CC BY
144
Cloud of Science. 2018. T. 5. № 1 http:/ / cloudofscience.ru
Решение задач идентификации математических моделей объектов и процессов методом символьной регрессии1
Данг Тхи Фук*, А. И. Дивеев*,**, Е. А. Софронова**
*Российский университет дружбы народов 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
**Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН 119333, Москва, ул. Вавилова, 44, корп. 2
e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
Аннотация. Представлен обзор аналитических и численных методов для решения задачи идентификации математических моделей объектов и процессов по экспериментальным данным. Показано, что методы символьной регрессии, относящиеся к классу численных методов, при решении задачи идентификации позволяют искать не только значения параметров, но и структуры математических моделей. Приведены практические примеры использования одного из методов символьной регрессии, метода сетевого оператора, для решения прикладных задач идентификации, модели мобильного робота и модели химической реакции. Ключевые слова: символьная регрессия, идентификация, метод сетевого оператора, робототехника, модель химической реакции.
1. Введение
Задача идентификации математических моделей возникает в тех случаях, когда математические модели объектов или процессов, для которых требуется решать задачи управления, очень сложны или полностью неизвестны. Вывод уравнений для сложных объектов или процессов осуществляется на основании принципа Далам-бера или закона сохранения энергии и уравнений Лагранжа второго рода. Для сложных объектов или процессов временные затраты на аналитический вывод становятся существенными.
Задача идентификации для динамического объекта, как правило, сводится к поиску многомерной функции правых частей дифференциальных уравнений, описывающих искомую модель объекта управления.
До последнего времени численные методы не позволяли находить структуру многомерных нелинейных функций. Структура функций задавалась исследователем с точностью до значений параметров, а численные методы подбирали опти-
1 Работа выполнена по гранту РФФИ №17-08-01203-а.
мальные величины параметров по критериям соответствия экспериментальным данным. С появлением поисковых эволюционных алгоритмов и методов символьной регрессии стало возможным в задачах идентификации искать не только параметры функций, но и их структуры.
2. Постановка задачи идентификации
Рассмотрим задачу идентификации математической модели в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В результате решения задачи идентификации необходимо получить нелинейные уравнения, описывающие правые части системы дифференциальных уравнений.
Для решения задачи используем множество экспериментальных данных. При получении экспериментальных данных для объекта задаем временные функции для свободных переменных и начальные условия состояния объекта. На выходе получаем изменение компонент вектора состояния объекта во времени. Для контроля состояния объекта и хранения экспериментальных данных временной диапазон процесса наблюдения дискретизируем.
Для решения задачи идентификации считаем, что нам известны размерность п модели объекта и размерность т вектора свободных параметров. В задачах управления вектором свободных параметров может быть вектор управления или вектор возмущения.
Пусть экспериментальные данные определены в виде упорядоченного множества значений пар векторов в дискретные моменты времени
Е = ((й(Г0),ЩЛ ..., (й(^)Д(^))), (1)
где й(/,) — заданное значение вектора свободных параметров в момент
й(/() = [»,(Л)... йт(11)]' , х( /,) — измеренное значение вектора состояния объекта в
момент г1, Х(г1) = [X (г1) ... хп (г1 )]г, г = 0, N.
При выполнении эксперимента необходимо задать начальные условия
х°=х(у.
Задача состоит в том, чтобы найти математическую модель в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений
* = g(x, и), (2)
где g(x, и) = [^(х, и) ... gn(х, и)]г — искомые математические выражения. Решение х(7, х"), х" = х(/п) системы уравнений (2)
* = и(0),
где и(?) = и(/;) при Г е [7; , 1), ] = 0, N — 1, должно обеспечить минимум следую-
щих критериев:
4 =\ ^ 1Xп=1 а )—X))2 ^ тп' (3)
■2 = шах (РДхД^О-хД^ОЖшхп, (4) *е{1, .., п},
где а, в — заданные весовые коэффициенты; I = 1,..., п.
