Решение уравнений Эйлера, описывающих движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки, в общем случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ЭЙЛЕРА, ОПИСЫВАЮЩИХ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ, В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

К.В. Мануйлов, А-А. Курбатов

Решение задачи о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки в общем случае является чрезвычайно важным для построения аналитического описания трудно обозримого множества различных динамических систем, начиная от движения корабля на волнении [1] и кончая движением систем с большим числом степеней свободы. Кроме того, полные уравнения движения, описывающие поведение угловых скоростей, дают возможность построить решения практически всех нестационарных уравнений математической физики [2].

Однако, несмотря на создание теории абелевых функций, содержащей все необходимое для ее решения - вплоть до выражения в известных функциях уравнений Эйлера, это движение описывающих (впервые, хотя не до конца, в 1879 г. Г. Вебер [3]), она считается до сих пор неразрешимой в квадратурах, по всей видимости, всеми, кроме авторов настоящей статьи [4-8]. Между тем функции, в которых выражаются кинематические параметры, описывающие движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки - угловые скорости шг., и направляющие косинусы а^, являющиеся решениями уравнений Эйлера

ЛгБ&г + (Ak - Aj)®j®k = Fg(Xjoa,3k - Хмазу) ,

(1)(a)

Daii = Ш 2 a i3 Ш3a i 2

Da г 2 = V ii - Шlai3 » , (1)(*)

Da г3 = Шla i 2 - Ш 2 a ii.

AiD шг + (Ak - Лу) ш j ok = Fg(Xj0ak з- x^a^)

(OH

Daii = Ш3 a 2 i - Ш2 a 3i

Da 2 i = ®1a 3i - ®3a1i » , (1Xb)

Da 3i = Ш2 a1i - ®1a 2i,

где А; - моменты инерции, шг- и шг- - угловые скорости относительно движущихся и

неподвижных осей, а^ - направляющие косинусы, х0 - координаты центра тяжести, ^ - сила тяжести, были полностью определены в результате алгебраического анализа уравнений (1), проведенного С.В. Ковалевской [11-13]. Действительно, из полученного ею в результате приравнивания нулю детерминанта, образованного из системы (1),

(2)

A1s (( - A2 )»30^m (A3 - A2 )ш20ш3m P 1m - y0a33m z0a32m

((1 - A3 )ш10ш3от A2 s ((1 - A3 )ш30ш1m - z0a31m P2m z0a31m

(2 - A1 )ш10ш2m ((2 - A1 )ш20ШЪи A3 s - X0a32m y0a31m P3m

P 1 4 m - ш30a32m <^0a33m s-1 - a320ш3m a330ш2m

_(I)10a33m P5m ш30a31m a310ш3m s-1 -a330ш1m

ш20a31m - "<%0a32m P 6m a310^m a320ш1m s-1

уравнения шестой степени

F (5; y ) = a 0 5 6 + ais 5 + a2 s 4 + аз s 3 + a 4 s 2 + a5 s + a6 = 0

(з)

следует, что решения уравнений (1) и (1') суть тригонометрические функции алгебраической кривой рода два, определенные отношениями шести нечетных и девяти четных тэта-функций второго порядка от двух переменных к тэта-функции второго порядка, являющейся единицей группы из шестнадцати тэта-функций первого порядка с характеристиками, независимыми от конкретных значений коэффициентов в уравнениях (1) и (1') (или (3)), что не учла С.В. Ковалевская (см. [10-14]).

Угловые скорости, определенные относительно движущихся осей, суть отношения вида

е; 0; (иь и 2)

ю; =■

; = 1,2,3,

(4)

ее(иь и?)

угловые скорости, определенные относительно неподвижных осей, суть отношения вида

_ = е;+з0; +3(иь и2)

; = 1,2,3,

(40

ее( ц, и?)

а направляющие косинусы а- суть отношения

(»1,и2) , к = 1,2,з, I = 4,5,6 . (5)

ее(«1, «2)

Функции (4), (4'), (5) естественно входят в выражения интегралов движения -шести классических

£ Лгю? - 2В(/)£ X;0аз; = И (а)

г=1

£ Лг2ю? - 2В(0£ хг0К,азг = Н?

