CC BY
34
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2019. No. 2
УДК 517.91
DOI 10.23683/0321-3005-2019-2-10-14
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ТРЕХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
© 2019 г Т.И. Ибавов1
1 Дагестанский государственный университет, Махачкала, Россия
THE SOLUTION OF CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEM OF THREE DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH FRACTIONAL DERIVATIVE CAPUTO
T.I. Ibavov1
1Dagestan State University, Makhachkala, Russia
Ибавов Темирлан Ильмутдинович - аспирант, кафедра Temirlan I. Ibavov - Postgraduate, Department of Applied прикладной математики, факультет математики и ком- Mathematics, Faculty of Mathematics and Computer Sci-пьютерных наук, Дагестанский государственный универ- ence, Dagestan State University, Gadzhieva St., 43a, Ma-ситет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, Республика Даге- khachkala, Republic Dagestan, 367000, Russia, e-mail: стан, 367000, Россия, e-mail: [email protected] [email protected]
Рассматривается задача Коши для системы трёх дифференциальных уравнений с производными дробного порядка Caputo. Исследуются вопрос существования и единственности решения рассматриваемой задачи и способ его отыскания. Для упрощения задачи осуществляется переход к дробным производным Римана - Лиувилля. Путём применения преобразования Лапласа к каждому уравнению системы дифференциальных уравнений она сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно образов Лапласа. На основе метода Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений найдено решение данной системы трёх дифференциальных уравнений с производной дробного порядка Caputo в образах Лапласа. Для получения решения рассматриваемой задачи в функциональном виде найденные в образах Лапласа решения раскладываются на сумму простых дробей с помощью характеристической функции и осуществляется переход к функции Миттаг-Леффлера. Получены некоторые соотношения для функции Миттаг-Леффлера, позволяющие упростить решение.
Ключевые слова: дробная производная, дифференциальные уравнения, преобразование Лапласа, функция Миттаг-Леффлера, метод Крамера, характеристическая функция.
The article analyzes the Cauchy problem for system of three differential equation with fractional derivative Caputo. The question of the existence and uniqueness of the solution of the problem and the method of its determination are investigated. To simplify the problem proposed a transition to fractional Riemann-Liouville derivatives. By applying the Laplace transform to each equation of a system of differential equations, this system reduces to a system of linear algebraic equations with Laplace transforms. Using the Cramer method for solving systems of linear algebraic equations, a solution of this system of three differential equations with the fractional derivative Caputo in Laplace images is found. For finding the solution of the problem, the image of solution have decomposed into simple fractions by dint of the roots of characteristic equation and the transition to the Mittag-Leffler function is curried. Some relations for Mittag-Leffler function that allow to simplify the solution are obtained.
Keywords: fractional derivative, differential equations, Laplace transform, Mittag-Leffler junction, Cramer's rule, characteristic function.
Введение
Операция дифференцирования дробного порядка, представляя определенное сочетание операций дифференцирования и интегрирования, открывает новый подход к теории нелокальных дифференциальных уравнений, вносит более высокий уровень понимания динамики соотношения обратимых и
необратимых процессов, когда существен учет нелокальных свойств системы.
Как известно, исследование математических моделей, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, затруднительно. Поэтому очень часто нелинейные модели заменяют линейными так, чтобы получаемая при этом линейная модель приближенно отражала свойства ис-
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2019. No. 2
ходной системы при выполнении некоторых условий.
В работе исследуется решение системы трех линейных дифференциальных уравнений с производными дробного порядка.
Решению задач типа Коши для дифференциального уравнения дробного порядка посвящены работы [1—8]. В монографии [1] приведены решения задачи Коши для осцилляторных уравнений с производными дробного порядка Римана — Лиувилля и Caputo. В [2] исследована начальная задача для фрактального осциллятора, в [3] — задача Коши для системы двух линейных дифференциальных уравнений дробного порядка. Работа [4] посвящена исследованию решения задачи Коши для обобщенного уравнения Эйри. В [5—8] рассматриваются нелинейные динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка.
