Научная статья на тему 'Решение некоторых задач условной оптимизации линейных функций на перестановочном многограннике'

Решение некоторых задач условной оптимизации линейных функций на перестановочном многограннике Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
150
20
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гребенник Игорь Валериевич

Рассматривается оптимизационная задача с линейной целевой функцией и линейными ограниченияминеравенствами на множестве перестановок. Находится точное решение задачи с одним ограничением на переменные. Приводятся результаты вычислительных экспериментов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Гребенник Игорь Валериевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Solving of some constrained linear functions optimization problems on the permutational polyhedra

Linear function optimization problem on the permutational polyhedra with the linear constraints unequalities is considered. Accurate solving for one constraint is received. Computing experiments results are described.

Текст научной работы на тему «Решение некоторых задач условной оптимизации линейных функций на перестановочном многограннике»

Использование алгоритма адаптации параметров целевой функции приводит к улучшению качества управления, что видно из сравнения графиков на рис. 5, 6 и рис. 7, 8.

По виду графиков на рис. 5-8 можно сделать вывод, что предлагаемый регулятор позволяет достичь требуемого качества управления, задаваемого критерием (6), для многомерного стохастического объекта с запаздыванием по каналам управления. Литература. 1. Borrison U. Self-tutning regulators for a class of multivariable systems//Automatica. 1979. №15. P. 209215. 2.Изерман P. Цифровые системы управления. M.: Мир, 1984. 541 с. 3. Cheung L.S. A new automated optimal tuning strategy for a PID controller // ISA Trans. 1988. 27. P. 69-75. 4. Cameron F, SeborgD.E. A self-tuning controller with a PID structure // Int. J. Contr. 1983. 38. P. 401-417. 5. Kim J.-H, Choi K.-K. Self-tuning discrete PID controller / / IEEE Trans. Ind. Electron. 1987. 34. P. 268-300. 6. Бодянский E.B., Котляревский C.B., Ачкасов A.E., Вороновский Г.К. Адаптивные регуляторы пониженного порядка. Харьков: ХЕАГХ, 1996. 144 с. 7. Peltomaa A., Koivo H.N. Tuning of multivariable discrete time PI controller for unknown systems // Int. J Contr. 1992. 57. P. 1387-1403. 8. Jones A.H., Porter B. Design of adaptive self-point tracking PID controllers incorporating recursive step-response matrix identifiers for multivariable plants // IEEE Trans. Autom. Contr. 1987. 32. P. 459-463. 9. Yusof R, Omatu S. A multivariable self-tuning PID controller // Int. J. Contr. 1992. 57. P. 1387-1403. 10. Yusof R., Omatu S, Khalid M. Self-tuning PID control: a multivariable derivation and application // Automatica. 1994. 30. P. 1975-1981. 11. BayomiM.M., Wong

K.J., El-Bagouri M.A. A self-tuning regulator for multivariable systems // Automatica. 1981. 17. P. 575-592. 12. Caines P.E., Lafortune S. Adaptive control with recursive identification for stochastic linear systems. Multivariable case // Proc. 21-

st IEEE Conf. Decis. and Contr. Orlando, Fla., Dec. 8-10, 1982, vol.3. N.Y.: 1982. P. 978-983. 13. CainesP.E., Lafortune S. Adaptive control with recursive identification for stochastic linear systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1984. 29. P. 312-321. 14. Льюнг Л. Идентификация систем. M.: Наука, 1991. 432 с. 15. Алберт A. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977. 224с. 16. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с. 17. Toivonen H. T. Variance constrained self tuning control // Automatica. 1980. 19. P. 415-418. 18. Toivonen H.T. A selftuning regulator with on-line cost function adaptation // Int.

J. Syst. Sci. 1984. 27. P. 1189-1195. 19. Xi Y. New design method for discrete-time multi-variable predictive controller // Int. J. Contr. 1989. 49. P. 45-56. 20. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1986. 448 с.

Рецензент: д-р техн. наук, проф. О.Г. Руденко

Бодянский Евгений Владимирович, д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры технической кибернетики ХТУРЭ. Научные интересы: адаптивные системы, искусственные нейронные сети. Увлечения: фелинология, японская поэзия. Адрес: 310166, Харьков, пр. Ленина, 14. Тел.: 40-98-90.

