CC BY
46
УДК 62-506
Е. А. Паршева, Ю. А. Лежнина
РОБАСТНОЕ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛЬЮ МНОГОСВЯЗНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ С КОМПЕНСАЦИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ
Введение
В настоящее время для компенсации ограниченных возмущений и параметрической неопределенности разработано достаточно много методов. Наиболее известные из них связаны с формированием вектора регрессии, что приводит к высокому порядку замкнутой системы. В [1] предложена схема робастного управления с компенсацией возмущений, в которой исключено формирование вектора регрессии, что значительно понижает порядок замкнутой системы.
В настоящей работе показана возможность использования предложенной схемы для децентрализованного управления многосвязными объектами с запаздыванием по состоянию.
Постановка задачи
Рассмотрим взаимосвязанную систему, динамические процессы в локальных подсистемах которой описываются уравнениями
Q(P)yt(t) + G(P)yt(t) = klRl(P)ut(t) + G2i(P)f(t) + fSj(P)yJ(t), i = 1A (1)
j=1,i * j
где yi (t), ui (t) - измеряемые скалярные выход и вход i-й локальной подсистемы; f (t) - неизвестное ограниченное возмущающее воздействие; P = d/dt - оператор дифференцирования; Qi (P), Ri (P), G1i (P), G2i (P), Sj (P) - линейные дифференциальные операторы с неизвестными коэффициентами; deg Qi = ni; deg Ri = mi; deg G1i = n1i; deg Sj = nij ; deg G2i = n2i; n1i < mi.
Требуемое качество переходных процессов в подсистемах задается уравнениями локальных эталонных моделей ri (t) = 1 + sin 0,6t deg Qmi = ni - mi, где Qmi (P) - линейные дифференциальные операторы; ri (t) - скалярные ограниченные задающие воздействия.
Требуется синтезировать систему управления, обеспечивающую выполнение целевого условия
b (t) - ymi (t^ <d при t > T . (2)
Задача решается в предположении выполнения следующих условий: А1. Полиномы Ri (l) гурвицевы; А2. Известны порядки полиномов ni, mi, относительная степень подсистем gi = ni — mi > 1; А3. Известно множество возможных значений коэффициентов полиномов Qi (l), Ri (l) и числа ki; А4. Возмущающие воздействия, выходные переменные объекта, а также выходные переменные эталонной модели и ni — mi их производных являются ограниченными функциями; А5. Не допускается использовать производные сигналов yi (t), ui (t).
Метод решения
Приведем уравнение объекта управления (1) к виду [2]:
Qm< (P)
N1. (PKr А + N2i (P).
iW Mx (P) iW Mi (P) i
V
(3)
N3i (P),,4 N4i (P) . . Л ^ (P) ..
+ ——f (t) + —----------yr (t-тг) + 7 —--------y, (t)
m, (P) iW m, (P) iJ ,^ ,Mi (PY jW
где Qmi (1), МI (1) - гурвицевы полиномы степеней п — т| и п1 — 1 соответственно;
Л^1г- (1), Ы21 (1), (1), Бу (1)- полиномы степеней п — 1, ц — 2, п — т1 — 1 и п1 — 1 соответст-
венно. Получим уравнение для е1 ^) = у ^) — ут ^):
/ ч k
e (t)=—-
Q
z~-mi
r T ^ ~(P) ^
и, (t)+стшШ, (t)+fh (t) + 7 MrP;ej (t)
V ,=i,/* jMi (P)
i = 1, к, (4)
где ю, = со1(у ,Vyi,Уи,,у,(t -т.),Vyii (t -т.)); Сш = col^,di,d2-,^3,,dA- ) - вектор неизвестных параметров, зависящих от коэффициентов полиномов N1i (l), N2i (l) и параметра kt;
к к
fii (t) = N3i- (P)/Mi (P) fi (t) —f~ri (t) + 2 Sj (P)/Mi (P) Ут, (t) - ограниченные функции,
ki j=1,i*j
т. к. Mi (l) - гурвицевы полиномы, а f (t) удовлетворяет предположению А4. Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы в (4), введем переменные hsij (t) = S, (P)jMt (P) e, (t), s, (t) и векторы hsi = col(hsii,..., hsik), s- = col(s-i, ...,s.k). Тогда получим s, = FhSj + Бяие,, hsj = dsijyj + Lsijsij, где s, e R" i; hsj e R; Fii, Б—, Lsij-, dsi, - матрицы минимальной реализации в пространстве состояний передаточной функции Sj (P)/Mr (P); L— = [i, 0, ..., 0]. Введем в рассмотрение вектор e = col(ei, ..., ek) и матрицы Fi = diag{F1r, ..., Fii}, Lsi = diag{Lsi1, ..., Lsik},
dsi = diag{dsi1,..., dsik I Bsi = diag{0, Bs^ ..., Bsik }, Bsi = diag{Бsi1, Bsi 2, ..., Bsi,i -1, 0, Bsi,i+1..., Bsik }.