1 г=1

з

£ ЛгЮ / а- = 1! (а)

(Ь)

(6.1)

У =1

£ Лг 2 Ю ; а -г =

(Ь)

=1

3

(6.2)

£а? =£а ? = £ а ? = 1 (а)

г = 1

-=1

г=1

(6.3)

£аг-а гк = 0 (Ь)

-к = 1

из которых (6.1)(Ь) получается стандартным приемом. Домножим каждое из уравнений Эйлера (1)(а) на Лг ю; и сложим их, что даст

£ Лг ЮгВ(ЛгЮг) - В(0£ х0[(ЛкЮк)а3- - (Л-Ю-)а3к] = 0 . (6.4)

г=1 -к=1

Переопределим угловые скорости, положив ю; = Лгю; . Тогда равенство (6.4)

приобретет вид

3 ~ ~ 3 ~ ~

£ СО/ПсО/ - Щ) £ х;0(ю ка3- - Ю -а3к ) = 0

г = 1 г]к = 1

или

3 3

(6.5)

1

? £ £ю;2 - В(0£ хюЕ^(а= 0.

2 г=1 г=1

Интегрируя, получаем

=1

=1

33

£ Л2-2 - 2В(,)£ Хг0Кг а3г. = Н2,

г=1

(6.6)

г=1

где Е( суть постоянные, имеющие размерность момента инерции, определенные отношениями (см. [11, 12])

Е =

Юк а 3 ] - Ю ]а 3к Юка31 - Ю 1 а3к

(Л

к Юк )а 3 - - (Л-Ю -)а 3к

Ю к а 3- - Ю -а 3к

Интегралами движения также являются поверхность К2 , имеющая четвертый порядок по ю; (а-), характеристическая поверхность, являющаяся поверхностью Римана рода 2 шестого порядка К26, и многообразие Якоби /28 - восьмого порядка.

Построим дифференциальные уравнения Эйлера посредством прямого дифференцирования функций (4)-(5).

Производные от отношений четных тэта-функций второго порядка (5) имеют вид

[3, 11]

с3е3(иЬ и 2)

О, а „ = С ?! 2("'-" ?) а,3

а г 2 =

ее(иь и?)

с 3е3(иь и2 )

ее(и1, и?)

а л

а .3 = С^Ц^ а г?

ее(и1,и2) г2

а = с 6е б(»Ъ и 2) а ?г

' 1г ее(иь и?) 2г

а ?г = С 4 е 4(Ц1,и 2) а 3г

, 2г ее(и1, и2) 3г

л а с5е5(иЬи2) а О, а 3 г =-аь-

' 3г ее(иьи?) 1г

ее(иь и ?)

^^ь и2 )

" ее(оьи?)

с 2 е 2(иь и2 )

ее(иь и?)

с 5 е5(иь и2 )

ее(и1, и?)

с 6е 6(иь и 2)

ее(иь и?)

с 4 е 4 (и^ и2)

аг2

а 3

а 1

а3

а1

а 2 г

(7)

ее(иь и?)

где сг = е' , а производные от отношений нечетных тэта-функций второго порядка имеют вид

Ою1 = -

ее^ с1с 4 ее с с

24 34 2 3

е2 с?

Ю 2 Ю3 е 2 е 2 -32-33

е 24 е 34

а 32 а 33 а 1 ^о ? ю 3 I в 123 а 32 а 33

Ою ? =■

ее с ? с

24 2 4

е2 с 2

Ою3 =-

ее сс

14 34 1 3

ее 34 с 3с

Ю1Ю3 А ? Г\2 -3^33

е 14 е 34

а 31 а 33 а ? ю 1 ^о 3 I в 213 а 31 а 33

е 2 с 2

34 3 4 3

ю1ю2 а31а32 =а3ю1ю2 +в312а31а3

ее сс

е 2 е 2 31 32 е14 е 24

(8)

О ю1 = -

ее^с^-- е2с4 = __ в

Ю _ 2 /л2 а 23 а 33 а1 Ю 2 Ю3 + в123а 23 а 33

ее с с

е15 е?6

п_ ее^ ^с 5__е2 с? __в

ОЮ2 = ——--ю3 - ——— а13а33 =а2ю1 ю3 + в213а13а33

ее с с

14 16 4 6

е 14 е?6

О ю3 =-

16__е 2 с 2 ___

ю1 ю2---—— а 13 а 23 =а 3 ю1 ю2 + в312 а13 а ?

