CC BY
10
Доклады БГУИР
2010 № 6 (52)
УДК 681.5
РОБАСТНАЯ КОРРЕКЦИЯ ВЫСОКОТОЧНОЙ СИЛОВОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ
Н.Т. АХМЕД
Белорусский национальный технический университет пр. Независимости, 65, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 11 мая 2010
Рассмотрены свойства корректирующих обратных связей в соответствии с требованиями коррекции на примере силовых следящих систем. Определена структура корректирующих обратных связей для силовой следящей системы и способы расчета коэффициентов преобразования стабилизирующей и корректирующей обратных связей.
Ключевые слова: корректирующие обратные связи, передаточные функции прямой цепи.
Введение
Рассмотрим свойства корректирующих обратных связей в соответствии с требованиями коррекции на примере силовой следящей системы. Основным требованием коррекции является приведение передаточной функции прямой цепи системы К(р) к желаемой передаточной функции Кж(р). Для силовых следящих систем в качестве желаемой передаточной функции (Мр) выбирается настраиваемый ПИД-регулятор с передаточной функцией вида
К (р)= ХшьЯ + Ы (1)
При проведении коррекции необходимо обеспечить развязанную настройку параметров передаточной функции ПИД-регулятора: коэффициента преобразования Кпид; постоянной времени Т1 апериодического звена; постоянной времени Т2 дифференцирующего звена первого порядка. Заметим, что динамическая ошибка установившегося режима существенно зависит от коэффициента преобразования прямой цепи регулятора КПИд, а локальные показатели качества переходного режима (время установления, время регулирования, перерегулирование) определяются постоянными времени инерционных звеньев регулятора (Ть Т2). Кроме того, проводя коррекцию необходимо учитывать первый порядок астатизма системы управления. Для силовой следящей системы корректирующая обратная связь должна выполнять роль преобразователя угла в напряжение. Построение корректирующей обратной связи должно быть комбинированным: одна часть работает на стабилизацию коэффициента преобразования прямой цепи системы, а вторая — на организацию инерционных звеньев ПИД-регулятора и развязанную перестройку параметров его передаточной функции (коэффициента преобразования КПИд, постоянной времени Т1 апериодического звена, постоянной времени Т2 дифференцирующего звена первого порядка) [1, 2].
Теоретический анализ
Определим структуру корректирующей обратной связи Кк(р) под эти требования. Передаточная функция корректирующей обратной связи по скорости изменения выходной перемен-
ной (передаточная функция скоростной обратной связи) представляется последовательным соединением усилительного и идеального дифференцирующего звеньев и имеет вид
Кк{р) = Коср. (2)
Передаточную функцию К2(р) аппроксимируем безынерционным ПИ-регулятором
К2(р) = К2/ 2. (3)
Структурная схема системы с корректирующей обратной связью по скорости изменения выходной переменной представлена на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема системы с корректирующей обратной связью по скорости изменения выходной переменной
Передаточная функция локального контура (контура с корректирующей обратной связью по скорости) равна
КУК 2
К0{р) =
1 | КуК2Коср
(4)
Поскольку, как правило, коэффициент усиления усилителя сигнала ошибки намного больше единицы Ку »1, то, пренебрегая единицей в знаменателе выражения (4), получим
К0{р)
1
КосР
(5)
Анализ выражения (5) показывает, что скоростная корректирующая обратная связь сохраняет первый порядок астатизма системы и обладает стабилизирующими свойствами. Изменяя коэффициент преобразования обратной связи Кос, можно реализовать настраиваемый коэффициент преобразования САУ. Однако скоростная обратная связь не позволяет реализовать настраиваемое апериодическое звено ПИД-регулятора. Таким образом, основное назначение скоростной корректирующей обратной связи — стабилизация коэффициента преобразования прямой цепи от темы. Поэтому корректирующую обратную связь по скорости называют стабилизирующей обратной связью.
Передаточная функция корректирующей обратной связи по ускорению имеет вид:
Кк{р) = К'оср
(6)
Передаточную функцию К2(р) аппроксимируем также безынерционным ПИ-регулятором
К2(р) = К2/р.
(7)
Структурная схема системы с корректирующей обратной связью по ускорению изменения выходной переменной представлена на рис. 2.
Рис. 2. Структурная схема системы с корректирующей обратной связью по ускорению изменения выходной переменной
Передаточная функция локального контура (контура с корректирующей обратной связью по ускорению) равна
К0{р)=
кук2/
кук2
1+ кукХоср-
/р р{\ + КуК2Коср)
(8)
Обозначим через Тос = КуК^Кос Тогда передаточная функция локального контура (8) будет иметь вид
К К-,
К0{р) =
Р(1 + Тоср)
(9)
Настройка постоянной времени апериодического звена Тос осуществляется изменением коэффициента Кос — глубины обратной связи по ускорению. Корректирующая обратная связь по ускорению изменения выходной переменной сохраняет первый порядок астатизма системы. Она позволяет реализовать настраиваемое апериодическое звено, следовательно основное ее назначение — коррекция.
