Решения уравнения Лапласа Бельтрами на многообразиях с модельными концами Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.А. Корольков, 2005

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА - БЕЛЬТРАМИ НА МНОГООБРАЗИЯХ С МОДЕЛЬНЫМИ КОНЦАМИ

С. А. Корольков

В работе рассматриваются решения уравнения Лапласа — Бельтрами на многообразиях с модельными концами. На основе спектральных свойств рассматриваемых многообразий доказана разрешимость некоторых краевых задач и получена точная оценка размерности пространства гармонических

функций, ограниченных либо сверху, разия.

Введение и основные теоремы

Классическая формулировка теоремы Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в Кп функция является тождественной постоянной. В последнее время осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор Ь. Будем говорить, что на М выполнено обобщенное (А, £)-лиувиллево свойство, если пространство решений уравнения Ьи = 0, принадлежащих функциональному классу А, имеет конечную размерность. Оценки размерностей различных пространств решений эллиптических уравнений на некомпактных ри-мановых многообразиях были получены в работах ряда математиков *.

В данной работе в качестве эллиптического оператора Ь рассматривается оператор Лапласа — Бельтрами Л и, соответственно, рассматриваются гармонические функции.

© Ряд работ был посвящен изучению

либо снизу на каждом конце многооб-

гармонических функций на многообразиях с концами. Пусть М — полное некомпактное риманово многообразие и В С М — компактное множество. Связную неограниченную компоненту Е С М \ В такую, что дЕ — компакт, будем называть концом М по отношению к В. Если число концов М относительно некоторого компактного множества равномерно ограничено сверху целым числом, то говорят, что М имеет конечное число концов. В этом случае существует положительное И и целое к > 1 такие, что если О — некоторая ограниченная область, содержащая В0{В), то М \ П имеет ровно к неограниченных компонент. Здесь В0(Я) — геодезический шар радиуса Я с центром в точке о £ М. Различают концы параболического и гиперболического (или непараболического) типа. Конец называется концом параболического типа, если его емкостный потенциал равен тождественно константе, и гиперболического типа в противном случае 2.

Во многих работах рассматривались различные пространства гармони-

ческих функций на многообразиях с концами. Так, в 3 было доказано, что если многообразие М имеет т концов, то т < с11шН/(М); более того, если М имеет гиперболический тип, то т < сПт1Н1+(М),' где Н'(М) — пространство гармонических на М функций, которые ограничены либо сверху, либо снизу на каждом конце, Н+(М) — пространство неотрицательных гармонических на М функций. Там же было показано, что если М имеет неотрицательную кривизну Риччи, то сНтН'(М) - с}1тН+(М) = т.

В данной работе рассматриваются многообразия с модельными концами. Пусть полное риманово многообразие М представимо в следующем виде:

м = в и д и д и... и и

где В — некоторый компакт, а компоненты связности Д изометричны прямому произведению [Го, +00) хБг С МвТ-риками <1з2 = (1г2 -\-д1{г)йв^. Здесь 5г — компактные римановы многообразия без края, gi{r) — положительные гладкие на [г0, +ос) функции, (Ю{ — метрика на Si. Компоненты связности Д будем называть концами многообразия М по отношению к компакту В.

Будем рассматривать гармонические функции на описанных многообразиях.

Введем обозначения:

К

оо

=Iя1

‘(«)Л

ГО

оо /с \

J9і~п(ї) | J д?~Ч№ 1 (ії,

Что

Замечание. Конец Д имеет гиперболический тип тогда и только тогда, когда Кг < оо.

Доказательство легко получается из того, что функция

Г

М = I «?-"(«)*

го

является емкостным потенциалом конца

Д 4.

Несложно показать, что на каждом конце Д выполнено в точности оДно из условий:

1) К^ — ОО.

2) К{ < ОО, /г = оо. Будем говорить, что такой конец Д имеет слабо гиперболический тип.

3) /; < оо. Будем говорить, что такой конец Д имеет строго гиперболический тип.

Определение 1. Пределом функции и по концу Д назовем число

Нт и{г,9Л = Нш и(г,9Л,

Di oo,Oi€Si

если последний предел существует и не зависит ОТ 9г.

Определение 2. Потоком гармонической функции и по концу Д назовем ЧИСЛО

йихи =

А

—И 1

где П = СІІГП М.

