CC BY
68
УДК 517.11
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ДАННЫХ
Т.М. Леденева, Е.В. Кочергин
В рамках теории нечетких множеств рассмотрен метод решения аппроксимации нелинейных систем со смешанным типом данных. Представлены вариант представления информации в виде лингвистического задания переменных с качественным способом задания неизвестной части, формализация подобных задач и решение при помощи аппарата бинарных отношений
Ключевые слова: аппроксимация, бинарные отношения, прогнозирование, Т-норма
Рассмотрим ситуацию, когда изменение характеристик исследуемого объекта задается в виде у = /(х), х е X и у е У , но вид отображения / неизвестен, а имеется лишь совокупность точек {(X, У, )} = , которые получены в результате наблюдения. Выделим следующие характерные случаи, соответствующим различным уровням неопределенности информации, используемой для восстановления зависимости / :
1. ПустьX,У с □ . В этом случае возника-
ет проблема оптимального выбора кривой: найти функцию /(х), которая минимизирует
п / ГУ N 2
^ ( /(X,) - у,) или некоторый другой критерий.
,=1
Данный подход лежит в основе построения регрессионных, трендовых моделей и является достаточно хорошо разработанным как в теоретическом, так и практическом плане, при этом вид / выбирается из заранее заданных классов функций.
2. Результаты наблюдения представляют
собой интервальные оценки, так что существуют точки х* е [х , - Ах,, х, + Ах, ] и
У,* е[у -Ау,,у1 + Ау, ], такие, что у,* = /(х*), т.е.
расположение точки ограничено прямым произведением
(x,*,у*)е [х, -Ах,,х, + Ах,Му - ау,,у, +Ау-] . 0)
3. В отличие от предыдущего случая значения аргументов х и функции у представляются нечеткими числами А, и В, с функциями принадлежности /иА (х) и тВ (х) соответственно. Заметим, что если предположить, что функции принадлежности выпуклы и нормальны, то их а-срезы
Аа = {х|Ма, (х) ^ а} и Ва = {у|^в, (у) ^ а} при ае (0,1] представляют собой интервалы. Поэтому
данная задача может быть сведена к предыдущей на основе теоремы декомпозиции
Леденева Татьяна Михайловна - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. +7(903)850-2996
Кочергин Евгений Владимирович - ВГТУ, аспирант, e-mail: [email protected], тел. +7(920)404-1332
В общем случае данный вариант представления информации можно интерпретировать как лингвистическое задание входных и выходной переменных, причем неизвестная зависимость f описывается на качественном уровне с помощью совокупности условных или безусловных лингвистических высказываний. Такое представление информации лежит в основе моделирования с помощью нечетких систем, основными компонентами которых являются: механизм нечеткого логического вывода и база знаний. На вычислительном уровне нечеткие системы могут рассматриваться как гибкие математические структуры, которые подобно нейронным сетям могут аппроксимировать большой класс нелинейных систем с необходимой степенью точности и позволяют комбинировать качественные знания с количественными данными.
Цель статьи заключается в формализации данной задачи и развитии подходов к ее решению на основе теории бинарных отношений.
В общем случае бинарное отношение можно задать как нечеткое подмножество декартова произведения двух множеств Xх Y с функцией принадлежности ¡1r (x,У)е[0,1], которая оценивает степень выполнения отношения xRy. Через F (X х Y) обозначим семейство нечетких бинарных отношений на X х Y .
Пусть R1, R2 е F (X х Y). Говорят, что нечеткое отношение R1 включено в нечеткое отношения R2 и обозначают R1 с R2, если
v( x у )е x х y (m (x y) (x У)). (2)
Если неравенства строгие, то говорят о строгом включении R1 с R2. Если
"(xу)е ххy (mrj (x,у) = m2 (x,У)), (3)
то говорят, что нечеткие отношения R1 и R2 равны ( R1 = R2 ).