ее с с

ее с с

14 15 4 5

А 2 А 2 13 23

е14е15

а для общей системы сил, действующих на движущееся твердое тело [11]:

Dш1 = -

6614 ^С 4

9 9 С С

24 34 2 3

Ш 2Ш

-Е

92 с,2

1 9 2 7 + 3 9

i =1 " 2,7+3 " 3,7+3

-а j 2 а 73 =а 1Ш 2 Ш3 ' 23 а г 2 а 13

г=1

Dш 2 =■

9924С2С

24 2 4

Dш3 = -

9 9 С С

14 34 1 3

9934С3С4

9 9 С С

14 24 1 2

ш1ш3

92 с 2

1 91,7+3 9 2

ш1ш 2

22

92С

02 А 2

1,7+392,7+3

-а па 73 =а 2 Ш1Ш3 +ЕР г 23а г1а г 3

г=1

а 71а 72 =а1Ш1Ш 2 123 а па 12

г=1

Однако уравнения (7)-(9) суть не уравнения Эйлера, описывающие движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки, но лишь алгебраические выражения производных от четных и нечетных тригонометрических функций алгебраической кривой рода 2, эквивалентные деривационным уравнениям, описывающим движение репера, сопровождающего замкнутую кривую, лежащую на поверхности Куммера К24 (см. [2, 15]), из коих совпадают по виду с уравнениями Эйлера (1)(Ъ), (1 %Ь) уравнения (7).

Для преобразования их в уравнения, описывающие движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, необходимо переопределить постоянные вук, Рук, а именно, положить

Рук = -У

вук = -у

тМ (Ъу - Ък) 4-я?з ЪуЪк_ тМ (Ьу - Ьк)

4ЕТЗ

где ъу = ху0 "а 3к ,

ЪУЪк Ъу = Х

тМ

У0 -ак3 , -У-2

Е

(10)

(11)

периодически изменяющаяся сила

ТЗ

тяжести. Тогда правые части уравнений (8) и (9) станут эквивалентны правым частям уравнений (1)(а) и (1г)(о) (отметим, что уравнения (9) переводится в уравнения (8) поворотом системы координат). Такое переопределение приводит нас к заключению, что кинематические параметры являются периодическими функциями четырех переменных, ибо периодическое изменение силы тяжести преобразует модули к7, входящие в абелевы интегралы I рода ранга 2, определяющие периоды функций (4)-(5), вместе с периодами в периодически изменяющиеся величины, т.е. уравнения (1)(а) и (1г)(о) являются уравнениями с периодически изменяющимися коэффициентами (отметим, что из этого переопределения следует неразрешимость уравнений (1)(а) и (1г)(о) при постоянной силе тяжести). Но тогда, строго говоря, для построения уравнений Эйлера посредством дифференцирования кинематических параметров мы должны брать от них полные производные по времени, т.е. по переменным и 7, к7, из коих последние выражаются через начальные условия:

02 д 2

14 9 24 К1 = от

9 2 9 ^б

02 д 2

14 9 24

1

а(°)а(°) 11 12

9292

'36

а

(0) 33

9

22 к 2 + К2 =

02 д 2 д 2 д 2

25 9 26 + 9 35 9 36

02 а 2

15 916

02 а 2

15916

02 а 2

к2 15934

К 3 = 99

9 2 926

01 о 2 15 9 34

= А2(Лх - А3) + А3(Ах - А2) = 1

А1(А2 - А3) А1(А2 - А3)

а(0)а(0)

21 13

9292

91б 9 2

а

(0) 31

(12)

Следовательно, как уравнения движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, так и уравнения движения тяжелого твердого тела с трением в

3

1

точке опоры и уравнения движения тяжелого деформируемого тела мы получим, взяв производные от кинематических параметров по иг, к,-:

