Решение задач теории упругости с применением s-сплайнов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

А.Н. Федосова, Д.А. Силаев*

ФГБОУВПО «МГСУ», *ФГБОУВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ

^-СПЛАЙНОВ

Рассмотрено применение теории полулокальных сглаживающих сплайнов или Б-сплайнов высоких степеней к решению задач теории упругости. Б-сплайн — кусочно-полиномиальная функция, коэффициенты полиномов которой определяются из двух условий: первая часть коэффициентов определяется условиями гладкой склейки, остальные коэффициенты — методом наименьших квадратов. Мы рассмотрим, каким образом могут быть применены сплайны 7-й степени класса С4 при решении бигармонического уравнения на круге.

Ключевые слова: аппроксимация, сплайн, численные методы, метод конечных элементов, математическая физика, теория упругости.

В математике интенсивное изучение сплайнов началось, фактически, только в середине XX в., когда в 1946 г. Исаак Шёнберг [1] впервые употребил этот термин в качестве обозначения для рассмотренных им функций с «кусочными» свойствами.

К настоящему моменту существует большое количество статей и серия монографий, посвященных теоретическим исследованиям и практическому применению сплайнов различных классов [2]. Различные виды сплайнов нашли широкое применение при построении конечно-элементного и сеточного методов приближенного решения задач математической физики и теории упругости [3-5].

Была разработана теория «-сплайнов высоких степеней. В данной работе речь пойдет о «-сплайнах седьмой степени степеней класса С4, которые сохраняют четыре непрерывные производные и при этом остаются устойчивыми. Рассматриваемая задача сводится к решению неоднородного бигармоническо-го уравнения методом Галеркина, где в качестве системы базисных функций выбраны фундаментальные «-сплайны. Такой подход не только обеспечивает высокую точность получаемого решения, но и позволяет легко определить искомые нагрузки. При их определении, как известно, получаемый потенциал, который есть решение бигармонического уравнения, следует дважды численно продифференцировать, что приводит к накоплению ошибок округления.

Одномерный S-сплайн седьмой степени класса С4. Рассмотрим на отрезке [а, Ь] равномерную сетку {хк , хк= а + кИ, И = (Ь — а) / к — шаг сетки. Разобьем отрезок [а, Ь] на группы, для этого введем на [а, Ь] еще одну равномерную сетку }|=0', = а + 1Н, H = т1 , m е N.

Таким образом, переходя от одной группы к другой, рассмотрим каждый /-полином на отрезке [0, И]. Пусть значения приближаемой функции на этой

сетке (у0, у1, ..., у£) е Як+1. Обозначим через

Р« {и : и(х) = а0 + а1 х + а2х2 + а3х3 + а4х4 + а5х5 + а6х6 + а7х1}

множество полиномов 7-й степени с фиксированными коэффициентами а0, ..., а4. Здесь зафиксированы четыре коэффициента, так как сплайн принадлежит к классу C4 . В классе р ищется такой полином gl, который минимизирует функционал

I М

Ф (&) = Е (и(^ + кИ) - Ут1+к)2 ^ тш^,аб>

к=0

и удовлетворяет условиям гладкой склейки:

а0 = gl-1 (^ ) = gl-1 (И), а( = g¡.1(ff), ..., а[ = 4 Я),

причем, при I = 1 а0 = go (0) = gL_1 (И), а[ = ^ _1 (И),..., а4 = gL4_)1 (И) в периодическом случае. В непериодическом случае коэффициенты ао,..., а4 задаются

начальными условиями уо, у0, , —, . Здесь Ь — число групп, на которые разбита исходная таблица значений приближаемой функции, или число полиномов, составляющих сплайн. Кроме того, М +1 — количество точек осреднения, входящих в область определения I -го полинома gl, ^ — точка привязки полинома gl, М - т +1 — число таких точек, значения которых участвуют при определении двух соседних полиномов, составляющих ^-сплайн, М > т +1 [1—5].

Будем предполагать, что значения заданной функции ук известны с некоторой погрешностью и с уменьшением шага к точность измерения будет увеличиваться, т.е. функция f е С [а, Ь] задана в узлах сетки хк = а + кк, к = 0,1,к,К

I I 8

своими значениями ук, тогда у - /(хк) < Ск , константа С не зависит от к.