Пусть R е F(Xх Y). Первая проекция Pr1 (R)
нечеткого отношения R есть нечеткое подмножество множества Х с функцией принадлежности
Vx е X p (x) = sup mR (x, у) j . Аналогично вторую
проекцию Pr2 (R) на Y определяет функция принадлежности
"y e Y p (y ) = suP Mr (x y) j ■ (4)
Если Prk (R) - к -ая проекция нечеткого отношения R e F(Xх Y), к e{l,2} , то
R с Pr, (R)xPr2 (R) ■ Если A, и A2 - нормальные
нечеткие подмножества универсальных множеств X и Y соответственно, то наибольшее нечеткое отношение R , для которого A, = Pr, (R),
A2 = Pr2 (R), определяется в виде R = A, x A2 ■ Нечеткое отношение называется сепарабельным, если R = Pr1 (R)хPr2 (R) ■
Треугольной нормой (T -нормой) называется монотонная, коммутативная и ассоциативная операция T : [0,1]х[0,1] —> [0,1], удовлетворяющая
условию T (0,0) = 0, T (1, x) = x ■ По сути треугольная T -норма задает операцию типа умножения, и пара ([0,1L T) представляет собой полугруппу с
нейтральным элементом 1 ■
Пусть X, Y, Z - универсальные множества, R, с F(XхY) и R2 с F(YхZ) - нечеткие бинарные отношения, определенные на X х Y и Y х Z соответственно, T - треугольная норма, тогда (max - T) -композиция определяется функцией принадлежности вида
M[max-TKRjR ) ( "У Z) =
= ^T (Mr (xy) ,Mr2 (y, z)) ■
Заметим, что данная формула определяет целое семейство композиций, среди которых значительную роль играет (max - min) -композиция
Mr,.r2 (x^) = ni£ixmin{Mr, (xy),Mr2 (У,^)} ■ (6)
Отметим важные для приложений свойства композиций нечетких отношений
1- (max - T) всегда ассоциативна и коммутативна, если X = Y = Z ■
2^ (max - T) -композиция дистрибутивна относительно max -объединения (обозначим его и), т^
( max- T)(^ R2 и R3 )= (7)
= ( max- T)(R,, R2 )и( max- T)(R,, R3)'
3^ Если R, - рефлексивное отношение и R2 -произвольное бинарное нечеткое отношение, то R2 с (max-T)(R,,R2) ■
4^ (max- min) -композиция монотонна: пусть R с F(XхY), A, B с F (Yх Z), тогда, если A с B, то R04 с RDB ■
Пусть задан набор нечетких точек как пар нечетких подмножеств (A., B.) (i = 1, n), A. e F(X), B. e F(Y) ■ Будем говорить, что функция
(5)
f : F(X) ® F(Y) интерполирует данные
(At, Bt) (i = 1, n), если
f (Ai) = Bi (i = In). (8)
Функция f может не существовать, либо быть не единственной.
Покажем, что любое нечеткое отношение
R е F (X х Y), определенное в виде (max- T) -
композиции, представляет собой нечеткую функцию fR : F (X)® F (Y), такую что
fR (A)(y) = (A oR)(y) =
= maxT (A (x),R (x,y)) , (9)
где символом о обозначена (max- T) композиция.
В предположении, что Bi при отображении
f% есть образ Ai для любого i в соответствии с принципом обобщения, получим
Mb (У ) = { ™ax Ma,(x), (10)
{x:y=f(x)}
что соответствует высказыванию чем в большей степени x совпадает с At, тем в большей степени у совпадает с Bt. Отсюда следует, что для любого x выполняется неравенство Mb (f (x)) ^ Ma (x), которое равносильно включению Ai с Bi. Чтобы найти f , ограничимся носителем Supp(Ai) с X , тогда каждая пара множеств ( Ai , Bi ) будет порождать только часть fi интересующей нас функции f . Таким образом, получим
Mb, (У) = maxmin(ßA (x),Mf(x)(y)), (11)
11, если у = f (x); 0, иначе.
fi является четкой и индуцирует обычное (четкое) отношение Ft ={(x,у): у = f (x)}, при
Г1, если у = f (x), этом hF (x, у ) = Здесь hF (x, у) -
‘ [ 0, иначе. '
характеристическая функция бинарного отношения
Fi .
Обобщая fi нечетким отношением
R, е X х Y , получим что
Mb, (у) = maxmin(м4 (x),Mr, (x,у)) (12)
или в компактной форме Bt = A, DR., где символ U обозначает максминную композицию. Далее вместо min можно рассматривать произвольную треугольную T -норму, тогда получим
Mb, (у) = max T (mA(x),MR,(x, у)) (13)
или Bt = At о R .
где x e Supp(A¡), mf (x) (y) =
В качестве Rt можно рассматривать следующие типы лингвистических высказываний At х Bt, At ® Bt, At « Bt, каждое из которых называется нечеткой гранулой. При этом нечеткая гранула At х Bt соответствует высказыванию x равно At и у равно Bt и выражает локальную информацию о произвольной природе отображения f% . При использовании At ® Bt подразумевается, что нечеткое отображение f рассматривается как “грубое” отображение, обратное к “грубому инъективному”, поскольку, когда x е At исключается любое другое значение, отличное от Bt . В этом случае лингвистическое высказывание имеет вид если x равно At, то у равно Bt. Гранула At «Bt используется в предположении, что f% является однозначным отображением: x равно At тогда и только тогда, когда у равно Bt.
Легко показать, что
A ® B с A « B с A х B , (14)
тогда учитывая свойство монотонности для композиции, получим что
B® с B« с B^. (15)
Данная цепочка включений позволяет установить связь между получаемыми на основе нечеткого логического вывода выходными нечеткими множествами при решении задачи прогнозирования, если для формализации наблюдаемых данных используется различные типы нечетких гранул.