Л1А Ю1 + (Л3 - Л2 )Ю 2 Ю3 = £вг23 (и )а 12 а 13 - Л1

I=1

-1 £ ^ О, к,

с1 г =1 5К,

Ю1 -

-£ к 3 Л

г-к= ?К'- К - К гк

+ и2К21, )кгК'2

д2 ю1

2 Л д-

ди1

+ -о1п е^, и-)Ои +—¡-£

|К| 1=1 ди1

£ (и1 к»г +

г=1

О к г - £

кЛ

г1

д2 ю

2-^ + ?£ Вщ 1п е(и1, и -)Ои, +

г-к=12к'? к-к?к [ ди1 ди2 г=1

2 Л +—£—1

|К| 1=1 ди{

£ (и1к»г+ и2к2/г )кгк'-(к- +к-)

О к г - £

д2 ю1

+

г-к=12к- к'- к к-к [ ди-2

2 ^

+ 2О 1п 0(о1, и-)ОИ - _1 + —:£

|К| г=1 ди1

£ (и1к 1 г; + и 2к-гг)к гк'2 к ? к

2 к

г=1

О к,

г=1

Л2Ю2 + (Л1 - Л3)Ю1_3 =£в 113(и)аг1аг3 - Л

д 2 Ю

1 3 дс

.1 о

с 2 г=1 дк

,кг

Ю 2 -

-£

3 к 3 Л-

г-к=1 ?к'? к 2к -

+ и 2 к -гг)к гк'2

ди2

[А к - - £

+ 2ОИ1 1п0(О1,и-)Д^Ю- + -1£ д&2

|К| г=1 диг

£ (и1к1гг +

г =1

3 к -Л-

? д 2 Ю -

г-к=1 ?к'2 к?-кгк [ ди1 ди2 г=1

+ 2£ 1п ^ и - ) О и г Ю- + и , (13)

2 -Л д—

2

|К| г=1 ди1

£ (и1 к1гг+ и2 к-гг)кг к'-(к - +к

г=1

О к г - £

52 ю ?

• +

г-к=12к- к'? к к. [ ди-2

+ 2Ои? 1п 0(о1, и-)Ои - ю-+ -1 £

|К| г=1 диг

£ (и1 к1гг+ и 2 к -гг)к гк' ? к ? к

2..2

к

О к,

4°Ю3 + (Л2 -Л1 )Ю1Ю2 = £вг12(и)аг1аг- -Л3

г=1

1 £^ О, к,-

с3 г=1 дк,

-£

3 к3Л3

-=12к'?к?- 4

2 Л, дю3

ск-

-+-Д^ц, и-)ОИ1Ю3 +—£

К г=1 диг

£(и1к1гг + и-к-гг )кгк':

О к,- -

-£

3 к,Л3

Я2Ю 2

2-^+?£Д 1пе(ц, и-)^, _3 +

ук=12к'г. кгукг.к I ди1 ди2 г=1

2 Л дю3

|К г=1 ди1

.г=1

£(и1к1гг + и-к-гг )кгк'2(к? +к1) 2 ^

О к,-£

д2Ю3

Ук=12кгк'2 к?.к-к [а^2

■ +

+2д?1пе(ц, и-)ои-_3 +—£-

К г=1 Лг

£(и1к1гг + и-к-гг )кгк'-к?к-

О к,

2

3

3

где

7 2 2 К 2 - К 2 '

_ дКп дК к;11 _ К22^ - К21

дК;

дК;

дК11 дК к;12 _ -К12 "Т + К11

дК;

дК21 дК22 дК21

к;21 _ К22 ^ -К21 "Т к;22 _ -К12""I + К11

дк; дК22

-л 1 -Л 1 ¿. >"> 1 1 -л

дк; дк; дк; дк;

а К? суть полные абелевы интегралы I рода ранга два (см. [16]):

