Решение задачи о стационарной фильтрации в ненасыщенной области со свободной границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

По результатам наблюдения сейсмичности в различных активных регионах мира выявлено [7], что величины показателей степени различных параметров функционально связаны соотношением d + b -у = 0.

Естественно предположить, что модель OFC, находящаяся в критическом состоянии, должна также давать данный результат. Выше получены следующие параметры показателей степеней - аналоги сейсмических параметров d,b,y: d=1,36±0,01 ; b = 0,77±0,09; у = -1,81±0,09. Тогда для величины невязки запишем

d + b - у = 0,0 ± 0,2,

что согласуется с экспериментальными данными по сейсмическому режиму в широком диапазоне пространственных и энергетических масштабов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Olami Z., Feder Christensen K. Self-organized criticality in a continuous, non-

conservative cellular automaton modeling earthquakes, Phys.Rev. Lett. 68, Р.1244-1247. 1992.

2. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of 1/f noise. Phys. Rev. Lett. 59, Р.381-384 , 1987.

3. Grassberger P., Phys.Rev. E 49,2436. 1994

4. Christensen K., Olami Z. Phys.Rev. A 46,1829. 1992.

5. Lise S., Paczuski M. Self-organized criticality in a nonconservative earthquake model, Phys.Rev. E 63,36111. 2001.

6. Шустер. Г. Детерминированный хаос. - М.: Мир, 1988. - 240 с.

7. Aki K. Probabilistic synthesis of precursory phenomena in earthquake prediction. Amer.Geoph.Union, Wash, An International Review. 1981. P. 556-574.

А.А. Афонин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В НЕНАСЫЩЕННОЙ ОБЛАСТИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

Пусть область фильтрации представляет собой открытую ограниченную односвязную область ПаЯ" (п = 2,3) с липшицевой границей. Граница дО, представляет собой совокупность измеримых множеств 51, 52, 53, имеющих соответственно непроницаемую границу, границу с воздушной средой и границу с водным резервуаром (одним или несколькими) (рис. 1).

Чтобы быть уверенным в существовании нетривиальных решений, предполо жим, что т(83) 0. Течение через О описывается давлением р(х). Предположим, что атмосферное Рис. 1. Геометрия задачи давление является постоянным

p0=const>0 на 52 и что давление жидкости на неотрицательно Это означает, что давление нормировано таким

образом, что капиллярное давление равно нулю. Оно является давлением, ниже которого насыщенное течение отсутствует. Капиллярное давление зависит от жидкости и пористой среды и обычно ниже атмосферного давления, но часто этой разницей пренебрегают.

Закон движения жидкостей в пористой среде, описанный обобщенным законом Дарси, имеет вид

у=-К(Ур+ Ух„). (1)

Вследствие несжимаемости жидкости (воды) имеет место также уравнение неразрывности

Уу=0 . (2)

Граничные условия на границе области О имеют вид

Р >Ро на Б3, (3)

ун=0 на 51, (4)

р < ро, ун >0, (р-ро) ун=0 на 52. (5)

С одной стороны, условие (5) на 52 говорит о том, что из-за капиллярных сил

давление на 52 может быть меньше, чем внешнее давление р0; в этом случае нет

течения через эту часть границы. С другой стороны, давление на 52 может превышать атмосферное давление; поэтому флюид высачивается из поровой среды, образуя границу высачивания Г4 (со вторым граничным условием (5) на ней). Гидравлическая проводимость К зависит от х и р. Будем считать

К(х,р)=к(р) а (х), (6)

где к(р) - неотрицательная ограниченная функция; а(х) - измеримая ограниченная, равномерно эллиптическая матрица.

Рассмотрим математическую модель, относящуюся к макромоделям в областях со свободной границей. В этом случае

к(рЧ0, р :=4р*. (7)

Введем выпуклое множество

М (р0 )={ое№1,2 (о) : и > р0 на 51 и и < р0 на 52}. (8)

Тогда краевая задача (1) - (5) эквивалентна вариационному неравенству

|у(и- р)а(Ур + Ухн)> 0 для "и єМ(р0) (9)

О

с рє М(р0). Так как р0 > 0 и к(і')=0 для 5< 0, можно утверждать, что р > 0; тогда

к(р) = 1 в указанном выше интеграле. Таким образом, область О разделена на 2 об-

ласти {р>0} и {р=0} и формально р удовлетворяет следующим условиям на свободной границе:

р=0, (Ур+Ух„)н =0 наГ2.

