Решение обратных краевых задач в кусочно-однородных средах методом регуляризации Текст научной статьи по специальности «Математика»

слоями [а(]° ] (У = 1,2,...,п) (к = 1,2,...,Ь), причем учитываются только ненулевые элементы этой матрицы.

В результате информация добавляется в общую матрицу отношений между всеми объектами:

В = [ь® ] (У = 1,2,...,т) (к = 1,2,...,Ь).

Элемент Ь(к = 0, если не существует взаимодействия между объектом х1 и Xj. Элемент Ь(к есть топологическое отношение к-го типа между объектами, то есть Ь(к) е Ф, если существует связь между слоями х1 и х;.

Разница между матрицами А и В состоит в том, что первая из них содержит отношения между слоями, а вторая между объектами. Заметим, что число типов топологических отношений Ь в обеих матрицах равно, а число элементов чаще всего различно.

Недостатком данного подхода является тот факт, что исходные данные для вычисления топологических отношений между объектами различных слоев берутся из общего отношения между слоями. Данный подход будет обоснованным в случае, когда объекты одного слоя будут расположены в равном отношении от другого, что в реальной муниципальной ГИС (МГИС) практически невозможно. Для этого предлагается новый метод представления межслойных топологических отношений на уровне первичного представления информации об объекте городской инфраструктуры. Все объекты МГИС представлены не послой-

но, как это выполнялось ранее, а в одном интегрированном пространстве. Каждый объект независимо от тематического слоя обладает пространственными и семантическими характеристиками. На топологические взаимосвязи в первую очередь оказывают влияние пространственные атрибуты. Семантика в данном случае носит второстепенный характер. Данный подход отличается от известных тем, что все объекты находятся в одном формализованном пространстве, топология объектов не зависит от их принадлежности к конкретному слою. Например: линия электропередач будет находиться в определенном топологическом отношении с трубопроводом вне зависимости от того, как между собой взаимосвязаны объекты электро- и водоснабжения. А принадлежность этих объектов некоторому слою будет определять их графическое отображение в системе или другие дополнительные характеристики.

Тогда пространственный объект в ГИС представляют вектором: Xi = {1,15,Р,А1,А 2,...,АК}, где I - идентификатор объекта; ^ - идентификатор слоя; Р - геометрическая составляющая объекта; Ах, А2, ... , Ак - семантические атрибуты; N - количество атрибутов объекта.

Таким образом, объект будет существовать вне зависимости от тематического слоя, что позволяет решать прикладные задачи, связанные с вычислением межслойных топологических отношений. В результате получаем некое интегрированное описание объектов, на основе которого можно будет создавать универсальные алгоритмы анализа пространственной информации.

РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

О.Э. Яремко, к.ф.-м.н. (Пенза)

Задача о структуре нестационарного температурного поля в двухслойной бесконечной пластине: пусть функция и( 1;,х) = 0(-х)и1 (1;,х) +

+0( х) и2 (1,х) ограничена в области = = {( 1,х)| 1 е (0, ;хе 0)и(0, +~)} , где

0( х) - единичная функция Хевисайда.

Задача о структуре нестационарного температурного поля в двухслойной бесконечной пластине приводит к построению ограниченного в области решения сепаратной системы уравне-

Эи, Э2и,

ний: —1 = —,, , = 1, 2, Э1 Эх2

по идеальным условиям сопряжения

(1)

и1 (1,0) = и2 (1,0),

к ^(1,0) = ^(1,0) ,к > 0, ох ох

(2)

и по начальным условиям

и, (0,х) = (х), , = 1, 2. (3)

Рассмотрим обратную (ретроспективную) задачу: найти закон распределения температуры 1 (х) = 0(-х) 11 (х) + 0(х) 1 (х) в начальный момент по известному закону распределения температуры и (Р,х) в момент времени 1 = в.

