Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование

морских систем

УДК 551.465

Э.Н. Михайлова, Н.Б. Шапиро

Роль гидростатического приближения при моделировании субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости

Обсуждаются результаты численных экспериментов, посвященных воспроизведению трехмерной структуры гидрологических полей в карстовой полости. Для этого используются трехмерная гидростатическая и двумерные гидростатическая и негидростатическая численные модели (в приближении «твердой крышки»).

В трехмерной модели роль приближения гидростатики оценивается апостериори на основе баланса членов в вихре скорости а> = - у2. Показано, что в трехмерной и двумерной гидростатических моделях влияние слагаемого связанного с вертикальными движениями, оказывается существенным только вблизи источника пресной воды. В рамках двумерной негидростатической модели отказ от приближения гидростатики приводит к большему распреснению поверхностных вод в полости, что лучше согласуется с данными наблюдений.

Установлено, что главным фактором, влияющим на формирование реальной структуры гидрологических полей в карстовой полости, является образование вертикальной ячейки циркуляции из-за завихренности поля скорости, роль конвективного перемешивания при этом является вторичной.

Ключевые слова: субмаринная разгрузка, карстовая полость, негидростатическая модель, численный эксперимент.

Введение. В предыдущих работах [1, 2], посвященных воспроизведению структуры гидрологических полей в карстовой полости (в районе м. Айя на Южном берегу Крыма), наблюдавшейся во время экспедиций в сентябре 2007 и 2008 гг., использовалась трехмерная гидростатическая модель в приближении «твердой крышки» и с процедурой «конвективного приспособления».

Методология численных экспериментов состояла в следующем. В начальный момент времени в полости движение отсутствует и заданы не меняющиеся по горизонтали поля температуры и солености такие же, как в открытом море. Затем через трещины в боковых границах карстовой полости начинает просачиваться пресная вода с нулевой соленостью, температурой 15°С (более высокой во время первой и более низкой во время второй экспедиции по сравнению с температурой воды в море) и заданными априори расходами воды. Пресная вода практически мгновенно всплывает к поверхности моря, как предполагалось, вследствие конвективной неустойчивости, перемешиваясь при этом с соленой морской водой, и в виде распресненного слоя выносится в открытое море. Из моря глубинными течениями в полость вносится соленая морская вода. В результате в полости формируется трехмерная (по существу, двухслойная) структура полей течений, температуры и солености.

© Э.Н. Михайлова, Н.Б. Шапиро, 2012

44

ТББН 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3

Проведенные численные эксперименты показали, что модель качественно правильно описывает формирование трехмерных полей температуры, солености и скорости течений в карстовой полости. Был сделан вывод, что для количественного согласования результатов расчета с данными наблюдений необходимо усовершенствование модели, и в первую очередь за счет учета негидростатических эффектов.

Настоящая работа состоит из двух частей. Первая часть посвящена оценке роли приближения гидростатики и процедуры «конвективного приспособления» на основе результатов численных экспериментов, выполненных в рамках упомянутой выше трехмерной численной модели. Получена апостериорная оценка приближения гидростатики, а влияние процедуры «конвективного приспособления» проанализировано на основе специально проведенных расчетов. Заодно проведено исследование влияния глубины залегания источника пресной воды на величину поверхностной солености в полости -основного индикатора субмаринной разгрузки.

Вторая часть работы посвящена разработке двумерной численной модели в приближении «твердой крышки», в которой приближение гидростатики не используется.

Трехмерная гидростатическая модель. В продолжение исследований, описанных в работе [2], были проведены численные эксперименты, в которых субмаринная разгрузка происходит под действием одного источника пресной воды, расположенного на берегу в вершине полости. На рис. 1 приведен рельеф дна в рассматриваемой области, показано положение источника пресной воды (точка А) и станций, для которых на последующих рисунках демонстрируются результаты расчетов (нумерация станций, как в работах [1, 2]).