E-mail: [email protected]

Колодяжный Виталий Владимирович, младший научный сотрудник ПНИЛ АСУ ХТУРЭ. Научные интересы: адаптивные системы управления. Увлечения: программирование для Win32, компьютерная графика, английский язык. Адрес: 310166, Харьков, пр. Ленина, 14. Тел.: 40-98-90

Котляревский Сергей Владимирович, канд. техн. наук, доцент кафедры технической кибернетики ХТУРЭ. Научные интересы: адаптивные системы управления. Увлечения: рыбная ловля, футбол. Адрес: 310166, Харьков, пр. Ленина, 14. Тел.: 40-93-37

УДК 519.85

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ НА ПЕРЕСТАНОВОЧНОМ МНОГОГРАННИКЕ

ГРЕБЕННИК И.В.___________________________

Рассматривается оптимизационная задача с линейной целевой функцией и линейными ограничениями-неравенствами на множестве перестановок. Находится точное решение задачи с одним ограничением на переменные. Приводятся результаты вычислительных экспериментов.

Рассмотрим задачу оптимизации следующего вида:

П

L(x) = ^а ^ mm, (1)

1=1

Cx < d , (2)

х Є Enk ^ Rl\ C = [Cij]mxn,d Є Rl\ (3)

где Enk — множество перестановок из n элементов a1, a2,...,an, a1 є R, 1 = 1,..., n , таких что

ai < a2 < ... < an. При этом k элементов из n предполагаются различными.

Известно, что элементы множества Enk и только они являются вершинами перестановочного многогранника П nk = convEnk , структура и свойства которого подробно исследованы [1].

Подходы к решению задачи (1) - (3), предпринимавшиеся ранее, в основном связаны с реализацией различных схем ветвления и содержат перебор значительного количества вариантов. Ориентируясь на сокращение перебора и на повышение эффективности подходов к решению задачи (1) - (3), рассмотрим решение некоторых ее частных случаев.

Задача 1. Пусть задача оптимизации (1) - (3) содержит единственное ограничение — неравенство вида

п

l(x) = Z cixi - d (4)

i=1

где (c1,c2,...,cn) Є Rn, d є R .

Найдем минимум функции цели (1) с ограничениями (3), (4).

Как известно [2], безусловный минимум линейной функции L(x) на множестве Enk достигается в точке x = (x1, x2,...,xn) є Enk , такой что xlj = aj. При этом последовательность {l1,l2,...,ln} такова, что а ^ > а l2 > ... > а і . Предположим, что

в точке x ограничение (4) активно, т.е. l(x) > d . Вообще, можно выделить три случая взаимного расположения гиперплоскости

РИ, 1999, № 1

55

l(x) = d , (5)

определяющей ограничение (4), и перестановочного многогранника П ^ .

1. Г иперплоскость и многогранник не пересекаются и для всех x ёПдк справедливо неравенство

l(x) < d , т.е. все точки Бдк удовлетворяют ограничению.

2. Гиперплоскость и многогранник не пересекаются и для всех x є Пдк l(x) > d , т.е. ни одна точка

Enk не удовлетворяет ограничению (4).

3. Гиперплоскость и многогранник пересекаются хотя бы в одной точке, следовательно, существует

хотя бы одна точка x є Enk , удовлетворяющая ограничению (4).

Для решения задачи оптимизации интерес представляет только случай 3. Поэтому будем считать, что пересечение гиперплоскости (5) и многогранника

П nk не пусто. Рассмотрим линию уровня функции

цели L(x), соответствующую ее точке минимума x

на множестве Enk , т.е. гиперплоскость вида

L(x) = L(x) . (6)

Поскольку в точке x по предположению ограничение (4) не выполняется, то для получения решения задачи 1 необходимо сместить гиперплоскость (6) в направлении ее нормального вектора, определяющем возрастание функции цели. Это смещение следует проводить как минимум до точки пересечения многогранника П nk и гиперплоскости — ограничения (5), ближайшей к линии уровня функции цели (6). Если эта точка будет принадлежать Enk (т.е. будет

вершиной многогранника П nk ), то это и будет решение задачи 1. В противном случае необходимо будет сместить линию уровня L(x) в том же направлении до пересечения с ближайшей допустимой точкой множества Enk , которая и станет решением

задачи. Отыщем эту точку множества Enk .