Оба критерия (3), (4) описывают нормы отклонений решения системы дифференциальных уравнений от экспериментальных точек, заданных в пространстве Яп. При точном совпадении решения системы (2) с экспериментальными точками обе нормы должны давать близкие к нулю значения. Первый функционал чувствителен к количеству точек.
Если при поиске используются оба критерия, то данная задача относится к классу задач структурно-параметрической многокритериальной оптимизации. Решением задачи является множество Парето на пространстве критериев (3), (4). Каждая точка на множестве Парето является математическим выражением, описывающим правые части системы дифференциальных уравнений (2).
3. Аналитические методы для решения задачи идентификации математических моделей
Аналитические методы решения задачи идентификации [1-5] моделей объектов управления основываются на свойствах системы и фундаментальных законах физики. Для механических объектов управления в большинстве случаев исследователь выводит математическую модель объекта управления на основе законов Ньютона, уравнения Лагранжа, и принципа Даламбера [6]. В результате получается модель в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Данная модель определяет движение объекта с точностью до значений параметров. Далее параметры уточняются численными методами, например методом наименьших квадратов по экспериментальным данным. Процесс вывода уравнений, даже с учетом элементов автоматического вывода [7], не всегда оправдан, так как многие задачи управления не требуют наличия полной математической модели объекта.
Большое количество работ в задачах идентификации посвящено уточнению моделей случайных возмущений [8-12]. Данный класс задач связан с фильтрацией полезных сигналов.
В некоторых случаях модели объектов получены аналитически частично, а часть модели не может быть построена, например математическая модель человека-
оператора. Тогда неизвестные блоки модели заменяют типовыми передаточными функциями, параметры которых уточняют численными методами [4].
4. Численные методы
Сегодня не существует аналитических методов решения задач идентификации или синтеза управления для сложных моделей объектов и произвольных функционалов. Численные методы, связанные с преобразованием этих задач бесконечномерной оптимизации в задачи конечномерной оптимизации или нелинейного программирования, сталкиваются с проблемой вычислительной сложности. До последнего времени численные методы не позволяли искать структуру многомерных нелинейных функций. Прорывным результатом в этой области являются методы символьной регрессии и эволюционные алгоритмы [13-14]. Методы символьной регрессии ищут решения в виде кодов математических выражений. Множество кодов не содержит метрики между элементами, поэтому задача поиска решения на множестве кодов является переборной задачей, которая относится к классу КР-полных задач. Для решения таких задач с экспоненциальной скоростью сходимости в последнее время все чаще используют эволюционные алгоритмы. Экспоненциальная скорость сходимости указывает на то, что время сходимости поискового алгоритма растет быстрее, чем любая конечная степень полинома от параметра сложности алгоритма, например от количества элементов в искомом множестве. Поскольку КР-полные задачи также имеют экспоненциальную скорость сходимости, а методы символьной регрессии используют поиск на пространстве кодов, то все они применяют для поиска решения эволюционные алгоритмы.
Эволюционные алгоритмы появились в конце XX в. Первые работы по генетическому алгоритму относятся примерно к 1975 г. В эволюционных алгоритмах задают конечное множество возможных решений, оценивают каждое решение по значению целевой функции, а далее строят новые возможные решения с учетом оценок существующих возможных решений. Эволюционные алгоритмы классифицируют в зависимости от способа построения новых возможных решений. Если процесс поиска лучших решений на множестве подобен отбору в природе, то они называются алгоритмами, вдохновленными природой [15]. У всех эволюционных алгоритмов скорость изменения лучшего значения целевой функции замедляется с увеличением циклов эволюций. Таким образом, затраты на вычисление для улучшения значения целевой функции увеличиваются. Исследователь субъективно принимает решение об остановке вычислений, когда он считает, что дальнейший поиск приведет к существенной потере времени и к незначительному улучшению целевой функции. Дополнительным преимуществом эволюционных алгоритмов является то, что после выполнения циклов эволюций исследователь получает мно-
жество хороших решений, среди которых можно выбрать лучшее по дополнительному критерию.