А па Во (г)

где и - единичная внешняя нормаль к дВ0(г).

Заметим, что в силу формулы Грина величина потока не зависит от г.

Ранее А.Г. Лосевым в работе 5 были даны точные оценки размерностей пространства ограниченных и конуса положительных гармонических функций на указанных многообразиях.

Целью данной работы является оценка размерности пространства Н'(М) и доказательство разрешимости некоторых краевых задач для функций и е Н'(М).

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть на многообразии М в концов Д, г = 1,5 имеют параболический тип, I концов j = « + + I имеют слабо ги-

перболический тип и р концов Д, к = в + 1 + 1, ...,з + 1+ р имеют строго гиперболический тип, причем 1+р > 1. Тогда для любого набора (аг, а2, ■ ■■, а3,

^5+2) •••) Ь3+1, Ф3+1+1,...,Фа+1+р), где а\,...,а8, Ь8+1,..., Ь8+1 — произвольные константы, а Фк = Ф*(#*) ~ непрерывные на 5* функции, существует единственная функция и £ Ш'(М) такая, что

Аихи = а», г = 1,5;

Нти — ^' = 5 + 1,я + I;

О}

Пт и(г,9к) = Ф к(вк), г-юо,вкеЗк

к — в —(— / —|— 1,..., 5 Н- / -1-

Аналогичное утверждение для функций и е И +(М) было доказано в работе 6.

Используя доказательство теоремы 1, несложно получить следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть многообразие М имеет в концов параболического типа и I >1 концов слабо гиперболического типа и не имеет концов строго гиперболического типа. Тогда

сИтШ'(М) — з + 1.

Таким образом, учитывая работу 7, на многообразиях с модельными концами справедлива оценка

сНтН'(М) = сНтИ+(М) = з + 1.

1. Вспомогательные утверждения

Переобозначим для фиксированного г Д через £> и 5; через 5.

Лемма 1. 8 Пусть Г2 — пред-компактное открытое множество в М, граница д£1 которого состоит из непересекающихся компактных гиперповерхностей и ^2. Пусть и — гармоническая функция в О, непрерывная в О, причем и\рх < 0, и\р2 > 0. Тогда

[ ди , [ ди , '

У ТЛ = “ / > °’

і=і

где и — единичная внутренняя нормаль.

Лемма 2. Пусть и Є Ш'(М). Пусть И С М — некоторый конец многообразия М. Тогда

їіихи(г,в) = дп~~1(гі) У и'г(г1,в)сі6,

где Г\ > го — произвольное фиксированное число.

Доказательство. Непосредственно из определения имеем

-I

£>,П дВа(г)

^9"- (г)М

= j и'г(г, 9)дп 1(г)<Ю =

= дп~1(г) I и'г(г, в)(1в, я

что и требовалось показать.

Лемма 3. Пусть и £ Н'(М). Пусть В С М — конец слабо гиперболического типа. Тогда существует конечный предел

Нт и(г,в),

г—>оо,(г,в)бО

не зависящий от в.

Доказательство. Поскольку и £ Н'(М), то функция и(г,в) ограничена либо сверху, либо снизу на £>. Пусть и ограничена сверху на И константой N. Тогда функция

/(г, в) = N - и(г, в)

является гармонической и положительной на .О. Как показано в 9, существует конечный предел

Нт / на £>,

г—► оо

не зависящий от в. Учитывая, что и(г,9) = N — /(г, в), получаем требуемое.

Доказательство в случае, когда и ограничена снизу на I), аналогично.

2. Доказательство теоремы 1

Построим функцию и[х) £ Н'(М) такую, что

Них и = а*, г = 1,.... в: \imu-bj, ] = в + 1,я + I]

Нт и(г,вк) = Фк(0к),

1—►оо,(?(г€5(г

к' — 8 + I + 1,я + I + р

и покажем, что она будет единственной для набора аь ..., а3, 65+1, ..., 65+г, Фб-н+ь •■•> Фз+г+р-

Рассмотрим непрерывные функции Фк\дк), к = в + / + 1,в + I + р. Т. к.