Тогда получим
si = F1si + Бsie, hsi = dsie + Lsisi . (5)
Таким образом, уравнение (4) примет вид
e- (t) = Qkr (и- (t) + C0i w (t) + fir (t) + ^ihsi ¡1 i = 1k,
Qmi
где Er - матрица порядка (1x k), у которой все элементы равны единице.
Для вывода основного результата используем подход, предложенный в [1]. Введем вспомогательный контур Qmi (P)~ (t) = km/aur (t), где коэффициент a> km выбирается из условия
inf kr - km/a > 0, и, составив уравнение рассогласования J (t) = et (t) - ~ (t), получим
kieX
Qmr (P) Ji (t) =ji (t) , где ji (t) = (ki - kmla)ui (t) + kiCmWi (t) + kif1i (t) + kiEihsr (t) .
Если бы производные сигнала рассогласования J (t) были доступны измерению, то, выбрав закон управления в виде ur (t) = - kmj a Qmi (P)Jr (t) = - kmj a jr (t), мы получили бы уравнение замкнутой системы Qmi (P)er (t) = 0 .
Ограниченность вектора регрессии доказывается стандартным образом [3].
Так как измерение производных недопустимо, сформируем локальный закон управления
Ui (t) = - a/km ji (t) = - a/km Qmi (P) J (t), (6)
где J (t) является оценкой функции Jr (t), взятой с наблюдателя [4]:
Є, = ад + и, (ф -а,), а, = ад, і-і, к.
Здесь Є, є ЛТі ; Ь0, = [1,0, ...,0]; И] =
; Р0, -
0 і-1
0 0
(7)
; вектор И, выбира-
ется так, чтобы матрица ^ ^ + НЦ была гурвицевой, где HJ = [— Н1/,...,—Ну ]; т > 0 - малое
число.
Введем два вектора: 0,- (ґ) -
(Ті -1)
ф (ґ),А, (ґ),..., ф (ґ)
Л,(ґ) -Г, 1(0,(ґ)-Є,(ґ)), где блочно-
диагональная матрица
Г, - -1, тт-2, ..., т, і}. Из (7)
получим уравнение для нормирован-
( Ті )
ных отклонений Л/ () Л/ (0 = 1/т ^1Л1 (I) + Ь« — (^), А— (!) = — (г1) — — (г) = ЦУ Цл (I). Преобразуем это уравнение в эквивалентное относительно выхода А-— (I):
л, (ґ) - V т Р, л, (ґ)+~0,ф,(ґ), Аф,(ґ)-тт 1р0, л, (ґ),
(8)
где = [V1, 0,..., 0], %(г) = Ля(г).
Принимая во внимание то, что управление формируется в виде (6), преобразуем уравнение (5)к виду
е, - Атіе, (ґ) + тТі 1Б,д^1 л, (ґ), і -1, к,
(9)
где е| (I) е Яу , дт - вектор, составленный из коэффициентов полинома (1).
Утверждение. Если выполнены предположения А1-А5, то существует число [1] такое, что при т £ Ц-0 система (6), (7), (8), (9) диссипативна, если движение системы начинается в области ^0 и при этом выполнено целевое условие (2).
Доказательство. Преобразуем уравнение ошибки, учитывая уравнение объекта (1), к виду
а (Р)е (г) + Оц (Р)ег (г—хг) = к& (Р)(щ (г)—к0л — (г — Ъ)) + G2l (Р)/г (г) + (Р) у},
кЛ, (РУ
і-1
где к01г1 + О1(р) ут1 (г —11) - ограниченная величина в силу предположений. Преобразуем вы-
кЯ (Р)'
ражение под знаком суммы. Для этого введем переменные Ллу (г)
_
у і (ґ), s11j (ґ), а также
а (Р) 7
составим векторы ли11 = с°1(ли111, ...,Л‘Ш), ‘и = с°1(5111, . ., ‘ьк). Тогда получим уравнения
^1у = р21\} + BSllJУJ, л,17 = ЦА1ГЧу, где %е ; Ллуе Я; ^, взц, Цт - матрщы минималь-
ной реализации в пространстве состояний передаточной функции Бу (1)/Qi (1); Цц1у = [1,0, ., 0]. Введем в рассмотрение вектор у = с°1(у1, ...,ук) и матрицы Р2 = diag{F2i, ..., Р2/},
Ц‘1/ = diag{Цslil, ..., Ц‘1/к }, В‘11 = diag{0, Bsll2, ..., В‘11к }, Ви12 = ..., В‘12к },
В1 = diag{Bs1l1, В‘И 2, ..., В‘1/,1 —1,0, В‘1/,1+1- В‘Ък }. Тогда получим
‘и = Е2‘1/ + BsllУ, Л^Ь- = Ц‘1/‘1/ .
