Ретракты и экстензоры равномерного М3-пространства, или кружевного пространства Карлоса Боргеса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 515.122,-515.123.4,-515.124.62

РЕТРАКТЫ И ЭКСТЕНЗОРЫ

РАВНОМЕРНОГО М3-ПРОСТРАНСТВА,

ИЛИ КРУЖЕВНОГО ПРОСТРАНСТВА КАРЛОСА БОРГЕСА

У. Абдыманапов

Аннотация. В данной работе исследованы равномерные аналоги ретрактов и экстензоров М3-пространства (или кружевного пространства) Карлоса Боргеса и известная теорема James Dugundji (см.[1]).

Ключевые слова: равномерные абсолютно окрестностные ре-тракты, равномерные абсолютно окрестностные экстензоры, М3-про-странство или кружевное пространство, топологическое пространство, точечная топология, компактно-открытая топология.

Abstract. As it is known in 1966 Carlos J.R.Borges (см. [1]) developed the theorem of J.Dugundji with metrizable spaces on the space X from the class well-known as class of M3 -spaces. Since these spaces turned out to be very important, Carlos J.R.Borges proposed to call them stratifiable spaces. In this paper are considered uniform analogy of lace spaces and new confirmations refering to the UANR(stratifiable) and UANE(stratifiable).

Keywords: uniform absolute neighborhood retracts, uniform absolute neighborhood extensors, stratifiable spaces, topological space, point topology, compact-open topology.

ВВЕДЕНИЕ

В 1966 г. Carlos J.R.Borges (см.[1]) обобщил известную теорему James Dugundji с метризуемых пространств на пространства X из более широкого класса известного в то время как класс М3-пространств. Из-за того что эти пространства тогда оказались чрезвычайно важными и полезными, Carlos J.R.Borges предложил использовать для них специальный термин «stratifiable»; с тех пор они так и называется. В русской литературе по инициативе тополога и профессора А.В.Архангельского

<э1Ь

их принято называть «кружевными». Следует отметить, что по своим топологическим свойствам кружевные пространства очень близки к метризуе-мым; в частности, все они паракомпактны и совершенно нормальны. Однако свойство пространства быть кружевным сохраняется замкнутыми отображениями. Поэтому класс кружевных пространств существенно шире отличается, чем класс метризуемых пространств и включает в себя, в частности, все клеточные комплексы, а также многие другие неметризуемые локально выпуклые пространства, естественно возникающие в функциональном анализе с их естественной топологией. В 2003 г. автор этой статьи поставил перед собой следующую проблему: какова природа равномерности для изучения кружевных 7] - топологических пространств, без каких-либо предположения о его счетности? Но в ходе исследования, получен ряд других новых утверждений, которые не маловажны по своей значимости. Некоторые из них в этой работе изложены в виде проблемы: возможно ли получить равномерный аналог М3 -пространства (или кружевного пространства) Карлоса Боргеса? Если да, то является ли кружевное пространство с выбранной равномерностью - равномерным абсолютным ретрактом или равномерным абсолютным окрестностным ретрактом? Оказалось, что ответ утвердительный.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Обозначения.

Если противного не оговорено, то на протяжении этой работы будет обозначать:

* stratifiable - кружевное, то есть s-кружевное;

* stratifiable spaces - кружевное пространство;

* UAR(stratifiable) - равномерный абсолютный ретракт из класса кружевного пространства;

* UANR(stratifiable) - равномерный абсолютный окрестностный ре-тракт из класса кружевного пространства;

* UAE(stratifiable) - равномерный абсолютный экстензор из класса кружевного пространства;

* UANE(stratifiable) - равномерный абсолютный окрестностный экстензор из класса кружевного пространства.

Основные понятия.

По своим топологическим свойствам кружевные пространства очень близки к метризуемым; в частности, все они паракомпактны и со-

вершенно нормальны. Таким образом, свойство быть кружевным пространством можно интерпретировать как монотонную совершенную нормальность. Свойство быть кружевным пространством сохраняется произвольными подпространствами, замкнутыми отображениями и счетными произведениями, а также многими другими операциями.

Определение 1. Топологическое пространство X называется кружевным, если каждое замкнутое в топологическое пространство X множество 3 представимое в виде 3 = п"=1ип (3) = п е1.(ип (3)) (где все Пп(3)открыты) для любого замкнутого подмножество 3* с3 справедливо ип (3*) с ип (3) при всех п.

