CC BY
29
РАДИОФИЗИКА
УДК 621.391.01
© 2011 г.
РОЛЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ связей в динамике кольца ИЗ ТРЕХ ФАЗОУПРАВЛЯЕМЫХ ГЕНЕРАТОРОВ
В.В. Матросов, А.В. Шмелёв
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Поступила 1 редакцию 19.01.2011
Исследуется нелинейная динамика кольца, состоящего из трех фазоуправляемых генераторов, при наличии дополнительных связей по цепям управления. Путем численного моделирования, основанного на методах теории колебаний, исследуются режимы коллективного поведения генераторов ансамбля, в пространстве параметров выделяются области существования синхронных и квазисинхронных режимов, изучается структура границ областей существования этих режимов, анализируется влияние параметров дополнительных связей на режимы коллективного поведения ансамбля и структуру пространства параметров.
Ключевые слова: ансамбли фазоуправляемых генераторов, фазовые системы, динамические режимы, синхронизация, квазисинхронизация, биения, аттракторы, бифуркации.
Введение
Данная работа продолжает начатые в [1-8] исследования динамики ансамблей фазоуправляемых генераторов с кольцевым типом объединения. К настоящему времени изучена динамика ансамбля, состоящего из двух фазоуправляемых генераторов с фильтрами первого порядка при наличии дополнительных связей через сигналы фазовых рассогласований. Установлено, что в результате объединения возникают новые динамические режимы (квазисин-хронный, хаотических биений), не свойственные парциальному элементу. Показано, что введение дополнительных связей не приводит к появлению новых динамических режимов, однако предоставляет уникальную возможность повысить устойчивость синхронного режима и управлять свойствами автоколебательных режимов. В [8] рассмотрена динамика кольца из трех фазовых систем с фильтрами первого порядка, где особое внимание уделено эффектам, обусловленным ростом числа активных элементов в ансамбле. В настоящей работе анализируется влияние дополнительных связей на динамику ансамбля из трех генераторов.
Математические модели и динамические режимы ансамбля
Уравнения динамики кольца из трех фазоуправляемых генераторов с одинаковыми ин-
тегрирующими фильтрами в цепях управления при наличии дополнительных связей по цепям управления, записанные в переменных разности фаз колебаний генераторов, имеют следующий вид [6]:
dф1
dz
=
g =Yi _ y _(1_Ki)sin9j -K2 sin(p2 -sin^ +ф2),
dz
dф2
dz
(1)
в = у2 + sinф1 - (1—к2^тф2 +к3 sm(ф1 +ф2),
ск
где х=0? - безразмерное время, ф1 (ф2) - разности фаз колебаний первого и третьего (второго и первого) генераторов, уь у2 - безразмерные относительные начальные частотные расстройки колебаний первого и третьего (второго и первого) генераторов, к1>2>3 - параметры дополнительных связей, в - постоянная времени фильтров. Из модели (1) исключены уравнения, описывающие поведение фазовой переменной ф3 (разности фаз колебаний второго и третьего генераторов), поскольку ф3=-(ф2+ф1).
Исследование системы (1) проведем в случае малоинерционных цепей управления (в^^ 1). В этом случае исследование динамики (1) сводится [6] к исследованию движений системы второго порядка:
Рис. 1. Структура плоскости параметров (уь у2) модели (2) при слабых связях кі=0.1, к2 = 0.2, к3 = 0.6
= Y1 -(1 -K^sinф1 -к2sinф2 -sin(ф1 +ф2), dx (2)
= Y2 + sinф1 - (1 - к2) sinф2 + к3 sin^ + ф2 ),
dx
определенной на фазовом торе U:^1(mod2rc), ф2(mod2л)}.