В данной работе исследована начальная задача для линейной системы трех дифференциальных уравнений дробного порядка.
Ниже нами используются следующие обозначения:
AC (Q) — класс функций, абсолютно непрерывных на отрезке Q.
ACn (Q) — класс функций u(t), непрерывно дифференцируемых на отрезке Q до порядка n—1, причём u(n-1)(t) е AC (Q) .
d(Qtu(t) =
1
u'(s)
r(1 а) о (t - s')
ds _
а
дробная произ-
водная Caputo, 0 <а< 1.
Datu(t t
1 d t u(s) -----------J---------ds
Г(1 -a) dt 0(t - s)a
дробная
производная Римана — Лиувилля, 0 < a < 1.
Г(а) = J e~tta-1dt
о
интеграл Эйлера второ-
го рода (гамма-функция).
Eap(z), где a,P> 0 — функция Миттаг-
Леффлера.
Задача Коши для системы трех дифференциальных уравнений с производной дробного порядка Caputo
Рассмотрим на отрезке [0 , T ] систему трех дифференциальных уравнений с производными дробного порядка вида
даых = ап x + а12 y + а13 z,
<дтУ = а21 х + а22У + а23 z, (1)
dat z = аЪ1х + а32у + o33z,
где 0 < a < 1, а{ j, i = 1,3, j = 1,3 — некоторые чис-
ловые коэффициенты; dot — оператор дробного дифференцирования Caputo.
Обозначим через A =
а11 а12
V а31
а32 а33 )
матрицу
коэффициентов в правой части системы (1). Будем предполагать, что det A ^ 0.
Задача. Найти решение x(t), y(t), z(t) е AC2 [0, T] системы уравнений (1), удовлетворяющее начальным условиям х(0) = x0, У(0) = У0, z(0) = z0 .
Приведем ниже достаточное условие существования дробной производной Римана — Лиувилля [9].
Пусть функция u(t) непрерывна на [0,T] вместе со своими производными до порядка m — 1 включительно, причем u(m)(x) е AC (Q) . Тогда для
а
13
°21 а22 а23
любого ae (0; m] производная Daattu(t) существует. Кроме того, если ae (n — 1; n], то почти всюду на [0,T ] имеет место представление
в**) =^ о pa ds+'slaac=
Г(п -a)0 (t - s) k=0Г(п -a)t
a ^ ^1 u{k) (0)
= d0tu(t) + z—----a.
k=0Г(п -a)ta
1
При n = 1
Daotu(t) =
Г(1 - a ) 0 (t - s)
\-M4-ds + ■ u (0)
Г(1 - )t
= d 0tu(t) +
u (0) Г(1 - a )t a
(2)
Пусть x(t), y(t), z(t) e AC2 [0,T]. Воспользовавшись равенством (2), систему (1) можно переписать в виде
D0tx = ^x + опу + oX3z + \ DSty = o21x + а22у + o23z + D0)t z = o31x + а32у + o33z +
x(0)
Г (1 - a ) ta
y(0)
Г (1 - a ) ta z(0)
Г(1 - a) ta
(3)
где D0t — оператор дробного дифференцирования Римана — Лиувилля.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2019. No. 2
Пусть x(t), y(t), z(t) e AC2 [0,r] - решение системы (3). Применяя преобразование Лапласа к системе (3), получим
(pa-ax j)x( P) - аи У( P) - oi3z( P) = x(0) Pa~\
- a2ix( P) + (pa-a22) У( P) - аззz( P) = У(о) Pa, (4)
- a3ix(P) - a32y(P) + (Pa-a33)z(P) = z(o)Pa-
Обозначим через В матрицу, составленную из коэффициентов в левой части системы (4), т.е.