Поставим для стационарной фильтрации в области О следующую задачу.

Задача. Найти пару (р, у) с

рєМ(р0), р > 0, (10)

уєЬ¥(О), С{р>0}<У<1 (11)

такую, что

|у(и-р)а(Ур + уЧхп)>0 для "иеМ(р0) . (12)

п

Это означает, что в области насыщения {р>0} давление удовлетворяет эллиптическому уравнению в то время как в области П/{р>0} функция у есть решение уравнения 1-го порядка, описывающего течение в ненасыщенной области; {у = 0} является областью сухого грунта. Имеются примеры, когда множество {0<у<1} имеет положительную лебегову меру (например, фильтрация в прослойке крупного песка, находящейся между двумя слоями мелкого). С другой стороны, множество {р>0} является субграфом, если У(аУхп)>0.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Существует решение (р,у) задачи (10) - (12), причем р непрерывна по Гельдеру.

Сначала докажем лемму 1.

Лемма 1. Пусть П является цилиндром 5*х(0,Н) (5* - основание цилиндра), а = Е и любая точка вертикальной границы ЗП принадлежит либо 51, либо 52и53. Тогда если (р,у) является решением задачи 1, функция

н

м>=м>(х*,хп)= ^ р(х*,,^,5 (13)

X,

принадлежит выпуклому множеству (^о определяется аналогично)

К(м>0)={ие]¥1,2(П): и>0 и и=м>0 на 52и83; и=м>* на }

(14)

и является решением вариационного неравенства

| (У(и-м>)У№ + (и-м>)м>)ёх > 0 для "иеКУ0) (15)

(здесь § - непроницаемая часть вертикальной границы П, а ^*=^(х) на §1). При этом м>*еК*, где

К*(^0) = { ие^’2(5*) : и=^0 на 52и53 },

является решением неравенства

^ У(и-м>)Ум> dx = 0 для "иеК*(^0) .

п

Доказательство. Прежде всего заметим, что множество {р>0} является субграфом свободной поверхности. Это свойство является существенным для преобразования (13), так как мы заключаем, что

{р>0} = {^>0}.

Введем пробную функцию

д(х*, хп )= т]{х*)+ |ф(х*, ^)ж,

0

где С ¥ (з * и ~) И ф е С0”(пи ,~1); откуда имеем равенство

0 = |^(Ур + Ж{р>о}Ухп)^ = $Уг1^^х +1 (уфу^ + фс{„>о}) ^,

п п п

которое доказывает лемму.

Рассуждения, касающиеся леммы 1, относились к математической модели фильтрационных течений в больших областях, к которым, собственно, относятся фильтрационные течения со свободной границей (в этом случае мы полагали, что к(р) = е(р), где е(/) - функция Хэвисайда).

Рассмотрим теперь математическую модель для так называемых насыщенноненасыщенных течений в микрообластях размером в несколько метров. В этом случае зависимость проницаемости от давления к(р) является иной, чем в предыдущем случае, хотя, конечно, зависит от пористой среды и флюида.

Лемма 2. Пусть к является непрерывной по Липшицу положительной функ-

о

цией, причем к(р) = 1 для р > 0 и | к (р)ф = ¥ . Тогда существует, причем един— ¥

ственное, решение реМ(ро)п£“(П), удовлетворяющее неравенству (9):

|у(и-р)(к(р)а)(Ур + Чхп )> 0 для "ие М (ро ) .

п

Доказательство. Используя преобразование Кирхгофа

р(х) = !к(р(х)) = |к(з№, (16)

0

видим, что необходимо найти функцию р е М (р0 )(р0 = /к (р0)) такую, что

|у(и-р)а(чр + к • /к1 (р)Ухп )й?х > 0 для "ие М (р0) . (17)

п

Так как неравенство (17) является равномерно эллиптическим вариационным неравенством, оно имеет решение; вследствие того, что нелинейность к(р) является непрерывной по Липшицу, оно является единственным. Вследствие ограниченности решения имеем

р = /к\р )е Н1,2 (п)п Г“(п), (18)

р(х) является решением исходного вариационного неравенства.

Аппроксимация проблемы свободной границы условиями леммы 2 может быть оправдана следующими допущениями. Примем последовательность моделей, связанных с исходной, определенной леммой 2, параметром е > 0, например, для "больших" областей с соответствующими граничными условиями:

п =±0, §е = , . . . , ре (х) = ~ ро (х).

е е й ее

Пусть ре(х) является соответствующим решением.