Определение 2. Топологическое пространство X с равномерностью и называется кружевным с равномерной топологией (или (Х,и) -равномерным кружевным пространством), если равномерное кружевное пространство (Х,и) с равномерностью и есть Т1 -пространство и каждая точка х е (Х,и) является пересечением всех своих окрестностей, и как множество вместе с некоторым семейством подмножеств иО = {(ПхО) п V: Vе и} удовлетворяет определенным естественным условиям таких,что

(*) (А, и А) с ип (А,и А ) для любого (А,и а )е и а;

( * *) ппет ип (А, и) = ПИ£Т е1.(ип (А,и А))=(А,и А) для любого (А,и А)е и О ; (•• ) если (А,и А )с (В,ив ), то V п(А,и л )с£/„(В,ив );

(* V) если и(ма *<а) - наименьшая равномерность на (А,и А)с (X,и) относительно пкоторо й тождественное отображение (А,и А) ^ (X,и) равномерно непрерывно, то наименьшая равномерность и(М А* <А) представляется в виде пересечений элементов равномерности и на топологическое пространство Х с множеством АхА (то есть и , = ппет (К е и)

(«ех п )

Следуя 01оГ Иаппег (см.[2]), дадим следующее

Определение 3. Кружевное пространство Х с равномерностью и является равномерным абсолютным ретрактом относительно класса 5* -всех равномерных кружевных пространств (сокращенно, иАЯ (5* -кружевное)), если кружевное пространство Хе 5* и всякий раз, когда кружевное пространство Х с равномерностью и представляется как топологически вложенное замкнутыми подмножествами X) с (0* ,И) равномерного кружевного пространство 0* с равномерностью И для

всякого гомеоморфизма h, отображающего равномерного кружевного пространство X с равномерностью u на замкнутое подмножество h(X) с (0* ,И) равномерного кружевного пространство 0* с равномерностью И и замкнутое подмножество h(X) с (0* ,И) равномерного кружевного пространство 0* с равномерностью И при этом является равномерным ретрактом равномерного кружевного пространство 0* с равномерностью И.

Определение 4. Кружевное пространство X с равномерностью u называется равномерным абсолютным окрестностным ретрактом относительно класса S * - всех равномерных кружевных пространств ( сокращено, UANR (S'-кружевное)), если кружевное пространство X е S'и всякий раз,когда кружевное пространство X с равномерностью u представляется как топологически вложенное замкнутыми подмножествами h(X) с (0*,И) равномерного кружевного пространство 0* с равномерностью И для всякого гомеоморфизма h, отображающего равномерного кружевного пространство X с равномерностью u на замкнутое подмножество h(X) с (0* ,И) равномерного кружевного пространство 0* с равномерностью и и замкнутое подмножество h(X) с (0* ,И) равномерного кружевного пространство 0*с равномерностью И при этом является равномерным ретрактом некоторой окрестности замкнутого подмножество h(X) с (0* ,И) равномерного кружевного пространство 0*с равномерностью И в равномерное кружевное пространство 0* с равномерностью И.

Следуя Ernest Michael (см. [3]), изложим следующее:

Определение 5. Локально выпуклое топологическое пространство

Y с равномерностью ö называется равномерным абсолютным экстензором (сокращено, UAE^-кружевное)) для кружевного пространство X с равномерностью u, относительно класса S - всех равномерных кружевных пространств, если кружевное пространство X е S и Xt с X-замкнутое подмножество с равномерностью uXj, и что всякое равномерное непрерывное отображение V :(X1, uXi) ^ (Y,ö) имеет равномерное непрерывное продолжение \|/* : (X,it) —» (Y л) ).

Определение 6. Локально выпуклое топологическое пространство

Y с равномерностью ö называется равномерным абсолютным окрестностным экстензором (сокращено, UANE (S-кружевное)) для кружевного пространство X с равномерностью u, относительно класса S - всех равномерных кружевных пространств, если кружевное пространство X е S и Xj с X - замкнутое подмножество с равномерностью ux,, и что

всякое равномерное непрерывное отображение у :(Х1,их^) ^ (У,-д) имеет равномерное непрерывное продолжение

у* : \lnbhd (Хьих1) ^ ). (1)

Одной из основных задач, возникшей после создания общей теории линейных топологических пространств и, в частности теории счетно нормированных пространств, явилась задача выделения класса ядерных пространств определяемого достаточно простыми требованиями (см. [4; 5]).

Определение 7. Локально выпуклое пространство называется ядерным, если в нем имеется фундаментальная система окрестностей нуля

(Е) такая, что следующее утверждения эквивалентны:

(*) для каждой окрестности нуля и е и*р (Е) существует окрестность нуля такая V е и(Е), что V р и и каноническое отображение Е(У,и ): Е(V ) ^ Е(и )-ядерно;

(* ) для каждой окрестности нуля и е и(Е) существует окрестность нуля такая V е и(Е), что V р и и каноническое отображение полярии Е* (и°, V°): Е* (и°) ^ Е* (V° )-ядерно.

Каждый окрестности нуля (иV) с Е, локально выпуклого пространства Е - есть слабо компактное подмножество, сопряженного локальной выпуклого пространства Е *. Для каждого локально выпуклого пространства Е существует с точностью до изоморфизма, однозначно определенное полное локально выпуклое пространство Е *, содержащее локально выпуклое пространство Е, как плотное подпространство, которое является пополнением локально выпуклого пространство Е. Отсюда следует, что локально выпуклое пространство Е ядерно тогда и только тогда, когда ядерно его пополнение. Но, с другой стороны, для того чтобы локально выпуклое пространство Е было ядерным, необходимо и достаточно, чтобы для произвольного локально выпуклого пространство Е, пополнение проективной и слабой топологии в топологическое тензорное произведение Е 0 Е совподали Е 0 Е = Е 0 Е .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Лемма 1. Пусть (X, и) - кружевное пространство с равномерностью и. И пусть и и V - открытые (замкнутые) подмножества окружений кружевного пространство (X, и) с равномерностью и. Тогда для подмноже-

ства окружений (и, V) с (X, и) кружевного пространство X с равномерностью и, равносильны следующие условии по двум случаям.