5. Эволюционные алгоритмы и методы символьной регрессии
Строгого математического определения эволюционных алгоритмов сегодня не сформулировано. Вместе с терминами «эволюционные алгоритмы» и «эволюционные вычисления» часто используют термины популяционные, стайные, роевые алгоритмы или методы. Встречается термин «эволюционные стратегии», при этом алгоритмы, использующие эволюционную стратегию, не относят к эволюционным алгоритмам. Существуют работы, в которых генетический алгоритм рассматривают отдельно от эволюционных алгоритмов. Принципиальным вопросом для пользователей и исследователей эволюционных алгоритмов является вопрос о его эвристической составляющей. Является ли эволюционный алгоритм разновидностью случайного поиска, тогда вероятность нахождения оптимального решения зависит от количества статистических испытаний, т. е. размерности начального множества возможных решений и количества эволюционных преобразований, или в нем существует детерминированная составляющая, которая обеспечивает адаптацию поиска решения в зависимости от оценок просмотренных возможных решений. Последние экспериментальные исследования [16-17] показывают, что эволюционные алгоритмы существенно превосходят алгоритмы случайного поиска, особенно в сложных оптимизационных задачах.
Генетическое программирование [14] появилось в результате применения генетического алгоритма [18] к поиску решений, кодируемых строками символов. Первоначально генетическое программирование было направлено на решение задачи автоматического написания программ, в которой программа кодировалась строками универсальной польской записи, используемой в трансляторах. Очевидно, что если алгоритм позволяет искать код программы, то он способен искать математическое выражение, потому что на алгоритмическом языке программирования высокого уровня всегда можно записать любое математическое выражение.
С момента появления в 1990-х гг. генетическое программирование стало широко использоваться для поиска оптимальных решений нечисловых задач: структур сетей, математических выражений, кодов символов и т. д. Далее были предприняты попытки усовершенствовать метод генетического программирования. В результате появились новые методы символьной регрессии: метод грамматической эволюции [19], аналитического программирования [20, 21] и метод сетевого оператора [2223].
Метод грамматической эволюции ищет решение на множестве программных кодов, описываемых в универсальной форме Бэкуса-Наура. Каждый элемент кодируется с помощью восьмибитовых строк, называемых кодонами. Метод аналитического программирования имеет самую простую форму кодирования. Каждый код указывает номер элемента из объединенного множества элементов.
Метод сетевого оператора кодирует математическое выражение в форме целочисленной матрицы. Основным преимуществом метода является использование при поиске принципа малых вариаций базисного решения [24]. Принцип заключается в том, что исследователь задает одно базисное решение, а эволюционный алгоритм ищет оптимальное решение на множестве вариаций заданного базисного решения. Такой подход позволяет построить множество возможных решений, в котором большинство функций удовлетворяет условию достижения цели управления. Принцип малых вариаций также сокращает область поиска, ограничиваясь окрестностью базисного решения. В процессе поиска базисное решение периодически меняется на наилучшее текущее решение.
6. Пример 1. Идентификация моделей мобильного робота
Рассмотрим решение первого этапа идентификации, задачи синтеза идентификационного управления мобильным роботом LEGO Mindstorms NXT 2.0 [25]. Робот представляет собой конструктор, математическая модель которого зависит от параметров выбранной конфигурации.
Робот имеет 4 колеса радиусом R = 0.01м. Расстояния, пройденные колесами робота, определяются как x = R^, X = R%, где x, X — расстояния, пройденные, соответственно, левой и правой парами колес, ф1, ф2 — углы вращения колес в радианах. При движении робота считали, что он инвариантен к положению на столе, и первоначальное положение определяет его инерциальные координаты. По умолчанию начальная точка имеет координаты, равные нулю.
Для идентификации объекта управление было задано в виде функций времени
Было проведено 10 экспериментов по 21 точке, N = 21. В каждой точке найдены средние значения ¿^ и х3 по всем экспериментам. Полученные экспериментальные данные приведены в табл. 1.
Считали, что известны размерность модели объекта управления, п = 4, и размерность вектора управления, р = 2.
где [a]
u¡ = [100sgn(7-0.5)], u2 = [100sgn(7-0.8)], [aJ, если | [aJ- a| < 0.5 |"a ], иначе.
