Решение уравнения Шредингера для одномерных ангармонических осцилляторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.68:[519.1+519.6], 51-72:530.145

Н.А.Чеканов, И.Н.Беляева

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ АНГАРМОНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Белгородский государственный университет

The analytically-numerical method of the solution of one-dimensional Shroedinger's equation is offered in the article. By means of this method in MAPLE environment was solved one-dimensional Shroedinger's equation for anharmonic oscillator with 4, 6, 8-th degrees of nonlinearity, and also for symmetric anharmonic oscillator with two local minima. The obtained results are well consistend

with other data.

Введение

Точные решения уравнения Шредингера имеются только для некоторых частных видов потенциальной функции, поэтому разработаны и применяются различные приближенные методы. К наиболее часто используемым приближениям относятся: метод диагонализации [1], квазиклассический метод [2], различные варианты теории возмущений [3], метод конечных элементов [4], непрерывный аналог метода Ньютона [5], метод нормальных форм [6], так называемое 1/N разложение [7], метод осцилляторного представления [8], вариационные и операционные методы [9-11], симплектический метод [12], метод теории суперсимметрии [13], метод детерминантов Хилла [14].

В настоящей работе предложен аналитически-численный метод, основанный на нахождении линейно независимых решений задачи Коши по методу Фробениуса [15] в виде степенных рядов, с помощью которых решается исходная краевая задача для уравнения Шредингера.

Предложенным методом в среде MAPLE решается одномерное уравнение Шредингера для ангармонического осциллятора с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, а также для симметричного ангармонического осциллятора с двумя локальными минимумами. Отметим, что ангармоническому осциллятору, особенно с четвертой степенью нелинейности, посвящено огромное число работ (см., напр., [3,8,10,14,16]). Это связано с тем, что несмотря на кажущуюся простоту эта модель, с одной стороны, имеет полезные приложения в атомной и молекулярной физике, в квантовой теории поля, в теории твердого тела, а с другой стороны, не имеет общего решения для собственных значений и функций, поэтому является испытательным тестом для проверки новых приближенных методов решения задачи на собственные значения. Причина сложности нахождения спектра и волновых функций ангармонического осциллятора в том, что он имеет неизолированную особую точку по параметру нелинейности, если рассматривать его в комплексной энергетической плоскости [16].

1. Общая схема метода

Пусть дано уравнение у"(х) + ^(х, Е)¥(х) = 0, ^(х, Е) = 2(Е - К(х)), (1) где функция V (х) может иметь полюс не выше второго порядка в окрестности точки х = х0 , которое надо решить на собственные значения Е с заданными граничными условиями на конечном или бесконечном интервале с квадратично интегрируемой функцией ¥(х).

Для решения задачи (1) вначале находим два линейно независимых решения у} (х) и у2 (х) задачи Коши

у"( х) + ^ (х, Е) у( х) = 0 (2)

со следующими начальными условиями

Г У1( х0) = 1, Г У2( х0) = 0,

I У1( х0) = 0, 1 у2( х0) = 1.

Если функция V(х) не содержит особенностей, то решения у1(х) и у2 (х) ищем в виде следующих степенных рядов:

(3)

уЛ X, Е) = 1 + Т 41}( x - Х0 )k k=2

(4)

У2 (X, Е) = x - X0 + Т ck2)( X - x0)k

k=2

которые автоматически удовлетворяют начальным условиям (3). Коэффициенты CkD , определяются единственным образом посредством подстановки ряда (4) в уравнение (2) и приравниванием к нулю коэффициентов при различных степенях независимой переменной в левой части полученного равенства.

При наличии полюсов не выше второго в точке x = х0 вид решений (4) будет иным в зависимости от

корней определяющего уравнения (см., напр., [15]). Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно: для того, чтобы уравнение, в частности, вида (1) имело в окрестности особой точки x = x0 хотя бы одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда

ад

y(x) = (x - x0)p£ck(x - x0)k, с0 Ф 0, p = const, (5)

k=0

достаточно, чтобы это уравнение имело вид

1 k=0

y"( x) +

(x - x0)

-y( x) = o,

(6)

Т fk (x - x0>

где

k=0

• = F (x, E).

(х - х0)

Для получения решения уравнения (6) в виде обобщенного степенного ряда (5) необходимо найти показатель р из определяющего уравнения

р(р-1) + /0 = 0 (7)

и коэффициенты ск, а также вид второго линейно независимого решения.

Пусть р1 и р2 есть корни уравнения (7) и р1 > р2. Тогда если корни определяющего уравнения различны, но их разность р1 - р2 не равна целому положительному числу, то два линейно независимых решения имеют вид

ад

к

У\(x,Е) = (x - x0)p1 Т ck1}(x - x())k, c01} Ф 0

Z-i

k=0

(8)

У2(х,Е) = (х - х0)р2 ^ск2)(х - х0)к, с02) ф 0.

к=0

Коэффициенты с^ и с^ определяются подстановкой рядов (8) в уравнение (6) после предварительного умножения обеих частей его на (х - х0)2 . При этом коэффициенты с0(1) и с0(2) остаются произвольными, положим их равными единице.