Случай 1. Пусть и с V. Тогда

«1 их = > = ^«(V, х V)), X)\ С/.((Х,и)\{х});

п ((и ¡=п+1 и Г=1и т )(1!1!л ( = и ;=1 (V- х V-)),х) (••)1 Из их п Vy и

^ ^ =и;=1 (V хV)),х)<=и;=1 (и хи)),у)

следует> что точка У е (и]=„+1 и^=1 Ц,(V)(1^п) = и^- X Vl));

(•••)1 Из их п V, следует либо х е (¥/=п+1 = и„=1(и/ х и) либо у е (и/=„+1 и:=1 и/V)(_) = и^ х V )).

Случай 2. Пусть V с и. Тогда

(•)2 их = ип ((, = и П=1 (V. X V)), X) \ с1.((X, и )\ {х});

"((иу=И+1(1!„„, ?=! (V ^ V-)) х)

(••)2 Из их п Ф 0 И

следует,что точка у е (и/=п+1^_) = и„=1^ х V));

(• • *)2 Из их п Vy ^ 0 следует,что либо точка

х е (и/=„+1 и:=1 V/(U|)оя&) = и„=1 (и 1 х и,) либо точка

Уе (и/=„+1(15.) = ^=1^ хV)).

Доказательство леммы 1. Доказательство леммы 1 проведем по случаю 1, а случай 2 проводится аналогично. По определению окрестность точки х,то есть их - открытый (замкнутый). А условия (• • •)1 является непосредственным следствием условия (••)1, так как

=иг=1 (иX и)), у)

либо

< п ((и у=я+1 и ;=1 и ] (Г( )(1!1!л:

^ П=1 (V х кг)), х)

(2)

п((и у=И+1 и Г=1 и у (V)

и П=1 (V- X V-)), х)

^ п(^=п+1(1!_, =иП=1 (иX и,)), у)

Следовательно,

(П, хП,)), у)

3 ((X,и)\{у}

к((и,=л+1 ,(VхГ, )),х)

3 и

(3)

Принимая во внимания условия (•)1 получим, что их п Уу = Таким образом, точка у е (и^ и~=, ит^^ = и^Г, х V,)).

Теорема 1. Кружевное пространство X с равномерностью и является иЛЯ (Б-кружевное) (или иЛКЯ (Б- кружевное)) пространством тогда и только тогда, когда оно является иЛЕ (Б-кружевное) (или иЛКЕ (Б-кружевное)) пространством.

Доказательство теоремы 1. Пусть (X, и) и (У, V) - равномерные кружевные пространства с равномерностями, соответственно и и V. И пусть 5 = ((7, и), В = в-1 (X, и))- любая кружевная пара пространств (У, \>) и (х, и) с равномерностями, соответственно V и и . Также пусть у : (В = 8-1(X, и) ^ (X, и) - любое отображение. Тогда используя ре-трактное свойство кружевного пространство X с равномерностью и, получим новое кружевное пространство н с равномерностью ю, содержащее кружевное пространство X с равномерностью и. Заметим, что кружевное новое пространство н с равномерностью ю является тождественным или идентифицированным пространством, полученный от свободного объединения (х, и) ^у (У, V) кружевных пространств (X, и) и (У, V) с равномерностями, соответственно и и V по отобра-

жению у с отождествлением каждой точки у е (В = 9-1(X, и) с точкой у (у) е (X, и). Предположим, что имеет место следующие естественные отображения

ц :(X, и) ^ (Н, ю^ (4)

9: (7^ ) ^ (Н,ю). (5)

Очевидно, что множество 5 = ((7, V), В = в-1 (X, и)) - кружевных пар пространств (7, V) и (X, и) с равномерностями, соответственно V и и является открытым (замкнутым) в новом кружевном пространстве Н с равномерностью ю тогда и только тогда, когда П-1(0) и 9-1(0) - открыты (замкнуты).Так как отображение ц является гомеоморфизмом в новом кружевном пространстве Н с равномерностью ю, то мы можем отождествлять кружевную пространству X с равномерностью и с подпространством п(X,и) с (Н,ю). Также очевидно, что отображение (9 | (7, v)\ В = 9-1(X, и) является гомеоморфизмом на (Н ю)\(^^, и). Следовательно, кружевное пространство X с равномерностью и является открытым (замкнутым) в новом кружевном пространстве Н с равномерностью со. Таким образом, отображение в : ( у, г) —> (2,со) является продолжением отображения \\г : (В = 9 '(Х. и) —> (Х.и) в кружевное пространство 7 с равномерностью V, относительно нового кружевного пространство Н с равномерностью ю. Это означает, что новое кружевное пространство Н с равномерностью ю есть 5 = ((У, у), В = в-1 (X, и)) кружевное пара пространств (7, V) и (X, и) с равномерностями V и и. Как известно, по своим топологическим свойствам эти кружевные пространства очень близки к метризуемым пространствам; в частности, все они паракомпактны и совершенно нормальны. Из последнего сказанного следует, что кружевное пространство X с равномерностью и является окрестностным ретрактом тождественного или идентифицированного нового кружевного пространство Н с равномерностью ю. Действительно, пусть г : (и,.=„+1 и~=1 ^ = и'^^хГ,) (Х,и)~ окрестностный ретракция. Тогда отображение Р, /•': 6 и" ! = и'и(Г, XV,) > (А .//) не умоляя общ-

