CC BY
9
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК / UDC 69.04:620.174.22:624.044.3:621.0:63
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ МАКСИМАЛЬНОГО ПРОГИБА РОМБИЧЕСКИХ ПЛАСТИНОК С КОМБИНИРОВАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ В АГРОПРОМЫШЛЕННОМ МАШИНОСТРОЕНИИ
SOLVING THE PROBLEMS OF STRUCTURAL MECHANICS IN DETERMINING THE MAXIMUM DEFLECTION OF RHOMBIC PLATES WITH COMBINED BOUNDARY CONDITIONS IN AGRO-INDUSTRIAL ENGINEERING
Фетисова M.A., кандидат технических наук, доцент Fetisova M.A., Candidate of Technical Sciences, Associate Professor ФГБОУ ВО «Орловский государственный аграрный университет имени Н.В. Парахина», Орел, Россия
Federal State Budgetary Educational Establishment of Higher Education "Orel State Agrarian University named after N.V. Parakhin", Orel, Russia E-mail: [email protected]
На современном этапе развития агропромышленной техники проектирование деталей и отдельных узлов неразрывно связано со всесторонними исследованиями прочности, жесткости и устойчивости конструкций, находящихся под воздействием как статических, так и динамических нагрузок. Расчетные схемы многих элементов могут быть представлены в виде стержневых, пластинчатых, оболочечных и комбинированных (пластинчато-стержневых, оболочечно-пластинчатых и др.) систем. Несмотря на наличие большого количества различных программных продуктов, в настоящее время в строительной механике и в расчетной практике большое значение придается развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий, сооружений и машин, обладающих максимальной простотой, разумной точностью и возможностью получения двусторонних оценок. Такие методы не требуют разработки сложных программ счёта, избавляют проектировщика на начальной стадии проектирования от использования мощных ЭВМ для получения оперативного результата, они помогают достаточно просто и правильно истолковывать результаты уточненных поверочных расчетов. В статье на примере показано, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы можно достаточно просто определять величину максимального прогиба пластинок в виде ромба с комбинированными граничными условиями, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой. В основе метода интерполяции по коэффициенту формы лежит изопериметрический метод. Основным аргументом в получаемых аналитических зависимостях является отношение коэффициента формы к площади области. Все определенное ограниченное подмножество областей имеют граничные (опорные) решения.
Ключевые слова: аффинное преобразование, интерполяция, коэффициент формы, комбинированные граничные условия, ромб, пластинка.
At the present stage of the development of agro-industrial engineering, the design of parts and individual units is inextricably linked with comprehensive studies of the strength, rigidity and stability of structures under the influence of both static and dynamic loads. The design schemes of many elements can be presented in the form of rod, plate, shell and combined (plate-rod, shell-plate, etc.) systems. Such methods do not require the development of sophisticated account programs, relieve the designer at the initial stage of design from using powerful computers to obtain an operational result, they help to explain the results of refined
verification calculations quite simply and correctly. Despite the presence of a large number of different software products, currently in construction mechanics and in accounting practice great importance is attached to the development and improvement of simple analytical methods for solving specific problems for typical elements of structures of buildings, structures and machines that have maximum simplicity, reasonable accuracy and the possibility of obtaining bilateral evaluations. In the article, the example shows that using the method of interpolation by the shape factor, it is possible to determine simply the maximum deflection of the plates in the form of a diamond with combined boundary conditions loaded with a uniformly distributed load. The interpolation method based on the shape factor is based on the isoperimetric method. The main argument in the obtained analytical dependencies is the ratio of the form factor to the area of the region. All bounded subsets of domains have boundary (support) solutions.
Key words: affine transformation, interpolation, form factor, the combined boundary conditions, rhombus, plate.
На современном этапе развития агропромышленной техники проектирование деталей и отдельных узлов неразрывно связано со всесторонними исследованиями прочности, жесткости и устойчивости конструкций, находящихся под воздействием как статических, так и динамических нагрузок. Расчетные схемы многих элементов могут быть представлены в виде стержневых, пластинчатых, оболочечных и комбинированных (пластинчато-стержневых, оболочечно-пластинчатых и др.) систем. Чтобы рассчитать такие системы создаются программные комплексы, включающие в себя алгоритмы расчета конструкций определенного вида на ЭВМ.
Несмотря на наличие большого количества различных программных продуктов, в настоящее время в строительной механике и в расчетной практике большое значение придается развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий, сооружений и машин, обладающих максимальной простотой, разумной точностью и возможностью получения двусторонних оценок. Такие методы не требуют разработки сложных программ счёта, избавляют проектировщика на начальной стадии проектирования от использования мощных ЭВМ для получения оперативного результата, они помогают достаточно просто и правильно истолковывать результаты уточненных поверочных расчетов. Упрощенные аналитические методы широко используются в системах автоматизированного проектирования на этапах оптимизации силовых конструкций, когда производится многократное повторение прочностного или жесткостного расчета с целью подбора оптимальных параметров отдельных элементов и всей конструкции. При проектировании деталей и отдельных узлов во многих случаях их расчётные схемы представляются в виде пластинок сложной формы (треугольные, ромбические, параллелограммные, трапецеидальные) с различными граничными условиями. Одним из методов расчета конструкций в виде упругих пластинок является метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ). В основе данного метода положены изопериметрические свойства [2, 3, 5] и закономерности изменения коэффициента формы области Kf при различных геометрических преобразованиях.