Уравнение замкнутой системы в пространстве состояний примет вид
ХР1 = ( Ар/ — Вр1С1Цр/ )Хр/ — Яре (г — Ъ1 ) — Вр//1/ + ВрГ/// —
у —1 Т
— ВрАЛи + ВрЕ/Л‘1/ + т2 ‘ ВргЧтгЛ(t),
(10)
м-i'h (t)=F h (t)+m2~o/Ji (t), Щ (t)=h (t),
xpi = col(e;, Vyi, VUI), fii = fii - kor -ymi (t -1), Lpi = diag{Zj, /, 7}:
' A, 0 0 " ■ Bj ■ Bi ■ ~E,' Dj'
Api = b0iLi Fi, 0 , Bp, = 0 N B 0 , BpEi = 0 N pj 0
0 0 Fi, _ _b0, _ 0 0 0
Воспользуемся леммой [5]: Если система описывается уравнением X = f (x, Mi, М2), x e Rmi, где f (t) - непрерывная функция, липшицева по x, и при М2 = 0 имеет ограниченную замкнутую область диссипативности Wi = {x | F(x) < с} где F(x) - положительно-определенная, непрерывная кусочно-гладкая функция, то существует м0 > 0 такое, что при м2 £ М0 исходная система имеет ту же область диссипативности Wi, если для некоторых чисел C и Mi при
М2 = 0 выполнено условие sup ((3F(x)/dx)p f (x,Mi,0))< -Ci при F(x) = C.
M |<Mi
Возьмем функционал Ляпунова - Красовского
k t Vi = 2 (xTp,Hx,xpi + hf H'ih, + sjHsSj + slHsiSy + n, Jep (s)e, (s)ds), j=i t -t,
где Hxi = Нр > 0, H' = H' > 0 определяются из уравнений HxiA0i + Ap)jHxj = -pijI,
T T
A)j = Apj - BpiC0iLpi , H'iFj + Fi H'j = P2j1, где pij > ^ p2i > 0. Hs , Hsi- положительноопределенные симметричные матрицы; Hsi = diag{Hsii, ..., Hsik}. Так как матрицы Hs, Hsi и Fi, F2 являются блочно-диагональными, то для каждой подсистемы матрицы H sj > 0 , Hslj > 0 должны удовлетворять условиям HsFi + FpHs =-2Qsj -p3jI, HsiF2 + FfHsi =-2Qsij -p3ijI, где Qsj > 0, Q^i > 0 - произвольные симметричные матрицы; p3;- > 0, p3ij > 0. Учитывая, что матрицы Fp , F2j - гурвицевы, такие матрицы существуют.
Вычислим полную производную V на траекториях системы (i0), (5), (ii) при М2 = 0 :
Vi = 2 f- pijxxfpjxpj + 2xpiHx1 (Bpfifi - Bp1fi1) -— hp' + 2xp,iHxiBpiEihsi +
j=i V Mi
+ 2xpjHxjBpEjh s i j - sf Qssi - spp3sj - spQsisij - sf p3isij +
+ 2xTpiHxiDpiei (t -1) + Nixhxvi - n-e2 (t -1) +
j j pj pj j j
k
rp rp rp rp I
+ 2 Us„H„B„,.^. - SijQsiSi] + 2s1iyHsijBsiiy.yj - slijQsiisiij /
2 (2
j=i
\
iJ si siJ J iJ'
, где N, = diag{nj ,0,0} .