ности определяется по закону р(у) = ^9 (у) для любой точки у е9-1(и7=п+1 ит) =иг"=1(Гг х у), которое является окрестностным продолжением отображения р. Если противного ничего не оговорено, то доказательство теоремы 1, проведем по случаю 1 леммы

1., когда и с V, а случай 2 леммы 1, когда V с и проводится ано-логично. И так предположим, что кружевные пространства (X, и) и (У, V) с равномерностями и и V соответственно, совершенно нормальны. И пусть а = {рх} любое открытое (замкнутое) покрытие из нового кружевного пространство н с равномерностью ю. Тогда существует, что локально конечное открытое (замкнутое) ограничение из покрытие а . Рассмотрим открытое (замкнутое) покрытие {рх п (X, и} из кружевного пространство X с равномерностью и. Так как, кружевное пространство X с равномерностью и по предположению соверщенно нормально, то существует локально конечное открытое (замкнутое) продолжение {их} из покрытие п (X, и)}. Для каждого их, выберем некоторую такое, что их с . Следовательно, существует локально конечное открытое (замкнутое) совокупность {бх} в новое кружевное пространство н с равномерностью ю такое, что б с р%х; в противном случае, совокупность {бх} заменяем на совокупность {б п }. Положим, что 2 = бх - открытое (замкнутое) множество в новое кружевное пространство н с равномерностью ю, содержащее кружевное пространство X с равномерность и . Тогда, 8-1(0-открыто (замкнуто) в кружевное пространство У с равномерностью V и содержит В = 0-1(X, и). Таким образом, кружевное пространство У с равномерностью V, нормально. Возьмем открытое (замкнутое) множество Vj=n+1^ =^ni=1(Ui х и1) в кружевное пространство У с равномерностью V такое, что У]=п+1 < = и"=1 (и, х и,) з (7, V)\ в(0),

с1 +1(1<л<„, = и 1=1 х и,)) п В = в-1 (X, и) = 0.

Так как, с1 ,(Уу=и+1 = ип1=1 (Ог х Ог)) - замкнутое подмножество кружевного пространство У с равномерностью V, то -(^=„( =иП=1 (и, х и,)) - соверщенно нормально. Следовательно, существует локально конечное открытое (замкнутое) множество V}, открытой (замкнутой) покрытии {в) п с1 .(К;=и+1 ^( = иП=1 (и, х и,))} из замкнутого подмножество =и+1 ^Л1 (и, х и1 ))в котором множество Р"ц, открыто (замкнуто) в замкнутое подмножество с/.(Ку=и+1 ^ = и"=1(г7; х )). Таким образом, пересечение множеств Кд и '/Г; „., то есть Рц п ^=п+111<„<„, = и;=1 х ^) ~ открыто (замкнуто) в (7, V) \ В = 8 (X, и). Далее положим, что б = 0 (^ п (Vj=n+1n= иг"=1 (и1 х и))). Так как, (6 | (У, V) \ В = 0-1 (X, и) - топологическое отображение на открытом (замкнутом) подмножестве ((а, т) \ (X, и)) с (а, т), то множество от-

<э1Ь

крыто (замкнуто) в новом кружевном пространстве Н с равномерностью ю. Следовательно, совокупность {Уи п У]=п+1{1<п<^) = иП=1 (иг х иг)} локально конечно в замкнутом подмножестве с1 .(Уу=и+1 = и"=1 (и, х и,)). Отсюда вытекает, что совокупность {2,} локально конечно в в(с1 .(У^„+1 ( = и 1=1 (и, х и,))), которое замкнуто в новом кружевном пространстве н с равномерностью ю. Таким образом, совокупность {2,} локально конечно в новом кружевном пространстве Н с равномерностью ю. Рассмотрим совокупность р -покрытий из нового кружевного пространство Н с равномерностью ю, состоящее из всех множеств 2% и 2,, соответственно. Тогда имеем

и, =0(и,V, пу) = ихи,))) = 0(^=„+1(1,_) = иП=1(и, Xи,) Э0( 7)\0-1 (2) (6)

= (Н, ю)\ 2.