аа;/ _®2а;3 -<в3а;2 -

1 да; 1

- е^ а к

а; 1 "1 дк

а;1- Е

к3 д2а 1

2к'2 к2'к/к ди12

■+2£>М11пЭ(и1, и2)£>м1ая

+

+А ееда. 1К 1_1 %

+_2_ ^ да1

Е(и1к1/; + и2к21; К*;2

Им ди/

3

а к-Е -Лт

ук_12к; кука

д2а 1

ди ди

+1п6(и1,и2)ди;а; 1

+

Е(и1к/ + и2к21;)к;к; (к/ +кр ;_1

■ЙЪ - е

1 2 _1

д2а

ук_12к;к'/2 ^Нк

а 1

+

ди2

+А1п9(ц1, Ц2)Йи2ая Е^'1

1К/_ дм/

Е(и1к1/; + и2к21;)к; к;2к/к2 .;_1

Ак

да; 2 _ ®3а;1 -®1а; 3 -

1 "Е дщ 2 ^

а; 2 "1 дк

а; 2 - е

к3 д2а 2

2к'/2 К/*2 ди12

■ + А1п6(и1, и2)Ди1а;2 +

+а ее

1КЙ ^

+А ^да-2

е(и1к1/; + и2к2/;)к;к;2

;_1

йк-е

к

ук_12к'/2 к/4

д2а 2

ди ди

+2Ейи 1п6(и1, и2)йи; а;2 +

1 и2 _1

;_1

ИЙ ди/

3

-Е

ук_]

да; 3 _к>1а; 2 -®2а; 1 -

Е(и1к1/; + и2к2/;)к к;2(к/ +к?)

-Ак;-

1 д2а 2

2к; к'/2 к1/к2к ди22

•+А1п9(и1,и2)Аи2а; 2 +Т2 Е^

1К£1 ди/

Е(и1к1/; + и2к2/;)к к;2к^к2

;_1

■Ак

1 да 3

- Етк3 ак

а; 3 "1 дк-

а 3-Е

к

,к_12к'/2 К/"2

ук_12к; к?к;к

д2

а 3

ди

+А1п6(и1, и2)А<1а/'3

+

1

+А ЕЕд03

1К/_ дм/

Е(и1к1/; + и2к2/;)к;к;2

;_1

- Е

к

.2.2,2

;к_12к'; к? кк

2 2 да 3

+2Еа 1п0(и1,и2)Аи;а;3 + тк Е

_1

1КЙди/

д2а 3

2-^ +

ди1 ди2

Е(и1к1/; + и2к2/; )к;к (к./ +кр м

Ак;-

-Е

;?к_12к к'2 Ч/

.,2,дк2

к

д2а;3 , ™ „ чп а , 2 "едаз

ди2

- + 2Аи21п6(и1, и2)Аи2а;3 +ШЕ

1к/_1 ди/

3

Е

;_1

е(и1к1/; + и2к2/;)к; к?

'А!

(14)

где логарифмические производные от тэта-функций и третьи слагаемые, стоящие в фигурных скобках, суть функции квазипериодические.

2

1

2

1

Все постоянные, входящие в функции и aiJ- и интегралы рода I ранга 2, определяющие их периоды, выражаются через кинематические и динамические начальные условия.

Таким образом, движение твердого тела, описываемое уравнениями (1)(a) и (1 r)(a) или (13) и (14) при условии существования эйлеровой жесткости, будет периодическим, т. е. будут периодическими функциями времени и все слагаемые, стоящие в фигурных скобках, суммируемых по индексам 1 и 3, ввиду постоянства моментов инерции Ai (см. (12)). При наличии же трения в точке опоры или при условии, что тело будет реально конечно деформируемым, его движение будет описываться уравнениями (13), (14) и будет затухающим.

Ввиду изменения модулей к и периодов функций (4)-(5) все интегралы движения, кроме (6.3), будут представлять собою величины, изменяющиеся во времени. Для образования из них постоянных величин необходимо рассмотреть еще одно твердое тело, таким образом двигающееся около неподвижной точки, чтобы величины (6)(a-d) изменялись бы в противофазе с первыми, тогда их суммы будут строго постоянными.

Кинематические параметры движения могут быть представлены в виде произведений не более чем двух эллиптических функций Якоби от двух различных аргументов и экспоненциальных функций (см. [12, 17-19]), периоды которых отличаются от периодов функций (4)-(5).