Определение 1. ^-сплайном назовем функцию тм, которая совпадает с полиномом gl на каждом отрезке х е[ +1 ].

Система линейных алгебраических уравнений, которой должны удовлетворять коэффициенты полиномов 5-сплайна, состоит из уравнений двух видов [6—10]:

1) уравнений склейки для каждой пары последовательных полиномов (1);

2) уравнений для определения коэффициентов при старших степенях полиномов (2).

Нижеследующая система уравнений получена на основании [6—10]. Сделаем замену ~ = ак', ' = 0,7 и введем следующие обозначения:

М м

= У к1 ; р1 = У у к+4.

1 ^ ' ] ш1+к

к=0 к=0

В данных обозначениях уравнения (1) примут вид

~1 -1 , ~1 -1 , 2~ I-1 , 3~ I-1 , 4~ I-1 , 5~ I-1 , 6~ I-1 , 7~ I _1 ~1 ао + та1 + т а2 + т а^ + т а4 + т а5 + т а6 + т а7 = ао;

а{-1 + 2та2-1 + 3т2 а3-1 + 4т3а4-1 + 5т4 а5-1 + 6т5а6-1 + 7т6 а7-1 = а(;

а2-1 + 3та3-1 + 6т2а4-1 + 10т3а5-1 + 15т4 а6-1 + 21т5а7-1 = а2; (1) а3-1 + 4та4-1 + 10т2 а5-1 + 20т3а6-1 + 35т4 а7-1 = а3; а4-1 + 5та5-1 + 15т2а6-1 + 35т3а7-1 = а4.

А уравнения из условий (2):

S5CI0 + Sf6&\ + S7&2 + Sgaa^ + S904 + Soa/^ + SyyC6 + S12C7 — P ; S^a/Q + S7 Cy + S8002 + S9C3 + Syo a/,4 + Syya/5 + Sy2 05 + S13C7 — p ; S7 o/q + S8a/y + SgC/2 + Syoa/з + Syy a/ 4 + Sy2 05 + Sy^a/^ + S14C7 — P3.

VESTNIK

JVIGSU

(2)

где I = 0,...,L -1 — номер полинома, причем, если I = 0, то в периодическом случае а1 -1 = о^-1. Выражения (1) и (2) определяют систему линейных алгебраических уравнений для определения всех коэффициентов полиномов, составляющих «-сплайн. В дальнейшем будем опускать тильду над переменными а■ .

Запишем полученную систему в матричной форме. Для этого обозначим

Г s.

Ao =

5

S6

56

57

57

58

S7 So Sq

Bo -

m2 2m 1 0 0

So Sq

S10

,3

m

3m

3m

y

0

2

Sq S10 S11, 4 Л

m

4m3 6m2

4m

y

Г s

A, =

10

S11

VS12

( 5 m

511

512 S13

S Л S12

513

514

Bi =

6

7 Л

5m

4

6m

5

10m 10m

5m

3

2

15m 20m 15m

4

3

2

7m6 21m5 35m4 35m3

Пусть, кроме того

( i Л Co

J

Pl -

(Pyl Л p2

v P3lУ

V У

X i =

Cy

02

03

v C4 у

X l -

( i Л

05

l 6

o]

V У

оЛ

Тогда уравнения из систем (1) и (2) соответственно примут вид

D Vl 1 D Vl _ Vl+1 B0X 0 + B1X1 - X 0

A 0 X0 + A X[ = P,

а матрица устойчивости, отвечающая за перенос информации от одного полинома к другому, равна

и = А - а^гЧ. (3)

В [6—8] Д.А. Силаевым доказаны приведенные ниже теоремы существования и единственности, сходимости и устойчивости периодического и непериодического «-сплайна (теоремы 1—3).

Теорема 1. При любых начальных условиях и для любых констант т и М, удовлетворяющих условию М > т +1, М > 6, существует, притом единственный, «-сплайн.

Теорема 2. Если /(х) е С8, то для «-сплайна с узлами на равномерной сетке = 1Н справедлива оценка:

f(Р)( x) - S

m,M

( p )

( x)

< CJi*-p, p = 0,1, ...,7.

