CC BY
51
ДИФРАКЦИОННАЯ ОПТИКА
РЕЗОНАНСНЫЕ МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТКАХ С НАМАГНИЧЕННЫМ СЛОЕМ
Л.Л. Досколович, Е.А. Безус, Д.А. Быков, В.И. Белотелов*, А.К. Звездин** Институт систем обработки изображений РАН Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева * Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова ** Институт общей физики РАН им. А.М. Прохорова
Рассмотрены магнитооптические эффекты, возникающие при прохождении электромагнитной волны через двух- и трехслойные структуры, состоящие из двумерной золотой дифракционной решетки и намагниченного диэлектрического слоя. На основе строгого решения задачи дифракции света на структурах показано, что они обладают резонансами угла Фара-дея и коэффициента пропускания. Предложено объяснение возникающих эффектов, связанное с волноводным распространением излучения в намагниченном слое.
Введение
В настоящее время большое внимание уделяется эффекту экстраординарного пропускания (extraordinary optical transmission), состоящему в резонансном увеличении интенсивности света, проходящего через дифракционную решетку. Данным эффектом обладают дифракционные решетки, изготовленные из материалов с высокой проводимостью (серебро, золото) [1-5].
Целью данной работы является исследование магнитооптических свойств двумерных структур, содержащих одну или две дифракционные решетки, обладающие эффектом экстраординарного пропускания, и равномерно намагниченный слой. Мотивом для данного исследования явилось следующее. Дифракционные решетки традиционно используются для возбуждения мод в плоскопараллельном волноводе. Волно-водное распространение излучения в намагниченном слое может привести к усилению эффектов Фарадея и Керра, состоящих в повороте плоскости поляризации в прошедшей и отраженной волнах. Таким образом, указанные структуры могут обладать как свойством резонансного пропускания, так и эффектом резонансного вращения плоскости поляризации.
В работах [6, 7] рассмотрены решетки из ферромагнитного материала, однако усиления эффектов Фа-радея и Керра в них не обнаружено. В работах [8, 9] рассмотрена двухслойная структура, содержащая трехмерную бинарную дифракционную решетку из золота и намагниченный слой. В [8, 9] показано, что такая структура позволяет при коэффициенте пропускания в 3540% увеличить на порядок угол вращения плоскости поляризации в прошедшей волне (угол Фарадея) по сравнению с однородным намагниченным слоем.
В данной работе впервые исследована двухслойная система, содержащая двумерную дифракционную решетку и намагниченный слой. Показано, что система с двумерной решеткой также обладает ре-зонансами пропускания и позволяет при коэффициенте пропускания в 40% увеличить угол Фарадея в 5 раз. В качестве обобщения рассмотрена симметрич-
ная трехслойная структура, получаемая путем добавления второй дифракционной решетки под магнитный слой. Показано, что переход к трехслойной структуре позволяет при коэффициенте пропускания в 46% увеличить угол Фарадея в 17 раз.
Геометрия системы и параметры задачи дифракции для двухслойной структуры Геометрия исследуемой двухслойной структуры показана на рис. 1. Верхний слой представляет собой бинарную дифракционную решётку из золота. Нижний слой - это равномерно намагниченная пластинка, вектор намагниченности которой направлен
Рис. 1. Геометрия двухслойной системы, содержащей бинарную дифракционную решетку и магнитный слой
Для моделирования дифракции электромагнитной волны на данной структуре использовался метод связанных волн (rigorous coupled-wave analysis) [10-15]. Данный метод решения уравнений Максвелла является разновидностью дифференциального метода и занимает лидирующие позиции по функциональным возможностям и широте использования. Решение задачи дифракции было основано на устойчивом алгоритме, предложенном в [11]. Дополнительно, при определении поля в каждом слое, использовались специальные правила для разложения в ряд Фурье произведения функций [12-15]. Применение этих правил позволяет достичь лучшей точности представления компонент электромагнитного поля отрезками рядов Фурье и является осо-
бенно актуальным при решении задачи дифракции на решетках, изготовленных из материалов с высокой проводимостью.