Если р1 - р2 есть целое положительное число, то одно решение, соответствующее корню р1 , по-прежнему имеет вид

ад

У:( х, Е) = (х - хд)р1 ^ с«( х - х0)к, с^ = 1, (9)

к=0

а второе линейно независимое решение определяется следующим рядом [15]:

У2 (x, Е) = (x - x0)p2 Т c(k) (x - x()) +

к=0

+ 4-1 У\(х,Е)1п(х-х0). (10) Если случится, что 4-1 = 0, то второе линейно независимое решение будет иметь вид обобщенного степенного ряда.

В случае р1 - р2 = 0 одно частное решение имеет вид (9), а второе линейно независимое решение имеет вид (10), но при этом коэффициент

4-1 ф 0.

Как известно, решение уравнения (2) находится по формуле

у( х) = С1У1 (х) + С2 У2 (х), (11)

где С1 и С2 — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий (3).

Согласно условиям исходной краевой задачи ее собственные значения Е и собственные функции ¥( х) определяются из следующей однородной системы алгебраических уравнений

С1(Е) • ¥1(-R, E) + С2(Е) ' ¥2 (-R, E) = 0,

(12)

1С1 (Е) • ¥1(+К, Е) + С2(Е) ' ¥ 2 (+К, Е) = 0-Нетривиальное решение этой системы определяется из равенства

¥](-К, Е) ¥ 2( - К, Е)

Б (К, Е) = У1 У2 = 0, (13)

4 ' ¥1(+К,Е) ¥2(+К,Е)

которое выполняется не при всех, а при определенных значениях энергии Еп, составляющих энергетический спектр уравнения Шредингера (1). Для построения волновых функций ¥п (х, К) необходимо

решить однородную линейную систему

k

С(En) • ¥l(-R,En) + С2(En) • ¥2(-R,En) = 0, (14)

\С1(En) • ¥1( + R,En) + С2(En) • ¥2(+R,En) = 0

относительно С1( En), С2( En) и удовлетворить усло-

R

вию нормировки | ¥ 2 dx = 1. Волновые функции

- R

представляются аналитически в виде степенных рядов с заданным числом членов N.

Нами разработан алгоритм и составлена численно-аналитическая программа EWA на MAPLE. Для проверки достоверности результатов, полученных этим методом, было проведено тестирование программы EWA для потенциальной функции V (x) в уравнении (1) с бесконечными стенками (А) и гармонического осциллятора (Б). В случае (А) первые десять уровней совпадают с точными значениями Еп = п 2п2/8R2, n = 1, ...,10,... с девятью знаками после десятичной запятой, если взять N = 68 и R = 1. В случае (Б) при значениях N = 138 и R = 5,9 относительная погрешность е вычисленного десятого уровня составляет 0,004% от точного его значения Еп = п +1/2, п = 0,1, ... Максимальная абсолютная разность между точной и вычисленной волновой функцией для х е [-R, R] при п = 3 в случае (Б) менее 10-9. Заметим, что точность расчетов зависит от числа N и от величины R, выбором их значений эту точность можно повысить.

2. Ангармонический осциллятор с нелинейностью четвертой, шестой и восьмой степени

Приведенный выше метод был применен для вычисления энергетических уровней и волновых функций ангармонического осциллятора с нелинейно-

Таблица 1

Сравнение полученных уровней энергии 2ЕК^ с их значениями 2ЕехаС [17] для разных степеней д и значений параметра а

ц = 4; а = 0,5; R = 3,1; N = 11б

n ^EWA 2Е exact є,%

0 1,392351б42 1,3 92351б41 0,000000072

1 4,б4ВВ 12722 4,б4ВВ 12704 0,00000038

2 В,б5505013б В,б55049957 0,0000020

3 13,15бВ05217 13,15б803898 0,000010

4 1В,0575б549б 1В,05755743б 0,000045

5 23,297483839 23,297441451 0,00018

ц = б; а = 0,05; R = 3,5; N = 1б2

0 1,10908707841 1,1090870784б 0,0000000045

1 3,59б03б922б4 3,59б03б92122 0,000000039

2 б,б4439172340 б,б44391708б5 0,00000022

3 10,23787347712 10,23787372142 0,0000023

4 14,30703798517 14,30704004б12 0,000014

5 18,80178850141 18,80175833335 0,0001б

ц = В; а = 0,00005; R = 4,б; N = 10В

0 1,000б4б37110754 1,000б4б3б987407 0,00000012

1 3,00572б93430237 3,00572б95535121 0,00000070

2 5,025394б5930273 5,0253949б908781 0,00000б1

3 7,07бб8039755110 7,07ббб8972б0277 0,0001б

4 9,1803375702б787 9,18025б74010б91 0,00088

5 11,35б5901021421 11,35б1544132933 0,0038

стью четвертой, шестой и восьмой степени, для которого в уравнении (1) потенциальная функция равна

х 2

V (х) =---+ ахц,

2

где ц = 4,6,8, а > 0 — параметр нелинейности.

