Решение одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения в замкнутой форме Текст научной статьи по специальности «Математика»

что совпадает с условием (3). Очевидно, что uyq (х) положительна всюду в прямоугольнике, кроме точки zq , и что uy0 (z0) = 0. Тем самым полностью доказано, что WjX) является решением задачи (6), (7).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Докл. АН СССР. 1969. Т.185. С.739-740.

2. Фам Ф. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау. М.: Мир, 1970, 184 с.

3. Penkin O. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions // Partial Differential Equations on Multistructures, ed. by F. Ali Mehmeti, J.von Below and S.Nicaise / Lect. Notes Pure Appl. Math. 2001. V. 219. P. 183-192.

4. Penkin O.M. Second-order elliptic equations on a stratified set. Differential equations on networks // J. Math. Sci. (N. Y.) 119 (2004), №. 6. P. 836-867.

5. Пенкин О.М., Богатов Е.М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на стратифицированных множествах // Матем. заметки, 2000. Вып. 68. № 6. C. 874.

6. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О дифференциальных неравенствах для эллиптических уравнений на сложных многообразиях // Докл. РАН. Т. 360. № 4. 1998. С. 456-458.

7. Nicaise S., Penkin O. Poincare-Perron's method for the Dirichlet problem on stratified sets // J. Math. Anal. Appl. 296 (2004). № 2. P. 504-520.

8. John F. Partial Differential Equation. Springer Verlag, 1986. 250 p.

9. Гилбарг Д, Трудингер М.Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.

10. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980, 304 c.

Поступила 2.10.2006 г.

УДК 517.956 Р. Н. Салихов

РЕШЕНИЕ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ЗАМКНУТОЙ ФОРМЕ

Изучается нелокальная краевая задача для вырождающегося гиперболического уравнения в области D , которая представляет собой объединение двух областей в верхней и нижней полуплоскостях. Доказательство существования и единственности решения исследуемой задачи сведено к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения.

Рассмотрим уравнение

LU =\y\lmUxx -sign(y)(yUvv + aUy) = 0,

(1)

1 1 - 2m

< a < 1, в области D = D1 и D2, где D1 — ко-

где m >—,

2

нечная односвязная область плоскости независимых переменных x и у , ограниченная характеристиками

2^2

AC, : x--

(-y) 2 = 0, BC1: x + -

г(-у)

2m+1 ~ = 1

2m +1 2m +1

уравнения (1) при у < 0 и отрезком J ° AB = {х :0 < x < 1}, D2 — конечная односвязная область плоскости независимых переменных x и у , ограниченная характеристиками

2ш+1

~ = 0, ВС2 : X + -

AC2: x --

:У

2m +1

У

2 m+1 ~ = 1

2ш + Г

уравнения (1) при у > 0 и отрезком J .

Введем следующие обозначения: @0(х) и @1(х) — точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки х є 3 с характеристиками АС1 и ВС2 соответственно; (І^’7 /)(х)

Р и с. 1. Область D

и (/1<-’^’7/)(х) - операторы обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеомет-рической функцией Гаусса Г (а, Ь, с; х), введенные в [4] и имеющие при действительных а,Р,ц и 0 < х < 1 вид

(Iaf'4)(X) = xaf(X-t)a F[a + ß,-ha;1 --] f(t)dt (a >0), (2)

G ( a ) 0 ^ X 0

(iaaßhn(x) = (1 -a f(t-x)a-1 F(a + ß,-h,a;t^lf(t)dt (a >0). (3)

Г (a) J ^ 1 - x 0

Для доказательства последующих утверждений потребуются следующие леммы [5].

Лемма 1. Пусть 0 <-a< 1 < 1, и ß < min[0,h +1] • Если p(x) е HА[0,1], то

(I°+ßhp)(x), (I“-’ßh j)(x) е Hmin[1+a.-ß][0,1].

Лемма 2. Пусть 0 < a< 1< 1, 1- a< 1 и p( x) = xm, где 0 < m< 1-a +1 • Если

p(x) е H^ (p; [0,1]), то

(Dp x) е H 01-a(p,[0,1]).

