Решение задачи о численном построении модели, подобной по жесткости исходной конструкции, как задачи квадратичного программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том VII 197 6

М 1

УДК 629.735.33,015.4:533.6.013.425

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ЧИСЛЕННОМ ПОСТРОЕНИИ МОДЕЛИ, ПОДОБНОЙ ПО ЖЕСТКОСТИ ИСХОДНОЙ КОНСТРУКЦИИ, КАК ЗАДАЧИ КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В. А. Транович, Ю. Ф. Яремчук

Задача о численном построении конструктивно-простой модели, представляющей собой пластину кусочно-постоянной толщины, сведена к задаче квадратичного программирования с ограничениями в виде неравенств, и последняя решается методом .субоптимизации на многообразиях*.

Одним из этапов исследования явлений статической аэроупругости в аэродинамической трубе является проектирование и изготовление модели летательного аппарата. Изготовление конструктивно-подобной модели —длительный, трудоемкий и дорогостоящий процесс. Поэтому желательно иметь методы проектирования конструктивно-простых упругих моделей, имеющих жесткостные характеристики, близкие к подобным характеристикам реальной конструкции, т. е. приближенно упругоподобных моделей.

Один из методов представлен в работе [1]. Предполагается, что модель по форме в плане подобна исходной конструкции и состоит из примыкающих друг к другу пластин трапециевидной формы и постоянной толщины, причем разбиение модели на составляющие пластины проводится произвольно. Неизвестные толщины пластин модели определяются из условия подобия матриц жесткости модели и исходной конструкции*, т. е. из условия подобия конструкций по жесткости. Для этого известные элементы матрицы жесткости исходной конструкции grs с множителем Кг приравниваются к соответственным элементам матрицы жесткости модели, выраженным в виде функции неизвестных цилиндрических жесткостей составляющих модель пластин, в результате получается N уравнений (М — число обобщенных координат или порядок матрицы жесткости) относительно п неизвестных Д/ (л<АГ2): "

П

г, 6-=3,2.....К; (1)

1=1

здесь = ^/(^ — коэффициент подобия по жесткости, учитывающий изменение линейного масштаба модели и масштаба скоростного напора <7;

агя — Г Г (д*тг дг т' д2 (' 1 0 \(^*Е*_д^А‘ахаг

‘ ,] \ дх2 дг^ дх дг) у о 0 2(1— ч) )\^х2 дг2 дхдг)

* Имеется в виду матрица жесткости конструкции относительно обобщен ных координат [3].

есть элемент матрицы жесткости I-й пластины, занимающей область Я;, с жесткостью, равной единице; ч — коэффициент Пуассона; х, г—координаты в плоскости модели; t — транспонирование.

Система уравнений (1) решается методом наименьших квадратов, что эквивалентно задаче

N / п \2

minn = min £ I • (2)

D‘r, s=i \г=1 /

Однако такое решение имеет существенный недостаток, связанный с тем, что разбиение модели на составляющие пластины выбирается произвольно, и на неизвестные Di не накладывается никаких ограничений. Поэтому в результате не исключено появление отрицательных значений и получение удовлетворительного решения для некоторых конструкций связано с перебором значительного числа вариантов разбиений модели на составляющие ее пластины. Кроме того, полученное решение может не удовлетворять условиям технологичности изготовления модели (слишком тонкие пластины) и условиям геометрического подобия профилей исходной конструкции и ее модели (слишком толстые пластины).

Этот недостаток частично можно исправить введением ограничений на область допустимых значений неизвестных величин Д-, а следовательно, и толщин пластин Л,-, Во всяком случае, при решении задачи (2) с ограничениями

Dia^- Di^. Di в, i— 1, 2, . . ., п (3)

можно при любом разбиении модели на составляющие пластины оценить подобие по жесткости реальной конструкции и ее модели, используя некоторые критерии подобия [1], или получить оценку степени неподобия [2].

Задачу (2), (3) можно теперь сформулировать как задачу квадратичного программирования [4] в ее простейшем виде.

Обозначим:

D = {Di, . . Dn)*; DH = (D1H, • • ■> Dnh)^j

AD — диагональная матрица с элементами (Дв-А/н)

Л= £ (А?, . . .,А”У{А[°............А?);

Г, 5=1

' N '

2 *«(*"----------’А"У’ ^ = (Д0)_1(0-0иЛ

Т, S=1

Требуется найти х, удовлетворяющий

max f(x) = max х* Qx -f Qt , 0 < x < 1. (4)

где 0 = — ADA AD, q = AD{g — ADn). Матрица Q отрицательно полуопределена, так как А—матрица метода наименьших квадратов. Поэтому для решения задачи (4) можно использовать метод „субоптимизации на многообразиях* [4].

Отсутствие в (4) ограничений типа систем линейных алгебраических уравнений позволяет упростить вычислительный процесс решения задачи (4). Метод „субоптимизации на многообразиях* в данном случае позволяет рассматривать ограничения Xi>0 и JC;<1 как ограничения одного типа и, следовательно, позволяет отыскивать решение (4) без введения фиктивных переменных xn^.v связанных с ограничением

xi+xn+l =1, i = 1, . . ., п.

Определяется множество

B = iB(x) = {/|(^ = 0)U(^= 1)}

— множество индексов, для которых соответствующие компоненты точки х находятся на границе. Теперь процедуру „субоптимизации на многообразиях* для задачи (4) можно представить следующим образом.

