Решение задачи Вебера для специальных случаев размещения на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскуе чтения. 2014

УДК 519.6

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЕБЕРА ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЕВ РАЗМЕЩЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Л. А. Казаковцев, М. Н. Гудыма

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-шаП: [email protected]

Предложен алгоритм решения задачи Вебера на основе процедуры Вайсфельда для случаев с допустимыми областями решения, ограниченных дугами. Алгоритм проверен экспериментально, проведено сравнение с другими распространенными алгоритмами.

Ключевые слова: задачи оптимизации, задача Вебера.

SOLVING WEBER PROBLEM FOR SPECIAL CASES OF PLANAR LOCATION

L. A. Kazakovtsev, M. N. Gudyma

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: [email protected]

Keywords: An algorithm based on Weiszfeldprocedure for solving Weber problem for cases with allowable solution region bounded by circular arcs is proposed. Algorithm was experimentally tested and compared to other popular algorithms.

Keywords: optimization problems, Weber problem.

Задача размещения, предложенная Альфредом Ве-бером в 1909 [1], - это непрерывная задача оптимизации, заключающаяся в поиске такой точки X е Шп, что

N

X* = arg min f (X) = arg min Yw^ II A -X II, (1)

X еШп X еШп i=1

где Ai еШп, i е{1, n} - некоторые заданные точки, называемые точками-потребителями; wi еШ, wi > 0 -это их весовые коэффициенты, || -1| - это некоторая

норма Шп ^ Ш.

Примеры использования задачи Вебера включают в себя такие задачи, как задача размещения склада, задачи размещения компьютеров, коммуникационного оборудования, а также базовых станций беспроводных сетей.

Задача (1), изначально сформулированая Вебером для евклидовой нормы (|| -1|= l2(-)) [1; 2], позднее обобщена для lp норм и других метрик [3-6].

Вид метрики, используемый в практически важных задачах размещения, зависит от различных факторов, в том числе свойств транспортных средств. В случае системы общественного транспорта стоимость обычно зависит от расстояния. Однако обычно есть некая минимальная стоимость. Например, первоначальная стоимость проезда в такси может включать в себя некоторое расстояние, обычно 1-5 км. Пересчитав растояние так, чтобы расстояние, пройденное за начальную цену, было равно 1, мы можем описать функцию расстояния dP как

dP(X,Y) = max{|| X -Y ||,1}VX,Y е Шп . (2)

Задача раскладывается на серию задач размещения с ограничениями в евклидовой метрике, где область допустимых решений ограничена дугами. У каждой задачи есть допустимая область, равная пересечению дисков с центром в точке-потребителе.

Предложен простой метод, основанный на процедуре Вайсфельда. Процедура Вайсфельда эффективна для задач размещения на плоскости без ограничений. Изменения, внесенные в классический вариант процедуры, базируются на предположении, что замена промежуточного решения на ближайшую точку из допустимой области поволит получить вариант процедуры Вайсфельда для задачи с ограничениями.

Шаг 1. Вычислить начальную точку X е Я/ (здесь Я/ - допустимое множество, ограниченное условиями); Д = .

N

/ w

Шаг 1.1. xr = ■ г1

-Vr е {1,2}. Предположим,

N

Yi=1w

что X = (Xj, x2).

Шаг 1.2. Вычислить gi = GAi (X)Vi е S< u S> ; G = Y g.

¿-He_S< uS>& 1

Шаг 1.2.1. Пока G > 0, цикл:

Шаг 1.2.1.1. Выбрать два индекса i' = arg max gi;

ieS< uS>

i" = arg max gi.

ieS< uS>\{i'}

Шаг 1.2.1.2. Если gr =0, то X = CA{ (X); вычислить gx = gai (x)Vi е S<u S>; G = YieS< uS>gi; пРодолжить шаг 1.2.1.

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Шаг 1.2.1.3. Вычислить координаты двух точек пересечения окружностей с центрами в Д и Д":

I2 = intersect (4' , 4" ) ; в^1числить C1 = СА{ (X) ; С2 = Ca,'( X).

Шаг 1.2.1.4. X = arg min G(X); G = G(X).

