Решение обратной задачи изгиба консоли Текст научной статьи по специальности «Физика»

"Крупногабаритные трансформируемые конструкции космических аппаратов

V. N. Zimin

Bauman Moscow State Technical University, Russia, Moscow

V. G. Boykov, F. R. Fayzullin ZAO «AvtomekhaNika», Russia, Moscow

CALCULATION OF DEPLOYABLE STRUCTURAL SPACE ANTENNA

Special features of a large structural space antenna deploy modeling are considered.

© Зимин В. Н., Бойков В. Г., Файзуллин Ф. Р., 2012

УДК 539.3; 519.642.4

И. В. Киреев

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ИЗГИБА КОНСОЛИ

Предложен алгоритм решения обратной задачи определения свойств материала консоли по известной распределенной изгибающей нагрузке и соответствующему прогибу.

Изготовление элементов крупногабаритного рефлектора, как правило, связано с технологическими погрешностями, результатом которых является отклонение реальных характеристик элементов конструкции от ожидаемых. Так, например, упругие характеристики изготовленных криволинейных стержневых элементов могут значительно отличаться от предполагаемых, а экспериментальное уточнение этих параметров по обычным методикам может привести к образованию внутренних дефектов в материале стержней. В работе для прямолинейной балки переменного сечения с неоднородными по ее оси плотностью и упругими характеристиками предложен метод их уточнения, базирующийся только на анализе измеренных прогибов под действием распределенных особым образом изгибающих нагрузках.

Рассмотрим задачу плоского изгиба балки прямоугольного переменного сечения (рис. 1):

"ху = {(х, у) I * е [-0,5^ (г),0,51* (г)],

у е [-0,51 у (z),0,5ly (z)]}, z е[-0,^] ,

под действием распределенной по поверхности х = -0,51х (z) нагрузки:

д(г): ду = ^ ° ° Чх = £с (г)1х1у + /(г)1у,

жестко заделанную одним (левым) концом со свободным от нагрузки правым торцом.

Здесь g - ускорение свободного падения, с (г) «линейная» плотность материала консоли, /(г) -«линейная» плотность нормальной нагрузки.

Тогда из дифференциальных зависимостей Д. И. Жу-равского при изгибе [1] несложно получить связь между прогибом и(г) = ис (г) + и? (г) и приложенной к консоли нагрузкой:

Uf (z) = JKf (z, (x) dx, y (z) = С-1 (z),

Kf (z,X) = (X-z)J

J f (t) d t

(1)

dt;

Up (z) = Jkp (z, x)p(x) dx,

K p( z, x)= glxly

1 -sgn (x-z)

f—dt -f J C(t) J

•t-z

!c(t)

dt

(2)

В этих соотношениях С(г) - коэффициент, связывающий между собой у - составляющую момента со второй производной и"(г) от прогиба. В рассматриваемом случае он может быть выражен через модуль упругости и коэффициент Пуассона материала консо-

1 -п( г)

ли: С(z) = -

lh,

-E (z).

[1 + п( г)][1 - 2п( г)] 12

Считая прогибы и? (г) и и р(г) известными функциями осевой координаты, соотношения (1) и (2) можно рассматривать как интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода относительно функций у(г)

и р(г) с ядрами К (г, X) и Кр (г, X) соответственно

[2]. Базируясь на результатах работы [3] при рассмотренных краевых условиях, удается доказать существование и единственность решения уравнений (1) и (2). Численное решение этих уравнений является задачей некорректной [4], однако применение метода наименьших квадратов с регуляризирующими множителями в сочетании с методом конечных элементов позволяет добиться хороших результатов, что отражено на рис. 2.

о

X

о

Решетневскце чтения

Библиографические ссылки

1. Куликов И. С. Статика деформируемого тела : учеб. пособие / Нижегород. гос. архит. строит. ун-т. Н. Новгород, 2008.

2. Зон Б. А. Лекции по интегральным уравнениям : учеб. пособие. М. : Высш. шк., 2004.

3. Сражидинов А. К теории разрешимости интегральных уравнений первого рода типа Вольтерра // Функциональный анализ и его приложения. Т. 23. Вып. 4. С. 94-95.

4. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М. : Физматлит, 1990.

О о о о О О $ у <Г

Рис. 1. Схема закрепления и нагружения консоли переменного прямоугольного сечения

Рис. 2. Погрешности восстановления плотности консолей различного сечения из алюминия

I. V. Kireev

Institute of Computational Modelling SB RAS, Russia, Krasnoyarsk

SOLUTION OF INVERSE PROBLEM BEND CONSOLE

An algorithm to solve the inverse problem of determining the properties of the console material by a known distributed bending load and the corresponding deflection is proposed.

© Киреев И. В., 2012