Из теоремы 2 следует, что «-сплайн гарантирует приближение функции /(х) е С8 с восьмым порядком аппроксимации. Следует особо подчеркнуть, поскольку точность приближения функции измеряется как появляется

возможность значительно уменьшить количество базисных функций, участву-

ющих в разложении, и как следствие, существенно сократить трудоемкость реализации.

Теорема 3. Если все собственные числа матрицы и(3) по модулю меньше единицы, то «-сплайн устойчив.

Для используемых в работе сплайнов вычислены собственные числа вышеуказанной матрицы, оказалось, что при т = 2 и M = 7 |А,тах | = 0,693 < 1, что гарантирует устойчивость.

Моделирование изгиба круговой пластинки. Уравнение Софи Жермен — Лагранжа изгиба пластин в полярных координатах имеет вид [5]

А2 м>(ф, г) = д(ф, г), (4)

где ^(ф, г) — прогиб; А2 — бигармонический оператор в полярных координатах; q(ф, г) — отношение внешней нагрузки к жесткости пластины.

Пусть пластина жестко закреплена по контуру:

^ = 0. (5)

Отметим, что работа, проделанная авторами, позволяет находить решение не только в случае жесткого закрепления. Авторами решена задача и в случае неоднородных граничных условий

Чф, г)\Г=1 = —

^(ф, г)|г=1 = /(ф), ^

= g(ф).

г=1

Приближенное решение задачи (4) о вынужденном колебании жестко закрепленной пластинки будем искать в виде М>(ф, г) = «(ф, г), г к+1+4

5(ф,г) = Е Е UijCi(фЩ(г), (6)

I=1 j=0

где и..—коэффициенты, подлежащие определению; Ci (ф) = (С1 (ф) ...С 7 (ф)) — система одномерных периодических сплайнов (рис. 1); В. (г) = (В) (г). Вк+1(г) — система одномерных непериодических сплайнов (рис. 2).

0,8 0,6 0,4 0,2 о -0,2 -0,4

■

\ л \\ л \ /-4 \ А-к\тт\\ Л X Ал \ / /1 \

_У

Рис. 1. Система периодических сплайнов

1

0,8 0,6 0,4 0,2 О -0,2

-0,41-"_'......-'_х_1_I-1_|-1-

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Рис. 2. Система непериодических сплайнов

Согласно методу Галеркина [11—12], подставляем уравнение (6) в уравнение (4) и вычисляем невязку:

N(г,Ф) = А2«(Ф,г) - д(ф,г) = ^иу А2С (г) - д(ф,г).

Неизвестные 2 х (К +1 + 5) коэффициентов и., будем выбирать из условия ортогональности невязки N (г, ф) к выбранным базисным функциям С1 (ф)Dfc (г), но таким, что узлы (/, к) остаются внутри единичного круга О (рис. 3).

Рис. 3. Разбиение круга

Этим требованиям удовлетворяют все С[ (ф), значит, I = 1,2, а также сплайны Ок (г) с номерами к = 0, К -1 (точка К является граничной точкой, а К +1 вообще не принадлежит области), а также 4 вспомогательных сплайна, значит, к = 0, К -1 + 4. Таким образом, возможное число комбинаций базисных функций С (ф)Бк (г ) равно 2 х (К + 4).

В качестве скалярного произведения естественно будет выбрать двойной интеграл по области О. Из данного условия соответственно получим систему из 2 х (К + 4) уравнений вида:

£> г,7 £>

/ = 1,2, к = 0,К -1 + 4, умножим каждое уравнение в системе на г3 :

ХЦ,- Л С (ф^к (г) А2С (ф^- (г)Л^ф = |[ д(ф, гС (ф)Dk (г) г4^ф. (7)

',3 О О

Рассмотрим интеграл, стоящий в левой части уравнения (4). Применим бигармонический оператор, тогда интеграл разбивается на восемь интегралов

8

Л С (ф)Dk (г) А2С (ф)DJ■ (г)г ф = X 1п а, и I, к), О п=1

2п 1

где /1 = | С/(ф)С.(ф)^ф|DJ4)(г)Dk(г)г4^г; 0 0 2п 1

12 = | С (фС/^ФМФ!(г)г2Ф;

