Решение вариационной задачи самонастраивающимся алгоритмом генетического программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения. 2018

УДК 004.94

РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ САМОНАСТРАИВАЮЩИМСЯ АЛГОРИТМОМ ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Т. С. Карасева

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: [email protected]

В исследованиях ракетно-космической отрасли часто требуется решить вариационную задачу. Для этого возможно использовать самонастраивающийся алгоритм генетического программирования. Описан вариант поиска решения алгоритмом на основе оценки решения по уравнению Эйлера. Представлены результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: вариационная задача, краевая задача, самонастраивающийся алгоритм генетического программирования.

VARIATIONAL PROBLEM SOLVING WITH SELF-CONFIGURING GENETIC PROGRAMMING ALGORITHM

T. S. Karaseva

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]

A solution of the variational problem in studies of the rocket and space industry is often required. For this, it is possible to use a self-configuring genetic programming algorithm. The variant of solution on the basis of estimation of solutions by the Euler equation is described. The results of numerical experiments are presented.

Keywords: variational problem, boundary problem, self-configuring genetic programming algorithm.

С решением вариационной задачи связаны работы физиков, механиков, инженеров. В ракетно-космической отрасли также ряд задач возможно решить путем сведения их к вариационным [1].

Пусть функция Е(х, у, 2) имеет непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка включительно. Среди всех функций у(х), имеющих непрерывную производную и удовлетворяющую условиям у(а) = А, у(Ь) = В требуется найти такую функцию у(х), которая доставляет экстремум функционалу:

I (y(x)) = J F(x, y, y ')dx .

решения осуществлялся на основе его оценки по уравнению Эйлера. Индивид в данном случае представляет потенциальное решение вариационной задачи [4].

Модификация алгоритма генетического программирования состоит в оценке пригодности индивидов. В данной работе функция пригодности индивида представлена следующим образом:

Fitness(Indk) =

1

1 + E (Indk)

E(Indk) =

Y)Indk (Xi )|

ж

-+K (|y(x0) - Y>| +1 y(x„) - Yn |),

Данную задачу возможно решить, используя уравнение Эйлера (обыкновенное дифференциальное уравнение). Пусть для поставленной задачи получено уравнение Эйлера и граничные условия:

Ру - 1~Еу' = 0; У(хо) = Го, У(хм) = ^.

dх

где у - искомое решение; у' - производная у; х0 и хм -

границы заданного интервала; Г0 и - значения у(х) на границах интервала. Необходимо найти функцию у(х), удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям [2]. Таким образом, данный метод позволяет свести вариационную задачу к краевой. Для ее решения использовался самонастраивающийся алгоритм генетического программирования [3]. Поиск

где Еitness(Indk) - значение функции пригодности для к-го индивида; Е (Indk) - ошибка аппроксимация, вычисляемая по точкам выборки; N - объем выборки; | Indk (х1) | - отклонение от нуля функции Е, получаемое при подстановке решения 1^к в уравнение Эйлера в точках х1 интервала [ х0; хN ], Г0, YN - граничные условия; у() - значение функции, в точках .

При вычислении ошибки соответствия потенциального решения уравнению Эйлера осуществляется его подстановка в уравнение, то есть требуется вычисление производной. В данной работе использовался численный метод, так как он требует меньше машинной памяти и времени.

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Таблица 1

Тестовые задачи

№ F (y, y') Граничные условия Точное решение

1 (yf + 12xy X0 = -3, XN = 5; Y0 = -2, YN = 2 x3 - 2 x +1

2 xy'+ ( y ')2 X0 = -4, Xn = -1; Y0 = -2, YN = 4 x2 ! --+ x -1 4

3 (y ')2 - 2xy X0 = 1XN = -1; Y0 = -3, YN = 3 (7x - x3) 6

4 (y ')2 x + yy' X0 = -2.3, Xn = 1.79; Y„ = 0.1, YN = 6 ln( x)

5 (y ')2 - y2 X0 = -0.7, XN = -0,28; Y0 = -3, YN = 3 1.5sin( x) + 0.5cos(x)