Стационарным динамическим режимам ансамбля отвечают аттракторы модели (2). Наличие у модели (2) двух циклических координат вносит широкое разнообразие в топологию аттракторов модели, что, в свою очередь, отражается на большом разнообразии допустимых динамических режимов. Для характеристики динамических режимов ансамбля будем использовать классификацию, связанную с топологией аттракторов [8]:
• устойчивое состояние равновесия с ко-
* *
ординатами ф 1,ф 2 обусловливает режим синхронизации генераторов ансамбля. В этом режиме частоты колебаний генераторов равны, рассогласования колебаний по фазе характеризуют координаты ф 1, ф 2, ф з=-(ф 1 + ф 2). Зна-***
чения ф 1, ф 2, ф 3 определяют фазовые ошибки режима синхронизации;
• аттрактор, ограниченный по фазовым координатам ф1 и ф2 (колебательный аттрактор) обусловливает режим глобальной квазисинхронизации генераторов ансамбля. В этом режиме частоты колебаний генераторов ансамбля различаются, но равны нулю усредненные разности частот колебаний любых генераторов (<У1>=<У2>=0, <Уз>=<У1>+<У2>=0);
• аттрактор, ограниченный по фазовой координате ф1 или ф2 (колебательно-вращательный аттрактор), - режим частичной квазисинхронизации генераторов ансамбля. Этот режим характеризуется обращением в ноль усредненных разностей частот колебаний отдельных пар генераторов (<у1>=0 или <у2>=0). Режиму час-
тичной квазисинхронизации соответствует также аттрактор, не ограниченный ни по координате фь ни по координате ф2, (вращательный аттрактор), на котором переменные ф1 и ф2 вращаются в среднем с одинаковой скоростью, но в разных направлениях. Это обусловлено тем, что в рассматриваемом ансамбле разность частот у3 колебаний первого и третьего генераторов определяется равенством у3=-(у1+у2), из которого следует, что усредненная разность частот <у3>=-(<у1>+<у2>) может обращаться в ноль при <у1>^0 и <у2>^0, если <у1>=-<у2>;
• вращательные аттракторы модели (2), для которых <у1>^-<у2> определяют асинхронные режимы или режимы биений.
Установленное выше соответствие между динамическими режимами коллективного поведения ансамбля и аттракторами модели (2) позволяет перейти к анализу динамики ансамбля посредством изучения особых траекторий в фазовом пространстве и и анализу бифуркаций этих движений в зависимости от параметров модели. При этом особое внимание уделим влиянию на коллективную динамику параметров дополнительных связей к1, к2 и к3. Исследование движений модели (2) проводилось путем компьютерного моделирования, основанного на методах качественной теории динамических систем и теории бифуркаций [9], с использованием комплекса программ ДНС [10].
Динамика ансамбля при слабых связях
Численный анализ особых траекторий модели (2) свидетельствует о том, что существуют достаточно широкие диапазоны значений параметров к1, к2, к3, в которых динамика ансамбля качественно сохраняет свойства динамики ансамбля без дополнительных связей. Далее значения параметров к1, к2 к3 из этих диапазонов будем называть «слабыми» связями. Введение слабых связей, с одной стороны, не приводит ни к появлению новых динамических режимов, ни к изменениям структуры границ существования установленных ранее (при к1=к2=к3=0) динамических режимов. С другой стороны, введение даже одной слабой связи позволяет корректиро-
* * *
вать ф 1, ф 2, ф 3 ошибки режима синхронизации, а также влиять на области существования синхронного режима. Изучение состояний равновесия модели (2) при к1>2>3^0 показывает, что с помощью связей можно минимизировать фазовые ошибки режима синхронизации, а также изменять диапазон начальных частотных расстроек, добиваясь увеличения областей существования синхронного режима.
Рис. 2. Фазовые портреты модели (2) в областях глобальной устойчивости (а), D0,1 (б, в), D 01 (г), D1,0 (д, е),
D10 (ж), D1,-1 (з, и), D1 _1 (к), D1,1 (л), квазирегулярного режима биений (м)
На рис.1 приведена структура плоскости па- пересечении областей треугольного вида имеет раметров (уъу2) модели (2) при слабых связях. шесть с°ст°яний равновесия (рис. 2а); внутри Она качественно совпадает со структурой плос- тРеугольников, но вне области их пересечения -
кости параметров (уъу2) модели (1) в отсутствие связей [8]. Здесь пунктирная линия 1 ограничивает область существования состояний равнове-
четыре состояния равновесия; вне треугольников - два состояния равновесия. Одно из состояний равновесия всегда устойчиво, это состояние равновесия 01(ф1 ,ф2 ). Таким образом,
сия модели (2). Эта область содержит внутри область DS существования синхронного режима себя две области треугольного вида, ограничен- совпадает с областью существования состояний ные пунктирными линиями 2 и 3. Система (2) в равновесия модели (2).