X e{C1,C2, Iu I2}

Шаг 1.2.1.5. Продолжить шаг 2. Шаг 1.2.1.6. Останов, вернуть C(X). Шаг 2. Пока Д > е, цикл:

Шаг 2.1. «iter = «iter + 1 ; Adenom = X^W1 II А -X И2 .

Шаг 2.2: x** = £

N

i=i 7

X Ai ||2 *ddenom

Vr 6 { 1,2} ;

X — (xi , X2 ).

Шаг 2.3: Если G(X**) > 0 , тогда X*** = C(X**), иначе X *** = X **.

Шаг 2.4: Д =|| X* -X*** ||; X* = X***.

Шаг 2.5: Продолжить шаг 2.

Шаг 3: Останов, вернуть X .

Метод испытан на специально сгенерированных наборах данных, размерностью до 10000 точек. Результаты сравнены с результатами других распространенных методов - метода Нелдера-Мида, метода Пауэлла и метода сопряженных градиентов. Предложенный метод наиболее быстрый, хотя и уступает по точности некоторым из вышеприведенных методов.

Библиографические ссылки

1. Weber A. Ueber den Standort der Industrien, Erster Teil: Reine Theorie des Standortes. Tuebingen: Mohr, 1909.

2. Drezner Z., Klamroth K., Schobel A., Wesolowsky G. O. The Weber problem, in Z. Drezner and H. W. Hamacher (ed.). Facility Location: Applications and Theory. Springer-Verlag, 2002. P. 1-3б.

3. Staminirovic P. S., Ciric M., Kazakovtsev L. A., Osinuga I. A. Single-facility Weber location problem

based on the Lift metric // Facta Universitatis, (Nis) Ser. Math. Inform. 2012. № 27(2). P. 175-190.

4. Гудыма М. Н. Алгоритм решения задачи размещения для некоторых специальных метрик // Системы управления и информационные технологии. 2013. № 54 (4). С. 20-23.

5. Антамошкин А. Н., Казаковцев Л. А. Алгоритм для задачи размещения с метрикой Москвы-Карлсруэ // Системы управления и информационные технологии. 2012. № 49 (3.1). С. 111-115.

6. Казаковцев Л. А. Алгоритм для задачи размещения с неевклидовой метрикой, основанной на угловом расстоянии // Фундаментальные исследования. 2012. № (9-4). С. 918-923.

References

1. Weber A. Ueber den Standort der Industrien, Erster Teil: Reine Theorie des Standortes, Tuebingen: Mohr, 1909.

2. Drezner Z., Klamroth K., Schobel A., Wesolowsky G. O. The Weber problem, in Z. Drezner and H. W. Hamacher (editors), Facility Location: Applications and Theory, Springer-Verlag, 2002, p. 1-36.

3. Staminirovic P. S., Ciric M., Kazakovtsev L. A., Osinuga I. A. Single-facility Weber location problem based on the Lift metric, Facta Universitatis, (Nis) Ser. Math. Inform., 2012, 27(2), p. 175-190.

4. Gudyma M. N. Algorithm for solving of location problem with some special metrics, Sistemy upravlenija i informatsionnye tehnologii, 2013, 54 (4), p. 20-23.

5. Antamoshkin A. N., Kazakovtsev L. A. Algorithm for location problem with Karlsruhe metric, Sistemy upravlenija i informatsionnye tehnologii, 2012, 49 (3.1), p. 111-115.

6. Kazakovtsev L. A. Algorithm for the location problem with non-euclidean metric based on angular distances, Fundamentalnye issledovanija, 2012, (9-4), p. 918-923.

© Казаковцев Л. А., Гудыма М. Н., 2014

УДК 621.3(075.3)

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭНЕРГИИ ПОТОКА ЭЛЕКТРОНОВ В СВЧ-КВАНТЫ

Б. Н. Казьмин, И. В. Трифанов, Д. Р. Рыжов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

Разработана компьютерная модель процессов преобразования энергии взаимодействия электронов, движущихся в плотном пучке, в электрическую энергию с целью создания ракетных двигателей нового типа и электроснабжения бортовой сети космических аппаратов.

Ключевые слова: компьютерная модель потока электронов, самосогласованное поле электронов, потенциал самосогласованного поля, энергия самосогласованного поля.