Дана допустимая для задачи (4) точка хк. Решаем задачу

тах/(л) при Хі — О или хі= 1, г£В* = В (х\ (5)

определяя оптимальную точку ук. Задача (5) — задача без ограничений. В рассматриваемом случае она решается методом сопряженных градиентов [4], позволяющим найти оптимальное решение для (5) по крайней мере за п шагов.

2

"пл Л, мм *пл Н, мм

1 6,00 11 10,36

2 28,02 12 4,50

3 13,45 13 4,00

4 5,00 14 15,97

5 22,24 15 6,82

6 5,00 16 4,00

7 5,00 17 4,50

8 22,99 18 5,69

9 5,00 19 6,80

10 4,50 20 5,96

Фиг. 1

Если ук — допустимая для задачи (4) точка, то проверяются необходимые и, в рассматриваемом случае, достаточные условия оптимальности решения — условия Куна — Таккера. Для задачи (4) эти условия принимают вид:

ФУ* + Ч + ~

\НІУЇ = о;

^ні 9»

^ш і = I,... п,

0;

(6)

где Хяг(Хвг) —множитель Куна — Таккера, соответствующий нижнему (верхнему) ограничению переменной с номером /;

*И (В)= (Хя (В) 1 > • • • > (В) „)'• .

Решая первые три уравнения системы (6), определяем Ху = тш {Хяг, Хвг}. Если Ху>0, то ^ — оптимальное решение для (4). Если Ху-<0, то определяется

Я*+1 =

т. е. из множества индексов Вк исключается индекс /. Полагаем хк+1 — ук, производим замену к на к + 1 и переходим к решению задачи (5).

Если ук не является допустимой для (4), то определяется хк+1 — ближайшая к ук допустимая точка на отрезке между хк и ук. Определяем 8*+1 = = В (хк+1), производим замену й на £+1 и переходим к решению задачи (5). В [4] доказано, что изложенная процедура позволяет определить оптимальное решение для задачи (4) за конечное число шагов.

В качестве примера рассчитана модель крыла реального самолета. Силовая часть крыла представлена ортотропной пластиной, состоящей из 5 балок и 26 панелей обшивки. По конструктивным соображениям упругие свойства модели воспроизводятся пластиной-сердечником, изображенным на фиг. 1. Там же представлено разбиение сердечника на составляющие пластины и полученные толщины пластин.

Для оценки степени подобия жесткостных характеристик модели и прототипа сравниваются их матрицы жесткости (матрица жесткости модели предварительно приводится к матрице жесткости крыла делением на #Гг). Результат

Таблица

Кг, % К2, % Кз> % с, %

0,352 0,426 6,120 2,340

сравнения представлен в таблице. Величина Кг (см. [1]) есть максимальная разница соответственных диагональных элементов матриц жесткости в процентах по отношению к исходной конструкции. Сравнение по /С2 есть сравнение жесткости конструкций по максимальной сумме модулей элементов матриц жесткости в строке. Величина Кз есть максимальное (по всем элементам) отличие соответственных элементов матриц жесткости. Степень неподобия (см. [2]) сравниваемых конструкций по жесткости характеризуется величиной е, которая определяется формулой

_ £* = ДГ*(1±.).

где и К.г представляют собой требуемый, заданный коэффициент подобия и истинный коэффициент подобия, для рассчитанной описанным выше образом модели.

Сравнение жесткости конструкций с помощью величин и е есть'по существу сравнение конструкций по энергии упругой деформации соответственно

•^2 1^*

М=2.0

0,95

О 2000 то 5000 0000 у, /гг/м*

Фиг. 2

при деформации конструкций по некоторой заданной форме и при деформации конструкций под действием некоторой заданной нагрузки.

По всем сравниваемым величинам наблюдается хорошее соответствие, т. е. рассматриваемые конструкции практически подобны по жесткости, несмотря на то, что по силовому набору и по форме в плане (см. фиг. 1) эти конструкции не похожи одна на другую.

Проверена также степень воспроизведения на модели аэроупругих свойств крыла. Для этого рассчитана эффективность элерона реального крыла и его модели

= тх упр1тх ж

(,упр*—упругий, ,ж‘—абсолютно жесткий).

Результаты расчета для чисел М = 0,95 и 2 представлены на фиг. 2. Сплошной линией изображены графики %х исходного крыла. Точками отмечены значения £*■ для рассчитанной модели (аэродинамические формы модели и крыла подобны). Видно, что и по аэроупругим свойствам в статике модель и крыло практически подобны, что, собственно, и требовалось получить с самого начала.

ЛИТЕРАТУРА

1. Транович В. А., Яремчук Ю. Ф. Построение модели, подобной по жесткости реальному крылу. Труды ЦАГИ, вып. 1578, 1974.

2. Егоров В. В. Определение масштаба жесткости и оценка степени неподобия упругих моделей крыльев малого удлинения. .Ученые записки ЦАГИ*, т. III, № 5, 1972.

3. Буньков В. Г. Особенности свободной схемы летательного аппарата при решении задач аэроупругости. Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.

4. Зангвилл У. И. Нелинейное программирование. М., Изд. .Сов. радио*, 1973.

Рукопись поступила 4/ІХ 1974 г.