РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА
Н.А. ГОЛЬЦОВ, кафедра высшей математики МГУЛа
Частичная сумма одного функционального ряда [3] представляет собой обобщенную расчетную формулу ц-го порядка точности (ОРФ-ц):
(Хп+а/стН) для повышения порядка точности ОРФ-ц:
С а]~к~' 1
г т* ктЯ _____ _________
Е£о-*-1)!'0-^-1)!’ (2)
+00-+«,.*>+0(0;
¿=0 т=1
5 = 0,1, ...,(р-1). (1)
При д*т=я; /?=7 формула (1) является формулой Тейлора.
Коэффициенты в формуле (1) могут быть определены из системы алгебраических (¡¿+1) линейных уравнений (СА-ЛУ-ц+1) или из нелинейной системы, если
определяются не только коэффициенты С , но и положения части или всех узлов
к-0 ш=1
; = 0,1
1. Рассмотрим применение ОРФ-ц для решения различных ОДУ-р:
У(р)=Ш у(к>(0)=у0<к>, к=}, 2,.... р-1; (3)
У(р>=1у(х); у(к>(0)=у0<к), к=1, 2.......р-1, (4)
У<р>=т у); у<к>(0)=уо,к>, к=1, 2,..., р-1. (5) Узлы акт ОРФ-ц целесообразно располагать на двусторонней сетке типа Коуэлла. Схема приведена на рисунке.
к к И
ы - И^. Ь0 „(2) -(3) -(*) лп-1 п-1 / 2 лп ■ .■ 1 *4" „(2) у(2) „(3) Х0 п+1/3 Ля+1 і - ■ ■» і
_
лп-1
^п-1/3
„(П _ ~<п
ля ~ ло
X
(Ч
п+1/3
,(П
^п+1
Рисунок. Двусторонняя равномерная сетка расположения узлов ОРФ-4 (5)
2. Решение ОДУ-р (3)
На первом шаге, в общем случае, в узлах х(1>=0, ±а/И, ±а2Н, ±аД ..., двусторонней сетки вычисляются значения величин у<р>(х) для выбранной ОРФ-ц; на последующих шагах достаточно выполнять
вычисления для новых узлов, например, для
(2) (2)
второго шага, х 7>хо \
В случаях, когда выбрана ОРФ-ц, при ¡х>р, чтобы начать выполнять расчеты, можно заданное ОДУ-р продифференцировать N раз (М=[х-р-1) и вычислить необходимые для расчета значения производных, как это делается в рассмотренных ниже примерах.
Отметим, что порядок ТОЧНОСТИ ¡1 ОРФ-ц может быть выбран большим (р>10) и ограничен только возможностями получения при решении системы (2) требуемой точности.
3. Пример решения задачи Коши
у = х + у, ;у(0) = 1, X е [0; 0,4]. (3.1)
Для решения (3.1) выберем ОРФ-4 четвертого порядка точности. В данном случае ц>р. Поэтому, чтобы начать решение задачи, продифференцируем (3.1) N раз (N=4-1=3) и найдем дополнительные необходимые начальные условия:
у"=1+у';ут=1;у"(0)=2; (3.1а)
у"'=у";у"'( 0)=2; (3.16)
у""=у'";у""(0)=2. (ЗЛв) ОРФ-4 имеет вид
у'(Хп+Ю=С0у(0)+к-Си'(0)+
+к2-С2-у"(0)+к3-Сгу"'(0)+
+к2-С4'у"”(0)+0(к5). (3.2)
Коэффициенты СО, С1, С2, СЗ, С4 определяются из условия (2).
Согласно формулам (3.1), (3.1а) -(3.2) при 1г=0,2
у( 0 + 0,2) = 1 + 0,2-1 + —-2 +
2! (3.5)
0,23 . 0,24 „ ,
+ -2— ■ 2 + -г— • 2 = 1,2427.
ук= У /; у(0) = /(0) = 0; /(0) = 1. (4.1) Выберем для решения (4.1) ОРФ-4. Чтобы ею воспользоваться, продифференцируем (4.1) по переменной х и для полученного ОДУ-4 вычислим необходимое дополнительное начальное условие:
у""=у'-у"+уу’", у""(0)=0-1+0-0=0. (4.2)
Согласно задаче (4.1) у"'(0)=0-1=0.
Согласно формулам (1) и (2)
У(*,+Л) = у(0) + Л-/(0) +
+ ^-/(0) + |-Л0) + ^-/"(0)-(4-3)
3! 4!
(2)
На втором шаге узел х0 расчетной схемы (см. рис. 1) имеет абсциссу •*■1+1 + х? = (при шаге 1г=0,2).
Чтобы воспользоваться ОРФ-4 на втором шаге, нужно вычислить у'(0,2), у"(0,2), у"'(0,2), у""(0,2).
Согласно формулам (3.1) - (ЗЛв) у(0,2) = 1,2427;
у'(0,2) = 0,2 + у(0,2) = 0,2 +1,2427 = 1,4427;
/(0,2) = 1 + /(0,2) = 1 +1,4427 = 2,4427;
/(0,2) = /(0,2) = 2,4427;
/'"(0,2) = 2,4427.