Из свойств перестановочного многогранника известно, что его вершины — точки множества Enk —

лежат на гиперсфере Sn вида

Z(x, -т)2 = rn2,

i=1

(7)

1 „-

где

=-Z n ,=1

rn =

1 ( n ^ Z a2 -1 Z a,

i—1

n

V i=1 У

Рассмотрим пересечение гиперсферы (7) и гиперплоскости l(x) = d вида (5). Поскольку многогран-

2

ник П nk вписан в сферу Sn , то пересечение П nk и гиперплоскости (5) лежит внутри пересечения гиперсферы Sn и гиперплоскости l(x) = d . Результатом пересечения сферы (7) и гиперплоскости (5) является сфера Sn-1 с центром в точке

t = (t1,t2,...,tn) є Rn и радиусом rn-1. Найдем центр и радиус сферы Sn _1.

Центр сферы Sn _1 — точка t — лежит на пересечении прямой, проходящей через центр сферы Sn —

точку T = (т,т,...,т) є Rn, направляющий вектор которой совпадает с нормальным вектором плоскости (5) и плоскости l(x) = d . Уравнение этой прямой в параметрической форме имеет вид

xj = Т + CjS, x 2 =Т+ c2s,

(8)

x

Т + c-s .

Координаты точки пересечения прямой и плоско-

сти (точки t) определим по формулам (8), подставив в них найденное значение s. Его получим из уравнения (результат подстановки соотношений (8) в уравнение (5)):

(ф + c2 +... + cn )s + (c + c2 +... + cn )t — d — 0,

s =

d ~ (c1 + c2 + ••• + cn)^

2 , л2 , , J2

c1 + c2 + ... + cn

(9)

Таким образом, координаты центра сферы Sn_1 — точки t — определим по формулам (8), (9). Отрезок

[t, T], соединяющий центры сфер Sn_j и Sn , имеет длину р . Из проведенных построений следует, что

отрезок [t, T], радиусы rn и r-4 сфер Sn и Sn_1 составляют прямоугольный треугольник, из которого можно найти величину радиуса rn-1 :

VTT

r-1 = V rn -P

2

Определим теперь точку q гиперсферы Sn _1, ближайшую к гиперплоскости (6) — линии уровня функции цели, проходящей через точку безусловно-

го минимума на Enk . Точка q может быть найдена как решение задачи оптимизации следующего вида:

(a1x1 +a 2x2 +... + anxn + d) f (x) = 11—„ 2 \----------^t------- ^ min

a1 +a 2 +... + a n

при ограничениях

n

Z cixi =d, Z (xi - ti) = r--1,

i=1

i=1

n

где d = Zaixi . i=1

В этой задаче целевая функция представляет собой квадрат расстояния от точки M(x 1,x2,...,xn)

до гиперплоскости L(x) = L(x) вида (6), а ограничения описывают гиперплоскость — ограничение (5) и сферу Sn_1. Решение сформулированной задачи оптимизации не представляет принципиальных труд-

56

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

РИ, 1999, № 1

ностей и может быть получено, например, методом штрафных функций.

Таким образом, полученная в результате точка q представляет собой точку пересечения сферы Sn с плоскостью l(x) = d , ближайшую к плоскости L(x) = L(x) — линии уровня функции цели, проходящей через точку безусловного минимума L(x) на множестве Enk . А это значит, что значение L(q) является нижней оценкой минимума L(x) на множестве Enk с учетом активного ограничения (4). Справедливость этого утверждения вытекает из того, что точки множества Enk , лежащие в плоскости l(x) = d , принадлежат сфере Sn-1. В тех же точках Enk , которые удовлетворяют ограничению (4), но не лежат в плоскости l(x) = d, значения функции

L(x) очевидно больше, чем L(q) .