Тогда функция ре (х) = ере I х I (является решением, относящимся к п, $}.

$2, S3, Ро и

ks (Р^ = кie) .

Доказательство теоремы. Рассмотрим последовательность липшицевых положительных функций ке, удовлетворяющих условиям:

ке(5) = 1 для 5 > 0; ке(5) < 1 для 5 < 0,

к ® 0 равномерно на (-ж,-8) для "8> 0 при п ® ж, причем

о

\ks(s)d'

S=¥ .

Тогда соответствующее решение peeM(p0) удовлетворяет неравенству

Jv(u-ps)ks(ps)a(Vps + Vxn) dx > 0 для Vue M (po)

n

и преобразование Кирхгофа pe= fke (pe) удовлетворяет неравенству:

Jv(u-pe)a(Vpe + ks(ps)Vxn )dx > 0 для Vue M (po ),

n

где ke = ke f— (Здесь p0 = p0, так как p0 > 0 и ke(s) = 1 для s > 0).

Полагая u = p 0, получим, что pe ограничено в W12(n). Поэтому мы можем выбрать подпоследовательность такую, что

pe ® p (сходится слабо) в W1,2(W), pe ® p почти везде в П.

Кроме того, так как ke ограничена, существует функция yeL“(Q) с ks(ps)®Y в L¥(W). Тогда

j vua(v ps + ks (ps )vxn) dx > j pa(v ps + ke (ps )Vxn ) dx =

n n

= j vmax(ps,0}x(vmax(ps,0)+Vxn)dx + J vpa(vps + ke{pe)Vxn) dx

n U >0}

в пределе при e®0 получим

J Vva^V p + yVxn )dx > J V max (p^^V max (p,0)+Vxn )dx +

n n

+ iim sup jv pa(v pe + ke (pe )Vxn)dx

e®0 1

{pe<0}

или

J V(V - p)a(vp + yVxn)dx > JVmax (p,°)aVxn(1 -y)dx~

j V min (p,0)a(v p + yVxn )dx + lim sup jVpea (vpe+ ks(ps)Vxn )dx .

•* e® 0 ч

n {pe<0}

Очевидно, что 3 слагаемых в правой части последнего неравенства равны 0 и p > 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Bruch J.C.A survey of free boundary value problems in theory of fluid flow through porous media variational inequality approach. Part 1. Adv. Water Resources, 3, 1980.

2.Афонин А.А. Математическое моделирование реальных нелинейных задач фильтрации со свободной границей // Известия ТРТУ. Тематический выпуск. “Перспективные системы и задачи управления”. 2006. №3.

В. К. Гадельшин, Д.С. Любомищенко

ОЦЕНКА ИНТЕНСИВНОСТИ ВРЕДНЫХ ВЫБРОСОВ ОТ АВТОТРАНСПОРТА МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В настоящее время очень актуальной стала проблема загрязненности атмосферы городов. Основным источником загрязнения в большинстве случаев является автотранспорт, на долю которого выпадает 70 — 90 %. При неблагоприятных метеоусловиях, вблизи крупных транспортных магистралей предельно допустимые концентрации превышены в десятки раз!

Сложность проведения натурных экспериментов, а также их чрезвычайная дороговизна делают невозможным проведение таких мероприятий повсеместно и оперативно. В связи с этим возникает необходимость прибегать к методам математического моделирования.

В данной работе рассматривается объединенная модель движения воздушной среды в приземном слое атмосферы и модель диффузии - конвекции, а также описывается программный комплекс, реализующий поставленную задачу.

Система уравнений приземной аэродинамики включает уравнения движения по трем координатным направлениям, уравнение неразрывности, уравнение состояния и транспорта теплоты. Решение задачи будем искать в прямоугольном параллелепипеде G с поверхностью S, состоящей из боковой поверхности Е, нижнего основания Е0 и верхнего Eh. Уравнения модели рассматриваются в системе прямоугольных координат геоинформационной системы (ГИС) г. Таганрога.

Исходными уравнениями аэродинамики являются:

• уравнения движения (Навье — Стокса):

ut + (UU)X + (vu)'y + (WU X =- — p'x +— (U"X + u"yy ) + -(hvu Z X ,

p p p v + (uv)X + (vv)'y +(wv X = --py +—(v"X+Vy)+-(hX X,

p p p wt +(uw) x + (vw) y + (ww )Z = -- p'z + — (w'Xx + w'"y) + — (—yz )Z ; (1)

p p p

• уравнение неразрывности: