CC BY
60
Л.И. Фридман, К. С. Моргачев
РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНЫ В РАМКАХ МОДЕЛИ ТИМОШЕНКО
Получено решение стационарной динамической задачи для кольцевой пластины в рамках модели Тимошенко. Разработанный алгоритм и программы определения частот и форм собственных колебаний, реализованные с использованием средств системы компьютерной математики МмИв-шаИеа, справедливы для любых сочетаний следующих граничных условий на краях пластины: свободный край, шарнирное опирание и жесткая заделка. Достоверность результатов вычисления частот подтверждается численным экспериментом — возбуждением резонансных колебаний.
Введение. Необходимость применения модели Тимошенко при динамических расчетах элементов машин и сооружений, схематизируемых кольцевыми пластинами, обоснована в [1], где приводится сравнение результатов решения динамических задач для цилиндрических тел согласно гипотезе Тимошенко и на основе методов теории упругости с результатами, полученными экспериментально.
В предлагаемой статье на основе известных зависимостей теории колебаний пластин и оболочек построен алгоритм вычисления частот и форм собственных колебаний кольцевой пластины (модель Тимошенко) для любых сочетаний общепринятых граничных условий на ее краях (свободный край, шарнирное опирание и жёсткая заделка).
Для реализации решения использовались широкие возможности системы компьютерной математики МаШетайса 4.1, которые позволяют освободить проектировщика от громоздких аналитических преобразований при разработке программ, усовершенствовать процесс вычислений, а также представить результаты вычислений в наглядном виде.
Для подтверждения достоверности результатов вычисления частот была построена программа численного эксперимента: фиксация резонансных колебаний при изменении частоты возбуждающей силы вблизи собственной частоты колебаний пластины (проверка на резонанс).
Основные зависимости для кольцевых пластин (модель Тимошенко). Полученные в [2] разрешающие уравнения колебаний пластины Тимошенко-Уфлянда-Миндлина инвариантны по отношению к системе координат, т.е. будут справедливы и в безразмерных полярных координатах (а1 = г - полярный радиус, отнесенный к внешнему радиусу кольцевой пластины Я , а2 = 9- полярный угол):
А1р = 4, (1)
ЬК8
2 5 V
У2Т---------------(ЬТ + —-) = 0, (2)
1 -у 52
где Г (г, 9) и Т(г,в)- потенциальные функции,
72„2 (1 + 2 ) 5^ у2 + 2 5^ - 12 5
к(1 - у) 512 к(1 - у) 514 е2 51
6к(1 - у) к
—2-----; к и е = —
е2 Я
Я
лютная и относительная толщины пластины; t - безразмерное время, отнесённое к
А: = V2 V2 - (1 + ——)—V2 + 77Г— — - — -2 , (3)
е 51
V2 - оператор Лапласа; д - внешняя нагрузка; Ь = —^—-; к и е = — - соответственно абсо-
л/ъ-
Е
сл11 -у2
с = — - скорость звука в материале пластины; Е , у и р - соответственно модуль упругости, \Р
коэффициент Пуассона и массовая плотность материала пластины; к - коэффициент сдвига, определяемый по Миндлину в соответствии с [3] из уравнения:
16(1 - к)(1 - к) - (2 - к)4 = 0. (4)
Моменты и перерезывающие силы определяются зависимостями
D rdJ 1 dJ 1ЛЧ1 D 1 dJ 1„ dJrl
Mr = — [—^ + y(-------q + -Jr)]; Mq = — [--------e- + -J + n—r-] ;
R dr r дд r R r дд r dr
D 1 -n 1 dJ dJq 1лч
Mre =----------(----------- + —- — J); (5)
- R 2 r дд dr r - ( )
Q kEh (J du); Q kEh (J 1 du
Qr = 2(Г+П)(^г -¥} ’ Q ■ 2(1+П)(- rд
где Qr, Mr, M— -погонная перерезывающая сила, изгибающий и крутящий моменты на линии r = const; Q—, M—, M— - то же, на линии — = const; Jr, J— - проекции осредненного поворота на плоскости, образованные нормалью к срединной поверхности и касательной соответственно к линиям r = const и д = const; u - безразмерное перемещение, нормальное к срединной
D Eh3
плоскости; D =----------— - цилиндрическая жесткость.