( ~а „ „ „ ^
B =
1 8 - a12 - a13
a21 Pa - a22 - a23
- a31 - a32 Pa - a33
2a a
x( P)
y( P)-
xoP i P (xo (a33 ' a22 ) zo a13 Уо a12> ' a3
1-a I 3a 2a ч a ~ ~ \
P \P -P (a33 + a22 + an) + P ~1 + a2)
y0 P - P (y0 (a33 + ai1 ) + a32a23 - a21 xo) + a4
1- a I 3a 2 a, ч a~ ~ \
P (P - P (a33 + a22 + an) + P ~1 + a2 )
/ \ _ zo P - P (zo (a22 + a11 )-a31 xo - yoa32 ) + a5
(P) 1- a I 3 a 2 a, Г a~~ ~ \
P (P -P (a33 + a22 + au) + P ~ ~)
4
(5)
где a — <22<зз + + <y[<22 — — a2^Z3 — a21 a^,
~2 — «~,a^ - a^a^a^ - a^«0 +
^11^22^33 ^12^23^31
13^21^32
+ ^з!<з^^ + ^32^23^li + a^a^^a^
33^21^12?
a3 = a22a33 xo + a12a23zo + a13a32yo -
- a22a13zo - a32a23xo - a33a12yo,
a4 = a11a33yo + a23a31 xo - a13a21a32 -
- a13a31 yo + a32a23a11 - a33a21 xo,
a5 = zoa11a22 + yoa12a31 + xoa21a32 -
- xoa22a31 - zoa21a12 - a11 yoa32-Решение (5) можно представить в виде
1
x( P) —
(h h.2)(h A.3)(A.2 Л3)
xo
(
1
1
1
1 - h P 1 - h P
11Ъ
1 -h P
xo (a33 + a22 ) zo a13 yo a12
P
1
1
-+-
1
1 -h P 1-Л2 P 1 -A3 P
+
1
1
1
л л a л л a л л
1 -h1 P 1 -h2 P 1 -hi P
y( P) =
У o
1
(h h2)(h. h^X-h A
1
1
- + -
1
1 -h1 P 1 -hi P 1 -h P
a
3 P у
yo (a33 + a11) + ‘
1- a
1
1
-+-
1
V 1 -h P 1 -h P 1 -h P
f
4
+
+
a.
1
1
1 -h P
Как видно, detB ^ o. Следовательно, система (4) имеет единственное решение, которое будет иметь вид
z( P) —
1 -h> P 1
- + -
1
1 -h P
- a
3 P у
(h h2)(h h3)
z o
1-2 a
1
1
- + -
1
1 -h P 1 -h2 P 1 -h P
a
3 P у
zo (a22 + a11) a31 xo yoa32
P
1- a
(6)
1
1
-+-
1
1-Л1P 1 -h P 1 -h P
+
+ -
1
1
- + -
1
1 -h1 P 1 -h2 P 1 -h3 P
где 12Д3 - корни характеристического урав-
нения,
X = 3-P + ^Р2 + ^ + 3-Р-^Р2 + ,
h2 = е13-р+^р2+Г3 +£23-р-^р2+Г3 - у, h3 = S23~Р+^Р2+ГЪ +£13-Р~^Р2+ГЪ - \,
q
где P =
r =
S1,S2
~ 1 2 a, -- q
1 3 27
~ 2 3
— a - a----q
3 1 2 27
2 :
1 , V3, „_xo(a33 + a22+an) = — q — .
2 2 3
Определение. Функция, которая задается в виде
ряда
Ea (z)— X
k—or( ak +1)
a > o, или в виде бо-
a > o,
лее общего ряда Eap(z) = ---^,
P k—or( ak + p)
P > o, называется функцией Миттаг-Леффлера.
х
X
-2
X
X
а
X
X
X
X
а
5
X
+
X
1-2 a
k
X
да
z
k
X
а
3
+
+
а
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2019. No. 2
Если Rep > 1, имеют место следующие соотношения [1]:
& О Л 1
J е- tt/J~VEa Maz)dt = -—- , |z| < 1,
0 ’И
1 - z
1 & _
= J е Р Е JAta \dt, Re p > 1, (7)
p(1 -Я-p a) 0
a,1
p1 -a(1 -Я-p -a)
&
t aE л (ta) = a,1 -a 7
= J е ptt aEal_ a(Ata)dt, Re p > 1.