Таблица 1. Экспериментальные данные
№ г, с Х[, см х3, см * и * * и2
1 0 0 0 -100 -100
2 0.1 -0.904 -0.888 -100 -100
3 0.2 -2.419 -2.438 -100 -100
4 0.3 -4.074 -4.114 -100 -100
5 0.4 -5.777 -5.836 -100 -100
6 0.5 -6.751 -7.561 0 -100
7 0.6 -6.199 -9.201 100 -100
8 0.7 -4.99 -10.804 100 -100
9 0.8 -3.633 -11.64 100 0
10 0.9 -2.222 -10.992 100 100
11 1 -0.686 -9.68 100 100
12 1.1 0.955 -8.205 100 100
13 1.2 2.625 -6.674 100 100
14 1.3 4.311 -5.007 100 100
15 1.4 5.986 -3.241 100 100
16 1.5 7.693 -1.447 100 100
17 1.6 9.409 0.347 100 100
18 1.7 11.118 2.14 100 100
19 1.8 12.816 3.923 100 100
20 1.9 14.53 5.707 100 100
21 2 16.25 7.501 100 100
В качестве базисного решения для простоты была выбрана линейная функция от всех компонент векторов состояния и управления:
ОС^ - Х2 5
х2= — {д1х1 + д2х2 + д3х3 + д4х4 + д5их + д6и2),
* — х2,
1
х2 =—(
т
х3 =
1
Х4 =—(
т
х4 = — (дхх\ + д2х2 + д3х3 + д4х4 + д5их + д6и2).
Базисные значения параметров: qi = 1,1 = 1,6, т = 1.5 кг.
Параметры генетического алгоритма для решения задачи идентификации математической модели приведены в табл. 2. Размерность матрицы сетевого оператора — 24 х 24.
Таблица 2. Параметры генетического алгоритма
Параметр Значение
Размерность популяции 256
Количество скрещиваемых пар в поколении 64
Количество поколений 256
Число поколений между эпохами 30
Длина структурной части хромосомы 8
Число постоянных параметров 6
Количество бит под целую часть параметра 4
Количество бит под дробную часть параметра 4
Вероятность мутации 0.7
Шаг интегрирования 0.001
Применив метод сетевого оператора для решения задачи идентификации, получили множество Парето решений, из которых было выбрано решение со значениями функционалов качества = 3.188, ,/2 = 1.163.
Данное решение в виде матрицы сетевого оператора:
V, =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 4 11
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 23 23 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 1 0 0 11 0 11 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 11 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 1 0 0 0 0 11
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 11 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 14 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 23 0 11
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 4 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
которой соответствует модель системы управления:
— %2 5
х2 = Ь(\, и)/т,
х3 — х4, х4 = с(х, и)/т,
где х = [х х2 х3 х4 ]Т, и = [щ и ]Т,
Ь(х, и) = sgn(х X | - X + ^ - q23+ х) + а + ««(й) + (sgn(х )д/| х )3 + + sgn(х4q4(q5 -q|))>/| x4q4(q5 - q53)|,
а = cos(x4) + sgn( х )л/|х^1 cos( Х4 + sgn( х )л/Тх"Тх2 q2 + -^х q2 + Х4 q4 (qз - qз2) +
++,
й = q2 -q2 + sgn(x4)Л]\Х^\ + cos(q6) + sgn(х)л/|х^1 cos(Х4)q62 + + sgn(Х1^ДХГТх2q2 -(sgn(Х)л^2)3 +'JqX2q2 + X4q4(q2 -q23) + Ulq2 + U2q6, с(х, и) = cos(х) + ) - sgn(х х + q |х^3) + й + +sgn(u2q6 + sgn(b(x, и)^Ь(х, и),
Я = 0.0469, q2 = 2.984, ^ = 2.984, q4 = 2.75, ^ = 2.25, ^ = 2.984. Результаты моделирования полученной модели системы управления представлены на рис. 1. Точками отмечены экспериментальные данные, сплошной линией — результаты, полученные по модели. Как видно из графиков, решение, полученное в результате идентификации модели, качественно соответствует исходным данным.