/
Воспользуемся оценками:
2xpiHxiBpfifi < 2 xpi HxiBp/j f I , 2xiHxiBpifii < 2xi I HxiBpi fii ,
spQ s < ^min(Qs) sp H s sPQ s < ^min (Qsi) sp H s
sj Qssi < ч / TT,sjHssj, siiQsisii < л /TT 4SijHsiSij ,
1 max (Hs )
- sï p3si £-1тіп(Рз)|| si\\ , - s1i p31s1i <-1min(P3OI s1i || ,
sjjQsisij -Csij
', Csij = VBljHsi&HsiB,
siJ
S\ijQs1iS1ij - Xslj
S\iJH s1iBs1iJ
ls1j = VBj1iJHs1iQs11Hs1iBs1iJ ,
sj H B
ij si sij
Iej| , 2s1ij Hs1iBs1ij Уj £ 2
S1ijHs1iBs1ij
y, ,
гр гр гр ГП
2ХргНхг°ргег - Ъг) £ Х ргНхгХрг - е, - Ъ ргНхг°рг^г - Ъг) ,
где 1 ш;п, 1 тах - минимальное и максимальное собственные числа указанных матриц; а = ^{^1, Qsk}, Рз = ^1а8{рэ1, •••, Рзк}, &1 = ^{£.,11, £,1к} Р31 = ^аё{Рз1ь Рз1к},
& Тогда
n > DpiHxiDpi •
V < -01^1 + 21 21 Xpi| Ib1 - ^РтЫ2 + 2 Хрг \\HxiBpil\Sil-1 тіп(Рз)к^| ' +
i=1
+ 2
pi
І ІІІІ ||2 к { |HxiBpEi ||||s1i || - 1тіп(Р31)|s1i II - 2 (2
sJ h B
ij si ^ sij
ej\+
j=1
+ 2
slÿHs1iBs1ÿ
yj\-c
sij
sJ h B
ij siD sij
cs1ij
s1Tij Hs1iBs1ij
где
P1 = sup(|Hxfipf\fi\-\\HXiBpi\lf1ij), 01 = miniРі-, ^, 1m"l(Hv)), 1 min(gs1))
[ 6 2 Л max(Hs) 1max(Hs1),
Выделив полные квадраты, получим
i=1
(і Xp\ Р1 ]
p1i _ 1
6
-1 1
pi
P1
+ ІІxp\ llslll]
p1i
6
\\HxiBpi\\
|HxiBpi|| 1 min(p3)
+
+ (| xpi\\ lls1i|l]
— WHxiB
xi^pEi I
\HxiBpEi\ 1 min(p3)
pi
+ p1L|xpJ| -b12 +
к
■2
j =1
C sij -1 1
+ ey
shjHs1iBs1ij
\Уі
cs1ij -1
-1 1
sljH s1iBs1ij
ІУ/І
+ yj
JJ
Всегда существуют такие число р1г- > 0 и матрицы Hsi, Qsi, р3, Hs1i, Qs1i, p31, что
pu >max{p2,к,(||Ni\\ + ||^||)}, pu •1ш;п(Рз) > б||Hxfip\, pu -Xmin(p3i) > 6||HxBpEi\\, Csij >1 и Xsiÿ > 1, вследствие чего обеспечивается отрицательная определенность квадратичных форм. Тогда получим
2
2
2
x
6
s
2
e
e
2
V <—о^1 +с2,
где с2 = sup
Л
( k I 2
2+ZW
I-1 /
Следовательно, система (10), (6), (11) диссипативна при m2 = 0 и lim V1 < — .
t Ol
Следовательно, W = |xp, (t), h, (t), s, (t), Si, (t): Vi (xp, (t), h, (t), s, (t), Si, (t)) < Vi (0; 0; 0; 0) + S2
является областью, где переменные xp, (t),hj (t), s, (t), Si, (t) ограничены. Так как условия леммы
выполнены, то существует число м2 > 0 такое, что sup|w, (t)| < kij, sup|h, (t)| < k2j . Тогда, прини-
t t
мая во внимание гурвицевость матриц F, Amj, получаем sup| J, (t)| < k3j, sup|A, | < k4j. Однако
tt
необходимо отметить, что сохранение области диссипативности не гарантирует сохранения свойства асимптотической устойчивости в сингулярно-возмущенной системе.
Пусть Mi = М2 =М0 . Вместо уравнений (ii) возьмем уравнения (i0), т. к. они эквивалентны относительно выхода y(t) при выборе закона управления (6):
hi (t) = 1 Mo F h (t) + ~оі j (t), DJ (t) = mogi h (t), Є = Amie, (t) + Mogi ~'1BtqTmtD, (t), i = 1, k .
(12)
Zp _p _ p p
(e, Pxjej + hi P' h,), где Pejj = Pej > 0, Ph = P' > 0
j=i
pp определяются из Pe,Am, + AmjPej = -p4,I, P'iF' + F Phi = -p5jI .
Вычислим полную производную от функции V2 на траекториях системы (i2):
V2 = Z 2m0i XIPeAqTmDt + 2htTphib0tJt (t) - P4t IIei II - — ||h
t=1 V
2 3 ||_ и 2
mo
\
Воспользуемся оценками:
2m0l^PxAqLtd, <m0l—ІРсДІІ2||qmtll2Ы12+m0l-1 ID|24<m0l-1||ЗД||2Ы|2+m0l-1,
і|2ц 112 g. — 1 O _L I I ' t
2 ht Pfiot Ji (t) <
РГ\іЬ00і
2.. ||2 і. i2 h +J (t) <
Phib0i
II— l|2 , 2
ht + k3i .