0 a, a
Лемма 1. Для a> 0 имеет место равенство 1
a
— + Е Jta) . (8)
a a,1y J v '
Г(1 -a)ta
Доказательство. Согласно определению функции Миттаг-Леффлера, имеем
t-aE . (ta) =
a,1 -av '
&
= t-a s
t
an
a > 0 .
(9)
n = 0 r(an +1 -a)
В правой части равенства (9), заменяя n на
n +1, получим
&
t- a s
an1 +a
an1
&t
^ = s —--
/ “_ ^r(an7 +a +1- a) Д =_ \Г(от 1 +1)
,- a &
-+ s
/
f
an
t
a
+ E i (ta).
Г(1 -a) n Г= 0 r(an7 +1) Г(1 -a)' ~aX Лемма 2. Для a> 0 имеет место равенство
t_ 2“Ea,1-2a<ta» =
=------LTT +------Я + Ea1(taI 0»)
r(1-2a)t2a Г(1 -a)ta a
Доказательство. Согласно определению функции Миттаг-Леффлера,
an
------, a>0 . (11)
n = 0 Г(ш + 1-2a)
2a a 2a
1 Ea\-2a{t ) =1 S
В правой части равенства (11), заменяя n на
n + 2, получим
,-2a
&
s
j.anl + 2a & aan1
&
-= s
Д ^Г(оп 1 + 2a + 1-2a) ^/__^(an 1 +1)
t
- 2a
- + -
t
a
& t
an
+ s
T(1-2a) Г(1 -a) QГ(aи7 +1)
1
t- 2a Г(1-2a)
t- a
+----------
Г(1 -a)
+ E
a,1
(ta).
Из равенств (6), воспользовавшись соотношениями (7), (8), (10), получим выражения для оригиналов функций x(t), y(t), z(t):
x(t)
1
-------------------------- X
Я - Я2ХЯ1 - Яз)(Я2 - Яз)
X [(Я2-Яз) Ea,1 (я^)- (Я1 -Яз) Ea,1 (я2 ta) + + (Я1 Я2) Ea,1 MJ*
X (X0(1 - 022 - 033) + V0 012 + Z0 013 + ~3 }
v(t) =-------------------------X
(Я1 - Я2)(Я1 - Я3)(Я2 - Я3)
X [(Я2 -Я3) Ea,1 (Я1 ta)-(Я1-Я3) Ea,1 (Я2 f)
^2 Я3/ Ea,1
+ (Я1 -Я2)Ea,l(Язta)J>
+
' (v0 (1 - 033 - 011) - X0 021 - 032 023 + 04 } (12)
1
z(t) =-------
(Я1 - Я2ХЯ1 - Я3)(Я2 - Я3)
X [(Я2-Я3)Ea,1 (Я1 ta)-(Я1-Я3)Ea,1 (Я2 ta) +
+ (Я1 Я2) Ea,1 (Я3 ta)J X
x(Z0(1 -011-022> + X0 031+ 032V0 + 05)
Имеет место
Теорема. Функции x(t),v(t),z(t) eAC2 [0,ГJ будут решениями задачи Коши для системы (1), если они представимы в виде (12).
Литература
1. Мейланов Р.П., Бейбалаев В.Д., Шахбанова М.Р. Прикладные аспекты дробного исчисления. Palmarium Academic Publishing, 2012. 135 c.
2. Бейбалаев В.Д. Решение начальной задачи для дифференциального уравнения «фрактального» осциллятора // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Физ.-мат. науки. 2009. Т. 1 (19).
3. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Динамические системы, описываемые двумя дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка // Владикавк. мат. журн. 2013. Т. 15, № 1. С. 30-40.
4. Паровик Р.И. Задача Коши для обобщенного уравнения Эйри // Докл. АМАН. 2014. Т. 16, № 3. С. 64-69.