Таблица 2

Результаты экспериментов

№ задачи Номер поколения Точные решения Условно точные решения Приближенные решения

1 46 5 4 1

2 83 3 6 1

3 102 5 3 2

4 25 10 - -

5 57 2 6 2

Для проведения численных экспериментов были решены задачи [4]:

В качестве критериев эффективности выбраны номер поколения ГП, на котором получено решение, и погрешность данного решения. Число запусков алгоритма для каждой задачи составило 10. В таблице представлены усредненные по 10 запускам значения критериев эффективности, определено количество символьно точных, условно точных и приближенных решений [5].

В ходе данной работы был реализован подход, позволяющий получить решение вариационной задачи. Очевидно, что существуют традиционные методы, однако их применимость ограничена условиями, накладываемыми на уравнение. Применение алгоритма генетического программирования позволяет получать решения задач, когда традиционные методы не дают желаемого результата, а использование самонастраивающегося типа алгоритма ГП позволяет преодолеть сложность подбора параметров алгоритма.

Библиографические ссылки

1. Кубышкин В. В., Лапыгин В. И., Шаповалов Е. П. Метод решения вариационной задачи спуска в атмосфере планеты летательного аппарата со средним аэродинамическим качеством // Космонавтика и ракетостроение. 2015. № 3 (82). С. 146-155.

2. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М. : Физматлит, 1961. 228 с.

3. Митрофанов С. А., Карасева Т. С. Решение задач символьной регрессии самонастраивающимся алгоритмом генетического программирования // Актуальные проблемы авиации и космонавтики : сб. материалов XIII Междунар. науч.-практ. конф., посвящ. Дню космонавтики (10-14 апреля 2017 г., Красноярск) : в 3 т. Т. 2 / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2017. С. 49-51.

4. Бураков С. В., Семенкин Е. С. О решении вариационной задачи методом генетического програм-

мирования // Сибирский журнал науки и технологий. 2011. № 5 (38). С. 19-24.

5. Карасева Т. С. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений самонастраивающимся алгоритмом генетического программирования // Решетневские чтения : материалы XXI Междунар. науч.-практ. конф., посвящ. памяти генерального конструктора ракетно-космических систем акад. М. Ф. Решетнева (08-11 нояб. 2017, г. Красноярск) : в 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; СибГУ им. М. Ф. Решетнева. Красноярск, 2017. Ч. 2. С. 189-190.

References

1. Kubyshkin V. V., Lapygin V. I., Shapovalov E. P. [Solving Variational Tasks of the Descent of an Aircraft with Medium Aerodynamic Qualities into the Planetary Atmosphere]. Kosmonavtika i raketostroenie. 2015. Vol. 82, No. 3. P. 146-155 (In Russ.).

2. Gel'fand I. M., Fomin S. V. Variatsionnoe is-chislenie [Calculus of variations]. M. : Fizmatlit Publ., 1961. 228 p.

3. Mitrofanov S. A., Karaseva T. S. [Symbolic regression problems solving with self-configuring genetic programming algorithm]. Мaterialy XIII Mezhdunar. nauch. konf. "Aktual'nye problemy aviatsii i kosmonav-tiki" [Materials XIII Intern. Scientific. Conf "Topical Issues in Aeronautics and Astronautics"]. Krasnoyarsk, 2017. P. 49-51 (In Russ.).

4. Burakov S. V., Semenkin E. S. [On solution of variational problem with genetic programming techniques]. Sibirskiy zhurnal nauki i tekhnologiy. 2017. Vol. 38, No 5. P. 19-24 (In Russ.).

5. Karaseva T. S. [Solving Cauchy problem for ordinary differential equations with self-configuring genetic programming algorithms]. Мaterialy XXI Mezhdunar. nauch. konf. "Reshetnevskie chteniya" [Materials XXI Intern. Scientific. Conf "Reshetnev reading"]. Krasnoyarsk, 2017. P. 189-190 (In Russ.).

© Карасева Т. С., 2018