12(1 -у2)
Потенциальные функции F(r—) и Y(r—) связаны с u, Jr и J— зависимостями
Э2 1
у2^ d2F , dF 1 dY „ ,1 dF dY
7 ^ - nF--------------
dt2 ' r dr r d— ’ — r dд dr
u = V2 F - nF-------; Jr =-n--------------; = -П------------------------------+-. (6)
При отсутствии нагрузки (стационарная задача) (1) примет вид
А1Г = 0. (7)
При колебаниях по ] -той собственной форме потенциальные функции, перемещения, ос-редненные повороты, моменты и перерезывающие силы меняются во времени по гармоническому закону (т.е. в обозначениях упомянутых выше величин появится индекс ]).
Оператор А1 при определении функции Г из (7) примет вид:
А1 = V2V2 + (1 + —^—)1^2 + — Я] - ^1 = (V2 - а!2 XV2 + а^), (8)
к (1 -у) к (1 -у) е
где Я- - безразмерная частота колебаний пластины (переход к частотам в герцах осуществля-
ется по формуле f = Я} c);
2 1/1 2 -.^2 Д /1 2 x 2 14 12 .2
a =~(1 + ~-“)Я +\ J(1 - ка ,nn Я + 72Я ;
2 к (1 -П) V4 к (1-у) ' e
«2/ = 1(1 + —2—1 + .Р(1--------2—)2Я,4 + 12Я2 .
21 2 к (1 -у) 1 \4 к (1 -у) 1 е2 1
Уравнения (2) и (7) при стационарных колебаниях примут вид
V^2Г + (1 + —2—IV2Г + —2— Я4Г -12 Я2Г7 = 0; 1 к (1 -у) 1 1 к (1 -у) 11 е2 11
V2 V —— (Ь - я2)^, = 0.
1 1 -у 1 1
Функция Г может быть представлена в виде суммы двух функций:
Г = Г1 + Г21 .
(9)
(10)
Тогда (10) принимают вид уравнений Гельмгольца
V2Fi^ -ai2F1 ^ = 0; V2F2} + al}F2} = 0; V2Y} - 0]Y} = 0, (11)
где Ь = Т“2_(Ь - Я^).
1 -у
Уравнения (11) решаются методом разделения переменных. С учетом условия периодичности по угловой координате решения уравнений (11) записываются в виде
Г1 = (С11т (га11 ) + С2Кт (га11 ))сО<т9) ;
Г21 = (СУт (га21 ) + С4Тт (га21 ))сО8(т9) ; (12)
= (С51т (гР} ) + СбКт (гЬ ))81п(тб) .
Для кольцевых пластин условие периодичности по угловой координате в упрощает собственные формы.
Индексы у и т характеризуют формы собственных колебаний кольцевой пластины: т -число узловых диаметров (т = 0,1,2...), ] - порядковый номер формы колебаний с фиксированным числом узловых диаметров (т = 1,2,3...). По этой причине для кольцевых пластин индекс у следует заменить на двойной индекс ]т ; тогда безразмерная частота примет вид , а за-
дача колебаний кольцевых пластин становится квазиодномерной.
При Л*т > Ь величины а1 ут и становятся мнимыми, а модифицированные функции
Бесселя первого и второго рода, содержащие их, переходят соответственно в функции Бесселя первого и второго рода.
Граничные условия и частотное уравнение. Для кольцевой пластины, колебания которой подчиняются гипотезе Тимошенко, граничные условия записываются в виде
св ободный край - мг т = 0 ; Мгв 3т = 0; , ]т = 0;
шарнирное опирание - Мг^т = 0; иут = 0; Зв]т = 0; (13)
жесткая заделка - им = 0 ; Зг,^ = 0 ; $в,т = 0 .
Для пластины, защемленной по внутреннему краю г = г1 и свободной на внешнем крае г = г2, должны выполняться следующие граничные условия:
Г = Г1 и]т = 0 ; ^г,ут = 0 ; &в,ут = 0 ; (14)
Г = Г2 Мг, т = 0; Мгв,ут = 0; Яг, т = °.
Граничные условия (14) порождают систему шести линейных однородных алгебраических уравнений относительно шести произвольных постоянных:
й11С1 ] + а12С2 ] + а13С3 у + а14 С4 у + а15С5 ] + й16С6 ] = 0; а21С1 ] + а22С2 ] + а23С3 ] + а24С4 ] + а25С5 ] + а26С6 ] = 0;
й31С1} + а32 С2} + а33С3 у + а34С4 у + а35С5 у + С6 у = 0; (15)
й41С1 ] + й42С2 ] + а43С3 ] + а44 С4 ] + й45С5 ] + й46 С6 ] = 0; а51С1 у + а52 С2 у + а53С3у + й54С4 ] + Й55С5 ] + й56 С6 ] = 0; аб1С1 у + а62 С2 у + а63С3] + а64С4 у + а65С5 ] + й66 С6 ] = 0.