Как в работе [2], численные эксперименты проводились в рамках 40-слой-ной модели с разрешением по вертикали на сетке Z, когда границы слоев -горизонтальные и все слои, кроме самого нижнего, придонного слоя имеют одинаковую толщину. Толщина 39 верхних слоев равна 7 см, так что все границы слоев располагаются над поднятием дна у входа в полость. Шаги сетки по горизонтали Аx = Ау = 0,5 м. Дебит подземного источника QA = = 6000 м3/сут (» 0,06 м3/с). Рассматривалось два случая: источник пресной воды располагается в слое от горизонта 2,4 м до дна (3,5 м) - эксперимент 1 и от горизонта 1 м до горизонта 2,1 м - эксперимент 2. Таким образом, пресная вода поступает в слои от 35-го до 40-го в эксперименте 1 и от 15-го до 29-го в эксперименте 2. Заметим, что в аналогичном расчете, описанном в статье [2], пресная вода поступала во все слои. Коэффициенты горизонтальной и вертикальной вязкости и диффузии, как и в [2], равны 100; 50 см2/с и 0; 0,1 см2/с соответственно. Как указывалось выше, в начальный момент времени скорость течений равна нулю, температура и соленость в полости и на открытой границе меняются только по вертикали, причем соленость увеличивается с глубиной по линейному закону от 17,9 до 18,2%о, а температура, учитывая условия второй экспедиции [2], наоборот, уменьшается от 24 до 23°С. Расчет с шагом по времени Аt = 0,72 с проводился до тех пор (на 10 ч), пока все поля не выходили на установившийся режим.

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3

45

а б

Р и с. 1. Рельеф дна H, м (а) и положение станций, для которых демонстрируются результаты расчетов (б, в)

На рис. 2 приведены вертикальные профили солености, температуры, компонент скорости течения v, w на указанных внизу станциях и при различном заглублении источника пресной воды (результаты расчетов двух экспериментов). Видно, что соленость на поверхности моря достаточно сильно зависит от глубины залегания источника. Чем ближе к поверхности моря располагается источник, тем меньшую величину имеет поверхностная соленость. Этот результат в достаточной степени тривиален, но он позволяет судить о возможном положении источника субмаринной разгрузки и дополняет результаты, полученные в работе [2].

Численные эксперименты, проведенные без учета процедуры «конвективного приспособления», привели, как это ни казалось вначале странным, практически к тем же результатам, что и при учете данной процедуры. Важно, что во время расчетов, по существу, не возникало неустойчивой стратификации по плотности. Это указывает на то, что подъем пресных вод к поверхности моря связан не только с конвективной неустойчивостью, а обусловлен, может быть в основном, завихренностью поля скорости, образую-

46 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3

щейся в силу бароклинности жидкости при втекании пресной воды в соленую воду. Речь в данном случае идет о компоненте вихря скорости а> = wy - vz, индексы внизу означают дифференцирование. Вследствие этого происходит образование вертикальной ячейки циркуляции в плоскости (у, 2) с подъемом вод около источника пресной воды, вытеканием распресненной воды в верхнем слое моря и подтеканием к источнику более плотной воды в глубинных слоях.

0 : 0.8 : 1.6 : 2.4 :

3.2 :

4:

2,м 19

0: 0.8 : 16: 24: 3.2: 4:

2,м

10

0

1.6 т

3.2 4.8 6.4

14

1.1 I

18

10

0: 0.8 : 16: 24: 3.2:

4 -

14

_1_

18

л.

10

0: 16: 3.2:

4.8 :

6.4 :

8 т

18 Б

21 23

19 21 23 19 21 23 19 21 23 Т

0 -1.6 г 3.2 г 4.8 т 6.4 г

. | I .1 . I

0: 0.8 : 16: 24: 3.2:

4 -

. | . ......

0: 16: 3.2: 48:

6.4 :

8 т

.1 |........

-4-2 0 2

-8 -4 0

-8 -4 0

-3-2-10 1 V

0 0.8 1.6 2.4

3.2 4 2,м

0

1.6 Н

3.2 г 4.8 ^ 6.4 г

0 : 0.8 : 16: 24: 3.2:

4 -

| ..........

0: 16: 3.2: 48:

6.4 :

8 т

.1.......

-0.08 0 0.08 -0.08 0 0.08 -0.2 0 0.20.4

-0.016

0

0

0.8 : 16: 24: 3.2: 4:

2,м

]_и 0 1.6 3.2 4.8 6.4

0: 0.8 : 16: 24: 3.2:

4 -

1............

0: 16: 3.2: 48:

6.4 :

8 т

| I

<С

Ст. 2

Ст. 4

Ст. 10

Ст. 7

Р и с. 2. Вертикальные профили солености Б (%о), температуры Т (°С), компонент скорости течения V, w (см/с) на указанных станциях при различном заглублении источника пресной воды в вершинной части полости с расходом QA = 0,06 м3/с (сплошные кривые - эксперимент 1, штриховые - эксперимент 2)

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн, 2012, № 3

47

Это можно продемонстрировать на примере двумерной негидростатической модели для идеальной жидкости, когда все переменные не зависят от координаты x и не учитывается вращение Земли:

dv/dt = vt + vvy + wvz = -py, (1)

dw/dt = wt + vwy + wwz= -pz + gp, (2)

vy + wz = 0. (3)

Исключая из уравнений движения (в приближении Буссинеска) перекрестным дифференцированием давление p, с учетом уравнения неразрывности получаем уравнение вихря

dœ/dt = œt + vœy + wœz = gpy, (4)

где v и w - компоненты скорости течения вдоль осей y и z соответственно (ось z направлена вертикально вниз), p - плотность, g - ускорение силы тяжести, t - время, d /dt - полная, субстанциональная производная.

