛТУ Украши. - 2007. - Вип. 17.6. - С. 258-264.
Карашецкий В.П. Расчет трехмерных вихревых магнитных полей методом конечных элементов
Выведены основные формулы метода конечных элементов для расчета трехмерных статических вихревых магнитных полей в областях, заполненных нелинейными безгистерезисными анизотропными средами.
Ключевые слова: вихревое магнитное поле, магнитная характеристика, лагран-жевий тетраэдр, метод конечных элементов, кубатурна формула.
Karashetskyy V.P. Calculation of three-dimensional eddy magnetic fields of the method finite element
Basic formulas of the finite element method for calculating of three-dimensional static eddy magnetic fields filled with nonlinear without hysteresis anisotropic environments were obtained.
Keywords: eddy magnetic field, magnetic characteristic, Lagrangian tetrahedron, finite element method, cubature formula._
УДК 519.718.3 Бакалавр Д.1. Кутянський; доц. М.В. Дiдковська,
канд. техн. наук - НТУ Украти "Кшвський полтехшчний тститут"
ПОБУДОВА СТ1ЙКО1 ДО ВВАНТШСЬКИХ ЗБО1В СИСТЕМИ
Проаналiзовано рiзнi види збо!в, що можуть виникнути в робот програмних систем. Продемонстровано загальний пщхщ до побудови вщмовостшко! системи та розглянуто одну з можливих задач проектування вщмовостшких систем та п розв'язок.
Ключов1 слова: вщмовостшюсть, вщмовостшю системи, вiзантiйськi збо!.
Вступ. З поширенням використання комп'ютерних систем у р1зних сферах д1яльност1 зростають \ вимоги до надшност роботи програмно-апа-ратних комплекЫв. У робот багатьох систем необхщною умовою е вщсут-шсть збо!в, або, принаймш, утримання 1мов1рносл !х появи нижче певного р1вня. При цьому часто бажаного результату не вдаеться досягти лише за до-помогою використання надшних компонеилв, а потр1бно модифжувати архь тектуру системи так, щоб вона була толерантною до р1зних вид1в збо!в. Нап-риклад, тд час контрол1 температури певного критичного об'екта, датчик