Так как все множества 2х и 2, соответственно открыты (замкнуты) в новом кружевном пространстве Н с равномерностью ю, то р - открытое (замкнутое) покрытие. Следовательно, покрытие р, локально конечно для всех совокупности множеств (2Х} и {2,}, соответственно в новом кружевном пространстве Н с равномерностью ю . Таким образом, очевидно, что покрытие р продолжение из покрытии а. Из выше сказанного заключаем, что новое кружевное пространство Н с равномерностью ю, совершенно нормально. Все проделанные умозаключение в доказательстве теоремы 1, вместе с леммой 2 дает полное завершение доказательство теоремы 1.

Лемма 2. Пусть (X, и) и (7,6) - равномерные кружевные пространства, соответственно с равномерностями и и и пусть (х1,их^) с (X,и)-замкнутое подмножество с равномерностью их. Также пусть у : (X1,их ) ^ (7,6) - непрерывное отображения. Тогда объединение при отображении у пространств (X, и) иу (7,6) есть равномерно кружевное.

Доказательство леммы 2. Пусть (р, О) = (X, и) иу (7,6), ,: (X, и) ^ (р, О) и j : (7,-6-) ^ (р, О) - естественные топологические отображения. Тогда Ос (р,О)- открытое (замкнутое) подмножество, тогда и только тогда, когда ,ч(О)и j-1(О)-открыто (замкнуто). Пусть ^ и , ((X, и) \ (X1, их )) - гомеоморфизмы. Тогда для любого подмноже-

ство У(р15 0р) с (р, О) справедливо следующее равенство

у - V-1 У(р0) с (р, О) = ,-1 , п (Х, пХ1). (7)

Следовательно, для любого подмножество Ос (р,О) справедливо 2 = V -1 (О) = ] - (О), Е (Х,И) = V^-1 (О) = /-1 (О),

(8)

^ (Х1>МХ1) (Х,М) п (Х1' ) - ¥ 1 (У, э) )•

Пусть

(Х1,и^) С иJ=n+l и:=1 ) = и^- х V) с = иП^Ц х Ц,) с (Х,их)

(1<1<И) (1<п<~)

И, пусть г,.=п+1 = иП=1(и! х Ц.) ^ {V7=п+1)т = иП=1(Цг х Ц )т} - расслоение кружевного пространства (У ) с равномерностью

Тогда 2(М)т = 2((г>3)>и), у-1 (Е((Г^)т)) = Е((Х[>Мх[ >т). Таким образом, ),И)} - расслоение в X№, ) для любого открытого (замкнутого) подмножество О с Следовательно, для ~гобого открытого (зам-

кнутого) подмножество О с (р,£1) существует '^нл,.«,, >.»,,< - расслоение в X (х и) такое, что

(•) ^ ((X,ы),м) П (Х1' иX! ) = ^ ((X,их ),м) ;

(••) с/.Х((Х>и)>и) п (х!, их1) = с/.Х>Их1 )>и);

(• • •) из Ос X*следует, что 2((Х>м)>и) с ;М);И).

Кроме того, Х„„ ™ «Б с Б * . Следовательно,

если О с р*, то в таком случае X, „ , , с X* „ , ,. Таким обра-

^ С Х1,их1) и) ( Х1,их1) т) г

зом, X(Хи)т) сЕ*Хи)т). Рассмотрим последовательность следующих утверждений.

Утверждение 1. Пусть ^((х1,ыХ1 ),т) «х1 ,«Х1 ),т) - открытое (замкнутое) подмножество (Xт,0р ) в (р,О). Достаточно показать, что ,т,QX )и ,т,QX )-открыты(замкнуты). Принимая во внимание условии (•) леммы 2 получим,что

<э1Ь

I- (2 т , ^ Е„ ) = I ((X,и),т) ) ^ I (2 ((7),т) ) =

= ^ ((X,и),т) ^ ¥ ¥ ((Х„Мх1 ),т) ) ^ ^ ((X, ,иХ1 ),т) = 2 ((X,и),т) ((X, ,ыХ1 ),т) = 2 ((X,и),т) .

Подобным образом, получим что

] (2 т , ^) = 7 ((X,и),т) ) ^ 7 "'Л2 ((7,9),т) ) =

= ¥ (2 ((X,и),т) ^ (Х1, иX, )) ^ 2 ((7,9),т) = ¥(2 ((X, ),т) ) ^ 2 ((^),т) = 2 ((Г,в),т).

Утверждение 2. Пусть 3 = г(с/.Е((Х и) ш)) и ](с/.Е((7 ), с/.Е„ с /; из этого следует, что ЕсЗс 0 и поэтому достаточно показать, что 3-замкнутый, то есть I(3) и у(3) - замкнуты. Но с использованием условии (••) из леммы 2 имеем

I-1 (3) = I-1/(с/.Х ((х;И);И)) и I-'ЛсИ ) = = с/-2 ((X>И),И) и ¥"V (с12 ((х,М),И) ^ (Х1, их1)) и ¥ (с12 ((У),„)) = ((х>м 1т) (¥((х, ,ИХ1 ),ш)) и ((7),И)

= с/-2 ((Х,и),ш) ^ ¥(с12)

Подобным же образом, получим

7-1 (3) = у-1/(с/.Х((х,и),и)) и у) =

= ¥(с12 ((Г^),И) п (Х1, их)) и с/.Е((Г^) И) = ^ (с/.Е )И)) и с/.Е ((7 = с/.Е ((Т;£);т).