Так как при втекании пресной воды в соленую, более плотную, воду py < 0, то и dm/dt < 0. Если в начальный момент времени имел место покой (ю = 0), то затем образуется циркуляция с отрицательной завихренностью (ю < 0), и получается описанная выше схема течений. При отрицательной завихренности происходит вращение против часовой стрелки.

В гидростатической модели (-pz + gp = 0) уравнение вихря имеет вид

d (ûjdt = œt+v(ûy + wœz = gpy,

где ( = —vz, т. е. в вихре учитывается только вертикальный сдвиг горизонтальной скорости течения. Вследствие сохранения массы (в силу уравнения неразрывности) сдвиг скорости течения v как по горизонтали (vy < 0), так и по вертикали (vz > 0) вызовет появление соответствующих вертикальных движений, и в результате получится вертикальная ячейка циркуляции с той же завихренностью, как в негидростатической модели.

При моделировании морских течений, как правило, члены в уравнении (2), связанные с вертикальной скоростью, являются малыми, и с большой точностью выполняется гидростатический баланс. В рассматриваемой задаче, как следует из результатов расчетов в [1, 2], вертикальные течения оказываются достаточно большими (сравнимыми по величине с горизонтальной скоростью), по крайней мере вблизи источника пресной воды. Поэтому представляет интерес оценить, хотя бы апостериори, важность компонент вихря, а именно, значимость слагаемого wy по сравнению с членом vz.

Приведенные соображения иллюстрируются рисунками, на которых показаны вертикальные распределения вихря ю и его составляющих wy, —vz (рис. 3) и профили температуры, солености, компонент скорости течения v, w (рис. 4). На рис. 4 представлены профили для станций, расположенных в зоне около источника пресной воды (рис. 1, в). Вертикальные распределения вихря (рис. 3) показаны как вблизи источника, так и внутри карстовой полости. Хорошо видно, что непосредственно у источника завихренность связана с горизонтальным сдвигом вертикальной скорости wy, а с удалением от источника внутрь полости завихренность определяется вертикальным сдвигом го-48 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, Ne 3

ризонтальной скорости V;,. Важно, что это справедливо для обоих численных экспериментов. Отметим также, что подъем вод, причем очень мощный, вблизи источника достаточно быстро ослабевает с удалением от него и сменяется опусканием вод, и, как видно на рис. 2, опускание интенсифицируется у локального поднятия дна (ст. 10).

Эксперимент 1

-1.2

0

0.8

1.6

2.4 2,м -0.04 0

0.8

1.6

2.4 Н 2,м

-0.4

11111

-0.3

0.1

-0.16

-0.04 0 -0.04 _1_

д

е * ' J ж Эксперимент 2

-0.8 -0.4 0

-0.16 0

-0.08

0 : , , , 1 , , , -

0.8 ^ (Л\ :

16 : -

2.4 : а N - б Л

2,м 0 0.8 1.6

2.4

2,м

-0.02 0

-0.04 0

-0.02 0

Ю =Wy-vz.

-0.08 0

г

-0.016

-0.08

-0.016 0

-V,

Р и с. 3. Вертикальные профили вихря скорости <и = wy - vz и его составляющих wy, —>2 (с- ) на ст. 13 (а), 11 (б), 1 (в), 12 (г), 2 (д), 4 (е), 10 (ж), 7 (з) при различном заглублении источника пресной воды для экспериментов 1 и 2

0

0

0

0

0

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3

49

10 14 18 10 14 18 10 14 18 10 14 18 S

0

0.8 : 16 : 24: 3.2:

4 -Z,м

1.1.1.1

19 21 23 19 21 23 19 21 23 19 21 23 T

0 I" 0.8 : 16: 24: 3.2:

4 -Z,м

I . ......

-20 0 20 -20-10 0 10 -20-10 0 10 -20-10 0 10 v

0 .........

