Решение задачи идентификации при оценке погрешностей численных результатов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6(07)

В.П. Житников, Н.М. Шерыхалина, С.С. Поречный

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПРИ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

В [1] предложен двухэтапный метод уточнения и оценки погрешностей результатов вычислений по последовательности решений задачи с разным числом узлов сетки. На первом этапе путём исключения искомого и фильтрации проводится предварительная оценка погрешности и выбор "местоположения" эталона. На втором этапе проводится фильтрация исходной последовательности, вычисление эталона и окончательная оценка погрешности.

При применении суперкомпьютеров и увеличении объёмов вычислений погрешность округления накапливается и при увеличении числа арифметических операций может свести на нет эффект от увеличения мощности компьютерной системы. С помощью фильтрации становится возможным изучение погрешности округления и закона её изменения при увеличении числа узлов. Однако фильтрация приводит к некоторому изменению погрешностей, что, в частности, искажает погрешность округления.

Применение комбинации методов фильтрации и идентификации позволяет, как показано ниже, выделить погрешность округления практически без искажения.

Постановка задачи идентификации

Задача идентификации ставится на основе математической модели зависимости приближенных результатов вычисления численными методами от числа узловых точек сетки [1-5]

2п - 7 = С1П-к1 + С2П-к2 + ...+ СьП-кь + Д(и), (1)

где 7 - точное значение; гп - приближенный результат, полученный при числе узловых точек, равном п; к. - произвольные действительные числа (к1<к2<_<кь).

Такая зависимость погрешности имеет место при применении разностных формул численного дифференцирования, квадратурных формул Ньютона-Котеса, разностных методов решения задач для уравнений математической физики и многих других формул и численных методов. При

этом Д(п) не стремится к нулю при увеличении п, а может даже возрастать, поскольку в Д(п) входит погрешность округления [1-5].

Если имеется конечная последовательность гп(0) = г, г = 1,..., I вычисленных результатов, то задачу можно сформулировать в виде системы линейных алгебраических уравнений:

г, = г + сп-к1 + слГк2 + ...+ сТп,-кь + Д(п,),

п1 11 21 Ь 1 4 К'

гп2 = г + с1п2 к1 + с2п2 к2 + ...+ сЬп2 кь + Д(п2),

(2)

г , = г + сп-к1 + сп-к2 + ...+ с1п-кь + Д(п)

п1 1 I 2 I Ь I

Решение системы (2) (определение коэффициентов с.) представляет собой задачу идентификации математической модели по результатам численного эксперимента.

Для уменьшения неопределённости в [1] предложено разделить этапы оценки погрешности и определения эталона. Для этого на первом этапе проводится фильтрация по формуле:

г (1) = г (0) _ г (0)

пг пг щ_1 '

(3)

устраняющая из последовательности г(0) не-

пг

известное искомое г.

Дальнейшая фильтрация по формуле Ричардсона [4, 5]:

_(/-1)__(М) „(О = г('-1) , "»■ "¿-1

"п; "л;

(ш-1 /Ч)*г -1

(4)

служит оценкой погрешностей, независимой от выбора эталона. Полученная этим способом оценка позволяет выбрать наилучшие, с точки зрения минимума погрешности, соотношения пг и I = I которые используются на втором этапе -фильтрации исходной последовательности для определения эталона г (1о).

пг

Фильтрация имеет как положительные, так и отрицательные качества. К положительным следует отнести полное устранение степенных слагаемых (1) с показателем к,, к отрицательным -изменение (как правило, увеличение) остальных компонент при применении формулы (4).

Системный анализ и управление

Избежать увеличения регулярных составляющих и нерегулярной погрешности Д(п) можно, если вместо фильтрации применить вычитание регулярных составляющих. Однако при этом погрешность вычисления коэффициентов с. может затруднить определение следующих коэффициентов и исказить оценки погрешностей. Поэтому вычитание компонент погрешности можно применить только после определения коэффициентов.

Метод решения задачи идентификации

Найти коэффициенты с. и их оценки погрешности можно путём повторной фильтрации, приводящей к последовательности следующего вида:

2 О) = с(0) + С % Л+1Ч ++ С ()п -к1+к1 + п к Д0) (п)

Щ ] +1 I Ь I I 4 г'

i = 7+1, — , I. (5)

Рассмотрим линейную комбинацию вида:

и потребуем выполнения условий:

0С;.

П;

гК1-1

а,.+Р,.=0, с)

0-1)

/ \к I -к ,_1

/I; '

= Д°)

У

=Д°)/СМ.

Тогда а =-р =

2 ; -1 Отсюда получим формулу фильтрации:

г(Л=.

п,

е

щ

к ■а]

}к1 -10-1)

С1 -1

к} к]_х

(7)

^б*'-'-*' -1 Т0- = П —•

/=о <2 ; г-1

(8)

Вычисление коэффициентов и оценка погрешностей. Найти величину с(0) и оценку её погрешности можно предложенным выше двухэтап-ным способом: фильтрацией последовательности (5) по формуле (3) с последующей фильтрацией по формуле Ричардсона (4) и выбором эталона.