Продолжим поиск точного решения задачи 1. Из проведенных построений следует, что таким точным решением будет допустимая (в смысле ограничения

(4)) точка множества Enk , ближайшая к гиперплос-

n

кости Za ix i = L(q), т. е. к линии уровня функции i=1

цели, проходящей через точку q .Точное решение

задачи 1 обозначим через x є Enk •

В силу специфики рассматриваемой задачи область поиска точки x — решения задачи 1 — может быть ограничена. Для формирования этой области

(обозначим ее Q) проведем следующие построения.

Определим точку у1 є Enk , ближайшую к точке q . Точка у1 может быть получена как решение [2]:

У1 = argminllq - yll2.

vc Т? , 11 11

При этом точка у1 может как удовлетворять, так и не удовлетворять ограничению (4). Однако в обоих случаях внутри сферы Sy1 с центром в точке q и

радиусом Гу1 -

q - У

нет ни одной точки множе-

ства Enk . Из этого следует, что линия уровня функции цели L(x) = L(q) может быть смещена в направлении возрастания значений L(x). При этом,

пока часть гиперплоскости L(x) = c, точки которой удовлетворяют ограничению (4) и лежат внутри гиперсферы Sn , являются также внутренними точ-

ками шара, ограниченного гиперсферой Sy , никакая точка x є Enk не может быть пройдена в ходе

смещения линии уровня функции L(x). Смещение будем проводить до тех пор, пока линия уровня L(x) не пройдет через какую-либо точку р , принадлежащую пересечению гиперсфер Sn , и S , . Найдем

n 1 у

такое положение гиперплоскости L(x) = c . Для этого рассмотрим отрезок [t, q], соединяющий центры сфер Sn_1 и Syi . Длина этого отрезка равна

радиусу rn-1 сферы Sn_1, так как q є Sn_1. Искомая точка р, принадлежащая пересечению сфер

Sn_1 и Sy1, точки t и q являются вершинами треугольника с известными длинами сторон. Определим точку h є [t, q], через которую пройдет диа-

метр сферы S = Sn _1 n Sy1 . Эта точка может быть определена путем несложных алгебраических пост-

роений, учитывающих радиусы сфер Sn _1 и Sy1 [4]:

Ґ

h — t +

r21 ^ 1------Ус

V

2r,

n-1

tq

. Проходя через точку h :

линия уровня функции цели пройдет и через точку ре S. Нижняя оценка минимума L(x) на Enk с

учетом ограничения (4) возрастает с L(q) до L(h) .

Проведенные построения позволяют задать границы области Q — области поиска решения x* е Enk задачи 1. Границами Q являются:

— сфера Sn , описанная вокруг перестановочного многогранника;

— ограничение задачи 1 — гиперплоскость l(x) =

= Z cixi = d;

i=1

— гиперплоскость w(x) = 0 с нормальным вектором tq , проходящая через точку h (а значит,

содержащая сферу S = Sn_1 n Sy1). По построению, с одной стороны от плоскости w(x) нет ни одной допустимой точки E„k ;

— линия уровня функции цели L(x) = L(h) ;

— линия уровня функции цели L(x) = L(y1) , если y1 допустима в смысле ограничения (4), или L(x) = L(x), где х = argmaxL(x) , если y1 недо-

xeEnk

пустима.

*

Для определения решения задачи 1 — точки x — рассмотрим задачу покрытия области Q гиперкуба-

РИ, 1999, № 1

57

ми П yi, плотно прилегающими или пересекающимися друг с другом. При этом соответствующие грани гиперкубов П yi параллельны, а нормальными векторами граней являются векторы построенной ортонормированной системы. Каждый гиперкуб П yi обладает таким свойством, что ни одна его внутренняя точка не является точкой множества Enk .

Гиперкубы П i будем строить следующим образом.

Выберем точку Xі gQ . Подобно сфере Syl построим сферу S i с центром в точке Xі и радиусом

ryi =

x - У ем задачи

, где точка у1 є S i является решени-

У

і

arg min

yeEnk

X

2

У

(10)

Как и сфера Sy1 , сфера Syi обладает тем свойством, что шар с границей Syi не содержит внутри ни одной точки множества Enk . В сферу Syi впишем

гиперкуб П у і, задав ориентацию его граней. Как следует из [3], радиус описанной сферы r и длина

ребра гиперкуба p связаны соотношением r

pVn

2

Значит, длина ребра гиперкуба П yi, вписанного в

2r і

сферу S і, определяется как p i = —— . Центр

y y Vn

гиперкуба П yi совпадает с центром описанной

сферы Syi. Ясно, что построенный таким образом гиперкуб не может содержать внутри точек множества Enk .