Пример 1. Определить структуру и рассчитать параметры корректирующих обратных связей для силовой следящей системы, структурная схема которой представлена на рис. 3. Параметры передаточных функций функционально-необходимых элементов силовой следящей системы представлены в таблице. В состав функционально-необходимых элементов силовой следящей системы входят сельсинное измерительное устройство (измеритель рассогласований на сельсинах), фазочувствительный выпрямитель, усилитель постоянного тока, электромашинный усилитель, двигатель постоянного тока и понижающий редуктор. Передаточная функция обратной связи обозначена через Кос(р).
Параметры передаточных функций функционально - необходимых элементов силовой следящей системы
КСИэ, В/рад Кфчв Тфчв, мс Ку Кэ Т 1 V Т 1 п Кд, рад/В с Тм, с Кр Км, с-1
500 0,1 5 800 4,26 0,03 2,94 2,94 0,09 6,2-10-4 310
Обозначим передаточную функцию функционально-необходимых элементов силовой системы, не охваченных обратной связью, через
(р) — КСПЭКФЧЭ
1 + т.
(10)
ФЧЭ1
Произведение передаточных функций электромашинного усилителя, двигателя постоянного тока и понижающего редуктора представим в виде
К2{р) =
КЭ КД КР
Р(\ + Тур)(1 + Тпр)(\ + Тм р)
(11)
Передаточная функция прямой цепи системы (разомкнутой системы) с обратной связью с учетом представлений (10) и (11) равна
К(р) =
Кх(р)КуК2(р) 1 + КуК2(р)Кос(р)
(12)
Рис. 3. Структурная схема силовой следящей системы с обратной связью
Поскольку коэффициент усиления усилителя постоянного тока равен Ку=600 и намного больше единицы, то, пренебрегая единицей в (6), получим
К{р) = Кх{р)1Кос{р).
(13)
Выберем в качеству желаемого регулятора ПИД-регулятор (3) и, приравняв К(р)=Кж(р); определим структуру (передаточную функцию) обратной связи
Кос(р) = КАр)1Кж(р)-
или с учетом представлений (7) и (6) получим
Кос{р) =
Кспэ КФЧЭ Р{\ + Т1р){\ + Тэр)
Кос{р) =
КЖ (^ + ТФЧЭр)(1 + Т2Р) Пренебрегая в силу малости постоянными времени ТФЧЭ и Тз в (15), получим
КСПЭ КФЧЭ Р(1 + Т\р)
КЖ{\ + Т2Р)
(14)
(15)
(16)
Раскрыв скобки в числителе выражения (16), получим передаточную функцию корректирующих обратных связей в виде суммы передаточных функций обратных связей по скорости и ускорению изменения выходной переменной
Кос{р) =
^СПЭ К-ФЧЭ Р ^СПЭ Кфчэ Тх р
КЖ{\ + Т2Р) Или вводя обозначения
тт тт
_ СПЭ ЛФЧЭ
к,
ТС ТС Т
_ ^СПЭ ^ФЧЭ 1 1 К ГЛ
К
(17)
(18) (19)
В более удобном виде
. . Кг р Кг р2
1+ Т2Р 1+ Т2Р
где Кс и Кк — коэффициенты преобразования стабилизирующей и корректирующей обратных связей соответственно.
Для того чтобы силовая следящая система, состоящая из функционально-необходимых элементов, функционировала как желаемый регулятор (ПИД-регулятор), необходимо нестационарные элементы исходной силовой системы охватить стабилизирующей и корректирующей обратными связями. На практике в цепь стабилизирующей обратной связи апериодическое звено с постоянной времени Т2 не включается, поскольку основное назначение — стабилизирующей обратной связи — стабилизация коэффициента преобразования прямой цепи системы. Структурная схема скорректированной силовой следящей системы представлена на рис. 4.