На рис. 1 приведены оценки относительных погрешностей коэффициентов с1, с2, с3, с4 модели (1)

б)

Рис. 1. Результаты идентификации математической модели погрешности (1): а - коэффициента с1; б - коэффициента с2; в - коэффициента с3; г - коэффициента с4 Прямые у = 19-4-^ п, у = 19-6^ п, у = 19-8-^ п и у = 19-10^ п

Значения коэффициентов с1 и оценки погрешности

1 С\ Ас1 5с/

1 7,31318801575481-Ю"2 -8,97-Ю"13 1,71-10"14 1,23-10"11

2 -2,43772925817123-Ю"3 8,02-10"11 8,04-10"11 3,29-10"8

3 4,35295936960347-10"5 -1,22-Ю"9 -1,29-10"9 2,81-Ю"5

4 -4,78824175567842-Ю"7 3,68-10"9 4,85-10"9 7,69-10"3

5 3,68355419645798-Ю"9 -7,06-10"7 1,93-Ю"11 1,92-10+2

для второй разностной производной:

<*2У(Х)= у(х + Ь)-2у{х)+у{х-к) | сЬс2 Ь2

Для наглядности графики представлены в логарифмическом масштабе. При этом шаг сетки И = 1/п. По оси ординат отложены десятичные логарифмы относительных разностей

-^5, 8= Д^/^\ по оси абсцисс - десятична / пг

ные логарифмы п. Видно, что точность определения коэффициентов ограничивается влиянием погрешности округления, которая быстро нарастает с увеличением п и у.

В таблице даны полученные значения коэффициентов ех и оценки их погрешности. В колонке Ас^ даны оценки, полученные методом фильтрации разностей (3), в колонке А'с - разности полученных величин ех и точных значений (фактические погрешности), в колонке - относительная оценка погрешности коэффициентов. Эти результаты показывают, что погрешности первых четырёх коэффициентов оцениваются достаточ-

но хорошо, пятый вычисляется намного точнее, чем это следует из оценки. Видно, что с возрастанием номера коэффициента относительная погрешность увеличивается, что объясняется увеличивающимся влиянием погрешности округления. Грубость оценки пятого коэффициента нетрудно объяснить тем, что согласно рис. 1, получению оптимальной оценки мешает, с одной стороны, погрешность округления, с другой - уменьшение числа доступных для анализа значений при возрастании номера фильтрации.

Результаты идентификации

После определения Ь коэффициентов последовательности (2) с оценками их погрешностей соответствующие слагаемые могут быть вычтены из (2), т. е. приходим к последовательности

= 2 + А(Ь)(п.), (9)

где А(Ь)(п) = А(п) - - А пЛ - ... - А пЛ;

Ас - погрешности вычисления коэффициентов ег Для оценки совместного влияния погрешностей определения коэффициентов на погрешность

б)

Рис. 2. Результаты идентификации математической модели погрешности (2): а - суммарные оценки; б - результаты покомпонентного вычитания Прямая у = 19-2-^ п

Системный анализ и управление

вычисления производной на рис. 2, а приведены кривые 1-4, при этом цифрой 1 обозначена оценка зависимости (9) методом разностей (3), цифрой 2 - отличие значений (9) от точного, цифрами 3 и 4 - оценка суммарной погрешности и суммарного влияния фактических погрешностей:

К Ь-*1 + К \п~к2 + • • •+К \п~кь ]

и А; +д'с пк> + ...+д'с .

61 с2 СЬ

Видно, что кривые 1 и 2 почти совпадают, хотя оценка по разности несколько "запаздывает", а потому имеет несколько заниженные по точности значения. Кривая 3 более заметно отличается от 4, т. е. оценка также несколько превышает фактическую погрешность, тем не менее, она может быть использована для ограничения "зоны доверия" на диаграмме оценок погрешностей при сравнении с эталоном (рис. 2, б, кривая "п").

Следует отметить, что при достаточно больших п влияние степенных слагаемых уменьша-

ется, и вычитанием компонент погрешность Д(п) в зоне, расположенной ниже кривой "п", может быть выделена практически в исходном неискаженном виде (рис. 2, б).

В данной статье предложен метод идентификации модели погрешности путём многоэтапной повторной фильтрации результатов численного решения задач с различным числом узлов сетки.

С помощью этого метода становится возможным выделение и исследование зависимости погрешности округления и других составляющих погрешности.

В результате фильтрации повышение точности с большим запасом компенсирует затраты на необходимость получения нескольких решений одной задачи.

Предложенные методы фильтрации и идентификации могут быть использованы в различных комбинациях для повышения точности при решении задач математической физики [6,7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Пореч-

ный С.С. Об одном подходе к практической оценке погрешностей численных результатов // Научно-технические ведомости СПбГПУ 2009. № 3 (80). СПб., С. 105-110.

2. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Моделирование течений весомой жидкости с применением методов многокомпонентного анализа. Уфа: Гилем, 2009. 336 с.

3. Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Применение методов многокомпонентного анализа для решения некорректных задач // Научно-технические ведомости СПбГПУ 2008. № 6 (69). СПб., С. 89-96.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.

Численные методы. М.: Наука, 2004. 636 с.

5. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В.

Вычислительные методы. М.: Изд. дом МЭИ, 2008. 672 с.

6. Шерыхалина Н.М. Применение фильтрации численных результатов для увеличения надежности САПР // Информационные технологии. 2008. № 9. С. 16-22.

7. Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Моделирование погрешности и численная фильтрация при решении смешанных задач // Вестник УГАТУ 2008. Т. 11. № 1 (28). С. 181-188.

УДК 658.012.011.56

И.Г. Анкудинов, А.В. Сироткин

ДИСПЕТЧЕРИЗАЦИЯ ПРОЦЕДУР ИНФОРМАЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В АСУ

Возрастающий интерес исследователей к оптимизации взаимодействия в инфраструктуре автоматизированных систем управления вызван расширением сферы применения средств телекоммуникаций и автоматизации информа-

ционного обеспечения в различных прикладных областях. Одной из проблем, возникающей при внедрении систем автоматизации, является появление в инфраструктуре передачи данных очередей обслуживания подключенных клиентов [1],