В области решетки диэлектрическая проницаемость является периодической функцией
:(А)
исполь-
К* ) =
1, x е[0, r ),
еgr, x e[r, d),
(1)
где d - период решетки, r - размер отверстия. Диэлектрическая проницаемость магнитной пластинки описывается тензором [16]
е ig cos 6 -ig sin 6 sin ф
-ig cos 6 е ig sin 6 cos ф , (2)
ig sin 6 sin ф -ig sin 6 cos ф е
где е - главная диэлектрическая проницаемость среды, g - величина, характеризующая намагниченность среды, 6 и ф - углы сферической системы координат, описывающие направление вектора намагниченности. В случае, когда вектор намагниченности направлен по нормали к поверхности (полярная геометрия), 6 = 0, ф=я/2 и формула (2) принимает вид:
-ig 0
ig 0 е 0 0 е
(3)
Магнитная проницаемость считалась везде равной единице [16].
Результаты исследования двухслойной структуры На рис. 2 представлены расчетные графики коэффициента пропускания и угла Фарадея в зависимости от длины волны. Угол Фарадея соответствует углу между большой осью эллипса поляризации для волны в нулевом прошедшем порядке дифракции и осью ОХ.
0,80 0,85 0,90 0,95 мкм
Рис. 2. Пропускание (точечная линия) и угол Фарадея (сплошная линия) в зависимости от длины волны
Графики на рис. 2 получены при нормальном падении волны с ТМ-поляризацией (вектор Н параллелен штрихам решетки) при следующих геометрических параметрах: период ё = 750 нм, ширина отверстия г = 75 нм, толщина решетки Нягг=75 нм, толщина магнитного слоя ^=537 нм. В качестве диэлектрической
проницаемости материала решетки
зовались справочные данные для золота [17]. В частности, при X = 883,7нм £г =-31,17 + 1794/.. Для магнитного слоя использовались параметры £ = 5,5 + 0,0025/, я = (1 - 0,15/)х 10-2. Эти параметры соответствуют материалу Б1:УЮ (железоиттрие-вый гранат, допированный висмутом), который является одним из наиболее распространенных материалов магнитооптики [18]. График пропускания на рис. 2 имеет резкий пик в 40% при длине волны X = 883,7 нм, который совпадает с отрицательным пиком угла Фарадея. Значение угла Фарадея в пике составляет -2,25 градуса, что почти в 5 раз больше, чем просто для магнитной пластинки, помещенной в оптически согласованную среду (в среду с такой же диэлектрической проницаемостью £ = 5,5 + 0,0025/,). Отметим, что параметр эллиптичности составляет всего 0,53 градуса.
На рис. 3 представлены расчетные графики пропускания и угла Фарадея от толщины пластинки при длине волны X = 883,7 нм и вышеуказанных параметрах. Графики на рис. 3 показывают ряд пиков пропускания и ряд отрицательных и положительных пиков угла Фарадея. Пики пропускания на рис. 2, 3 по-видимому связаны с явлением экстраординарного пропускания, свойственного решеткам из хороших проводников.
^ Ь] К К
¡S! Ь) к к
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 мкм
Рис. 3. Пропускание и угол Фарадея в зависимости от толщины намагниченного слоя при нормальном падении волны. Вертикальные линии обозначают толщины возбуждения мод
Пики угла Фарадея могут быть обусловлены увеличением оптического пути света в намагниченном слое вследствие возбуждения дифракционной решеткой мод и волноводного распространения излучения в слое. Для проверки гипотезы о связи ре-зонансов угла Фарадея с волноводным распространением излучения в слое найдем оценки толщин магнитного слоя, при которых в нем будут возбуждаться моды. Для простоты расчетов пренебрежем магнитной составляющей, и будем считать g=0. Возможные направления распространения мод в слое будем считать совпадающими с направлениями распространяющихся дифракционных порядков решетки. При этом возможные углы между направлениями мод в пластинке и нормалью к пластинке определяются по формуле решетки
9г- = штат (/'X / nfd), (4)
где nf = -у/е - показатель преломления слоя. Условие возбуждения моды имеет вид [19]:
2к0п/ сое(9/)кт-фс= 2пт , (5)
где к0 = 2п / X , кт - толщина пленки, т е 2 - порядок моды, фс и фх - набеги фаз, возникающие при отражении моды от верхней и нижней границ слоя, соответственно. Значения фх зависят от поляризации и находятся из формул Френеля на границе диэлектрик-воздух. Поскольку размер отверстий в решетке составляет всего 10% от величины периода, то оценка значений фх также может быть получена
из формул Френеля на границе диэлектрик-золото.