0.8 : 16: 24: 3.2:

4 -Z,м

-8 -4 0 0: 0.8 : 16: 24: 3.2:

4 -

Z,м Ст. 13

11.........

-1.6 0 1.6 -0.4 0 0.4

-0.4 0 0.4 0.8 w

1.1.1.1.1.1

Ст. 11

Ст. 1

Ст. 12

Р и с. 4. Вертикальные профили солености Б (%о), температуры Т (°С), компонент скорости течения V, w (см/с) на станциях вблизи источника пресной воды (сплошные кривые - эксперимент 1, штриховые - эксперимент 2)

Учитывая результаты проведенных ранее экспериментов [2], отметим, что степень распреснения поверхностных вод, происходящего при субмарин-ной разгрузке, зависит от расположения и интенсивности источников подземных вод. Это не дает возможности сделать однозначные выводы о местоположении, мощности и суммарном дебите подземных источников пресной

50

ТББН 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3

воды, основываясь только на наблюдениях поверхностной солености и/или поверхностной температуры.

Двумерная негидростатическая модель. Сопоставление результатов расчета с данными наблюдений указывает на необходимость обобщения модели на случай учета негидростатических эффектов. Для этой цели можно было бы воспользоваться способом, предложенным в работе [3]. Представляется, однако, целесообразным рассмотреть вначале негидростатическую модель в двумерной постановке. В двумерной модели, как правило, рассчитывается движение в бесконечном полупространстве, например у > 0, г > 0, и предполагается, что все функции не зависят от координаты х. В данной работе рассматривается обобщенная двумерная модель, в которой рассчитывается движение в области переменной ширины Ьх(у) < х < Ь2(у), 0 £ у < В, 0 < < ъ < Н(у). При этом Ь(у) = Ь2 - Ь\ > 0 и вычисляются поля, осредненные по поперечным сечениям, т. е. функции у, г.

Полагая, что границы области х = Ьх(у) и х = Ь2(у) являются непроницаемыми, т. е. равны нулю нормальные к границе компоненты скорости течения и потоки тепла и соли, уравнения модели запишем в дивергентном виде:

Ut + (vU)y + (w U)z - fV =AUZZ + AUyy, (5)

Vt + (vV)y + (wV)z + fU = -(pL)y -pLy + A Vzz + ALVyy, (6)

Wt + (vW)y + (wW)z = -(pL)z + RL + AWZZ + AlW^, (7)

Vy + Wz = 0, (8)

(TL)t + (VT)y + (WT)z = (MLTz)z + (MLLTy)y, (9)

(SL)t + (VS)y + (WS)z = (juLSz)z + (MLLSy)y, (10)

R = R (T, S). (11)

Здесь U = uL, V = vL, W = wL, где u, v, w - компоненты скорости течения вдоль осей x, y, z соответственно; T - температура; S - соленость; R = gp; p - плотность; f - параметр Кориолиса; A, AL - коэффициенты вертикальной и горизонтальной турбулентной вязкости; /л, juL - коэффициенты вертикальной и горизонтальной турбулентной диффузии. Соотношение (11) - уравнение состояния для морской воды (нелинейное).

Отметим, что уравнения двумерной модели (5) - (10) получаются интегрированием по x (от Li до L2) уравнений трехмерной модели (в приближении Буссинеска). При этом предполагается, что поля T, S, u, v, w, p, R не зависят от координаты x в пределах полости, и, кроме того, постулируется параметризация для горизонтальной вязкости. Подчеркнем, что при L = const уравнения (5) - (11) переходят в уравнения классической двумерной модели.

Приведем теперь граничные и начальные условия, учитывая из внешнего воздействия только действие подземного источника пресной и относительно холодной воды, расположенного в вершинной части полости. Используя, как и в трехмерной модели, приближение «твердой крышки» и полагая постоянным атмосферное давление, на поверхности моря получим

при z = 0 Auz = Avz = 0, p = -RZ, w = 0, Tz = Sz = 0, (12)

где Z - уровень (понижение) моря.

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 51

На дне, принимая условия прилипания и отсутствия потоков тепла и соли, запишем

при z = H(y) u = v = w = 0, jTn = jSn = 0, (13)

где Tn Sn - производные по нормали к границе.

На твердой границе y = 0 в вершине полости в слое ze [Z1, Z2] задается втекание воды со скоростью v0 = const с известным априори расходом Q0 = = V0(Z2-Z1), V0 = v0L и заданными температурой T0 и соленостью S0. Тогда

при y = 0, ze [Zi, Z2]: u = w = 0, v = v0, - JJ LTy + vT = v0T0, - jLSy + vS = v0S¿, (14) при y = 0, z£ [Zb Z2]: u = w = 0, v = 0, JLTy = 0, JLSy = 0. (15)

Отметим, что условия для температуры и солености формулируются, как и в трехмерной модели, для суммарных (адвективных плюс диффузионных) потоков.

