CC BY
17
УДК 629
И.А. Панкратов, Ю.Н. Челноков
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ОТКЛОНЕНИЯХ
Рассматривается задача переориентации орбиты космического аппарата (КА), оптимальная в смысле минимума интегрального квадратичного функционала качества. Для решения задачи используются кватернионные модели ориентации орбиты в отклонениях и принцип максимума.
1. Постановка задачи. Необходимо определить ограниченное по модулю управление u :
-Wmax < u < Umax < œ, U = |u|, (1)
ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями
2dДЛ/dt = ДА о Q^, Q^ = ur(cos ip i\ + sin p i2)/c, d(p/dt = c/r2, c = const, r = p/(1 + e cos ip),
(2)
из заданного начального состояния
г = 0, <(0) = <о, ДА(0) = Л0 О А* (3)
в конечное состояние, принадлежащее многообразию
г = г1, <£(¿1) = <1, ^всг(ДА(г1)) = 0. (4)
При этом необходимо минимизировать функционал
С ^
/ (а1 [ДА? + ДЛ2 + ДЛ2] + a2u2)dt, а1,а2 = сопв! > 0. (5)
Л
Здесь Л - кватернион ориентации орбиты КА, г - модуль радиуса.
вектора г центра масс КА, с - постоянная площадей, р ц в
<
ДЛ
требуемого положения, задаваемого кватернионом Л*, Л = Л* о ДЛ [1]. Верхняя волна - символ сопряжения. Величины с, р, в, < 0, Л0, Л* заданы; подлежат определению г1, <1 и оптимальный закон управления и = и(г).
2. Законы оптимального управления. Поставленную задачу будем решать с помощью принципа максимума. Для этого введем дополнительные переменные AM и х, сопряженные по отношению к фазовым переменным АЛ и Функция Гамильтона^Понтрягина имеет вид
H = —а + xc/r2 + 0.5ur(AN cos ^ + AN2 sin ^>)/c,
где AN1, AN3 - компоненты кватерннона AN = АЛ о AM; а = = a1[AA2 + AA2 + AA2 ]+ a2u2.
Система уравнений для сопряженных переменных имеет вид
2dAM/dt = 4a1vectAЛ + AM о , dx/dt = 2(x/r) dr/dt + ur(AN1 sin ^ — AN2 cos ^)/c— (6)
—0.5ur2(AN1 cos + AN2 sin /c2.
Закон оптимального управления находится из условия максимума Hu имеет вид
o f 0.25rk/(ca2), 0.25r\k\/(ca2) < umax,
u = i 7 ,,, ,, ч (7)
l umaxS2gnk, 0.25r\k\/(c«2) > umax.
Здесь k = AN1 cos ^ + AN2 sin
3. Условия трансверсальности. Вводя неопределенные множители Лагранжа A1, A2, A3, получим условия трансверсальности, соответствующие многообразию конечных состояний (4), в следующем виде:
при t = t1, AM + A = 0, A = A1i1 + A2i2 + A3i3, x = 0. (8)
Из (8) получаем следующие условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа:
при t = t1, AM0 = 0, х = 0. (9)
4. Анализ задачи. Таким образом, задача сведена к краевой задаче с подвижным правым концом траектории, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений (2), (6), (7) десятого порядка и восемью краевыми условиями (3), (4), которые необходимо дополнить двумя условиями трансверсальности (9) и равенством Ho|tl = = H^Л, AM,x,u°)\t1 = 0, имеющим место для оптимального управления uo и оптимальной траектории.
5. Пример численного решения задачи. На рисунке приведены результаты численного решения краевой задачи оптимальной
переориентации эллиптической орбиты К А для интегрального
квадратичного функционала качества (5). Безразмерные переменные тъ,
tb и управление пъ связаны с размерными переменными и управлением
2 Р2
соотношениями т = ртъ, t = Ttb = — tb; п = птахпъ.
c
Начальные и конечные значения угловых элементов орбиты задавались равными:
= П°и = 40.0°, I(0) = 1° = -70.57°, Шп(0) = = 84.98°. ) = = 212.25°, I(ti) = I* = 64.8°, шп(ti) = шП = 0.0°.
Здесь - долгота восходящего узла, I - наклонение орбиты, шп -угловое расстояние до перицентра.
Конечные значения элементов орбиты отвечают ориентации орбиты одного из спутников орбитальной группировки ГЛОНАСС. Начальное положение орбиты КА рассчитано по начальным значениям декартовых координат и проекций скорости КА, приведенным в [2, с. 95]. Начальные и конечные значения кватерниона ориентации орбиты, соответствующие этим значениям угловых элементов, равны
Л° = (0.678275, -0.245862, -0.593909, -0.353860); Л* = (-0.255650, -0.162241, 0.510674, 0.804694).
Параметры задачи полагались следующими: N = nmaxp 3/c2 = 0.35, е = 0.5, аг = а\ = 1, а\ = а2КШх)2 = 4-2> = ^о = 3.940323 рад.
и I
0.5
-0.5
-I
[0
20
25 t
Отметим некоторые особенности полученного решения. Переориентация орбиты совершается за 20.571204 единицы безразмерного веремени, что составляет в дуговой мере 13.348487 рад. Управление изменяет свой знак пять раз. Конечное значение управления близко к нулю.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 0801-00 310).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения // Геометрия и кинематика движения, М,: Физматлит, 2006, 512 е,
2, Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики, М,: Наука, 1983, 136 с,
УДК 539.3
Я.А. Парфёнова
АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ЖЕСТКОСТИ УПРУГОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В УПРУГОМ ИЗОТРОПНОМ СЛОЕ
Исследование процессов распространения гармонических волн в изотропных упругих волноводах продолжается более 125 лет. Можно считать, что к настоящему времени характеристики кругового (цилиндра) и плоского (слоя) волноводов получены и систематизированы исчерпывающим образом. Однако, практически отсутствуют работы, посвягцённые исследованию волноводов с упругим закрепление границ. Введение условий упругого закрепления представляется целесообразным, так как позволяет моделировать влияние окружающей среды на волновые процессы без решения сложных контактных задач. Данная статья продолжает цикл статей [1, 2] и посвящена исследованию процесса распространения волн растяжения-сжатия в изотропном слое с упруго закреплёнными в касательном направлении границами.
Рассмотрим плоское напряженное состояние бесконечного упругого изотропного слоя толщины 2Н7 который свободен от внешних нагрузок (|ж2| < Ь, | < то, |х3| < то). В качестве основных примем уравнения Ламе для случая плоского напряженного состояния. Упругому закреплению границ слоя в касательном направлении соответствуют граничные условия
т21 + ¿щ =0 , т22 = 0 , при х2 = ±Н , (1)
где - размерный параметр, характеризующий жесткость закрепления, при ^ 0 слой имеет свободные границы, а при ^ то -жестко закреплённые. В силу зеркальной симметрии слоя относительно плоскости х2 = 0 все возможные моды в нём можно разделить на антисимметричные (они были исследованы в [2]) и симметричные по нормальной координате, которые и изучаются в данной статье.