Для уравнения (1) изучим краевую задачу.

Задача 1. Найти функцию U(x, y) со свойствами:

1) LU ° 0 в области D = D1 uD2;

2) U(x, у) е C(D) n Cl(D \ J) n C2(D \ J) ;

, ч dU , ч dU

3) v1 (x) = lim-----, n2 (x) = lim-----, x е J ;

y®0- dy y®0+ dy

4) t1 (x) = lim U(x, у), r2 (x) = lim U(x, y), x е J ;

y®0- y®0+

5) выполняются условия склеивания:

t (x) = t2 (x), n(x) = n2(x); (4)

6) выполняются условия:

Ai 0+i.-a-ßt ß1U [Q0 ] + A21 0a++ßb+1-2ß-a-ßU [t, 0-] + A3I 0a++J-ß•b•-a-ßUy [t, 0-] = p (x), (5)

BI“*/,-a-ß (1 -1 )2ß-1 U [0j ] + B21-+ßb+1-2ß’-a*-ßU [t, 0+] + B31-+1-ß’iV -ßUy [t, 0+] = p2 (x), (6)

где A123, B123 — некоторые вещественные константы; p1 (x) и p2(x) — известные функции, такие, что

p (x) е H1 [0,1], p2 (x) е H12 [0,1], (7)

0 < a + ß < 1 < 1, 0 < a + ß < 1 < 1.

. . Г (2 ß)

Теорема 1. Пусть -ß< a < ß, 0 < b < 2ß, -ß< a < ß, 0 < b < 2ß, A2 ^—r(ß) ^ ’

G(2ß)

B2 Ф—r(ß) Bj, функции Pj(x) и p2(x) удовлетворяют условиям (7), тогда задача 1 однозначно разрешима•

Доказательство. При y < 0 уравнение (1) имеет вид

(-y)2mUxx + yUyy + aUy = 0. (8)

При 2 - m < a < 1 регулярное решение U(x, y) уравнения (8), удовлетворяющее условиям

U (x,0) = t(x), 0 < x < 1, (9)

lim (-y)aUy (x,y) = n(x), 0 < x < 1, (10)

y®0- ^

где t(x) е C'(J) n C 2(J), n(x) е C'(J), дается формулой [1, 2]

U (x, y) =Г(М) ft Г 2(ß) f 1

— m x + (1 - 2t)(-y)m»

tß-1(1 -1)ß-1 dt -

т„ Г(1 - 2Ь)

2Г 2(1 - Р) При у > 0 уравнение (1) имеет вид

1

(-у)1-“Ь

— т х + (1 - 2/)(-у)то

(11)

у2ти -уи -оси = 0.

■/ XX у уу у

(12)

При ^ - т < а < 1 регулярное решение и(х, у) уравнения (12), удовлетворяющее условиям

и (х,0) = г2(х), 0 < х < 1,

Нш уаиу (х, у) = п2(х), 0 < х < 1,

у®0+

(13)

(14)

где т2(х) е С'(/) п С 2(/), п2(х) е С'(У), дается формулой [1, 2]

и Г(2М

и (х,у) = ^^7 \Т1

Г 2(Р)'

т0

х + (1 - 2/)у"1" -2°-

„ 2т -1 + 2а

Здесь р =-----------------, т0 =

т0 Г(1 - 2Р) у1. 2Г 2(1 - Р)

4

х + (1 - 2/) у1”0 т

/ Р-1(1 - / )Р-1 < + Г Р(1 - / уРй/.

(15)

2(2т +1)

Так как

2т +1

(

©0( х) =

0.( х) =

1 + х

1 - х

(16)

то, используя (11), (15), для и(00) и и(01) имеем:

и[00 (х)]=Гр 1 ^ (х - х/)/р-1 (1 - /)р-1 л -тр^^-рр

( у-2р 1

х

^(х-х/)/ р(1 -/) р</,(17)

и [01 (х)] = )^2(1 - (1 - х)/)/Р-1 (1 - /)Р-1 < +

Г (р)0

.т„ Г(1 - 2Р)

2 Г2(1 -Р)

1 - х

\1-2Р 1

|п2(1 - (1 - х)/)/~Р(1 - / )-Р</.