На открытой границе ставятся условие свободного протекания для скорости

приy= B u = w = 0, vy = 0 (16)

и условие транспортивности для нормальных потоков тепла и соли

при y = B - JLTy +vT = vT fon + v+T, - J LSy +vS = v-Sfon + v+S, (17)

где v ° v+ + v-, v+ = max(0, v) > 0 - скорость вытекающего, v- = min(0, v) < 0 - втекающего в полость течения. Видно, что в область втекает вода с фоновой температурой и соленостью Tfon, Sfon, а вытекает со своей температурой и соленостью.

В начальный момент времени задаются распределения компонент скорости течения, температуры и солености

при t = 0 u = v = w = 0, T = Tfon, S = Sfon. (18)

Заметим, что, в отличие от трехмерной модели, в которой ось y направлена внутрь области, в двумерной модели она, наоборот, направлена от источника в открытое море. При этом, естественно, разные знаки имеют компонента скорости v и вихрь w = wy - vz.

Для решения поставленной задачи используется уравнение для вихря W = Wy - Vz, которое получается исключением давления с помощью перекрестного дифференцирования уравнений движения (6) - (7) и с учетом уравнения неразрывности (8). Уравнение (8), в свою очередь, позволяет ввести функцию тока Y , так что

V = - Yz, W = Yy, (19)

W = AY . (20)

Уравнение вихря (фактически уравнение для функции тока Y ) после некоторых преобразований можно привести к виду

W ( + (v W )y + (w W )z = A W zz + Al W yy + LRy - W V(1/L)y - VW(1/L)yy + Ф, (21) 52 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3

где

Ф = (wt + vwy + wwz - Awzz - AL(wL)yy/L) Ly.

Член Ф в правой части уравнения (21) является достаточно малым, по крайней мере по сравнению с LRy. Несущественность этого члена подтверждается и расчетами.

Задача решается численно методом конечных разностей. Алгоритм решения следующий. По известным распределениям на n-м временном шаге из уравнений (9), (10) с учетом соответствующих граничных условий на следующем (п+1)-м временном шаге рассчитываются поля температуры T, солености S и с помощью уравнения состояния (11) плотности R. После этого из уравнения (21) находится распределение завихренности W и затем из уравнения Пуассона (20) вычисляется функция тока Y , а следовательно, и компоненты скорости v, w. Далее из уравнения (5) рассчитывается компонента скорости и. В заключение из уравнения (6) могут быть найдены давление p при z = 0 и уровень моря Z.

Граничные условия для завихренности W и функции тока Y , вообще говоря, следуют из условий (12) - (17). Тогда на поверхности моря W (у, 0) = 0, на дне W (у, H) и на береговой границе W (0, z) вычисляются по известным (за предыдущий момент времени) компонентам потока V, W, на открытой границе W у = 0. Функция тока на поверхности моря и на дне является постоянной величиной. Принимая, что на дне Y (у, H) = 0, получаем на поверхности моря Y (у, 0) = Y (0, 0) = Q0, причем Y (0, z) вычисляется из уравнения Yz = = —V(0, z), на открытой границе Yy = 0. Подчеркнем, что в условии W у = 0 на

открытой границе предполагается равенство нулю не только W, но и Wyy.

Уравнения (9), (10), (5) и (21) решаются методом переменных направлений (продольно-поперечной прогонки). При этом используется двухслойная схема по времени с неявной аппроксимацией адвективных и диффузионных членов. Пространственная аппроксимация проводится с использованием бокс-метода на прямоугольной сетке типа C (по терминологии Аракавы). Адвективные члены аппроксимируются схемой первого порядка точности, а именно, направленными разностями. Полученные уравнения решаются методом немонотонной прогонки. Уравнение Пуассона аппроксимируется на 5-точечном шаблоне и решается методом верхней релаксации.

Компоненты скорости V, U определяются в середине грани бокса, параллельной оси z, компонента скорости W - в середине грани, параллельной оси у, завихренность W и функция тока Y - в узлах бокса, температура T и соленость S - в центре бокса. При аппроксимации граничных условий вводятся фиктивные точки, в которых функции доопределяются посредством линейной интерполяции. Твердые границы области проходят через грани боксов, а именно, границы у = const - через грани, где рассчитывается компонента скорости V, а границы z = const - через грани, где определяется компонента W; открытая граница у = B проходит через центры боксов. В результате на открытой границе у = B одновременно выполняются условия W= 0 и Wyy = 0. Дно аппроксимируется ступенчатой линией, проходящей через грани боксов.