Как показано в работе М.П. Ленюка «Интегральные преобразования Фурье для кусочно-однородных неограниченных и полуограниченных сред» (К. 1985), выражение для и, (1,х) имеет вид:

и (М=

2/Пр

e 4в +

К-1

-(

к+1

(х+г

4в

2

+ e 4в «(5)¿5

О к+1 - ъ

U2 (М =

1

2/Пр

'2

О 2к

«1 (5) ¿5+

, x < О,

(¿Ч)2

^е 4в «1 (5)¿5+

+1

г -М)2 к , е 4в -—е к+1

4в

f2 (5) ¿5

х > О

(4)

1ПТе-'^ + к21 е'^ 181 (5)¿5+?е-ЧЯ82 (5)

Действуем на систему (4) преобразованием Фурье на оси с точкой сопряжения: § (Я,) = Б^^ ]=

__1_

В образах Фурье получим

е-вя2Г (Я) = и (Я). (5)

Применим метод регуляризации (см.: А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М. 1979). Для рассматриваемой задачи выбран стабилизирующий множитель:

?(Я, а):

1, |Я|<1; 11 ь

О,

III 1

Я > —; ь

(а=ь),

где Ь - величина шага сетки, на которой ищется решение системы (4). Образ Фурье регуляризо-

ванного решения имеет вид « (Я) =

г (Я, а)

КяГ

и (Я).

Действуем обратным преобразованием Фурье на оси с точкой сопряжения

« (х) = Г-1 р] (х) =

^ | е1хЯГ(Я)¿Я, х < О,

>/я( к +1) '2 (х ) = Г-1 [Г ] (х ) =

Це

к -1

Г(Я)¿Я, х > О.

Г к +1

Интегралы в преобразованиях Фурье аппроксимированы по формуле прямоугольников.

Задача гравиразведки в двухслойной области: пусть функция и(х,у) = 0(-х)и1 (х,у) +

+0( х) и2 (х,у) ограничена в области =

= {(х,у)| хе О)и(О, +~);уе (О, +~)} , где

0( х) - единичная функция Хевисайда.

Пусть в слое у > Ь (у - глубина под поверхностью Земли) расположены источники аномального гравитационного поля, а при О < у < Ь их нет;

х - горизонтальная координата; « (х) = 0(-х) « (х) + +0(х)« (х) - потенциал гравитационного поля при у = Ь. Тогда потенциал поля и (х,у) в области О < у < Ь является гармонической функцией:

д 2и Э 2и

\ = 1, 2;

(6)

Эх2 ду2

и (х,ь ) = « (х). (7)

При этом на прямой х=0 выполняются идеальные условия сопряжения: и, (О,у ) = и (О,у),

(8)

На поверхности Земли (у=0) величина и (х,0) может быть измерена: и (х,О) = 8(х), 8(х) = = 0(-х)81 (х) + 0(х)82 (х). Требуется найти потенциал поля при у=Ь, то есть « (х), \ = 1,2. Получим сепаратную систему интегральных уравнений Фредгольма I рода относительно искомых функций Г (х), \ = 1,2.

I ^ Ь

81 (х)=-

п

к-1

+т '2 (5) ¿5 ■ 1 ^

к+1О (х-5)2 + ь

(х -5) + Ь2 к + 1 (х+ 5) + Ь2

х < О,

« (5) ¿5+

( \ Ь §2(х)=~ п

+ /

о 11 (5) ¿5 + к +1 ¿( х -5)2 + Ь2

1 к-1 1

«2 (5) ¿5

,х > О

(9)

(х -5) + Ь2 к +1 (х+5) + Ь2

Для численного решения рассмотренной задачи может быть использован метод регуляризации.

Все программы, реализующие численное решение рассмотренных задач, написаны на языке Турбо Паскаль (Свид. о госрегистрации комплекта программ для ЭВМ № 50200601996).

1

О

О

1

1

О

1

АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА КРАТНОМАСШТАБНОИ ОБРАБОТКИ И АНАЛИЗА РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКИХ СНИМКОВ

А.Л. Жизняков, к.т.н. (Муром)

Одно из ведущих мест при обеспечении надежности и безопасности эксплуатации трубопро-

водов занимает проблема недопущения снижения прочности стыковых сварных соединений до не-