Для задания ориентации граней гиперкуба П yi сформируем ортонормированную систему векторов b1,b2,...,bn следующим образом. Обозначим

Ь1 = _tq_

— — нормальный вектор плоскости w(x), tq

ограничивающей область Q . Пусть e1,e2,...,en -

ортонормированный базис рассматриваемого пространства переменных. Среди базисных векторов выберем n -1 вектор таким образом, чтобы вместе

с b1 они образовывали линейно-независимую систему векторов. (Это легко сделать, удалив из базиса

вектор ei, такой что bj ^ 0 ). Ортогонализуем векторы полученной системы, оставив без изменения вектор b1. Полученную ортонормированную систему обозначим b1,b2,...,bn .

Опишем схему покрытия области Q . Рассмотрим ранее полученную точку h , которая принадлежит границе области Q , являясь одновременно точкой плоскости L(x) = L(h) и плоскости w(x) = 0 .

Определим точку у 2 є Enk , ближайшую к точке h, воспользовавшись соотношением (10). Построим сферу Sy2 . В случае, если y2 удовлетворяет ограничению (4) и находится ближе к гиперплоскости

n

Za ixi = L(q) , чем точка, определяющая верхнюю 1=1

оценку минимума функции цели (y1 или x ),

проведем через y2 гиперплоскость L(x) = L(y2), ограничивающую область Q . Ясно, что при этом размеры области Q уменьшатся.

Впишем в сферу Sy2 гиперкуб П 2 таким образом, чтобы векторы ортонормированной системы b1 были ортогональны его граням. Длина ребра постро-

енного гиперкуба составит py2. Из точки h — центра

y

1

П 2 — сделаем шаг длиной ~ p y в направлении

y 2 у

вектора b2; полученную точку обозначим h3:

3 1 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

h = h + — py2 ' b . Легко показать, что точка h3 лежит на грани куба Пy2. Построим сферу Sy3 с центром h3 и впишем в нее гиперкуб П 3 , ориентируя его грани так же, как Пy2 . Определим длину

1

ребра py3 и снова сделаем шаг длиной ~ py3 в

направлении b2 : h4 _ h^ + 2py3 ' ^ . Построение

точек h1 в направлении b2 прекратим, когда очередная точка выйдет за границы области Q (что можно проверить непосредственно). Затем из исходной точки h сделаем шаг в направлении, противоположном b 2 . В этом направлении также построим сферы S і и вписанные в них гиперкубы П і ,

yy

прекратив построение при выходе за границы области Q . Среди всех гиперкубов П yi , построенных в

3

1

2

y

2

направлениях b2 и - b2 от точки h, найдем

гиперкуб с минимальной длиной ребра p2 = minpy . В результате проведенных построений параллелепи-1^

пед с длинами ребер ^ ^ p yi в направлении b 2 и p 2 в остальных направлениях b1,b3,...,bn не содер-

жит точек множества E

nk

58

РИ, 1999, № 1

Продолжим процесс покрытия области Q . Сделав шаг р2 из точки h в направлении b3, проведем построения, аналогичные описанным. В результате проведения построений в направлениях b2,b3,...,bn построим нерегулярную решетку, узлами которой будут точки h1 — центры сфер Syi и гиперкубов

П yi . Гиперкубы П yi, пересекаясь и плотно прилегая друг к другу, образуют n - мерный параллелепипед, доходящий до границ области Q в направлениях b1 b2 bn и имеющий длину ребра р = minp1 в

’ 2<i<n 1

направлении b 1, который не содержит внутри точек множества Enk .