Применяя условие (1.5) при (3.4) и шаге 1г=0,2 получим, что
у(0,2 + 0,2) = у(0,4) = 1,2427 +
0,2
При шаге к=0,5 и к=1:
У( 0,5) =
0,5
1
2! 1 = 0,125; у(1) = - = 0,5. (4.4)
(3.4)
+ 0,2-1,4427 + -0,23
3!
-•2,4427 +
2!
0,22
2!
•2,4427 + 2,4427 +
(3.5)
0,2і
4!
• 2,4427 = 1,5844.
Задача решена в [3] методом Рунге-Кутта (м=4) с шагом к=0,1. Через 4 шага получено значение у(0,4)=1,5836, отличающееся от результата (3.5) на 8=1,5844--1,5836=0,0008.
4. Решение краевой задачи из теории крыла Прандтля
Эта задача сводится к задаче Коши [2]:
Задача (4.1) при /г=0,5 и /г=7 решена [1] также методом Рунге-Кутта (м~4), и получено
у(0,5)=0,1243541; у(1)=0,4919080. (4.5)
5. Оценки точности результатов решения ОДУ-р при использовании ОРФ-ц
Для оценки и повышения точности результатов решения ОДУ-р при применении ОРФ-ц целесообразно использовать ОРФ-(|!+1) - формулу повышенной точности.
Применяя ОРФ-5, можно написать,
что
Ууточн (0,5) = 0,1243541 +• /"(0). (5.1)
Производная у"" получается в результате дифференцирования (4.2) по переменной х с учетом начальных условий
У...=у"-у'+у'-у,"+у'-у""+уу"",у"'"(0)=1.(5.2)
Подставив условие (5.2) в (5.1), получим, что
^Ууточн (0,5)=0,1243541+8, (5.3)
где 5 = — -1 = 0,0026048.
5!
6. Решение нелинейной краевой задачи
/ = |-/,у(0) = 4, у(1) = 1, /(0) = 24, У(1) = |-
(6.1)
Для решения задачи (6.1) используем ОРФ-3 третьего порядка точности:
Уз(х„ + РЬ) ~ Ст ■ у(0) +
+ С02^(1) + /г2С21-/(0)+ (62)
+ к2С22-у\\) + Офъ). Коэффициенты в (6.2) определяются из САЛУ-4 при 8=0, Р=1/2:
' (6.3)
Qi + С02 + 0 + 0 = 1; _ 1 ~ 2
0 + С02 + -'СМ 2! +--сю 3! + 0 + 0
0 +с2 1 +С22 2
0 + 0 + сп 2
о S II С =— С = '-'oi 2 ’ 22 —— с 16’ 21
23-3! _1_ 16'
Согласно условиям (6.2) и (6.4)
'П 1 А 11,
= -•4 +------1-
2 2 2
(6.4)
y(xn+hß) = у •24
16
16
(6.5)
- = 1,728. 2
ч2у
(6-6)
1+-2
(1 + *)2
Погрешность для задачи (6.3) при (6.6)
- 1,7777-1,7280 .оп
8огФ=- ---------------Ю0% = 2,8%. (6.7)
Л. Коллатц [1] получил решение (6.1) методом конечных разностей (МКР) с погрешностью дмкр= -4,3%:
'О
(6.8)
У
у2;
= 1,8549 Литература
Точное решение задачи (6.1):
1. Коллатц JL. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.■— М.: ИИЛ, 1953,— С. 42-45; 102-103.
2. Mohr E.. Deutsche Mathematik.— Bd 4, 1939.— S. 425.
3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З.. Численные методы анализа. - М.: Наука, 1967. -С. 153, 154.
4. Гольцов H.A.. Основы численного анализа и алгоритмов для многопроцессорных вычислительных систем. - М.: МГУЛ, 2002. - 96 с.
ОЦЕНКИ ДОСТОВЕРНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛУПРИПОДНЯТЫХ СТВОЛОВ И ХЛЫСТОВ И ВЛИЯНИЕ ИХ ПАРАМЕТРОВ НА ЧАСТОТУ ОСНОВНОГО ТОНА
Г.А. ИВАНОВ, доцент МГУЛа, к. т. н.
Исследуемый предмет труда аппроксимирован зависимостью со всюду выпуклым продольным профилем [2]. Кроме того, распределение масс вдоль оси ствола может быть переменным, например, у хвойных пород деревьев; модуль упругости у различных пород также различен. Поэтому исследуем влияние полнодревесности, высоты подъема конца и неравномерно распределенной нагрузки на частоту основного тона колебания полуприподнятого ствола.
Вычисления частоты основного тона колебания полуприподнятого ствола прово-
дим по математическим моделям, полученным в [1]. При этом достоверность моделей можно оценить непосредственно сравнением с точным решением, полученным для цилиндрических тел по формуле, приведенной в [4].
Ввиду большого разброса параметров дерева в качестве расчетного будем анализировать ствол сосны 16 ... II разряда высоты по Д.И. Товстолесу длиной ствола Ьс = 28 м и хлыста Ьх = 24 м, диаметрами (11,з = 20 ... 44 см, высотой подъема одного конца ствола (хлыста) Н = 0,7 ... 1,6 м, коэффициентом формы Ц2 = 0,4 ... 1, плотно-