Утверждение 3. Очевидно, что

^ш=1 ^ш = ^ш=1 ((Х,и),ш) ) ^ ((7,ш) ) = ^((Х,и),ш) ) ^ ^((7,£),ш) )

= ^ (X,В) ^ Д (7) =0 ■

Утверждение 4. Если (0,0 0) и (X*, Ох*) - открытые (замкнутые) подмножества в (р,О) и (0,Оо) с (X*,0Г), то (Хт,) с (X;,ох*)■ Действительно, если принимая во внимание условия (• • •) леммы 2 и учитывая последнего факта, в утверждение 4, мы получим, что (0,О0) с (X*, Ох* ) заключает в себе X((7ДМя) с Х*(7ДЬи)- Следовательно, последовательность изложенных здесь утверждений (1 - 4), доказывает, что 0 ^ {Xп = /X((х и) ш) и ((7 ^) ш)} является кружевым пространства (р, О) ■

Теорема 2. Пусть (X, и) - кружевное пространство с равномерностью и И пусть (©, ю) с (X,и) - замкнутое подмножество с равномерностью ю ■ Также пусть (У,ф) - ядерно локально выпуклое топологическое пространство с равномерностью ф Тогда существует естественное непрерывное отображения 3 :с(((®, ю), и ю)), (У)) ^ ((Х,и),(?,$)) такое, что для любого у :с(((®, ю), и (&ю}), ( У))) расширения 3 (у ( X,и )) содержаться в выпуклой оболочке области у ((©, ю ),и ю)), где 3 выбран как угодно непрерывными между с(((®, ю), и (ф ю}),( У)) и с ((X, и), (У,3)) линейными пространствами непрерывных функций, компактно открытой топологией, топологией поточечной сходимости или топологией равномерной сходимости.

Доказательство теоремы 2.

Пусть и((и;=„+1 и и;(Г(} = и (V X V-)), £) = тт{и|^ е и„ } и, пусть

(1<1<И )

= ) (V,XV;)Ш ^ с/-((Х' и^и ;(V,) =и?_, (VXV;М)

(1<»<к) (1<»<и) '

для любого открытого (замкнутого)

(и .=в+1 и:=1 и;V) = и^ х V-) С (X,и)

и точка % е (и,=„+1 и;=1 и

1 V)

(1<г<„)

= ии(У, хV,)■

Если противного ничего не оговорено, то на все протяжение доказательство теоремы 2, доказательство проводится по случи 1 леммы 1, а случай 2 леммы 1 проводится аналогично. Тогда очевидно, что каждое и% является открытый (замкнутый) окрестностью %. Таким образом, из и% п у Ф 0 следует, что %е ^=„+1 = и"=1(и1 х и.) или п 6 (и,=„+1 и^ и, = иГ=1 (V X V.)). (1<^

(1<1<и)

Фактически

и((и 7=„+1 и ^ =и;=1 (у. х V)), 4) < п((у=„+1 =и;=1 (и, х и, )),7) из

(1<1<И ) (1< И<ю )

следует, что Пе (и^=„+1 и„=1 V) = ^=1^. х ^). Предположим, что

(1<«„)

имеет место Ш = (X,и)\(®,Ю),и (ф Ю}), %е Ш |% е ип для некоторого П е (©, Ю) и точка п е (и;=„+1 и ^ и т} = иП=1 (V х V))}.

(1< Ип)

Для любого % е А, пусть имеет место (%) = тах{п( и,=п+1 и^ и,^} = иП=1 (V- х V )),П) |П е (©, Ю ) и % е ил }.

(1<1<п )

Тогда А (%) < п( Ш, % ) .Таким образом, получим, что Ш % пи Ф 0 и И((и7=„+1 =иП=1 (V- х V.)),п) > п( ,%).

(1<1 <и)

Отсюда следует, что точка п е Ш. А это противоречит в силу леммы 1 (••), что невозможно. Далее, и здесь и в других местах мы используем понятия паракомпактность Ш. Пусть Е - открытое (замкнутое) ядерно локально конечное по отношению к Ш продолжение из {Ш % |% е Ш}. Для любого(Г7=п+1 = и 1П=1(и1. хи.) е Е,

(1<И<~)

выбор %(Г ^^ ии) е Ш, так что (У}=п+1 =и П=1(и. х и.) с

(1<«<~)

Ш %(г . п „,. Если точка %,„ . „е то выбран-

1 =„+1 =и„=1 (и. хи.) ^(^¡=„+1 =и„=1 (и. хи.) ' г

(1<»<-> м г -

НЫЙ точек ос _ е(©,СО) и 0(г7=„+1 ^(с/,.>*/,.) содер-

(1<п<-)

жащий точек а п ,такое что % п е (

(V ¡=„+1 =иП=1 (и.хи.) ' Ъ(Vj=„+l =иП=1 (и.хи.) V

) (1<И<~) £ (1<И<~)

° (^=«+1 =и„=1(и. хи. ) ^ (К7=„+1 =и„=1 (и. хи.), если % {У1=„+1 =и„=1 (и. и) е то

9!<"<"> (1<„<-) (1<„<-)

n(D(v¡=„+l =и„=1 (и.хи.) ,а(Г^ =и„=1 (и.хи.) ) = А(%^ =ип=1(и.хи.) ) . Пред-

(1<И<^) (1<И<^) (1<п<те)

положим, что {5 „ |(V. + =и„, (и хи ) е Е } - разби-

' <- (V .=„+1 =и„=1(и.хи.) 14 1 =п+1 !=14 .