На рис.1 серым цветом выделены области параметров, где существуют режимы частичной квазисинхронизации. Фазовые портреты модели (2) для значений параметров из областей существования квазисинхроных режимов представлены на рис. 2б, в, д, е, з, и. Система (2) инвариантна относительно преобразования П:(у1,у2,ф1, ф2)^(-уъ-у2, -фъ -ф2), поэтому фазовые портреты приведены лишь для областей, расположенных в области положительных значений уь Области существования режимов частичной квазисинхронизации имеют одинаковую структуру - их границами служат бифуркационные кривые петель сепаратрис седел (штрихпунктирные линии), седло-узлов (пунктирные линии) и двукратных предельных циклов (сплошные линии).
Рассмотрим структуру границ областей существования режимов частичной квазисинхронизации и трансформацию соответствующих этим областям фазовых портретов на примере области D1,o (рис.1). При значениях параметров вне области DS фазовый портрет системы (2) содержит два предельных цикла: устойчивый L1,0 и неустойчивый Г1,0 (рис. 2е). При выходе из области D1,0 через верхнюю или нижнюю границу предельные циклы сливаются и исчезают в результате касательной бифуркации. При выходе из области Dl,0 через пунктирную линию, между точками А и В, в результате бифуркации петли сепаратрис седло-узла исчезает цикл L1,0, неустойчивый цикл Г10 сохраняется (рис. 2ж). Из бифуркационного анализа следует, что области квазисинхронных режимов могут проникать в область DS, тем самым порождая области с бистабильным поведением - совместного существования синхронного и квазисин-хронного режимов. Области бистабильного поведения имеют клинообразный вид, границами этих областей служат бифуркационные кривые «устойчивых» (с отрицательной седловой величиной ст<0) петель сепаратрис и двукратного предельного цикла, которые соединяются в точке, где ст=0. На рис.1 точки, где седловая величина ст обращается ноль, отмечены звездочкой.
На рис. 1 отмечены области D 01, D 0 _1, D _11,
D1_1, D10, D _10, где в фазовом пространстве
модели (1) состояния равновесия существуют совместно с неустойчивыми предельными циклами (рис. 2г, ж, к). Отмеченные области ограничены бифуркационными кривыми «неустойчивых» (ст>0) петель сепаратрис седловых или седло-узловых состояний равновесия. Неустойчивые циклы не оказывают влияния на устойчивость системы, их роль в динамике модели (2) сводится к распределению фазовых потоков,
а в ансамбле - к влиянию на характер и длительность процессов установления режима синхронизации. Вне областей DS, D0,1, D0,-1, D-1,1, D1,-1, D1,0, D-1,0 в фазовом пространстве модели (2) существуют периодические (рис. 2з) и квази-периодические (рис. 2ж) движения, соответствующие регулярным и квазирегулярным режимам биений. На рис.1 штриховкой выделены области D1,1 и D-1,-1 существования устойчивых вращательных предельных циклов L1,1 и L-1,-1. На рис. 2л приведен один из фазовых портретов для области D1,1, видно, что регулярные асинхронные режимы могут существовать совместно с синхронным режимом. Области асинхронных режимов узкими клиньями проникают в область DS, структура таких клиньев аналогична структуре областей совместного существования синхронных и квазисинхронных режимов - их границами служат бифуркационные кривые устойчивых петель сепаратрис и двойных предельных циклов, исходящих из точки, где ст=0.
Динамика ансамбля при сильных связях
Сильные связи характеризуются появлением новых динамических режимов, новых бифуркационных кривых и, как следствие, новой структурой пространства параметров модели (2). На рис. 3 приведена структура плоскости параметров (у1,у2), на рис. 4 - некоторые фазовые портреты модели (2) в случае сильных связей. В силу инвариантности (2) относительно преобразования П картины представлены для у1>0.
Следствием влияния сильных связей является наличие на бифуркационных кривых двукратных состояний равновесия точек коразмерности два, отвечающих существованию в фазовом пространстве и состояний равновесия с двумя нулевыми характеристическими корнями (бифуркация Богданова) [11]. В численном эксперименте нами установлено, что такие точки появляются на линиях 1, 2, 3 одновременно, причем, в силу симметрии, на линии 1 такие точки появляются в двух местах. При фиксированных к1=0.1, к2=0.9 границей слабых и сильных связей служит значение к3 =0.654546. Дальнейшее увеличение к3 приводит к появлению на линии 1 отрезка (а1,а2), где у состояния равновесия узловая часть неустойчива, а на линии 2 - отрезка (Ь1,Ь2), где существует состояние равновесия с устойчивой узловой частью. Таким образом, изменения структуры пространства параметров в случае сильных связей происходят одновременно в двух местах: в окрестности линии 1 и в окрестности линии 2 (линии 3).