Если эллипсоид инерции тела является сферическим, т.е. A1 = A2 = nA3, то

к 2 ={0 ■

как и в случаях Лагранжа, Ковалевской, Горячева-Чаплыгина etc., то кинематические параметры при к 2 = 1 ввиду обращения в нуль коэффициента a12 квадратичной формы, входящей в тэта-функцию от двух переменных, будут представлены произведениями двух отношений эллиптических тэта-функций второго порядка, т.е. произведениями эллиптических функций Якоби от двух переменных

raj = qsnu^dnu 2 Ю2 = c2snw 2 ю3 = ^snu^cnu 2

Qj = C1SnM1 щ"2 = C^dnu^snu 2 Ш3 = с3спи^пи2

a11 = andnu2 a 21 = a2\snuisnu 2 a 31 = a3^cnu 2

a12 = a^cnu^cnu 2 a 22 = a22dnu^ a 32 = a32cnu^dnu 2

a13 = a^dnu^cnu 2 a 23 = a23cnu 2 a 33 = a33dnu^dnu 2

(15)

(ср. (15)); часть же кинематических параметров при к2 = 0 ввиду обращения в нуль коэффициентов а12 и а22 квадратичной формы, входящей в тэта-функции, будет представлена произведениями эллиптических функций Якоби на экспоненты, а часть — одними экспоненциальными функциями.

Так как уравнения (13), (14) описывают движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки, происходящее под действием периодически изменяющейся внешней силы то они же описывают движение этого тела при условии, что его центр тяжести движется около неподвижной точки по замкнутой пространственной кривой, лежащей на некоторой алгебраической (механической) поверхности, из чего следует, что кинематические параметры (4), (4') и (5) дают точное аналитическое описание движения корабля на волнении (см. [1, 20]).

Но, следовательно, они же дают и точное аналитическое описание качения тяжелого твердого тела, ограниченного выпуклой алгебраической поверхностью

^(х^) = 0 , (16)

по плоскости (обобщение движения Пуансо - см. [21]), при котором нуль-центр инерции вращающих сил описывает кривую, лежащую на одной из эволютных поверхностей поверхности (16), а угловые скорости шг-, как нетрудно заключить из системы

3

dV 3 dV дк 3

1 + = lß/23(u )«/2 а/3 + A

dt

м dKJ dt /=i

1 3 dC

Dt ln а, + — I^Dtкj

с,- дк

"i j=1 J

V -

I:

jk=1

3

Ai kJ

' i2 2 2 jk=i2Kjк jiк jk

A,K ■

d2 Vi-

+

du1

2

2Duiln0(ui,^ВД +

1 |К1ыdu/

3

I

i=l

I(u1K1/i + u2 K2/i )Ki к

2

222 jk=12KjK jiK jk

d2V

dV

^ + 2I V" 9(U1, U2)Du,V + K Zu

+ u2 K2/i )Ki Ki2(K2^J +KI )

i=1 3

,2 2 2 jk=12K j K j K jiK jk

3

l

i=1

I(u1K1/i

i+

Ai

d2Vi . du2

+

+ 2Du2ln0(U1,U2)Du2^. + ш

2 Fl/=1du/

I(u1K1/i + u2K2/i )KiKi2K*K

i=1

(17)

представляют собой решения уравнений Эйлера - Стокса, описывающих движение вязкой сжимаемой жидкости, вызванное поступательные движением в ней твердого тела, ограниченного поверхностью (16).

Для построения естественного полного описания движения сплошной среды -реальной жидкости, обтекающей движущееся в ней твердое тело, ограниченное поверхностью (16), необходимо и достаточно, приняв поверхность (16) за абсолютную поверхность, порождающую соответствующую проективную геометрию, а потому неподвижную (см. [22]), определить движения сплошной среды (пространства), оставляющие ее на месте, вращениями относительно двух систем осей и построить описывающие эти вращения уравнения Эйлера - Стокса и волновые уравнения посредством вычисления первой и второй субстанциональных производных от составляющих вектора линейной скорости жидкости, определенных равенствами

иX, = ( jxk kxj ,

(18)

где Шу, шк суть решения уравнений (13), (14), Ху, Хк - координаты точки, лежащей на поверхности (16).