Аналогичная постановка задачи может быть сформулирована и для гидростатической версии двумерной модели. В гидростатической модели систе-ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 53

ма уравнений идентична системе (5) - (11), за исключением уравнения (7), которое заменяется условием гидростатики

-(рЬ)г + ЯЬ = 0.

Тот же вид имеют граничные и начальные условия, в которых теперь не нужно ставить условий для вертикальной скорости w на границах у = 0 и у = В и в начальный момент времени 1 = 0.

Уравнение вихря при этом принимает вид

О' + (V О' )у + ^ О' )г = А О'г + Аь О'уу + ЬЯу - О' У( 1/Ь)у, где О' = -Уг.

Кроме того, в гидростатической модели нет необходимости решать уравнение Пуассона. Поскольку выполняется равенство Уг = - О', то вначале вычисляется компонента потока V с точностью до константы, которая определяется из условия

Н

¡V (у, = (22)

0

а затем из уравнения неразрывности (8) вычисляется Ж.

Таким образом, роль приближения гидростатики оценивается не апостериори, а на основе сопоставления результатов численных экспериментов, выполненных в рамках полной, без приближения гидростатики, и гидростатической двумерных моделей.

Конфигурация области и рельеф дна Н(у) показаны на рис. 5. Область похожа на рассматриваемую ранее карстовую полость, ее длина В = 40 м, максимальная глубина 8 м, и она симметрична относительно оси у (Ь1 = -Ь2). При такой конфигурации и = 0, как и в случае, когда не учитывается вращение Земли (/ = 0).

Предположение о симметричности области не является обязательным, поскольку в уравнения входит только ширина полости Ь(у). В этом случае при / ф 0 компонента скорости течения и Ф 0, что, как показали численные эксперименты, практически не сказывается на результатах расчетов.

Расчеты проводились в рамках 40-уровенной модели на сетке с шагами А у = 40 см, А г = 20 см, шаг по времени А1 = 0,72 с. Коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии принимались равными А = 10 см2/с, АЬ = = 100 см2/с, /1= 0,1 см2/с, = 1 см2/с. Расход втекающей воды Q0 = = 0,03 м3/с, причем Т0 = 15°С, £0 = 0%о, 2! = 1,8 м, 72 = 2,8 м, Гш = 24°С, &оп =

= 18%о.

Сразу отметим, что в двумерной модели, как и в трехмерной, практически несущественным оказался эффект процедуры «конвективного приспособления», причем как в гидростатической, так и в негидростатической версиях модели.

54

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3

X, м

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8-10

...................

\ /

...................

Н, м

86420

111111111111111

7 \

: 5 : 10 : 15 : 20 : 25 : 30 : 35

1 40У, м

Р и с. 5. Форма полости и рельеф дна Н (м) в двумерной модели

На рис. 6 приведены вертикальные профили солености 8, температуры Т, горизонтальной V и вертикальной w компонент скорости течения на различном удалении от источника пресной воды, после 100 ч действия источника, когда все поля уже находились в установившемся режиме. Сплошными линиями показаны результаты, полученные в полной модели, штриховыми -результаты, полученные в гидростатической модели. Профили температуры и солености показаны в пределах верхнего слоя, в котором функции меняются с глубиной.

Видно, что в полной модели, когда приближение гидростатики не используется, происходит более сильное распреснение и охлаждение поверхностных вод. Любопытно, что скорость течения в негидростатической модели получается меньшей, чем в гидростатической. Это связано с различием завихренности в этих моделях. Завихренность скорости, или, другими словами, интенсивность вертикальной ячейки циркуляции, больше в гидростатической модели. В этой модели происходит более интенсивный подъем вод в вершинной части полости вблизи источника пресной воды, и в результате в пе-

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3 55

ремешивании вод более существенную роль играют глубинные наиболее соленые и в данном случае более теплые воды.

10 14 18 10 14 18 10 14 18 10 14 18 Б

0 1 :

2 :

3

2,м

,1,1,

I I I I. I г I

1.1.1.1

20 22 24 20 22 24 20 22 24 20 22 24 Т

0 1 :

2 ^

3 : 2,м

,1,1,

1.1.1.1

-10 0 10 20 30 -2 0 2 4 6 8

| .1 . I.. I

0 1 :

2 :

3 -1

-50 -30 -10

.......