Условие разрешимости системы (15) (равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при произвольных постоянных) дает частотное уравнение:
Р(1т ) =
а11 1а 2 а13 1а 4 а15 1а 6
а21 2 2 а 3 2 а 4 2 а 5 2 а 6 2 а
31 а 3а 2 а33 3а 4 5 3 а 3а 6
41 а 2 4 а 3 4 а 4 4 а 5 4 а 6 4 а
51 а 5а 2 а53 5а 4 5 5 а 5а 6
а61 2 6 а 3 6 а 4 6 а 5 6 а 6 6 а
= 0. (16)
Частотное уравнение является трансцендентным уравнением и решается методом бисекции, при этом успех решения зависит от выбора шага: при малом шаге мала вероятность пропуска корней, но увеличивается время счёта. При увеличении шага возможны пропуски корней. Компьютерная система МаШешайса 4.1 позволяет строить график функции р(1ут), нули которой являются корнями частотного уравнения (16), до вычисления частот и обоснованно назначить шаг в методе бисекции. При решении уравнений (15) методом бисекции шаг не должен превышать минимального расстояния между нулями функции р(1ут).
На рис. 1 представлен график функции р(1у3).
Некоторые результаты вычислений. Вычисления, результаты которых приведены ниже, проводились для пластины с относительными размерами: г1 = 0.3, г2 = 1 и е = 0.8, соответствующей граничным условиям (14). В расчетах также принималось: п = 0.3 и к = 0.86 . Проверка выполненных расчетов осуществлялась при помощи численного эксперимента - возбужде-
ния резонансных колебаний. На рис.
2 приведен пример проверки вычисленных частот на резонанс. Проверялась частота 13 (У = 1, т = 3). Колебания возбуждались осевой нагрузкой, приложенной на внешней границе пластины и заданной зависимостью
д = д0 оо8(30)оо8(о/), где о - частота возбуждения; д0 -единичная перерезывающая сила, действующая на внешнем контуре пластины.
По мере приближения частоты возбуждения о к собственной частоте 13 резко растут все параметры, в том числе вертикальные перемещения пластины и, зависимость которых от частоты возбуждения, приведенная на рис. 2, является типичной резонансной кривой (по оси ординат на рис. 2 - и* = 1п |и|.«£и (и)). Резонансные колебания возникают только при достаточно точном вычислении частот.
Р и с. 1. Поиск корней частотного уравнения
■0,4
0,8
1,4 1,5 1,6 1з 1,7 1,8 ю 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 г
Р и с. 2. Проверка вычисленных частот на резонанс Р и с. 3. Относительные изгибающие моменты
По найденным частотам определяются формы колебаний: перемещения, осреднённые повороты, изгибающие и скручивающие моменты и перерезывающие силы, характеризующие напряженно-деформированное состояние рассматриваемой пластины в любой ее точке.
После подстановки вычисленной частоты в коэффициенты однородной системы (15) вычисляются произвольные постоянные С7 (/ = 1,6) и формы колебаний. На рис. 3 приведены относительные изгибающие моменты Мг в зависимости от радиуса г пластины при со8(3$) = 1. Вычисление относительных изгибающих и скручивающих моментов, а также перерезывающих сил позволяет определять наиболее нагруженные области элементов сооружений, схематизируемых кольцевыми пластинами.
Выводы. Разработка программ, справедливых для широкого спектра граничных условий и использующих в своем алгоритме уточнённые гипотезы теории колебаний пластин (в том числе гипотезы модели Тимошенко), способствует существенному расширению области применения последней к расчёту элементов сооружений и машин.
Построение и реализация решений в компьютерной системе МаШешайса 4.1 исключает пропуски частот колебаний при вычислении частотного спектра.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кузнецов Н.Д., Фридман Л.И., Шапошников Ю.Н. Особенности низкочастотного спектра собственных колебаний цилиндрических тел // Доклады АН СССР, 1990. 312. №1. С. 55-58.
2. Фридман Л.И., Карасева О.А. Сравнение частот прямоугольных пластин, вычисленных по уточненной и классической гипотезам // Известия вузов. Строительство. 2000. №1. С. 21-26.
3. СкучикЕ. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971. 557 с.
0
г
Поступила 10.11.2004 г.