$к £ Бк, а 5* — компактное многообразие, то существует

Ь= тт тт Фк(0к). (1)

к—5-ЬЛ-1,...,5-Ь/+Р

Рассмотрим новый набор функций

<вд) = - ь,

Очевидно, ЧТО Ф^^А:) ЯВЛЯЮТСЯ НеОТрИ-цательными непрерывными функциями на Бк. В 10 показано, что на М существует единственная положительная гармоническая функция и'(х) такая, что ее потоки по концам параболического типа, как и пределы по концам слабо гиперболического типа равны нулю и

Пт и (г, вк) = Ф’к(вк),

г-юо,0*.€5к

к = в 1 8 1 р.

Введем следующие обозначения:

1) Если г = 1,я, то положительную гармоническую на М функцию, поток которой по концу параболического типа Д равен 1, а потоки по остальным концам параболического типа, как и пределы по всем концам гиперболического типа равны нулю, будем обозначать через /о4.

2) Для .7 = 5 + 1,в +1 через будем обозначать положительную гармоническую на М функцию, потоки которой по всем концам параболического типа равны нулю, предел по концу слабо гиперболического типа 1), равен 1, а остальные пределы по всем концам гиперболического типа равны нулю.

Заметим, что существование положительных гармонических функций /й!> /а,. ^оз+1, ..., /гд,+; доказано

в11.

Построим на М функцию и" € Ш'(М) такую, что ее пото-

ки по концам параболического типа равны ах,...,а8, ее пределы по концам слабо гиперболического типа равны Ь'3+1 ,...,Ь'8+1 и ее пределы по концам строго гиперболического типа равны нулю. Здесь Ь'3+1 = Ь3+1 — Ь, ..., Ь'1+[ = Ь8+г — Ь, константа Ь определяется по формуле (1).

Очевидно, что этим условиям удовлетворяет функция

и" = ][>/«, + 53 е ЩМ).

г=1 ,;=5+1 . ■

Покажем, что построенная функция и" е Ш'(М) будет единственной на М.

Пусть щ £ Н'(М) и «2 £ Ш'(М) такие функции, для которых наборы («1,а3, Ь'е+1, ...,Ь'5+[) совпадают и пределы по концам строго гиперболического типа равны нулю. Рассмотрим функцию

и

Щ - и2.

Очевидно, что и* Е Н'(М) и ее потоки по всем концам параболического типа, как и пределы по всем концам гиперболического типа, равны нулю. Покажем, что

и* - 0.

откуда будет следовать единственность.

Пусть Д — конец параболического типа. Функция и*(г,в) ограничена либо сверху, либо снизу на Д. Пусть и*(г,9) ограничена сверху константой N на Д. Рассмотрим функцию

${х) = Ы- и*(х).

Очевидно, что функция / является неотрицательной гармонической на Д

функцией, причем ее поток по концу Д равен нулю. Тогда, как показана в 12, существует конечный предел функции / по концу Д. Отсюда следует существование конечного предела функции и* по концу Д. В случае, когда функция и* ограничена снизу на Д, аналогично можно показать, что существует конечный предел и* по концу Д.

Положим

Рг= Нш и*(г, в{), г = 1,...,в + 1 + р

Г—*00,0*65*

и

р = ПИП Рі. г=1,...,8

Т. к. пределы функции и* по концам гиперболического типа равны нулю, то Р2 = 0 для всех j = 5+1, в + 1+р.

Предположим, что р < 0. Пусть I — набор индексов таких, что Пт и* = р. Тогда существует такое

Ог,ге1

£ > 0, ЧТО

р < -£ <р{, % 0 /. Рассмотрим функцию

у = и* +е.

Заметим, что Аиху = Аихи* = 0 для

А Ог

всех г = 1,..., в. Рассмотрим при достаточно больших г область, ограниченную всеми сечениями Д (г) = Д П дВ0г, г = 1,6 + I +р. Тогда

У(г, 0)! £>Дг),ге/ < 0, У(Т, 0)Ь*(г) ,г£/ > 0, откуда из леммы 1 следует, что

> °>

ІЄ/

ЧТО противоречит условию ЙЦХД; у — 0 Уг = 1,

Таким образом, предположение с том, что р < 0 не верно, откуда в силу

Вестник ВолГУ. Серия 9. Вып. 4. 2005. Ч. 2

15!

принципа максимума функция и* неотрицательна на М. Аналогично можно показать, что

Р = тах Рі < О,

г=1,...,5

откуда в силу принципа максимума функция и* неположительна на М.

Окончательно получаем, что и* = 0 на М.

Единственность функции и"(х) на М показана.