5. Бейбалаев В.Д., Мейланов Р.П., Назаралиев М.А., Шахбанова М.Р. Особенности фазовой траектории «фрактального» брюсселятора // Математическое мо-
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 2
делирование и краевые задачи : сб. материалов седьмой Всерос. конф. Самара, 2010.
6. Назаралиев М.А., Бейбалаев В.Д. Нелинейные колебания в средах с фрактальной структурой // Сб. трудов Междунар. Российско-Болгарского симпозиума, КБР, г. Нальчик, КЧР, а. Хабез, 2010.
7. Бейбалаев В.Д. Моделирование хаотического поведения динамических систем с фрактальной структурой // Математическое моделирование и краевые задачи : сб. материалов восьмой Всерос. конф. с междунар. участием. Самара, 2011. С. 27-31.
8. Тренькин А.А., Карелин В.И., Алисултанов З.З., Бейбалаев В.Д., Рагимханов Г.Б. Динамика электронов в ветвящихся системах газоразрядных каналов со спадающей концентрацией газа // Нелинейный мир. 2017. Т. 15, № 3. С. 24-31.
9. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с.
References
1. Meilanov R.P., Beibalaev V.D., Shakhbanova M.R. Prikladnye aspekty drobnogo ischisleniya [Applied aspects of fractional calculus]. Palmarium Academic Publishing, 2012, 135 p.
2. Beibalaev V.D. Reshenie nachal'noi zadachi dlya differentsial'nogo uravneniya «fraktal'nogo» ostsillyatora [Solution of the initial problem for the differential equation of the “fractal” oscillator]. Vestn. Samarskogo gos. tekhn. un-ta. Fiz.-mat. nauki. 2009, vol. 1 (19).
3. Nazaraliev M.A., Beibalaev V.D. Dinamicheskie sistemy, opisyvaemye dvumya differentsial'nymi uravneniyami s proizvodnymi drobnogo poryadka [Dy-
namical systems described by two differential equations with fractional order derivatives]. Vladikavk. mat. zhurn. 2013, vol. 15, No. 1, pp. 30-40.
4. Parovik R.I. Zadacha Koshi dlya obobshchennogo uravneniya Eiri [Cauchy problem for the generalized Airy equation]. Dokl. AMAN. 2014, vol. 16, No. 3, pp. 64-69.
5. Beibalaev V.D., Meilanov R.P., Nazaraliev M.A., Shakhbanova M.R. [Features of the phase trajectory of the “fractal” Brusselator]. Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi [Mathematical modeling and boundary value problems]. Proceedings of the 7th All-Russian Conference. Samara, 2010.
6. Nazaraliev M.A., Beibalaev V.D. [Nonlinear oscillations in media with fractal structure]. Sb. trudov Mezhdunar. Rossiisko-Bolgarskogo simpoziuma [Proceedings of the International Russian-Bulgarian Symposium]. KBR, Nalchik, KCR, Habez, 2010.
7. Beibalaev V.D. [Simulation of chaotic behavior of dynamic systems with a fractal structure]. Matematich-eskoe modelirovanie i kraevye zadachi [Mathematical modeling and boundary value problems]. Proceedings of the 8th All-Russian Conference with International Participation. Samara, 2011, pp. 27-31.
8. Tren'kin A.A., Karelin V.I., Alisultanov Z.Z., Beibalaev V.D., Ragimkhanov G.B. Dinamika elektronov v vetvyashchikhsya sistemakh gazorazryadnykh kanalov so spadayushchei kontsentratsiei gaza [Electron dynamics in branching systems of gas-discharge channels with decreasing gas concentration]. Nelineinyi mir. 2017, vol. 15, No. 3, pp. 24-31.
9. Nakhushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego prime-nenie [Fractional calculus and its application]. Moscow: FIZMATLIT, 2003, 272 p.
Поступила в редакцию / Received
4 февраля 2019 г. / February 4, 2019