0 0 2п 1

13 = | С(ф)Сг(4)(ф)^ф|(гЩ{г)йг;

0 0 2п 1

/4 = 2 | С, (ф)Сг (ф)^ф|в"'(гЩ (гг)г2йг; 0 0 2п 1

/5 = -2 | С, (ф)Сг//(ф)^ф|Щ (гЩ (г)Ыг; 0 0 2п 1

/6 = - | С,(ф)Сг (ф^ф|в" (гЩ(г)г2йг; 0 0 2п 1

/7 = 4 | С,(ф)Сг//(ф)^ф|щу (гЩ(г)^г;

0 0 2п 1

/8 = | С, (ф)Сг- (ф)^ф/ Щ(г)Щ (г)^г.

0 0

Для каждого из интегралов с целью уменьшения порядка производных автором было произведено интегрирование по частям. Ввиду значительного объема подсчетов, данные выкладки в работе не приводятся.

Таким образом, для определения 2 х (К + 6) неизвестных коэффициентов имеем 2 х (К + 4) уравнений вида 8

ХЦ,- X /п 0', и,1, к) = И <?(ф, г)С/ (ф)Dk (г)гф,

.,3 п=1 О

I = 1,2, - = 0,К +1, / = 1,2, к = 0,К -1 + 4 .

Оставшиеся 2 х Z неизвестных определим из граничных условий (2), тогда YUifi (Ф/) Dj (1) = 0, I = Ц ;

(ф, ) Е/{1) = 0, I = .

Напомним, что порядок аппроксимации и устойчивость метода Галеркина определяется исключительно выбором базисных функций [11—12], а значит получаем устойчивую схему восьмого порядка аппроксимации.

Результаты расчетов

В качестве первого тестового решения была использована функция ^(ф,г) = (г -1)2 sin(ф), удовлетворяющая уравнению (4) при

, ч -Звтю! г2 +1)

Ч(ф,г ) =-4-.

г

Под единицей машинного времени (~2 мин 40 с) будем понимать время, затраченное на выполнение предложенной программной реализации данного метода тестовой задачи, при К = 2 и X = 12 на однопроцессорном стационарном компьютере со следующими характеристиками: частота процессора 2,81 ГГц, оперативная память 1 ГБ. Здесь X = 6К, поскольку отрезок фе [0; 2п] примерно в 6 раз больше отрезка г е [0; 1]. Введем обозначения: Тшм — время выполнения программы, измеряемое в принятых единицах времени; И — максимальный шаг разбиения; % — максимум модуля отклонения точного решения ш от найденного приближенного 5 во внутренних узлах сетки и 5 — доля машинного времени, уходящая на вычисление правой части системы. Результаты расчетов приведем в таблице.

Результаты расчета

K Z KxZ TRUN X A CO 5

2 6 12 0,05 1,047 1,047 1,445 —

2 12 24 1 4,67103 0,524 5,66 103 35,7

2 14 28 1,34 2,46103 0,500 3,9110-3 35,7

4 24 96 9,86 1,9810-5 0,262 2,2110-5 34,7

4 26 104 11,83 1,1110-5 0,250 1,53 10-5 34,6

4 36 216 16,46 6,68107 0,175 8,60 107 33,8

Следует сказать, что приведенные результаты в части подсчетов машинного времени носят условный характер, необходимо учитывать точность измерения времени и, что более важно, оптимальность составленной программы, очевидно, что существуют алгоритмы, реализующие данный метод за лучшее время. Около 35 % общего времени исполнения занимает вычисление правой части системы (7). Это объясняется использованием символьных переменных.

ВЕСТНИК

Возможно, использование квадратурных формул высокого порядка позволило бы существенно сократить время исполнения алгоритма. Погрешность составила 0(й8), при этом наибольшее отклонение найденного приближенного решения от точного достигается в нуле, т.е. там, где функция в силу особенности выбранной правой части начинает быстро возрастать. Даже при малом количестве точек разбиения К = 2 и Z = 12, что соответствует ¡г « 0,5236, различия между точным решением и приближенным на графике уже не видны (рис. 4).