> —

Литература

1. Крылов А Н. Качка корабля. / Собр. трудов. Т. XI, М.-Л., ИАН СССР, 1951.

2. Мануйлов К.В. Конические сечения, теорема Абеля и нелинейные задачи математической физики. // Quaest. Phil. Nat. 1998-1999. № 2-3. С. 8-54.

3. Weber H. Anwendung der Theta functionen zweier Veränderlicher auf die Teorie der Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. Math. Ann., B. XIV, 1879, S. 173206. (Русский перевод в Quaest. Phil. Nat. № 4-5. С.218-256. В печати).

4. Зиглин С.Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. I, II. // Функциональный анализ и его приложения. 1982. 16. Вып. 3. С. 30-41. 1983, 71. Вып. 1. С. 8-23.

5. Horozov E., van Moerbeke P. The full geometry of Kowalewski's Top and (1,2) Abelian Surfaces. // Comm. on pure and appl. Math. 1989. V. XLII. № 4. Р. 357-407.

6. Фоменко А.Т. Топология поверхности постоянной энергии, интегрирование гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. // Изв. АН СССР. Математика. 1986. Т. 50. № 6. С. 1230-1276.

7. Bobenko A.L., Reyman A.G., Semenov Tian Shansky M.A. Kowalewski's Top 99 years later; Lax pair, generalization and explicit solution. Comm in Math. Phys., 188, 1989, pp. 321-354.

8. Дубровин Б.А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. М.-И.: РХД, 2001. С. 135-148.

9. Ковалевская С.В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки. / Научные работы. М.-Л.: ИАН СССР, 1948. С. 153-220.

10. Грозденский С.Я. Андрей Андреевич Марков. М.: Наука, 1987. С. 68-71.

11. Мануйлов К.В., Волкова О.В., Ильин В.А., Курбатов А.А. Движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки в общем случае. // В сб. "Проблемы пространства, времени, движения". РАН. ОАО СПб Технология. Санкт-Петербург. 1997. С. 203-258._

12. Мануйлов К.В., Курбатов А.А. О вращении твердого тела около неподвижной точки. // В сб. "Проблемы пространства и времени в современном естествознании", АН, СПб., 1993, с. 359.

13. Maschke H. Ueber die quaternäre endliche, lineare Substitutionsgruppe der Borchardt'schen Moduln. Math. Ann., Bd. XXXIII, 1889, s. 317-323. (Русский перевод в Quaest. Phil. Nat. № 4-5. С.185-201. В печати).

14. Coble A. An application of Moore's cross-ratio groupe to the solution of the sextic equation. Trans. A.M.S. v. XII, 1911, p. 311-325. (Русский перевод в Quaest. Phil. Nat. № 4-5. С.202-217. В печати).

15. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. М.-Л. ГИТТЛ. 1947. С. 206-209.

16. Krause M. Die Transformation der Hyperelliptischen Functionen erster ordnung. Leipzig, Teubner, 1886.

17. Weber H. Ueber die Kummer'sche Fläche vierter Ordnung mit sechzehn Knotenpuncten und ihre Bezeinhung zu den Thetafunctionen mit zwei Veränderlichen. Jorn. für. Math. Bd. LXXXIV. s.332-354. 1878.

18. Appel P. Sur des cas de reduction de fonction 0 de plusiers variables à de fonction 0 d'un moindre nombre de variables. Bull. Math. Soc. France. t. X. 1882. p.59-67.

19. Jacobi C.G.J. Anzeige von Legendre: Théorie des fonctions elliptiques, troisième supplément. Gesamm. Werke. Bd. I. Berlin Reimer 1881. s. 373-382. (Русский перевод в Quaest. Phil. Nat. № 1. 1998. С. 128-135.)

20. Мануйлов К.В., Мостовский Н.П. Аналитическое описание движения корабля на волнении. // Междунар. научная конф. по механике "Третьи Поляховские чтения". Тезисы докладов. СПб, 2003. С. 148-149.

21. Poinsot L. Théorie nouvelle de la rotation des corps. Journ. math. pures et appliques. 1851. T. XVI. Рр. 9-129, 289-336.

22. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936.