0 1 :

2 :

3 J 2,м

0 1 :

2 : 3 :

4:

5 -

-0.8 -0.4 0

0: 1:

2 : 3 :

4:

5 -

у=0.4м

у=10.4м

1.1.1.1

0

-4-2 02468 -2 0 2 4 6 8 V

| . I . .1 . \ . I

2 -4 :

6

........... 0

-1 0 1 2 3 4

0

2 -4: 6 :

.......

2 г 4 г 6 г 8 -

0

2 г 4 г 6 г 8 -

-4-2 0 ^^

_|_I_I_

у=25.6м

у=32м

Р и с. 6. Вертикальные профили солености Б (%о), температуры Т (°С) и компонент скорости течения V и w (см/с) на указанных расстояниях от источника пресной воды (сплошные кривые - негидростатическая модель, штриховые - гидростатическая модель)

56

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3

На рис. 7 приведены вертикальные профили вихря скорости ( = wy - V2 и его составляющих wy, на различном удалении от источника пресной воды, причем для обеих версий двумерной модели. Видно, что непосредственно у источника пресной воды (у = 0,4 м) завихренность определяется вертикальными движениями, а с удалением от источника - в основном сдвигом горизонтальной скорости. В полной модели это выполняется всегда, а в гидростатической модели имеют место исключения, например в районе локального поднятия дна (рис. 7, ж, з), где из-за резкого изменения глубины моря возникают значительные вертикальные движения (рис. 6, у = 25,6 м и у = 32 м).

0.4

Без гидростатики

0 0.08 -0.04 0 0.04 п I ' ' ' 1 ' ' ' I

0 0.020.04

1

2

3 Z,м

0 Г 2 ^ 4:

6 : Z,м

а 3 0.040.08

0

3

0 0.020.04 -0.04 0 0.04

2 : 4: 6 :

1

2

3

4

0 2 4 6 ^ 8

г

0 0.04

0 0.8 1.6

3

Z,м,

0 2 4 6

Z,м

0.16

( =Wy-vz-

С гидростатикой 0 0.4 0.8 0 0.2 0.4

0 0.080.16

0.08

-0.2

1

2

3

4

0 2 4 6 8

0.08

Wy --

-V

Р и с. 7. Вертикальные профили вихря скорости <и = wy - vz и его составляющих wy, (с- ) при у = 0,4 м (а), у = 0,8 м (б), у = 1,2 м (в), у = 5,6 м (г), у = 21,6 м (д), у = 23,6 м (е), у = 25,6 м (ж), у = 32 м (з) в негидростатической и гидростатической моделях

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3

57

0

0

0

0

д

0

0

0

0

0

На рис. 8 приведены распределения солености температуры Т и вихря скорости ( на разрезе вдоль полости в негидростатической и гидростатической двумерных моделях, причем с детализацией в окрестности источника пресной воды. Хорошо виден поверхностный слой, в котором располагаются воды пониженной солености и пониженной температуры. Четко видно, что формирование практически двухслойной структуры происходит достаточно близко, примерно на расстоянии 1 м, от источника пресной воды. Положительная завихренность, с которой связана упомянутая выше вертикальная ячейка циркуляции, сосредоточена в окрестности источника пресной воды, и в гидростатической модели она значительно интенсивнее.

Без гидростатики

26-

...........

¿,м 10 20 30 У,м

12

...........

Дм 0.5 1 1.5 У,м

10 20 30 У,м

_ т 1-1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 20 30 У,м

Г

0.02-

(

- -о- -О

п

—I I'

~г 10

I 1 1 1 1 I

20 30 У,м

I 1 1 1 1 I

1 1.5 У,м

0.5

С гидростатикой

0.5

I 1 1 1 1 I 1 1 1

1 1.5 У,м

I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I

10 20 30 У,м

I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I

10 20 30 У,м

1_ 2-

......

Дм 0.5 1

1.5 У,м

0.5

1.5 У,м

0.5

1.5 У,м

Р и с. 8. Распределения солености 8 (%о), температуры Т (°С) и вихря скорости а (с-1) на разрезе вдоль полости в негидростатической и гидростатической моделях с детализацией вблизи источника пресной воды (штриховыми кривыми указана изолиния а = 0)

На рис. 9 приведены распределения горизонтальной V и вертикальной ^ компонент скорости течения на разрезе вдоль полости в обеих версиях двумерной модели с детализацией вблизи источника пресной воды. Справа приведены распределения вертикальной скорости м> вблизи поднятия дна, расположенного у входа в полость. Четко видна двухслойная структура течений, а именно, вытекание малосоленой и относительно холодной воды из полости в поверхностном слое моря и втекание глубинных соленых и сравнительно теплых вод. Видны также особенности течений в местах резкого изменения береговой линии и дна моря.