Рис. 4. Приближенное решение задачи при h « 0,5236

Заключение. Полученные результаты красноречиво свидетельствуют об эффективности данного метода. Следует особо подчеркнуть, что при небольшом числе точек разбиения, к примеру 96, удалось получить колоссальную точность.

Если заменить базис, составленный из специальной системы «-сплайнов, на систему тригонометрических функций {sin nx,cos nx}, для обеспечения той же точности потребовалось бы взять ~500 слагаемых(!). Применять данный базис при таком количестве слагаемых не только неэффективно из-за высокой трудоемкости, но и просто опасно, учитывая слабую сходимость рядов Фурье.

«-сплайны класса С4 предоставляют возможность применять полиномы высоких степеней, не опасаясь потери устойчивости, что дает возможность на несколько порядков сократить количество узлов сетки, а это приводит к ощутимому увеличению (в разы) быстродействия программ. А значит, для решения многих задач отпадает потребность в применении суперкомпьютеров. Да и к тому же «-сплайны дают изящное решение, вычисление значений которого в каждой точке требует знания лишь двух арифметических операций.

1. Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic function. Qaurt. Appl. Math. 1946, vol. 4, pp. 45—99; 112—141.

2. Schumaker L. Spline Functions: Basic Theory. Cambridge University Press, 3 edition. Cambridge Mathematical Library Series. 2007. 598 p.

3. Dmitriev V.I. and Ingtem J.G. A Two-Dimensional Minimum-Derivative Spline. Computational Mathematics and Modeling. 2013, vol. 24, no. 1, p. 168.

0,6, 0.4,

Библиографический список

4. BenowitzB.A., WaismanH. A spline-based enrichment function for arbitrary inclusions in extended finite element method with applications to finite deformations. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2013, vol. 95, no. 5, pp. 361—386.

5. Kai Qu, Bo Hiang. Galerkin Finite Element method by using bivariate splines for Parabolic PDEs. Applied mathematics. 2013, vol. 6, no. 1, pp. 64—73.

6. Силаев Д.А. Дважды непрерывно дифференцируемый полулокальный сглаживающий сплайн // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика, механика. 2009. № 5. С. 11—19.

7. Силаев Д.А., Коротаев Д.О. Решение краевых задач с помощью S-сплайна // Компьютерные исследования и моделирование. 2009. Т. 1. № 2. С. 161—167.

8. Силаев Д.А., ИнгтемЖ.Г. Полулокальные сглаживающие сплайны седьмой степени // Вестник Ю-УрГУ № 35(211). Сер. «Математическое моделирование и программирование». 2010. Вып. 6. С. 104—112.

9. Силаев Д.А. Полулокальные сглаживающие S-сплайны // Компьютерное исследование и моделирование. 2010. Т. 2. № 4. С. 349—357.

10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. : Госте-хиздат, 1953.

11. Марчук Г.И., Агашков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М. : Наука, 1981.

12. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М. : Мир, 1988.

Поступила в редакцию в сентябре 2013 г.

Об авторах: Федосова Анастасия Николаевна — старший преподаватель кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)183-30-38, [email protected];

Силаев Дмитрий Алексеевич — доцент кафедры общих проблем математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова» (ФГБОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова»), 119991, ГСП-1, г. Москва, ул. Ленинские горы, д. 1, [email protected].

Для цитирования: Федосова А.Н., Силаев Д.А. Решение задач теории упругости с применением ^-сплайнов // Вестник МГСУ 2013. № 10. С. 75—84.

A.N. Fedosova, D.A. Silaev

SOLUTION TO THE PROBLEMS OF THE ELASTICITY THEORY USING S-SPLINES

This article is dedicated to 7 degree S-splines of the class C4 that maintain four continuous derivatives and though remain stable. S-spline is a piecewise-polynomial function. Its coefficients are defined due to two criteria. The first part of coefficients is defined by the smoothness of the spline. The other coefficients are defined by the least-square method. At this moment we have investigated 7 rate S-splines of the class C4.