При указанных параметрах решетки распространяющимися порядками, способными возбудить моды, являются ±1 порядки дифракции. Поэтому в качестве угла распространения в (5) выберем угол 91 = 30,16° , соответствующий ±1 порядкам. В этом
случае толщины определяются по формуле 2пт +фс + ф
S / (1
s 0,9
hm =-
(6)
2k0п^ cos (9X)
Расчетные значения толщин (6), при которых в слое распространяются ТЕ- и ТМ-моды, приведены в таблице 1.
Таблица 1. Толщины, при которых в слое распространяются моды
Порядок моды m 0 1 2
3
4
5
hm
для ТЕ мод (нм) 111,9 329,8 547,7 765,6 983,5 1201,4
hm
для ТМ-мод (нм) 39,9 257,8 475,8 693,7 911,6 1129,5
Полученные значения отмечены на рис. 3 вертикальными пунктирными линиями. Из рисунка 3
, те
видно, что толщины Ит хорошо совпадают с положением отрицательных пиков угла Фарадея, а толщины И™ - с положением положительных пиков. При этом положительные максимумы угла Фарадея также совпадают с минимумами пропускания. Интересно сравнить распределение поля в области намагниченного слоя с полем ТЕ-моды соответствующего диэлектрического волновода. Для ТЕ-моды электрическое поле содержит только компоненту Еу(х, 7). На рис. 4 сверху приведено распределение поля |Еу (х, 7)|, рассчитанное в намагниченном слое при толщине слоя 974 нм. Указанное значение толщины слоя соответствует отрицательному пику угла Фарадея на рис. 3 и близко к оценке И4 = 983,5 нм , полученной по формуле (6).
£ 1 0 А 1'и
я 0,9
2 0,4 0,6 0,8
Рис. 4. Распределение поля Ey (x, z)|
в намагниченном слое с толщиной 974 нм (сверху) и в идеальном диэлектрическом волноводе (снизу)
Для сравнения на рис. 4 снизу показано распре деление поля в волноводе [19]
/ Л
cos (Px)- cos (kfZ ) — k- sin (kfZ)
E ( z ))
f
(7)
где Р = nf sin 0!, ус = ^p2 - ko\r,
kf = ^jkfnf -p2 . Поле (7) соответствует суперпозиции двух мод, распространяющихся в направлениях + 1 и -1 порядков решетки. Рисунок 4 показывает, что компонента поля Ey (x, z) в намагниченном
слое имеет выраженный модовый характер и близка, с точностью до сдвига по оси z, к оценке поля в волноводе (7). Аналогичную модовую структуру компонента поля Ey (x, z) имеет и при других толщинах, соответствующих отрицательным пикам угла Фарадея. Для положительных пиков углов Фара-дея выраженную модовую структуру имеет компонента поля Hy (x, z). При этом модовая структура
компонент Ey (x, z), Hy (x, z) быстро пропадает
при удалении от пиков угла Фарадея. Таким образом, проведенные расчеты подтверждают связь пиков углов Фарадея с волноводным распространением излучения в намагниченном слое.
Предлагается следующее качественное объяснение резонансов угла Фарадея. При падающей волне с ТМ-поляризацией вращение плоскости поляризации и появление ТЕ-компоненты обусловлено наличием намагниченного слоя в рассматриваемой двухслойной системе. Максимальное вращение плоскости поляризации и появление резонанса угла Фарадея достигается при максимальной конверсии волны с ТМ-поляризацией в волну с ТЕ-поляризацией, которая происходит при возбуждении ТЕ-моды в намагниченном слое. В свою очередь формирование резонансов угла Фарадея при толщинах намагниченного слоя, соответствующих ТМ-модам, происходит из-за конверсии волны с ТЕ поляризацией в волну с ТМ-поляризацией.
Отметим, что при толщинах, соответствующих возбуждению в пленке ТМ-мод, наблюдаются минимумы пропускания. Качественное объяснение этих минимумов состоит в том, что золотая решетка работает как поляризатор, пропускающий волны с ТМ-поляризацией из слоя наружу и отражающий волны с ТЕ-поляризацией. На рис. 5 представлены расчетные графики коэффициента отражения и угла Керра от толщины пластинки (X = 883,7 нм).