По структурной схеме скорректированной силовой следящей системы запишем передаточную функцию локального контура, охваченного только стабилизирующей обратной связью,
К, К. . К , К „ / К, К . К , /{,,/{,, р
К (p) =-у Э Д р- /1 +-У Э д о СУ--(21)
О (Р) p(1 + Тур)(1 + ТПр )(1 + Тмр)/ p(1 + Тур)(1 + Тпр)(1 + Тмр) у '
Определим параметры стабилизирующей обратной связи с учетом выполнения условия (5). Для этого, пренебрегая инерционными звеньями в силу выполнения условий установившегося режима, из (4) получим передаточную функцию локального контура для данного режима:
К'0.усг(р) = КуКэКдКр/Р 1+ КУКЭКДКРКС . (22)
Для того чтобы выполнялись условие (2), необходимо пренебречь единицей в знаменателе (21). При этом должно выполняться условие
КУКЭКДКРКС > 1. (23)
Допустим, что КуКэКдКрКс =10, тогда коэффициент преобразования стабилизирующей обратной связи может быть определен выражением
Кс=\0/КуКэКдКр . (24)
Тогда с учетом коэффициентов преобразования усилителя постоянного тока, электромашинного усилителя, исполнительного двигателя и понижающего редуктора коэффициент преобразования стабилизирующей обратной связи равен:
Кс = 10/КУКЭКДКР = 10/800 • 4,26 • 2,94 • 6,2 • 1 (Г4 = 1,6 В ■ с/рад. (25)
Определим глубину стабилизирующей обратной связи. Для этого проверим на устойчивость контур стабилизирующей обратной связи с помощью алгебраического критерия устойчивости. Передаточная функция локального контура стабилизирующей обратной связи равна
_КуКэКдКр_ L | КуКэКдК0КсР
0 (Р) p ^ ТуР ^ Тпр ^ ТмР Р(1 + ТуР)(1 + ТпР)(1 + ТмР) '
Ко(Р)= т V/ ^ /1+
р 1 + Тур 1 + т иди в более удобном виде
, КЛГК^К „Кк
^осуР " Р( 1 + тур)( 1 + тпр)( 1 + тмр) + КуКэКдКрКсР
Кс (р) = ^ „ „ тэу: „ „ „ „ „ (26)
Рис. 4. Структурная схема скорректированной силовой следящей системы Характеристический полином определяется знаменателем выражения (26) и равен:
D(p) = р( 1 + Ту_р)(1 + Тпр\ 1 + Тмр) + КуКэКдКрКсР ,
или, раскрыв скобки, получим D(p)=C0+Crp+C2^P2+C3P3+C4p4, где C — коэффициенты характеристического полинома.
Коэффициенты С, равны: С0 — О, Сл= КУКЭКДКРКС+\, С2—Тп+Ту+Тм,
С =Т Т +Т Т +Т Т С =Т Т Т
3 1 У1 П ^ 1 П1 М ^ 1 У1 II ' 4 1 У1 П1 М ■
Согласно алгебраическому критерию устойчивости, непрерывная система будет устойчивой, если все коэффициенты характеристического полинома больше нуля (Ci>0) и для четвертой степени характеристического полинома П одновременно выполняется неравенство
(27)
Найдем граничное значение коэффициента преобразования стабилизирующей обратной связи Кс; при котором, замкнутый контур не теряет устойчивость. Для этого рассчитаем коэффициенты С1 характеристического полинома:
Са= 0; Сл = 6,2КС +1; С2 =9,3-10 2; С3=2,751Г; С4 = 2,58-10=5.
Подставляя рассчитанные коэффициенты С1 в выражение (15) и приравняв его к нулю, получим
КХЖ"" -125Кс -23 = 0.
(28)
Решая квадратное уравнение (16), получаем граничное значение коэффициента Ксг Кс.г =1,4В -с/рад . (29)
Коэффициент преобразования стабилизирующей обратной связи Кс (13) больше граничного значения коэффициента Ксг (17). Для того чтобы контур стабилизирующей связи был устойчивым, необходимо коэффициент преобразования стабилизирующей обратной связи уменьшить. Например, можно принять Кс равным
Кс =1,2В - с/рад.
Определим коэффициент преобразования корректирующей обратной связи для силовой следящей системы с учетом значений параметров Ксиэ, Кфчэ, Т и Кж. Тогда
500.0,1.10
* Кж 310 '
Таким образом, выражение (20) определяет структуру корректирующих обратных связей для силовой следящей системы, а выражения (22) и (19) позволяют рассчитать коэффициенты преобразования стабилизирующей и корректирующей обратных связей соответствен-но.[1],[3].
Заключение
Рассмотрена методика синтеза корректирующих обратных связей для высокоточного привода в структуре системы автоматического слежения по направлению. В качестве желаемого управляющего устройства выбран ПИД-регулятор, с параметрами, обеспечивающими требуемые значения динамических и флуктуационных ошибок. С помощью корректирующей обратной связью параметрический передаточная функция прямою цепи привода, составленная из функционально-необходимых элементов, приближаются к желаемой. Исследованы свойства корректирующих обратных связью. Показано, что синтезированною локально- контурною ПИД-регулятор обладает робастностью по отношению к неконтролируемым изменениям коэффициента преобразования исполнительною части привода, содержащею усилитель мощности двигатель.
Робастность обеспечивается корректирующею обратною связью "по скорости" изменения оценки угловою координаты.
ROBUST POWER CORRECTION HIGH-PRECISION WATCHING SYSTEM
NT. AHMED Abstract
The properties of corrective feedback in accordance with the requirements of the correction on the example of the power servo systems. The structure of corrective feedback for the force tracking system and methods of calculating the transformation coefficients of stabilizing and corrective feedback.
Литература
1. Ганэ В. А., Мацкевич А.Н. Аналитические методы повышения качества управления. Минск, 2003.
2. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб., 2003.
3. Егупов Н.Д., Пупков К.А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5 т. Т. 2., Т. 3.