Таким образом, мы построили на М две функции и'(х) Є и"(х) Є Ш(М) такие, что

йихг/ = 0, г = 1,в;

Оі

Нтг/ = 0, і — в + 1, 5 + I;

О]

Пт г/(г А) = Щ0к),

г->сс,9кЄ8к к — 5 4“ / -Ь 1,в + I + р

fluхи" = di, г = 1,...,з;

А

Пт и" = 6', j = s + 1,s + Z;

Dj

Пт гі"(г, 6»fc) = 0, r->oo,ekeSk

к = s + / + 1,s + / + р,

где Ф'к(вк) = фк{дк) - L, b'j = bj - L, L = min min Фk(0k)- Кроме

і' dkG'Sh

того, показано, что функции и'(х) и и"{х) являются единственными на М. Рассмотрим функцию

и(х) — и'(х) + и"(х) + L.

Очевидно, что и(х) Є Ш'(М) и

Йихгх = а,, і = 1,s:

Di

limn = bj, j = s +1, ...,s + I] lim u(r,6k) = Фк(0к),

Г—

к = S I i, S -j- I p.

Кроме того, функция u(x) является

единственной для набора а\, ..., а3, Ьа+\,

• ■ •» ^3-\~1 > Фв+/+1, ..., Ф5+;+р в силу единственности функций и'(х) и и”(х). Теорема 1 полностью доказана.

3. Доказательство теоремы 2

Пусть многообразие М не содержит концов строго гиперболического типа. Пусть, как и ранее, Д,— концы параболического типа, Д,+1,Д+/ — концы слабо гиперболического типа, I > 1.

Несложно проверить, что положительные гармонические функции Д^,

• /л,, Ь,1)3+1, ..., кПа+1 линейно неза-

висимы.

Пусть и Е Ш'(М). Из леммы 3 следует, что на концах Д,+ь Д,+( существуют конечные пределы функции и, не зависящие от в^, j = з + 1,в + I. Пусть Ьц+1,Ь8+1 — набор этих пределов. Пусть также а1,...,о5 — потоки функции и по концам параболического типа Д,..., Д. Рассмотрим функцию

в в+1

и =?. 11 ^ ^ 0,г«/рг- ^ ^ •

г=1 ^=5+1

Очевидно, что и* £ Н'(М) и ее потоки по всем концам параболического типа, как и пределы по всем концам слабо гиперболического типа, равны нулю. Как и при доказательстве теоремы 1 несложно показать, что и* = 0, откуда

й $+I

и = ^2аг1п,+ ^

г=1 %7==5-1-1

т. е. набор /£)х, ..., /с»в, Л-д,+/

является базисом пространства Ш'(М).

Отсюда окончательно получаем, что dimH'(M) = s + L Теорема 2 доказана.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Григорьян А.А. О множестве положительных решений уравнения Лапласа — Бельтрами на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Матем.: 1987. № 2. С. 30-37; Grigor‘yan A. Analitic and geometric background of recurrence and nonexplosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bull. Amer. Math. Soc. 1999. V. 36. P. 135-249; Kim S.W., Lee Y.H. Generalized Liouville property for Shrodinger operator on Riemannian manifolds // Math. Z. 238 (2001). P. 355-287; Корольков C.A., Лосев А.Г. О множестве положительных решений уравнения Лапласа — Бельтрами на модельных многообразиях // Вестник ВолГУ. Сер. 1: Математика. Физика. Вып. 8. 2003-2004. С. 48-61; Li P. Curvature and function theory on riemannian manifolds // Survey in Differential Geometry (to appear); Li P.,

Tam L.F. Harmonic functions and the structure of complete manifolds // J. Diff. Geom. 1992. V. 35. P. 359-383; Лосев А.Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Матем. 1991. № 12. С. 15-24.

2 См., напр.: Grigor‘yan A. Op.cit.

3 Li P., Tam L.F. Op.cit.

4 Cm.: Grigor‘yan A. Op. cit.; Лосев А.Г. Указ. соч.

5 Лосев А.Г. Указ. соч.

6 Корольков С.А., Лосев А.Г. Указ. соч

7 Лосев А.Г. Указ. соч.

8 Григорьян А.А. Указ. соч.

9 Корольков С.А., Лосев А.Г. Указ. соч

10 Там же.

11 Там же.

12 Там же.