Пусть Rt = At ® Bt (t = 1, n). Отношение
n
R = U Rt в сочетании с композиционным правилом
t=1
вывода играет роль оператора. Для данного аргумента A' с помощью оператора R можно получить нечеткое множество B', представляющее собой значение этого преобразования. По сути, данный подход решает задачу прогнозирования.
Заметим, что в данном случае
B' = ( max- T)(A', R ) =
= ( max- T) p', Ur j = . (16)
n n
= U (max - T)(A', R ) = U Bt
t=1 t=1
Это означает, что при решении задачи прогнозирования необходимо определить выходное нечеткое множество Bt для каждого правила Rt . Объединив полученные результаты, получим прогнозное значение B для заданного A .
С другой стороны, выражения вида
At оR = Bt (t = ), (17)
где R - неизвестное нечеткое отношение, определяют систему нечетких реляционных уравнений. В [1] доказано следующее утверждение: пусть
заданы пары нечетких множеств {(At, Bt)} _ , где At е F (X), Bt е F (Y). Нечеткое отношение R е F (X х Y) определяет нечеткую интерполяционную функцию fR для эмпирических данных {(At, Bt )}.=р тогда и только тогда, когда разрешима система нечетких реляционных уравнений
At оR = Bt (t = Vn). (18)
Таким образом, задача интерполяции эквивалентна существованию решения системы реляционных уравнений. Поскольку система может быть не разрешима, то подразумевают, что нечеткие данные {(At, Bt)} _ не могут быть «связаны» любым нечетким отношением. В этой ситуации вместо задачи интерполяции можно рассматривать задачу аппроксимации, которая может быть сведена к задаче нахождения приближенного решения системы нечетких реляционных уравнений. Заметим, что
At о Rt = B <^( At о Rt )1 =
= Bt-l ^ R-1 о At-1 = Bt-l . ( )
поэтому вместо уравнения At о R = Bt можно
решать уравнение R-1 о A-1 = B-1 с неизвестным бинарным отношением R и, если каким-либо методом найдено отношение R-1 , то R = (R-1 )-1.
Предположим, что решение определяется в классе сепарабельных отношений, т. е. в этом случае
R = Pi} (R) х РГ2 (R) ^ Mr (x, у) =
= min\nx (x), P2 (у)} .
Рассмотрим нечеткое реляционное уравнение At о R = Bt, которое можно записать в виде
Mb, ( у) =
= max min {ma (x) ,min {p (x) ,p2 (у )}} = . (21)
= min {p2 (у) ,max {ma (x) ,p1(x)}}.
Анализ данного соотношения позволил определить, что если max ma (x)> max mb (x), то
P2 (у) = Mb (у), а p (x) < Ma (x) для любого x е X ( или иначе Pi1 С At ,Pi2 = Bt),
Для любых элементов a, b е [0,1] положим a * b ={x: min(a, x)< b} . Теперь введем операцию * для нечетких подмножеств. Пусть A е F (X), R е F (X х Y), тогда
M(a*r) ( у ) = ™in {Ma ( x)* Mr ( ^ у)} . (22)
На основании [1] получим следующее утверждение: Пусть A е F (X), B е F (Y) - нечеткие
множества, R е F (X х Y) - нечеткое отношение, тогда для фиксированных R и B семейство реше-
(20)
ний 5 = { А : Я о А = В} соответствующего реляционного уравнения при 5^0 имеет максимальный элемент, определяемый в виде (Я * В-1) .
Нами доказано следующее утверждение: Пусть Я о А = В, тогда для любого нечеткого множества С , такого, что А с С с (Я * В-1) справедливо равенство Я о С = В .
Данное утверждение может быть использовано для проверки адекватности нечеткой модели прогнозирования.
Изложенные выше теоретические результаты положены в основу комплекса алгоритмов и компьютерной программ, предназначенных для восстановления нечетких кривых. В основных модулях
реализуются следующие функции: лингвистическое описание входных и выходных переменных, приближенное и точное решение систем нечетких реляционных уравнений, формирование базы правил для нечеткого логического вывода различными способами, в том числе и на основе процедур кластерного анализа.
Литература
1. Дюбуа Д. К анализу и синтезу нечетких отображений / Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения // Дюбуа Д., Прад А.: Пер с анг. / Под ред. Р.Р. Ягера. - М.: Радио и связь. 1986. C. 229-241.
2. Perfilieva I. Fuzzy function as an approximate solution to a system of fuzzy relation equations // Fuzzy Sets and ЗуяГвшя, 147 (2004), pp. 363-383.
Воронежский технический государственный университет
METHOD OF APPROXIMATION OF NON-LINEAR SYSTEMS WITH A COMPOSED
DATA TYPE
Т.М. Lede^va, Е.V. Kochergin
Method of approximation of non-linear systems with the composed data type is considered within the bounds of the fuzzy set theory. Variant of information representation by means of a linguistic definition of a variable with a qulitative way of definition of the unknown part, formalization of similar tasks and solving with the help of binar relationships are introduced
Key words: approximation, binary relationships, prediction, Triangular norm