а б
Рис. 3. Структура плоскости параметров (уь у2,) модели (2) при сильных связях к1=0.1, к2=0.9, к3=0.9 (а). Увеличенный фрагмент (качественный) плоскости параметров (уь у2,) модели (2) при сильных связях (б)
На линии 1 изменения происходят в окрестности отрезка (аьа2). Отрезок (а1,а2) является
одной из границ области DS , где все состояния равновесия системы (2) неустойчивы (рис. 4а). Другой границей области DS служит кривая смены устойчивости состояния равновесия 01 через бифуркацию Андронова-Хопфа. На рис. 3 этой границе отвечает сплошная линия, соединяющая точки а1 и а2. Первая ляпуновская величина L на бифуркационной кривой Андронова-Хопфа положительна (¿>0), поэтому смена устойчивости состояния равновесия 01 сопровождается рождением неустойчивого колебательного цикла Г0 (рис. 4б). По мере удаления от бифуркационной кривой смены устойчивости предельный цикл Г0 исчезает в петлю сепаратрис 1-го рода седла 04. На рис. 3 бифуркационная кривая петли сепаратрис изображена штрихпунктирной линией, она ограничивает
область D 0 неустойчивого колебательного цикла Г0. Таким образом, при сильных связях меняется структура границ области DS существования синхронного режима. В случае сильных связей область DS не совпадает с областью существования состояний равновесия, она ограничена бифуркационными кривыми двукратного состояния равновесия и Андронова-Хопфа.
Заметим, что в области D 0 бассейн притяжения устойчивого состояния равновесия 01 ограничен циклом Г0, размер которого мал. Поэтому
при значениях параметров из области D 0 вероятность реализации синхронного режима мала, в связи с чем область D 0 можно исключить из области существования синхронного режима.
Структура пространства параметров в окрестности линии 2 качественно представлена на рис. 3б. Здесь в области DS1 система (2) имеет
два устойчивых состояния равновесия 01 и 03 (рис. 4в), т.е. в ансамбле одновременно существуют два синхронных режима. Область DS1 с одной стороны ограничена отрезком (Ь1,Ь2) бифуркационной кривой двукратного состояния равновесия, с другой стороны - бифуркационной кривой Андронова-Хопфа (сплошная линия между точками Ь1 и Ь2). В точке С первая ляпуновская величина равна нулю (¿=0). Справа от точки С величина ¿<0, поэтому при выходе из области DS1 смена устойчивости состояния равновесия 03 сопровождается мягким рождением устойчивого колебательного цикла ¿0 (рис. 4г). Цикл ¿0 определяет режим глобальной квазисинхронизации ансамбля, он существует при значениях параметров из области D0. Область существования режима глобальной квазисинхронизации ограничена отрезком Ь2,с (кривой бифуркации Андронова-Хопфа, ¿< 0), отрезком с^ бифуркационной кривой двукратного предельного цикла и отрезком d,b2 бифуркационной кривой устойчивой (ст<0) петли сепаратрис 1-го рода седла 04. Штрихпунктирная линия, соединяющая точки Ь1 и d, соответствует бифуркации петли 1-го рода сепаратрис седла 06. Седловая величина на этой кривой положительна, поэтому при разрушении гомоклинической траектории в фазовом пространстве и рождается неустойчивый колебательный предельный цикл Г0. Рождение цикла Г0 происходит при пересечении бифуркационной кривой с уменьшением у2 (рис. 4д). Дальнейшее уменьшение у2 приводит к исчезновению Г0 - при значениях у1 слева от точки С цикл стягивается в точку 03, делая ее неустойчивой (бифуркация Андроно-ва-Хопфа, ¿>0), при значениях у1 справа от точки С цикл Г0 исчезает в результате касательной бифуркации, сливаясь с устойчивым циклом ¿0 (рис. 4е).
Рис. 4. Фазовые портреты модели (2) в областях D S (а), D 0 (б), DS1 (в), D0 (г, д, е)
Заметим, что аналогичная структура пространства параметров ранее наблюдалась в модели двух каскадно связанных фазовых систем с дополнительными связями по цепям управления, причем эта структура была обусловлена наличием дополнительных связей [12].