ХЬЛГЬСМ Хз.дксм
в
Рисунок!, а — функции хД^) и хДО- б—функции х3(/) и х3(/) , в — фазовая траектория х3 (х )
7. Пример 2. Идентификация модели химической реакции
Математическое моделирование на атомно-молекулярном и наноуровнях необходимо для понимания механизма химического процесса, получения корректных зависимостей скорости химического превращения от состава реакционной смеси и свойств реакционной поверхности, температуры и других параметров процесса. Основной физико-химический закон, который используется при моделировании химической реакции — это закон действующих масс, утверждающий, что скорость элементарной реакции пропорциональна произведению концентраций реагирующих молекул. В этом случае задача идентификации рассматривается как задача параметрической идентификации, в которой ищут параметры пропорций для произведений концентраций.
В данной задаче в математической модели отсутствует свободный вектор параметров управления в правых частях системы дифференциальных уравнений. Скорость изменения концентраций веществ зависит от начальных значений. В задаче ищем математическую модель взаимодействия двух веществ, считая, что эта формула справедлива для любой пары веществ в реакции.
В задаче идентификации математической модели химической реакции получения синглетного кислорода [26-27] по имеющимся экспериментальным данным показателя изменения концентраций веществ во времени строим математическую модель в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, описывающие изменения концентраций веществ, при исследовании каталитического процесса генерации 102 на основе предложенной схемы химических превращений в работе [28] имеют вид:
= -и^ + ж,,
X, =Ж, X; = Ж,, ХЙ=Ж, Х7=Ж
X = —ж — ж, — ж
А' = Ж — Ж, — Ж
где х,- — концентрации веществ; г = 1,7, w1 = g(q1, х1, х2), щ = g(q2, х1, х3), Щ = g(Ъз, х2, X), g(q, а, Ь) — неизвестная функция трех аргументов; q¡ — неизвестные значения постоянных параметров; г = 1, 2, 3.
Для системы дифференциальных уравнений заданы начальные условия: X (0) = 0.882, х (0) = 0.118, х, (0) = 0, г = 3Д
Заданы ограничения в виде уравнений баланса: 3х1 + 3х3 + 3х5 + 3х6 + 3х7 = 3х1 (0), 6х1 + 6х3 + 6х5 + 6х6 + 6х7 = 6х1 (0),
2xj + 2x3 + 2x4 + X + + = 2X (0), X + X + X = X (0).
Критерий качества:
J = Z J=i jZ=i - )))2 ^ mn ,
где yk — наблюдаемый в момент tk вектор показателей концентрации химической реакции; yk = [yf ... y^]г, <4, & = 1,—, Pj(x) — известные функции, описывающие значения показателя изменений концентраций; да — количество веществ, участвующих в реакции, да = 7; — — количество точек наблюдения; ю. — весовые коэффициенты, j = 1, да.
В качестве параметра оценки изменения концентраций веществ, участвующих в химической реакции, используем величину интенсивности y = XX /(X (0)X (0)).
Для решения задачи использовали метод сетевого оператора и вариационный генетический алгоритм с множественным базисом [29]. Параметры алгоритма приведены в табл. 3. Размерность матрицы сетевого оператора — 8 х 8.
Таблица 3. Параметры генетического алгоритма с множественным базисом
Параметр Значение
Размерность популяции 512
Количество скрещиваемых пар в поколении 256
Количество поколений 128
Число вариаций в одном решении 4
Вероятность мутации 0,7
Число базисов 5
Число элитарных решений 12
Число поколений между сменой базисов 16
В результате был получен сетевой оператор:
0 0 0 23 5 0 0 0
0 0 0 23 14 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 23 0 0 0
0 0 0 0 1 23 0 3
0 0 0 0 0 1 23 3
0 0 0 0 0 0 1 15
0 0 0 0 0 0 0 0
который, соответствует следующему уравнению:
g(q, а, Ь) = 3А - А3 - (А - А3)3 - 2А + Л3 - ^ (а - а3)(Ь - Ь3) + (а - а3)3 (Ь - Ь3)3 Ъ3/а, где А = ъ(Ь5 -а2Ь4 -Ь6 + а2Ь6) - (%/а)(аЬ2 -а3Ь2 -аЬ + а3Ь4)3; г = 1, 2, 3; Ъ = 26.098; ъ = 0.016; ^ = 314.672.