При помощи программы EWA для уравнения Шредингера (1) с функциями (15) найдены волновые функции в виде степенных рядов и энергетические спектры Е^а , представленные в табл.1.

Как отмечалось выше, поведение определителя Б(К,Е) (см. формулу (13)), а следовательно, и нахождение корней уравнения Б(К,Е), сильно зависит от числа удерживаемых членов N степенного ряда и от значения К. При увеличении числа членов ряда численное значение корней уравнения Б(К,Е) приближается к истинному значению, если нужным образом увеличивать К.

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

R

Рис.1. Зависимость энергетического спектра от значений R

при = =

О.бп

Рис.2. Волновая функция (сплошная линия) и

(штрих-пунктир) в случае = , = и

энергии 2Е8 = 17,1078

3. Ангармонический осциллятор с двумя минимумами

Нами вычислены также энергетический спектр и волновые функции для ангармонического осциллятора с двумя минимумами, потенциальная функция которого имеет вид

V(х) = а(х2 - а2)2, (16)

где а > 0 — параметр нелинейности, а — параметр, определяющий положение двух минимумов.

В этом случае при помощи программы EWA найдены волновые функции для уравнения Шредин-гера (1) в виде степенных рядов и энергетические спектры при разных значениях параметров а, а и различных N. Полученные значения для нижайших энергетических уровней ангармонического осциллятора с двумя минимумами (16) показаны на рис.3 и приведены в табл.2, где они сравниваются с результатами работы [9].

Таблица 2

Энергетический спектр гамильтониана (1) с потенциальной функцией (16) при а = 42 , а = 1, Я = 3,4,

N = 180

n Eewa [9] < є,%

О 1,80081349 1,80081349 О

i i,S9б5053S i,S9б5053S О

2 4,З7О4бб7З 4,З7О4667З О

3 5,57ЗЗ5О24 5,57ЗЗ52О О,ОООООО7

4 7,65142527 — —

5 9,92ОЗбО57 — —

Были также вычислены энергетический спектр (табл.3) и волновые функции для ангармонического осциллятора с двумя минимумами с потенциальной функцией

V (х) = - х2 + 4 х4. (17)

Полученные результаты сравниваются с результатами

работы [1О].

1 htH 1 8

со

\ / ?'

х

Рис.3. Структура энергетических уровней уравнения Шредин-гера (1) в потенциале с двумя минимумами (16) с параметрами а = л/2 , а = 1

Таблица 3

Энергетический спектр гамильтониана (1) с потенциальной функцией (17) при N = 116, Я = 3,7

n Eewa Esn [1О]

О -О,299521ЗО2 -О,2995213б7

1 О,О46З7167О О,О4бЗ71О82

2 1,227973957 —

3 2,459861283 —

4 3,938317733 —

5 5,581833988 —

Вывод

Предложенным аналитически-численным методом получено решение краевой задачи для ангармонических осцилляторов. При сравнении полученных результатом с имеющимися в литературе найдено хорошее согласие.

Авторы глубоко признательны профессору И.В.Пузынину и участникам его семинара за плодотворное и полезное обсуждение.

Работа частично поддержана грантом БелГУ (№ВКГ-003-04).

1. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 197б. 392 с.

2. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассические приближения для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 197б. 292 с.

3. Fernandez M.F. // J. Phys. A: Math. Gen. 2ООб. V.39. Р.1683-1689.

4. Abrashkevich A.G., Abrashkevich D.G., Kaschiev M.S., Puzynin I.V. // Comp. Phys. Commun. 1995. V.85. Р.65-74.

5. Пузынин И.В. и др. // ФЭЧАЯ. 1999. Т.ЗО. Вып.1. С.21О-265.

6. Swimm R.T., Delos J.B. // J. Chem. Phys. 1979. V.71.

Р.17О6-1716. 12. Liu X.S., Su L.W., Ding P.Z. // Intern. J. Quantum Chem. .

7. Tang A.Z. and Chan F.T. // Phys. Rev. A35. 1987. No.2. 2ОО2. V.87. Р.1-11.

Р.911-914. 13. Adhikari R., Dutt R. // Phys. Lett. A141. 1989. No.1,2. Р.1-8.

S. Dineykhan M. and Efimov G.V. // Repots of Math. Phys. 14. Chaudhuri R.N. and Mondal M. // Phys. Rev. A52. 1995.

1995. V.6. No.2/3. Р.287-ЗО8. No.3. Р.185О-1856.

9. Jafarpour M., Afshar D. // J. Phys. A: Math. Gen. 2ОО2. V.35. 15. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ,

Р.87-92. 1962. 352 с.

1О. Van der Straeten Е. and Naudts J. // J. Phys. A: Math. Gen. 1б. Bender C.M. and Wu T.T. // Phys. Rev. 1969. V.184. No.5.

2ОО6. V.39. Р.9ЗЗ-94О. Р.12З1-126О.

11. Ivanov I. A. // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. V.31. Р.6995- 17. Banerjee B.K. // Proc. R. Soc. Lond. A.364. 1978. Р.265-275.

7ООЗ.