^ 6 « °
а"
ЕЙ z
V
Si-2
§ Eq
К R
^ (a К IS
¡SI Eq К R
§ Eq
К R
§ Ш К S
К S
-4 -6
ТГ\/ II 1 1 1 1 1 1 1 \ i Л л А 1 s 1 / 1 / 1 " 1 А/ 1 J | 1 \{
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 • 1 ' ! |i I
s
0,8 l 0,6 I б
0,4 0,2 0
0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 мкм
Рис. 5. Отражение и угол Керра в зависимости от толщины намагниченного слоя при нормальном падении волны. Вертикальные линии обозначают толщины возбуждения мод
Угол Керра соответствует углу между большой осью эллипса поляризации для волны в нулевом отраженном порядке дифракции и осью ОХ. График пропускания на рис. 5 имеет минимумы отражения при толщинах возбуждения ТЕ-мод и максимумы -при толщинах возбуждения ТМ-мод, что подтверждает сделанное предположение. График угла Керра имеет пики при толщинах возбуждения ТЕ-мод. Пики угла Керра объясняются следующим образом. Вследствие неидеальности волноводного распространения имеет место частичная диффузия волны с ТЕ поляризацией из слоя в область над решеткой. В результате отраженная от решетки волна приобретает ТЕ-компоненту, что и приводит к формированию пиков угла Керра.
Исследование трёхслойной структуры
В работе [20] показано, что трехслойная система, содержащая две субволновые серебряные решетки, разделенные диэлектрическим слоем, позволяет уве-
личить коэффициент пропускания по сравнению с одной дифракционной решеткой, обладающей эффектом экстраординарного пропускания.
В связи с этим были также исследованы магнитооптические свойства трехслойной структуры, содержащей две одинаковые золотые дифракционные решетки, разделенные намагниченным диэлектрическим слоем из Б1:УЮ (рис. 6).
Рис. 6. Геометрия исследуемой трехслойной структуры
Расчет параметров трехслойной структуры производился с использованием оптимизационной процедуры. В качестве целевой функции было выбрано отношение произведения коэффициента пропускания и угла Фарадея для нулевого прошедшего порядка к аналогичному произведению для магнитного слоя в оптически согласованной среде:
T0 ы/T0 |Фо| ^ max (8)
где T0 и ф0 - коэффициент пропускания и угол Фарадея для трехслойной структуры, T0 и ф0- коэффициент пропускания и угол Фарадея для магнитного слоя в оптически согласованной среде. Оптимизация проводилась по 4-м параметрам: толщина дифракционной решётки, толщина магнитного слоя, период решётки, размер отверстия. Как и для двухслойной структуры, рассматривалось нормальное падение TM-поляризованной волны. В результате оптимизации была получена следующая структура: период d = 832,19 нм, ширина отверстий r = 362 нм, толщина решеток hgr = 194,23 нм, толщина магнитного слоя h = 832,11 нм.
На рис. 7 и рис. 8 представлены зависимости пропускания и угла Фарадея от толщины намагниченного слоя и длины волны.
Для толщины намагниченного слоя 832,1 нм при длине волны 883,7 нм имеем увеличение угла Фара-дея по сравнению с магнитным слоем в оптически согласованной среде в 17 раз при пропускании 46%. Отметим, что добавление дополнительных параметров оптимизации, таких, как различная толщина и размер отверстий в решётках, приводит к дальнейшему увеличению значения угла Фарадея на 6-7% при увеличении пропускания на 3-5%. Переход от двухслойной структуры к трёхслойной позволил увеличить наилучшее значение целевой функции (8) более чем в 2 раза.
-§20
ъ10 «
о, ©
0,75 0,80 0,85
0,90 0,95 мкм
Рис. 7. Пропускание и угол Фарадея в зависимости от толщины намагниченного слоя при нормальном падении волн
-§20
мкм
Рис. 8 Пропускание и угол Фарадея в зависимости от длинны волны при нормальном падении
Заключение Исследованы магнитооптические свойства двухслойной структуры, состоящей из золотой бинарной дифракционной решетки и намагниченного слоя. Показано, что система обладает как резонансами пропускания, так и резонансами углов Фарадея и Керра. Представлено качественное объяснение углов Фарадея и Керра и показана их связь с волноводным распространением излучения в магнитном слое.
Рассмотрена трехслойная структура, состоящая из золотых дифракционных решеток, разделенных намагниченным слоем. Показано, что переход к трехслойной структуре позволяет получить дальнейшее увеличение значений резонансов угла Фарадея до 17 раз.