Графики экспериментальных и вычисленных значений интенсивностей, полученных с использованием идентифицированных функций g(^, а, Ь), приведены на рис. 2.
/
1
0.9 0,8 0,7 0,6 0.5 0,4 0,3 0,2 0,1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3.5 с
Рисунок 2. Экспериментальные и расчетные значения интенсивностей при температуре 283 К.
Из сравнения графиков, представленных на рис. 2, следует вывод о высокой точности полученной математической модели химической реакции. В результате анализа полученных при идентификации данных сформулируем уточненный закон взаимодействия веществ. Концентрация вещества, получающегося в результате взаимодействия двух веществ, пропорциональна произведению полиномов от концентраций каждого вещества.
8. Заключение
В статье проведен обзор аналитических и численных методов для решения задачи идентификации математических моделей объектов и процессов по экспериментальным данным. Показано, что для сложных объектов и процессов с произвольными функционалами не существует эффективных аналитических методов. Для идентификации структуры и параметров математических моделей целесообразно использовать метод сетевого оператора или другие методы символьной регрессии. Приведены два практических примера использования метода сетевого оператора для решения прикладных задач идентификации модели мобильного робота и модели химической реакции. По результатам идентификации химической реакции уточнена формулировка закона взаимодействия веществ.
Литература
[1] Красовский А. А. Справочник по теории автоматического управления. — М. : Наука, 1987.
[2] Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. — М. : Наука, 1973.
[3] Мордашев И. М. Аппроксимация функций нескольких переменных суммой меньшего числа переменных // ДАН СССР. 1968. Т. 183, № 4. С. 778-779.
[4] Пупков К. А. Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления Т. 1. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.
[5] Пупков К. А., Егупов Н. Д. и др. Методы анализа, синтеза и оптимизации нестационарных систем автоматического управления: учеб. пособие / под ред. H. Д. Егупова. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999.
[6] Добронравов В. В., Никитин Н. Н. Курс теоретической механики. — М. : Высш. школа, 1983.
[7] Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. — М. : Мир, 1980.
[8] Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М. : Изд-во иностранной литературы, 1961.
[9] Льюнг Л. Идентификация систем. — М. : Наука. 1991.
[10] Пупков К. А., Егупов Н. Д. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления. — М. : Изд-во МГТУ им Баумана, 2003.
[11] Пупков К. А., Егупов Н. Д., Трофимов А. И. Статистические методы анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем автоматического управления. — М. : МГТУ им. Баумана, 1998.
[12] Kalman R. E. Identification of Noisy Systems // Russian Mathematical Surveys, 1985. Vol. 40. No. 4. P. 25-42.
[13] Eiben A. E., Smith J. E. Introduction to Evolutionary Computing. 2nd ed. — Springer, 2015.
[14] Koza J. R. Genetic programming: on the programming of computers by means of natural selection. — London : A Bradford book, The MIT Press, 1992.
[15] Карпенко А. П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой. — М. : Изд. МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014.
[16] Дивеев А. И., Константинов С. В. Исследование эволюционных алгоритмов для решения задачи оптимального управления // Труды МФТИ. 2017. T. 9, № 3 (35). С. 76-85.
[17] Дивеев А. И., Константинов С. В. Эволюционные алгоритмы для решения задачи оптимального управления // Вестник РУДН: Серия Инженерные исследования. 2017. Т. 18, № 2. С. 254-265.
[18] Holland J. H. Adaptation in Natural and Artificial Systems. — Ann Arbor : The University of Michigan Press, 1985.
[19] O'NeillM., Ryan C. Grammatical Evolution // IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 2001. Vol. 5, No. 4. P. 349-358.