(/<=пП<+.1) '=1 ' ' (1<„")

ение единицы, подчиненной Е. Тогда, определяем т : (X,и) ^ (У)

(1<„<м)

МФЮА московский финансово-юридическии университет

по закону т (5) =у (5), если точка 5е (®, Ю) аналогично,

т(5) = 20^+1 =^(и,х,,) (5)У(ал =^(и,х,,)) 7=п+1 = ^(и, хи,) е E если точка 5е Ш. Далее, для любого (7;=п+1 =и"=1(и;-х и) е E выберем точку 5(V;=„+1 ^(и,хи,) е Ш с (У;=„+1 =^"1=1(и1 хи,) сШ

(1<И<~) (1<И<~ )

(У;=„+1 =и„=1(и,хи-) Если точка 5^ =, п ^е то выбе-

(1<„<-) (У j=n+l =иг=1(игхи, )

(1<и<-)

рем точку . а^=„+1 =и„=1(и.хи,) е (®, Ю ) и D(vj=n+1

=и„=1(и, хи,)

(1<И<~) (1<„<~)

5(У j=„+1 =и?=1(и|хи,) е (D (7 j=„+1 =и„=1(и,хи,) )а(у ;=я+1 =и„=1(ихи,) „( D

(1<„<-) (1<„<-) (1<„<_)

(Vj=n+i =и„=1(и,.хи,.) 'а(7;=,,+! =и„=1(и,.хи,.) ) = (5(Уу=„+1 =и„=!(и,хи,) )

(1<И<~) (1< ) (1<„<~)

Если точка 5 (V;=„+1 =^,(и,хи,) * ^ то точка а (7;=„+1 =^=1(и,хи,) Заме-

(1<„<„) (1<„<»)

няется точкой а0 е (®, Ю ). Тогда, очевидно, что т (X,и) с еопу.киИ у (®, Ю) и т непрерывна в Ш. Докажем, что т непрерывна в точке

Ре®, Ю). Пусть (р, а) произвольное открытое (замкнутое) подмножество с равномерностью а из ядерно локально выпуклой топологического пространства (У,Ф) с равномерностью Ф, содержащее у (в). Тогда по ядерно локальной выпуклости топологического пространства (У,Ф) с равномерностью Ф, существует выпуклое открытое (замкнутое) подмножество (У1 ,ФУ ) с равномерностью ФУ , такое что у (в) с (У[,ФУ ) с (^,а), и по непрерывности т , существует открытый (замкнутый) окрестность пЪНй из точки в такое, что у ( ®, Ю) п nЪhd) с (У1,ФУ ) с (^,а). Далее докажем, что т ( nЪhdр) р) с (^,а).

Если точка 5 е ( nЪhdр) р) п ( ®, Ю)) с nЪhd п ( ®, Ю), то т(5) =у (5)е а). Пусть точка 5 е ( nЪhdр)р)\(®,Ю)). Рассмотрим любую (У;=п+1 = ^ n=1(u, х и,) е Е с точкой

(1<п<™ )

% е хС/,.).Таккак,точка (3 е®£ , „ , иточ-

- , |Г /=»+1 ='-' 1С/ -С/)

ч (1<»<-)

ка Се ( nbhdв) вп Ш с п ) ,топо лемме 1 получаем, что точка

(1<п<»)

п п, ггл е nbhdв. с п ,, ч е Следовательно, име-

(1<п<-) £ (1<п<-)

ем n(nbhd, в) < А(с(Ку=п+1 ^и, X"/) ) = п(0(Гу=п+1 ^и, X"/) ,а(Vу=п+1 =

(1<п<-) (1<п<~) (1<п<-)

иц" х",)). По условии леммы 1 (••) 1, точка а-к у=п1 =^п=1("1 х",) е пЬ^,

(1<п<~ )

так как

С(К,п+1 =.П=1(",X",) е (пЬН п (°(^+1 ^("/И"/))а =.»1(",X",) .

(1<п<") (1<п<-) (/<П<_ ) ' 1

Следовательно, также получаем, что у (а у = „ а г ) ) е (У^Фу ) и,

у =п+1 и/=1("/х"/) 1

(1<п<»)

по ядерно локальной выпуклости подмножества (У1 ,-бу ) мы получаем, что т (С ) е оопу( У1 ) с (р,о ) .