Наличие двух типов резонансов (пропускания и углов Фарадея и Керра) делает перспективным использование рассмотренных систем в оптических датчиках, использующих изменение значений резо-нансов при изменении физических или геометрических параметров структуры.
Благодарности Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №07-07-97601-р_офи, 07-01-96602-р_поволжье_а, 07-07-91580-АСП_а, а также при поддержке российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант СКОБ ЯиХ0-014-БЛ-06).
Литература
1. Ebbesen T.W., Lezec H.J., Ghaemi H.F., Thio T., Wolff P.A. Extraordinary optical transmission through sub-wavelength hole arrays // Nature, 1998. 391. P.667-669.
2. Ghaemi H.F., Thio T., Grupp D.E., Ebbesen T.W., Lezec H.J. Surface plasmon enhance optical transmission through subwavelength holes // Phys. Rev. B, 1998. 58. P. 6779-6782.
3. Degiron A., Lezec H.J., Barnes W.L., Ebbesen T.W. Effects of hole depth on enhanced light transmission through subwavelength apertures // Appl. Phys. Lett. 2002. 81. P. 4327-4329.
4. Barnes W.L., Murray W.A., Dintinger J., Devaux E., Eb-besen T.W. Surface Plasmon Polaritons and their role in the enhanced transmission of light through periodic arrays of subwavelength holes in a metal film // Phys. Rev. Lett., 2004. 92. P. 107-401.
5. Porto J.A., Garcia-Vidal F.J., Pendry J.B. Transmission resonances on metallic gratings with very narrow slits // Phys. Rev. Lett., 1999. 83. P. 2845-2848.
6. Belotelov V.I., Zvezdin A.K., Magnetooptics and extraordinary transmission of the perforated metallic films magnetized in polar geometry // JMMM, 2005. 300 (1). P. 260-263.
7. Bergman D.J., Strelniker Y.M. Strong-field magnetotransport of conducting composites with a columnar microstructure // Phys. Rev. B, 1999. 59. P. 2180-2198.
8. Belotelov V.I., Doskolovich L.L., Kotov V.A., Zvez-din A.K. Magnetooptical properties of perforated metallic films // JMMM, 2007. 310 (2). P. e843-e845.
9. Belotelov V.I., Doskolovich L.L., Kotov V.A., Zvezdin A.K. Extraordinary Magneto-Optical Effects and Transmission through Metal-Dielectric Plasmonic Systems // Phys. Rev. Lett., 2007. 98 (7). P. 077401-4.
10. Electromagnetic Theory of Gratings: Topics in current physics, Ed. by Petit R. // N.Y.: Springer-Verlag, 1980.
11. Moharam M., Pommet D., Grann E. Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings: enhanced transmittance matrix approach // J. Opt. Soc. Am. A., 1995. 12 (5). P. 1077-1086.
12. Li L. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures // J. of Opt. Soc. Am. A., 1996. 13 (9). P. 1870-1876.
13. Peng S., Morris G.M. Efficient implementation of rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings // J. Opt. Soc. Am. A, 1995, 12 (5). Pp. 1087-1096.
14. Li L. Fourier modal method for crossed anisotropic gratings with arbitrary permittivity and permeability tensors // J. Opt. A: Pure Appl. Opt., 2003, 5. Pp. 345-355.
15. Li L. New formulation of the Fourier modal method for crossed surface-relief gratings // J. Opt. Soc. Am. A, 1997, 14 (10). P. 2758-2767.
16. Visnovsky S., Postava K., Yamaguchi T., Lopusnik R. Magneto-optic ellipsometry in exchange-coupled films // Appl. Opt., 2002, 41 (19). Pp. 3950-3960.
17. Zvezdin A.K., Kotov V.A. Modern Magnetooptics and Magnetooptical Materials // IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1997.
18. Palik D. Handbook of optical constants of solids. Ed-ward.Academic press, Inc., Orlando, Florida, 1985.
19. Lifante G. Integrated photonics: fundamentals. John Wiley & Sons Ltd., West Sussex, England, 2003.
20. Yong-Hong Ye, Jia-Yu Zhang Enhanced light transmission through cascaded metal films perforated with periodic hole arrays // Opt. Lett., 2005. 30 120. P. 1521-1523.