Сущность метода интерполяции по коэффициенту формы заключается в следующем. Пусть необходимо записать решение для некоторого множества фигур, полученных путем какого-либо непрерывного (или дискретного)
геометрического преобразования. При анализе фигур (форм пластинок) этого множества следует выделить среди них хотя бы две пластинки, решения для которых известны («опорные» решения). Желательно чтобы эти две пластинки при выбранном геометрическом преобразовании отстояли друг от друга на «небольшом расстоянии».
Известные решения ^о)1 и ^о)2 для этих пластинок могут быть представлены в виде зависимостей:
2 2 (щ\ = ^(кщ= кЯЬ.(кп)■
Предположим, что при выбранном преобразовании А1 = А2 (с изменением фигуры меняется и ее масштаб). Разделив второе выражение на первое, найдем значение параметра п для заданного геометрического преобразования.
п
щк
1пПЩ011щ02,
Г 2
'кл • л
ТА?)'
п = 1п
мл
\(щ0 )2 Л
1п
Кп л
Кг, V I1 Л
= Щ )1
кп л ^
V К1
л
1
(2)
Структура этих формул соответствует зависимости (1).
К такому виду можно привести все получаемые решения при любом геометрическом преобразовании, предварительно представив в безразмерном виде (приведя к единичной площади).
Если вместо ^0)2 подставить значение Wo для любой пластинки, относящейся к выбранному геометрическому преобразованию, то получим:
щ
= (щ0 )
\п
V К/1Л
(3)
Легко заметить, что опорные решения в (3) удовлетворяются автоматически.
Графически рассмотренная аппроксимация изображена на рис. 1, где кривая I соответствует действительным значениям Wo, а кривая II -приближенным решениям, полученным по формуле (3).
11(1/1=) II ^^^
У —
к,
к
к,
Рисунок 1 - Графически рассмотренная аппроксимация
Приведенные выше рассуждения основывались на непрерывных геометрических преобразованиях, когда изменение формы фигур рассматриваемого множества происходит непрерывно и монотонно, а также
п
можно вполне успешно применять дискретные геометрические преобразования, когда переход от одной фигуры к другой осуществляется скачкообразно.
Пример 1. Определим прогиб для пластинки в виде параллелограмма, применив преобразование аффинного растяжения (или сжатия) со сдвигом. При этом вершины параллелограмма как бы параллельно скользят по направляющим, которые могут быть кривыми или прямыми. Параметры пластинки: h = 1,314м; а = 2 м; h/a = 0,657; а = 60°; A = 0,657a2; Kf = 9,592. Для этой пластинки найдено значение прогиба с помощью МКЭ: W0=0,5904 мм. Заданный параллелограмм может быть получен из прямоугольника, у которого: с = 1м; а = 2м; c/a =0,5; A1=0,5a2; Kfi=9. При аффинном растяжении со сдвигом этого прямоугольника при угле наклона направляющей y = 22° получается ромб с углом при основании а = 2м; h =1,538м; р = 50°; А2=0,76925а2; Кс=10,444 (рис. 2).
, ,■' / ,■---! ! ! ! /
/ / / // / / // / '
Рисунок 2 - Условия опирания пластинки
Значения прогиба для опорных пластинок находятся с помощью метода конечных элементов: wo1=0,256 мм; wo2=0,7849 мм.
По этим опорным решениям, применив методику МИКФ, найдем изгиб для заданной пластинки в виде параллелограмма:
n _ ■
ln| Ww01
1П| Kf 2/ Kf 1
4/
A„
_ 1n(0,7849/0,256) _ 2 892 ;
1n(10,444/10 • 2/3,077) ' '
w0 _ w01
K
fl
w,
Kf 1 • MA
,-2,892
_ 0,256-(9,592/10• 2/2,628) 2,892 _ 0,5875мм
что отличается от решения, полученного МКЭ wo=0,5904мм на 0,3% (рис. 3).
Рисунок 3 - Аффинное растяжение (или сжатие) со сдвигом параллелограмма
n
Таким образом, применение МИКФ позволяет получать простые аналитические зависимости для определения максимального прогиба в задачах поперечного изгиба пластинок. Этот метод позволяет также производить контрольные проверки решений для конкретных видов пластинок, полученных другими приближенными способами, путем построения этих фигур с помощью различных геометрических преобразований.
Если для рассматриваемого множества фигур, соответствующих какому-либо геометрическому преобразованию, имеется более двух известных решений, то выражение для определения параметра n может быть представлено в виде некоторой функции. При этом точность аппроксимации решений существенно возрастает.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Госматиздат, 1962. з3б с.
2. Коробко A.B. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости. М.: Изд-во ABC, 1999. 320 с.
3. Коробко В.И Изопереметрический метод в строительной механике. Т. 1. М.: Изд-во АСВ, 1997. 396 с.
4. Блажнов A.A., Фетисова М.А. Производственные сооружения для фермерских хозяйств. Орел, 2017.
5. Коробко A.B., Фетисова М.А. Способы решения задач поперечного изгиба трапециевидных пластинок // Строительство и реконструкция. 2010. № 1 (27). С. 36-39.
6. Фетисова М.А. Развитие и применение метода интерполяции по коэффициенту формы к решению задач поперечного изгиба пластинок с комбинированными граничными условиями: дис. ... канд. техн. Наук. Орел, 2010.
7. Коробко A.B., Фетисова М.А. Определение поперечного изгиба методом интерполяции по коэффициенту формы при аффинном преобразовании пластинок в виде ромбов и параллелограммов // Промышленное и гражданское строительство. 2010. № 1. С. 23-24.