The classic problem the elasticity theory is handled by solving nonhomogeneous biharmonic equation using Galerkin method, where fundamental S-splines are chosen as the system of basic functions. This approach not only provides high accuracy of solution, but also lets determine the required loads easily. It is known, that in the process of determining the loads the obtained potential (which is the solution to biharmonic equation) ought to be differentiated twice, which leads to roundoff accumulation.

The methodic of S-splines constructing is given. In the paper the authors introduce the theorems of existence and uniqueness, convergence and stability for constructed S-splines.

We described methodics of the problem of space discretization using S-splines. The obtained numerical solution is compared to the known analytic solution to the problem. The approximation error is 0(h8). Taking h = 0,5236, which is equal to 24 grid points, the approximation error is about 0,005. For comparison, it would take 500 first members in order to provide such an error by using a tragicomic function system as basic function of Galerkin method.

Described S-splines give an opportunity to use high degree polynomials without fear of stability loss, which provides significant reduction of the grid node quantity. Besides, S-splines provide a simple solution. In order to calculate it in every point the knowledge of only two arithmetic operations is required.

Key words: approximation, spline numerical methods, method of finite elements, the mathematical physics, the elasticity theory.

References

1. Schoenberg I.J. Contributions to the Problem of Approximation of Equidistant Data by Analytic Functions. Qaurt. Appl. Math. 1946, vol. 4, pp. 45—99, 112—141.

2. Schumaker L. Spline Functions: Basic Theory. Cambridge University Press, 3 edition, Cambridge Mathematical Library Series. 2007, 598 p.

3. Dmitriev V.I. and Ingtem J.G. A Two-Dimensional Minimum-Derivative Spline. Computational Mathematics and Modeling. 2013, vol. 24, no.1, p. 168.

4. Benowitz B.A., Waisman H. A Spline-based Enrichment Function for Arbitrary Inclusions in Extended Finite Element Method with Applications to Finite Deformations. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2013, vol. 95, no. 5, pp. 361—386.

5. Kai QU, Bo Jiang. Galerkin Finite Element Method by Using Bivariate Splines for Parabolic PDEs. Progress in Applied Mathematics. 2013, vol. 6, no 1, pp. 64—73.

6. Silaev D.A. Dvazhdy nepreryvno differentsiruemyy polulokal'nyy sglazhivayushchiy splayn [Twice Continuously Differentiable Semilocal Smoothing Spline]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2009, no. 5, pp. 11—19.

7. Silaev D.A., Korotaev D.O. Reshenie kraevykh zadach s pomoshch'yu S-splayna [Solution to Boundary Value Problems by Using S-spline]. Komp'yuternye issledovaniya i mod-elirovanie [Computer Research and Modeling]. 2009, vol. 1, no. 2, pp. 161—167.

8. Silaev D.A., Ingtem Zh.G. Polulokal'nye sglazhivayushchie splayny sed'moy stepeni [Semilocal Smoothing Splines of the Seventh Degree]. Vestnik Yu-UrGU [Proceedings of South-Ural State Univercity], no. 35(211), Mathematic Modeling and Programming Series. 2010, no. 6, pp.104—112.

9. Silaev D.A. Polulokal'nye sglazhivayushchie S-splayny [Semilocal Smoothihg S-splines]. Komp'yuternye issledovaniya i modelirovanie [Computer Research and Modeling]. 2010, vol. 2, no. 4, pp. 349—357.

10. Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1953.

11. Marchuk G.I., Agashkov V.I. Vvedenie v proektsionno-setochnye metody [Introduction to the Grid Projection Methods]. Moscow, Nauka Publ., 1981.

12. Fletcher K. Chislennye metody na osnove metoda Galerkina [Numerical Methods Based on the Galerkin Method]. Moscow, Mir Publ., 1988.

About the authors: Fedosova Anastasia Nikolaevna — Senior Lector, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26, Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russia Federation; [email protected];

Silaev Dmitry Alekseevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Department of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University (MSU), 1, Leninskiye Gory, Moscow, 119991, Russia Federation; [email protected].

For citation: Fedosova A.N., Silaev D.A. Reshenie zadach teorii uprugosti s primeneniem S-splaynov [Solution to the Problems of the Elasticity Theory Using S-splines]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 10, pp. 75—84.