Решение задачи Эрмита—Биркгофа с помощью минимальных неполиномиальных сплайнов Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 519

И. Г. Бурова, В. А. Тимофеев

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЭРМИТА—БИРКГОФА С ПОМОЩЬЮ МИНИМАЛЬНЫХ НЕПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ

В настоящее время остается актуальной задача совершенствования методов решения интерполяционной задачи Эрмита—Биркгофа. Известно, что классическое решение этой задачи с помощью интерполяционных полиномов в ряде случаев не существует (см. напр. [1]). При решении различных задач хорошо зарекомендовало себя использование различных видов сплайновых приближений. Применение минимальных полиномиальных сплайнов (см. [2]) позволяет проводить последовательную интерполяцию в реальном масштабе времени.

Здесь будет предложено решение одной из задач Эрмита—Биркгофа с помощью минимальных неполиномиальных сплайнов.

1. Пусть в узлах сетки {х^}, ... < х^-1 < х^ < х^+1 < ... заданы поочередно значения функции и(х) и ее производной и'(х): ..., и^, и^+1,... Считаем, что и €

С3(Д1). На промежутке [х^,Хj+l) функцию и(х) приближаем выражением

и(х) = u'(Хj-1 )^j-1,l(x) +и(х^ )^j,o(x) + и' (xj + l)^j+1,l(x).

Пусть ¥’1(х) и ^2(х) —достаточно гладкие линейно независимые функции. Из условий и(х) = и(х) при и = 1, ф1(х), ^2(х) получаем

шj,o(x) = 1,

ф'l(xj-l)шj-ll(x) + ^1(х^ )щ,о(х) + ф[^+1 )^+1,1 (х) = ф1(х),

р2&-1)щ-1А(х) + )щ,о(х) + р2& + 1 )^+1,1 (х) = ?2(х).

Пусть ^2 (х) = 1(х), тогда определитель системы равен

^ = Щ-М+1 (^j-l- ^j+l).

© И.Г.Бурова, В.А.Тимофеев, 2006

В предположении Аз = 0 нетрудно получить формулы базисных сплайнов:

шзАх) = 1,

, ч ¥'з + 1(¥з — ¥(х))(2¥з+1 — ¥з — ¥(х))

^3-1,Лх) = —-----------

^3 + 1,1 (х)

¥'з_1(¥(х) — ¥з )(2¥з_1 — ¥(х) — ¥з)

^3

Аналогичные формулы имеем на промежутке [хз_1,хз).

2. Получим оценки погрешностей приближений й(х) на промежутке [хз ,хз + 1] при ¥2(х) = х) для ¥1(х) = еХ и ¥1(х) = х.

2.1. Пусть ¥1 (х) = еХ, ¥2 (х) = е2х. Следуя методу, предложенному в [3], построим однородное линейное дифференциальное уравнение, имеющее фундаментальную систему решений 1, ¥1(х), ¥2(х):

Ьи = и"' — 3и'' + 2и' = 0.

Общее решение неоднородного уравнения Ьи = /(х) имеет вид

1 Гх

и{х) = С\ + с2е* + Сзе2ж + — (1 — ех *)2сЙ,

4 ¿п

где п € [хз,хз+1 ], С1, С2, сз —произвольные постоянные.

Пусть п = х, тогда

1 (Хз

й(х) — и(х) = - (1 — ^)2у* —

4 •] х

1 СХз+1

- -соз+1Л(х) j (1 - ех^-1)2ех^-1Л-

1 гХб-1

- j (1 - е^-1-‘)2е^-1-‘<Й.

Полагая ш^,1(Нз + ^Н) = й>¡^(в), в € [0,1], к = ] — 1,] + 1, при достаточно малом Н (например, Н ^ 1/4) получаем

^3- 1д(в) = + <Э(/г2), 1д(в) = + 0(/г2).

Поэтому имеем |з 1,1 (в)| ^ Н/4, |с^з+1,1 (в)| ^ 3Н/4.

Таким образом, искомая оценка погрешности приближения на промежутке [хз, хз+{] принимает вид

1и(х) — и(х)1 ^ КН3\\и''' — 3и'' + 2и'и

\[Хз-г,Хз + 1]

где К « 0,58.

2.2. Аналогично, при ¥1(х) = х, ¥2(х) = х2 получаем оценку погрешности приближения на промежутке [хз ,хз+1 ]:

Н3,

3. Приведем результаты численных экспериментов по приближению некоторых функций на промежутке [0,1]. Пусть в узлах равномерной сетки с шагом h = 0,1 заданы значения функции и или ее производной. В таблице 1 приведены значения max[o,i] |U(x) — u(x)|, при y>2(x) = ^1(х), полученные при решении задачи Эрмита— Биркгофа в среде Maple.

Таблица 1.

(р!(х) u(x) = sin(lK) и(х) = ех u(x) = cos(ik) и(х) = х°

X 3 КГ4 7 • КГ4 2 КГ4 1 • 1Q-'2

ех 9 КГ4 0 9 КГ4 со 1 О

Для сравнения, в таблице 2 приведены значения теоретической оценки значения погрешности шах[0д] \и(х) — и(х)\.

Таблица 2.

<р г(х) u(x) = sin(lK) и(х) = ех u(x) = cos(ik) и{х) = хь

X 5 КГ4 1 • КГ3 5 КГ4 з • 1Q-'2

рх 2 КГ3 0 2 КГ3 о 1 со

Summary

I. G. Burova, V. A. Timofeyev. Solution of the Hermit—Birkhoff problem by means of minimum non-polynomial splines.

The solution of the Hermit—Birkhoff problem by minimum the non-polynomial splines is suggested. The presented approximations have the given accuracy when applied to a rather wide class of functions and they could be used for machine computations.

Литература

1. Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений. СПб., 1998. 472 с.

2. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория минимальных сплайнов. СПб., 2000. 316 c.

3. Бурова И. Г. Приближение минимальными сплайнами максимального и минимального дефекта // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 1. C. 11-16.

Статья поступила в редакцию 14 апреля 2006 г.