Тогда V2 <—02^2 — Z
k ( f I— I-h,
i=1
P 5i
V v
2M-o
Prib0i
+ Xi
2( p4i —mgi —11P B ||2||q II2'I — mgi—1k2 — k2 I 2 m0 llPxiBi|| ||qmi|| I m0 k4i k3i .
Всегда существует число ц,0 > 0, обеспечивающее положительность чисел в скобках. Тогда У2 <-с3У2 + ^ (т0г _1к^2г + к|г-), где а3 = тт(Р4г/ 2, Р5г/2|10} • Решив последнее неравенст-
i=1
во, имеем
lim^ < 1/03 Z (m01 + k23l).
t
i=1
Таким образом, целевое условие выполнено.
Пример. Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением:
k
2
2
(P3 + aiP 2 + a2 P + a3) y (t) + (grP + g2) = (^P + b2 )u (t ) + ysU (t) + / (t),
(P3 + a4P2 + a5P + a6)У2 (t) + (g3P + g4) = (^P + *4)«2(t) + Уs2i(t) + /2 (í),
1 1
ys12 = 2 ,y2, ys12 = , y1-
p + p + 1 p + 1
Возмущающие воздействия: /1(t) = 1 + sin0,1t + sin10t, /2(t) = 1 + 2sin0,3t + sin10t. Задан класс неопределенности: ai < ai < ai, .
Уравнения эталонных моделей имеют вид (P2 + am1P + am2)ymi(t) = bm1r(t). Задающие воздействия: ri (t) = 1 + sin 0,6t.
2 ~
Уравнение вспомогательного контура: (P + 2P +1)y = ui, i = 1,2.
Используется наблюдатель
m
(j (t) -j), j = [1 о]сг, i = 1,2.
Закон управления имеет вид иг ^) = - а/ктг (^ ) + 2^1г- ) + ^2г- )) •
На рисунке приведены результаты моделирования системы управления при следующих исходных данных:
а1 = -6, а2 = -8 , а3 = -1, а4 = -4, а5 = -3, а6 = -2,61 = 2, Ь2 = 3, Ь3 = 2, Ь4 = 8, ,1 = 5,
,2 = 3, gl = 1, §2 = 1, §3 = 1, §4 = 1, а1 = -30, аг = 30, Ьг = 2, Ьг = 10, аг = кт = 10, т = 0,01,
Ъ = 3с, г = 1,2, 3-^1 (0) = й(0) = ,3>1 (0) = 2, ^(0) = 32(0) = 32(0) = -1
0,04
0,02 0
-0,02
-0,04 0
Траектории выходов
Графики демонстрируют быстроту выполнения целевого условия^ Несмотря на то, что система является диссипативной, она имеет хорошее качество процессов именно благодаря возможности влияния на величину ошибка
Заключение
Рассмотрена задача робастного управления с эталонной моделью для многосвязного объекта с запаздыванием по состоянию, когда измерению недоступны производные входных и выходных сигналов локальных подсистем^ Использование вспомогательного контура позволяет исключить вектор регрессии из закона управления^ Использование предложенного закона управления позволяет компенсировать сигнальную и параметрическую неопределенность •
T
2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений //
Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103—i 15.
2. Бобцов А. А. Алгоритмы робастного управления неопределенным объектом без измерения производ-
ных регулируемой переменной // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 8. - С. 82-96.
3. Feuer A., Morse A. S. Adaptive control of single - input linear systems // IEEE Trans.Automat. Control. -1978. - Vol. 23, N 4. - P. 557-569.
4. Atassi A. N., Khalil H. H. A separation principle for the stabilization of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1999. - Vol. 44, N 9. - P. i672-i687.
5. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телеме-
ханика. - 1995. - № 4. - С. 119-127.
Статья поступила в редакцию 20.10.2011
ROBUST DECENTRALIZED CONTROL WITH REFERENCE MODEL OF MULTIMESSENGERS PLANTS WITH DISTURBANCES COMPENSATION
E. A. Parsheva, Yu. A. Lezhnina
The problem of compensation for signal and parameter uncertainty for the multivariable plant with lag in internal loop is solved. Robust decentralized control with reference model when input and output variables are inaccessible derivatives to measurement are synthesized and substantiated.
Key words: robust system, local subsystems, reference model, decentralized control, auxiliary block, compensation for disturbances.