Таким образом, включение т(пЪЪйр)р) с ) доказывает непрерывности т на подмножестве (©, Ю). Следовательно, F(у) =т. Заметим, что для любого кружевного пространства (X, и) с равномерностью и, отображение 3 может быть выбрано равномерно непрерывным всякий раз, каким бы ни были оба пространства с(((®, Ю),и ю )), (У) и с ((X,и),(У,3)) компактно открытой топологией, сходимостью точечной топологией или сходимостью равномерной топологии. Предположим, что (V■ = +1 = и"=1(" X " ) е Е и замыкание с/.(У,=и+1 = и^ (V, х V,)) сж\г " 1 1

(!<„<„) ■=п+1 =и/=1("/ х"/')

Тогда отображение и : (X, и) ^ 2 № Ю < определяется по закону

и(С ) = {а л =и&1("/X"/) I (У+1 = и;=1("/ х ") е Е и точка

(1<п<_) (1<"<~)

% е с!.(У]=и+1 =и "=1 (и г х ))}. Если же точка Се Ш, то оно

(1< )

полунепрерывно сверху в точке (©, Ю), то есть для любого

(и■=п+1 и-=1 "у(У) = иП=1 (V X V ) с (У) содержащих и(С)

(1</<п)

существует окрестность Ш точки С в кружевное пространство (X, и) с равномерностью и такое,что и (С *) с (и ^+1 и~=1 "у (V)

(1</<п )

МФЮА московский финансово-юридическии университет

= ихV,) для любого %*е !. Пусть точка у е ©,Ю) и и]=и+1 иГ=1 и](Г,) =иП=1(^!. х V;) - открытое (замкнутое) подмно-

(1<, <п )

жество кружевного пространства (X, и) с равномерностью и содержащей и (у) = (у}. Докажем, что для каждой точки % е ( и]=И+1 и;=1 и]) = иП=1^ х V;) у)у справедливо соотношения

(1<;<п)

и(%) с (и .=в+1 и"=1 и](^) = и"=1(р. х V.).

(1<,<п)

Предположим, что точка % е ((©, Ю)

п ( и=и+1 иГ=1 и]^) = и;=1 V х V) у )у). Тогда очевидно, что

(1<;<и)

и(%) = (%} С (и .=п+1 и;=1 V]V) = иим х V;.).

(1<;<п )

Если точка % е ((((и .=И+1 и^ и}^) = иП= (V х V,) у)у \ (©,

(1<,<п)

Ю), то рассмотрим любое (V]=и+1 = иП=1(и, х и.) е Е с точкой

(1< п<~)

% е I ( V]=и+1 = иП=1(и; х и,). Так как, точка уе! % и

(1<п<-) (V]=п+1 =иП=1(и, хи, )

точка % е ((((и ^ и", и т, иП= (V х V,) т) т п ! ^ ,

(1<\.4 V ] = П+1 =и»=1(и;. хи;. )

1 е а<»<-) ТТ

то по лемме 1 получим, что точка % п е и .

^ Ъ(^=п+1 =и=1(и, хи,) т

(1<п<» )

Таким образом, точка % е !* и

(1<П<~ )

и у=„+1 и"=1 и. V) =и П=^ х V,)), у) < % (гу=„+1=и»=1(и; хи,) = п( °

1 <, <п) (1<п<~)

(^=п+1 =иП=1 (и,хи,) ,а (V].=п+1 =иП=1 (и,хи,) ). (1<п<~) (1<п<~)

А так как, точка ^^и.щ) е и, п ( О

/а п , то по лемме 1 следует, что точка

(V ...л =1 |П (И; -ХТТ: \ '

V] =п+1 ^^хи,) /а(v ]=п+1 ^(и,хи,)

(1<п<") (1<п<-)

а] =ип=1(ихи,) е(и]=п+1 ип=1 и](V) = иn=l(v■ хv;)

]=п+1 (1<п<~)

(1<, <п)

Следовательно, очевидно, что (а (V

] =п+1 =ип=1 (и, хUi) (1<п<~) 1

!(^=п+1 =ип=1(и, хи,))} е Е и точка

]=п +

(1<п<~ )

<э1Ь

^ К V^ =un=1(U! х Ut))} с (u j=n+1 UjV) =un.1(Fi X Vt) .

(1<n<-) (1<i<n)

Отсюда вытекает,что u(E,) с (u j=n+1 u^=1 Uj(V) = u^Vi х Vi) . Что и

(1<i<n)

требовалось доказать. ЛИТЕРАТУРА

1. C.R. Borges. On stratifiable spaces //Pacific journal of mathematics. Vol. 17, №1,1966.

2. Olof Hanner. Retraction and extension of mappings of metric and non metric spaces //Arkiv for mathematic.Band 2,nr.16. 1952.

3. E.A. Michael. Some extension theorems for continuous functions // Pacific journal of mathematics.- Vol. 3. 1953. P. 789-806.

4. A.Grothendieck. Produits tensorids topologiques et espace nucleares // Memoirs Amer. Math. Soc. - Vol.16. 1955.

5. A. Reihe (Heft 1). Nukleare lokalkonvexe raume //Akademie-Verlag. Berlin,1965.

Усен Абдыманапов, канд. физ.-мат. наук,

Московский финансово-юридический университет МФЮА E-mail: [email protected]