[20] Zelinka I., Nolle L., Oplatkova Z. Analytic Programming — Symbolic Regression by Means of Arbitrary Evolutionary Algorithms // Journal of Simulation. 2005. Vol. 6, No. 9. P. 44-56.
[21] Zelinka I. Analytic programming by Means of Soma Algorithm // Proc. 8th International Conference on Soft Computing Mendel'02. Brno, Czech Republic, 2002. P. 93-101.
[22] Дивеев А. И. Численный метод сетевого оператора для синтеза системы управления с неопределенными начальными значениями // Известия РАН. Теория и системы управления. 2012. № 2. С. 63-78.
[23] Дивеев А. И., Софронова Е. А. Метод сетевого оператора и его применение в задачах управления. — М. : РУДН, 2012. 182 с.
[24] Diveev A. I. Small Variations of Basic Solution Method for Non-numerical Optimization // Proceedings of 16th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization, CAO' 2015. October, 6th-9th, 2015 Garmisch-Partenkirchen. P. 28-33.
[25] Dang T. P., Diveev A. I., Sofronova E. A. A Problem of Identification Control Synthesis for Mobile Robot by the Network Operator Method // Proceedings of the 11th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications (ICIEA 2016), Hefei, China, 2016. P. 2413-2418.
[26] Wasserman H. H., Murray R. W. Organic Chemistry: Singlet Oxygen. — N. Y. : Acad. Press, 1979. Vol. 40.
[27] Kazakov D. V., Kazakov V. P., Maistrenko G. Ya., Mal'zev D. V., Schmidt R. On the Effect of 1,4-Diazabicyclo [2.2.2] octane on the Singlet-Oxygen Dimol Emission: Chemical Generation of (1O2)2 in Peroxide Reactions // J. Phys. Chem. A. 2007. Vol. 111. P. 4267-4273.
[28] Ovchinnikov M. Yu., Khursan S. L., Kazakov D. V., Adam W. The Theoretical Trajectory for the Chloride-Ion-Induced Generation of Singlet Oxygen in the Decomposition of Dimethyldi-oxirane // J. Photochem. Photobiol. A. Chem. 2010. Vol. 210. P. 100-107.
[29] Губайдуллин И. М., Дивеев А. И., Константинов С. В., Софронова Е. А. Разработка кинетических моделей сложных химических реакций методом сетевого оператора // Современные проблемы науки и образования. 2014. № 6. С. 157.
Авторы:
Данг Тхи Фук — аспирантка, Российский университет дружбы народов Асхат Ибрагимович Дивеев — доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН, Российский университет дружбы народов
Елена Анатольевна Софронова — кандидат технических наук, доцент, старший научный сотрудник, Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН
Cloud of Science. 2018. T. 5. № 1 http:/ / cloudofscience.ru
Mathematical models identification of objects and processes by symbolic regression
Dang Thi Phuc*, A. Diveev*,**, E. Sofronova**
*RUDN University Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russian Federation, 117198
"Federal Research Center "Computer Science and Control" of Russian Academy of Sciences Vavilova str., 44, build. 2, Moscow, Russian Federation, 119333
e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract. A review of analytical and numerical methods for solving the problem of mathematical models identification of objects and processes from experimental data is presented. It is shown, that in class of numerical methods symbolic regression allows solving the identification problem and find not only the values of the parameters, but also the structure of the models. Examples of ap-plication of one of the symbolic regression methods, a network operator method, for solving problems of identification of the mobile robot model and the chemical reaction model are given.
Key words: symbolic regression, identification, network operator method, robotics, model of chemical reaction.