Поскольку b1 является нормальным вектором

плоскости w(x) = 0, ограничивающей область Q, и центры всех гиперкубов П yi лежат в плоскости w(x), то область Q может быть уменьшена в направлении b1. Для этого гиперплоскость w(x) должна быть смещена в направлении b1 на величину

р. Из проведенных построений следует, что в

результате ни одна допустимая точка Enk не окажется выведенной за пределы области Q . Пересечение

плоскости w(x) = 0 и отрезка [t,q] даст новую точку h — точку прохождения линии уровня функции цели — нижней оценки минимума задачи 1, что также приведет к сокращению области Q .

Таким образом, в ходе построения параллелепипедов, покрывающих область Q, сокращение ее будет идти в трех направлениях: с улучшением верхней оценки минимума функции цели будет смещаться

плоскость L(x) = L(yi); с построением очередного “слоя” сместятся плоскость w(x) = 0 и плоскость

L(x) = L(h) . Процесс поиска точки x* — решения задачи 1 — можно остановить, когда размеры области Q уменьшатся до нуля. Лучшая из верхних оценок

L(yi) и определит решение задачи 1 x*=y1.

Задача 2. Задана гиперплоскость

n

Zcixi + d = 0 . (11)

i=1

Определить точку x* є Enk , ближайшую к гиперплоскости (11). При этом дополнительно может быть наложено требование, чтобы поиск точки

*

x є Enk проводился только по одну сторону от гиперплоскости (11).

Для решения задачи рассмотрим уклонение (ориентированное расстояние) от точки x є Rn до гиперплоскости (11):

n

Ё cixi+ d

5(x)

i=1

V

2 , л2 , , 2 ci + c 2 + ••• + cn

(12)

Функция (12) линейна относительно x . Определим x0 = argmin5(x) , x1 = argmax5(x). Вычис-

xeEnk xeEnk

лим 5(x0),5(x') . Если 5(x°),5(x') имеют одинаковые знаки, то множество Enk лежит по одну

сторону гиперплоскости (11) и min| 5(x°), 5(xx) |

даст возможность определить ближайшую точку x*. Если знаки 5(x°), 5(x') разные, то гиперплоскость

(11) и многогранник Пnk пересекаются. Рассмотрим задачи оптимизации:

5(x) ^ min,

nn

^ cixi + d > 0 (или - (^ cixi + d) < 0)

i=1 i=1

и

- 5(x) ^ min,

x є E

nk

E cixi+ d -0,

i=1

x є E

nk

Решениями этих задач, представляющих собой случаи задачи 1, являются соответственно точки

x є Enk и x є Enk , ближайшие к гиперплоскости (10) с разных ее сторон. Сама же точка x* є Enk определяется как x* = argmin{б(х), - 5(x)}, а расстояние от x* до плоскости (10) составляет |8(x ) .

Результаты решения задач 1 и 2 могут быть использованы при решении широкого класса задач оптимизации на множестве перестановок.

Описанный подход к решению задач оптимизации линейной целевой функции с линейным ограничением - неравенством реализован программно. Проведены вычислительные эксперименты, в ходе которых генерировались различные тестовые задачи с количеством переменных 3, 4, 10 и 20. Решения всех задач размерностью до 10 переменных проверялись методом полного перебора и их результаты во всех случаях совпали с полученными описанным методом. Решение наибольшей из рассмотренных тестовых задач (с 20 переменными) на компьютере Pentium-150 не превысило нескольких секунд машинного времени.

Литература. 1. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 268 с. 2. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Свойства выпуклых функций на перестановочном многограннике //Докл. АН УССР. Сер. А. 1988. №3. С. 238-240. 3. Розенфелъд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с. 4. Гребенник И.В. Оценки минимума линейных функций в задачах условной оптимизации на множестве перестановок // В кн. “Контроль 1 управління в складних системах” (за матеріалами п’ятої міжнародної науково-технічної конференції, Вінниця, 1999 р.). Т. 1. С. 147-153.

Поступила в редколлегию 14.03.99 Рецензент: д-р техн. наук. Путятин В. П.

Гребенник Игорь Валериевич, канд. физ-мат. наук, доцент кафедры системотехники ХТУРЭ. Научные интересы: дискретная оптимизация. Адрес: Украина, 310726, Харьков , пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

РИ, 1999, № 1

59

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.