Заключение
Рассмотрена динамика кольцевого соединения трех фазоуправляемых генераторов с дополнительными связями по цепям управления. Изучено влияние связей на динамику ансамбля. Показано, что влияние дополнительных связей определяется их силой, т.е. совокупными значениями параметров к1,к2,к2, характеризующих силу связей. Определен порог, разделяющий «слабые» и «сильные» связи, в пространстве параметров динамической модели этот порог определяется бифуркацией Богданова. Установлено, что слабые связи не приводят к качественным изменениям в динамике ансамбля, однако позволяют корректировать динамические характеристики ансамбля (величину ошибок синхронизации, областей захвата и удержания режима синхронизации). Сильные связи характеризуются появлением новых режимов, в частности режимов глобальной квазисинхронизации и совместного существования двух режимов синхронизации. В пространстве параметров вы-
делены области существования новых динамических режимов, изучены бифуркационные механизмы их возникновения. Показано, что в ансамблях с каскадным и кольцевым типом объединения увеличение силы дополнительных связей приводит к аналогичным перестройкам и структурам пространства параметров.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №10-02-00865, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 гг. (контракты №П2308, №02.740.11.0565, №02.740.11.0075).
Список литературы
1. Шмелев А.В., Матросов В.В. Нелинейная динамика фазовых систем, объединенных в кольцо // Труды 8-й Всеросийской науч. конф. «Нелинейные колебания механических систем». Н.Новгород, 2008. С.341.
2. Шмелев А.В., Матросов В.В. Динамика двух фазовых систем, объединенных в кольцо // Труды науч. конференции по радиофизике, посвященной 90-й годовщине со дня рождения М.М. Кобрина /Ред. А.В. Якимов. Н.Новгород: ННГУ, 2008. С. 92-94.
3. Шмелев А.В., Матросов В.В. О динамических режимах трех фазоуправляемых генераторов, объединенных в кольцо // Труды 13-й науч. конференции по радиофизике /Ред. А.В. Якимов. Н.Новгород: ННГУ, 2009. C. 77-78.
4. Шмелев А.В., Матросов В.В. Синхронные и квазисинхронные режимы кольцевого соединения трех фазовых систем // Тезисы докладов конференции молодых ученых. Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики. XV научная школа «Нелинейные волны-2010». Н.Новгород, 2010. C. 24.
5. Шмелев А.В., Матросов В.В. Бифуркационный анализ динамики трех фазовых систем, объединенных в кольцо // Труды 14-й научной конференции по радиофизике, посвященной 80-й годовщине со дня рождения Ю.Н. Бабанова / Ред. С.М. Грач, А.В. Якимов. Н.Новгород: ННГУ, 2010. С. 25.
6. Матросов В.В., Шмелев А.В. Нелинейная динамика ансамбля из двух фазоуправляемых генераторов с кольцевым типом объединения // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т.18. №4.
C. 67-80.
7. Моделирование динамики фазовых систем в пакете ADS. Материалы 9-й Международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур» 4-9 октября 2010 г., Саратов. С. 72.
8. Матросов В.В., Шмелев А.В. Нелинейная динамика кольца из трех фазовых систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т.19. №1-2 (в печати).
9. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.
10. Матросов В.В. Динамика нелинейных систем. Программный комплекс для исследования нелинейных динамических систем с непрерывным временем. Н.Новгород: ННГУ, 2002.
11. Арнольд В.И., Афраймович В.С., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.5 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1986.
12. Матросов В.В. Некоторые особенности динамического поведения каскадного соединения двух фазовых систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5. № 6. С. 52-60.
THE ROLE OF ADDITIONAL COUPLINGS IN THE DYNAMICS OF A RING OF THREE PHASE-LOCKED OSCILLATORS
V. V. Matrosov, A V. Shmelev
Nonlinear dynamics is studied of a ring of three phase-locked oscillators having additional couplings over control circuits. Collective behavior regimes of the ensemble oscillators are numerically simulated using oscillation theory methods: existence domains of synchronous and quasi-synchronous regimes are found in the parameter space and the structure of the domain boundaries is examined; the influence of additional coupling parameters on the ensemble collective behavior modes and the structure of the parameter space is analyzed.
Keywords: ensembles of phase-locked oscillators, phase systems, dynamic regimes, synchronization, quasisynchronization, beats, attractors, bifurcations.