References
[1] Krasovskij A. A. (1987) Spravochnik po teorii avtomaticheskogo upravlenija. Nauka [In Rus]
[2] Krasovskij A. A. (1973) Sistemy avtomaticheskogo upravlenija poletom i ih analiticheskoe konstruirovanie. Nauka [In Rus]
[3] Mordashev I. M. (1968) DANSSSR. 183(4):778-779 [In Rus]
[4] Pupkov K. A. (2000) Analiz i statisticheskaja dinamika sistem avtomaticheskogo upravlenija. T. 1. Moscow, Izd-vo MGTU im. N. Je. Baumana [In Rus]
[5] Pupkov K.A., Egupov N.D. et al. (1999) Metody analiza, sinteza i optimizacii nestacionarnyh sistem avtomaticheskogo upravlenija: Izd-vo MGTU im. N. Je. Baumana [In Rus]
[6] Dobronravov V. V., Nikitin N. N. (1983) Kurs teoreticheskoj mehaniki. Vyssh. Sh. [In Rus]
[7] Vittenburg J. (1980) Dinamika sistem tverdyh tel. Mir [In Rus]
[8] Viner N. (1961) Nelinejnye zadachi v teorii sluchajnyh processov. Izd-vo inostrannoj litera-tury [In Rus]
[9] Ljung L. (1991) Identifikacija system. Nauka [In Rus]
[10] Pupkov K. A., Egupov N. D. (2003) Metody robastnogo, nejro-nechetkogo i adaptivnogo upravlenija. Izd-vo MGTU im Baumana [In Rus]
[11] Pupkov K. A., Egupov N. D., Trofimov A. I. Statisticheskie metody analiza, sinteza i identif-ikacii nelinejnyh sistem avtomaticheskogo upravlenija. MGTU im. Baumana, 1998 [In Rus]
[12] Kalman R. E. (1985) Russian Mathematical Surveys, 40(4):25-42
[13] Eiben A. E., Smith J. E. (2015) Introduction to Evolutionary Computing, Springer, 2nd ed.
[14] Koza J. R. (1992) Genetic programming: on the programming of computers by means of natural selection. A Bradford book, The MIT Press
[15] Karpenko A. P. (2014) Sovremennye algoritmy poiskovoj optimizacii. Algoritmy, vdohnovlennye prirodoj. Izd. MGTU im. N. Je. Baumana [In Rus]
[16] Diveev A. I., Konstantinov S. V. (2017) Trudy MFTI. 9-3(35):76-85 [In Rus]
[17] Diveev A. I., Konstantinov S. V. (2017) Vestnik RUDN: Serija Inzhenernye issledovanija. 18(2):254-265 [In Rus]
[18] Holland J. H. (1985) Adaptation in Natural and Artificial Systems. The University of Michigan Press
[19] O'NeillM., Ryan C. (2001) IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 5(4):349-358
[20] Zelinka I., Nolle L., Oplatkova Z. (2005) Journal of Simulation. 6(9):44-56.
[21] Zelinka I. (2002) Analytic programming by Means of Soma Algorithm. In book: Proc. 8th International Conference on Soft Computing Mendel'02. Brno, Czech Republic. p. 93-101
[22] Diveev A. I. (2012) Journal of Computer and Systems Sciences International, 51 (2):228-243
[23] Diveev A. I., Sofronova E. A. (2012) Metod setevogo operatora i ego primenenie v zadachah upravlenija. RUDN. [In Rus]
[24] Diveev A.I. (2015) Small Variations of Basic Solution Method for Non-numerical Optimization. Proc. of 16th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization, CAO' 2015. October, 6th-9th, 2015 Garmisch-Partenkirchen. p. 28-33.
[25] Dang T. P., Diveev A. I., Sofronova E. A. (2016) A Problem of Identification Control Synthesis for Mobile Robot by the Network Operator Method. Proceedings of the 11th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications (ICIEA 2016), Hefei, China. p. 2413-2418.
[26] Wasserman H. H., Murray R. W. (1979) Organic Chemistry: Singlet Oxygen. N.Y., Acad. Press, Vol. 40.
[27] Kazakov D. V., Kazakov V. P., Maistrenko G. Ya., Mal'zev D. V., Schmidt R. (2007) J. Phys. Chem. A., 111:4267
[28] Ovchinnikov M. Yu., Khursan S. L., Kazakov D. V., Adam W. (2010) J. Photochem. Photobiol. A. Chem., 210:100.
[29] Gubajdullin I. M., Diveev A. I., Konstantinov S. V., Sofronova E. A. (2014) Sovremennye problemy nauki i obrazovanija, 6:157 [In Rus]