58

КБМ 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3

С гидростатикой

Р и с. 9. Распределения компонент скорости течения V, w (см/с) на разрезе вдоль полости в негидростатической и гидростатической моделях с детализацией вблизи источника пресной воды, а также распределения вертикальной скорости w вблизи поднятия дна у входа в полость (штриховыми кривыми указаны изолинии V = 0 и w = 0)

Выводы. На основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы. Во-первых, главным фактором, влияющим на формирование наблюдавшейся трехмерной структуры гидротермодинамических полей в карстовой полости, является образование вертикальной ячейки циркуляции вследствие завихренности поля скорости, связанной с неоднородностью жидкости, т. е. с бароклинным эффектом [4, с. 166]. Во-вторых, роль конвекции, возникающей при неустойчивой стратификации, которая представлялась ранее чуть ли не главной причиной подъема пресных вод к поверхности моря, оказалась вторичной и практически незначимой. Подчеркнем, что этот вывод справедлив как для двумерной, так и для трехмерной модели. В-третьих, отказ от гидростатического приближения приводит к более интенсивному понижению солености поверхностных вод и более точному соответствию результатов расчетов данным наблюдений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шапиро Н.Б. Моделирование трехмерной структуры гидрологических полей в карстовой полости под действием субмаринной разгрузки подземных вод // Морской гидрофизический журнал. - 2010. - № 1. - С. 46 - 62.

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3

59

2. Шапиро Н.Б. Численная модель субмаринной разгрузки пресных вод в карстовой полости // Там же. - 2011. - № 5. - С. 66 - 84.

3. Канарская Ю.В., Мадерич В.С. Численная негидростатическая модель течений со свободной поверхностью // Прикладная гидромеханика. - 2002. - 4, № 3. - С. 12 - 21.

4. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т. 1. - М.: ГИТТЛ, 1955. - 560 с.

Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил

Севастополь в редакцию 24.01.11

E-mail: [email protected] После доработки 16.05.11

АНОТАЦ1Я Обговорюються результати чисельних експерименлв, присвячених ввдтворенню тривишрноТ структури пдролопчних полiв у карстовш порожниш. Для цього використову-ються тривишрна пдростатична i двовишрш пдростатична i непдростатична чисельш моделi (у наближенш «твердоТ кришки»).

У тривимiрнiй моделi роль наближення гiдростатики оцiнюeться апостерiорi на основi балансу члешв у вихорi швицкостi а = - vz. Показано, що в тривимiрнiй i двовимiрнiй пдрос-татичних моделях вплив доданка пов'язаного з вертикальними рухами, е iстотним тiльки поблизу джерела прюноТ води. В рамках двовимiрноТ непдростатичноТ моделi не врахування наближення пдростатики призводить до бiльшого розспрiснення поверхневих вод в порожни-нi, що краще узгоджуеться з даними спостережень.

Встановлено, що головним фактором, який впливае на формування реальноТ структури пдролопчних полiв у карстовш порожниш, е утворення вертикального осередку циркуляцп через завихорнiсть поля швидкосп, роль конвективного перемiшування при цьому е вторинною.

Ключовi слова: субмаринне розвантаження, карстова порожнина, негiдростатична модель, чисельний експеримент.

ABSTRACT Results of numerical experiments intended for reconstructing three-dimensional structure of hydrological fields in a karst cavity are discussed. For this purpose three-dimensional hydrostatic numerical model and two-dimensional - hydrostatic and nonhydrostatic - ones (approximation of «rigid lid») are used.

In the three-dimensional model the role of hydrostatics approximation is estimated a posteriori based on the term balance in vorticity m = wy - vz. It is shown that in three-dimensional and two-dimensional hydrostatic models influence of summand wy connected with vertical motions turns out to be significant only nearby the freshwater source. Within the framework of nonhydrostatic model, refusal from hydrostatics approximation results in stronger salinity decrease of surface waters in the cavity that better agrees with observation data.

It is found that the main factor influencing formation of real structure of hydrological fields in a karst cavity is formation of vertical cell of circulation due to vorticity of velocity field; at that the role of convective mixing is secondary.

Keywords: submarine discharge, karst cavity, nonhydrostatic model, numerical experiment.

60 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2012, № 3