Преобразуя (17), (18) и используя (2), (3), получим

и [00 (х)] = х) - М 2 х1-2р(1 ¿-+РА-Р^1)( х),

и [01(х)] = М1(1 - х)1-Р^1-2Р,-Рг2)(х) + М^^^ЧХх),

(18)

(19)

(20)

Г(2Р) 1 Г(1 - 2Р) ( 2т +1

где М1 = ^-^~, М2 4 ^1

1 "2Р

Г(Р) 2 Г(1 -Р) ^ 4 .

Подставляя и[00(х)] и и[01(х)] в краевые условия (5), (6), имеем

АМ1 (^- а-Р/2Р-110/+0,Р-1^1)( х) - ДМ,^-а-Р11Р'0-\)( х) + +Л2(СР,Ь+1-ад-аЛ)(х) + 4(С-РЛ-а-РП1)(х) = р( х),

в1м1(/1а-* Ь --а -Р11РД-2Р>-Рт2)( х)+2(/1а-*Ь--а*-Р(1 - / )2Р-1 /;^р-2р-1-р-п2)( х) +

+В2 I“’+Р'Ь*+1-2Р-а* -Рг2 + В3I“*+1-Р'Ь’'-а* -рп2 = р2( х).

При ^ > 0 верны формулы композиции [3]:

(I аа+р’711 г0’+5’а+71/)(х)=(1о:;р+^/)( х),

(^Ц-^ /)(х) = Щ+?-Р+3* /)(х), а при а > 0 — формулы сдвига [3]:

(О/х) = х—^аОГ^^/Хх),

(О/х) = (1 - х)-О-Р-’ (11°-.-О-^.-а-р /)(х).

Применяя формулы (23)-(26) преобразуем выражения (21), (22):

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

А1М1 (і;++ь’і+1-2Ь’-а -\)( х) - ДМ2 (С1-ьж-а-П)( X) +

+А2(Сь’а+1-2Ь’-“Л)(х) + Аз(І0а++1-ь’ь’-а-П)(х) = р( х), (27)

В1М1 (І“-*+Ь—+1-2^-“*-РЧ){ х) + ВМ2 (I-+1-b’i’’-“*-П2)( х) +

+В2І“*+ь,і’+1-2А-“* -/г2 + В3І“*+1-b’Ь’’-“* -П2 = <р2 (х). (28)

I- а-0+

чим выражение для т1:

Подействуем оператором І0+“ ь 4 1+2Ь0 на выражение (27), и, применяя формулу (23), полу-

где

Г1 = (I;+1ь-2ь1-0ч)(х) + —5— (10-Г1‘!"я)(х). (29)

А^М + А2 А^.М1 + А2

Аналогичным образом из (28) получаем выражение для т2:

^ = - ВМ2 + Вз х) +------1------(I-а*-л-ь*-1+2л° ^х). (30)

2 В1М1 + В2 1- 2 В1М1 + В2 1- 2

Используя условия склеивания (4), получим уравнение

АМгА (I¿;2b’2b-l•0^)( х)+ВвМг+Вг- (х)=/(х), (31)

А^М + А2 В1М1 + В2

/(х) = * В (І-*-Ь-Ь’-1+2Ь0^2)(х) - * . (І0-+“-Ь-—-1+2АЧ)(х). (32)

В1М1 + В2 А^М + А2

Пусть А2 ф -М1А1, В2 ф -М1В1. Введем следующие обозначения:

р = ЛМ2- А3, р = ВМ2 + В3, р3 =—1—, р4 =—1—. (33)

1 А1М1 + А2 2 В1М1 + В2 3 А1М1 + А2 4 В^^1 + В2

Применим к выражению (31) оператор І02+г-11-2Ьг:

РП(х) + Р2 (І02+Ь-1Д-х) = /1(х), (34)

где

/1(х) = Р4(І02+Ь-и-2^ІГ-а’ -1+2Ь,0^2)(х) - Pз(Io2+b-1’1-2b’^Io-+a-b’-І-1+2b’0^l)(x). (35)

Запишем уравнение (31) через операторы Римана-Лиувилля:

Рп(х) + Р2 ФІ+Ь^ПХх) = /1(х). (36)

Учитывая соотношение [4]

^ _____,„ч , втргс) 4(ґ - а Т ф(ґ)

DГ+ (ІЬ>)(х) = С05(ра)р(х) +-----------------------------------------------II-I --, (37)

р ■’ I х - а 0 ґ - х

а 4 у

перепишем (36) в виде особого интегрального уравнения с ядром Коши:

рп(х) -р2 со8(рЬ)^(х) + р2 81п(2рЬ) 1'пр<М_ = /^(х). (38)

Р “ ^ х 0 ґ - х

Таким образом, исследуемая задача сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения (38). Вводя обозначение

х1_2П( х) = у( х), (39)

приведем уравнение (38) к виду

аУ( х) + — | = /2(х), (40)

р0 ґ-х

где

а = р - Р2 соъ(2л/3), 4 = Р2 8іп(2р0), /2 (х) = х1~гр/1 (х). (41)

Решение характеристического сингулярного уравнения на конечном отрезке

ау( х) + — Iу(ґ )<ґ = /2( х) (0 < х < 1) (42)

р* ґ-х

будем искать в классе Н0 = Н [0,1] п С[0,1) гельдеровских функций, ограниченных в точке х = 0 . Будем считать, что а2 + — ф 0. Обозначим

а(х) - іЬ(х) = ю{х)

°(х) = / ч ч./ ч = Є (х) , в(х) = ЗГ§ °(х) . (43)

а( х) + іЬ( х)

Для уравнения (42) функция G(x), а, следовательно, и arg G(x), будут постоянными. Выберем значение argG(x) так, чтобы 0 < 0(0) < 2л, а, следовательно, и 0 < 0(1) < 2л.

Индекс уравнения (42) для искомого класса функций равен

■0(1)'

С =

= 0.

2л

Рассмотрим правую часть интегрального уравнения

/2 (x) = P4 x1-2b (I02+b-u-2b’rI-_a' -b’-b*-1+2b>2)(x) - P3 x1-2b (I02+b-u-2bgI -b--b-1+2b-0 j)(x). (44)

Используя определение операторов Римана-Лиувилля [3], перепишем (44) в виде

/2 (x) = P4 x1-2b(Dl2bI--a’-b,-b*-1+2bj2)(x) - P3 x1-2b(D:-+2^Io-a-b,-i-1+b0j)(x). (45)

Рассмотрим первое слагаемое. Пусть j2 (x) e H12 [0,1], -b < a* < b, 0 < b* < 2b, тогда согласно лемме 1 (I1-_a -b -b -1+2b 0 j2)(x) e H1 [0,1], где 1 = min(1 - a - b,b* +1 - 2b). Легко показать, что 0 < 1 - 2b < 1 < 1, 1 + 2b-1 < 1, тогда по лемме 2 имеем

(D0)-2bI--a -b -b -1+2b 0j2)(x) e H12+2b-1[0,1]. Аналогично рассматривается второе слагаемое. Так как xl~2b e H1-2b[0,1], то функция /2(x) принадлежит гельдеровскому классу.

Таким образом, сингулярное уравнение (42) имеет действительное решение, а значит и решение поставленной задачи существует и единственно.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк., 1985. 304 с.

2. БицадзеА. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

3. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

4. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu. Univ, 1978. Vol. 11. № 2. P. 135-143.

5. Saigo M., Kilbas A.A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces // Transfom Methods and Special Functions, Sofia 94 (Proceeding of International Workshop). Sci. Cult. Tech. Publ., Singapore. 1995. P. 282-293.

Поступила 5.08.2006 г.