CC BY
50
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ |^Ц Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 89
MSC 49J15
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ДВУМЕРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
В.В. Флоринский
Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail: florQbsu.edu.ru
Аннотация. Для линейной задачи быстродействия с двумерным управлением доказанв1 условия оптималвности и предложен численный метод решения такой задачи, основанный на аналитическом решении задачи с одномерным управлением.
Ключевые слова: оптималвное управление, задача быстродействия, области управляемости, каноническая система, опорный вектор.
1. Введение. В современной теории оптимального управления одно из центральных мест занимает проблема быстродействия. Поскольку время быстродействия является наиболее естественным критерием оптимальности, задачи на быстродействие стали одним из наиболее распространенных объектов применения различных методов оптимального управления. В последнее время существенное развитие теории линейного быстродействия было достигнуто на основе её связи с классической проблемой моментов. Одним из центральных пунктов в таком подходе стало исследование задачи быстродействия для канонической управляемой системы:
{х 1 = u, |u| < 1,
Xi = Xi-1, i = 2,n, (1)
х(0) = х, х(О) = 0, О ^ min.
В.И. Коробовым и Г.М. Скляром в [1] показано, что решение этой задачи эквивалентно степенной проблеме моментов на минимально возможном отрезке (min-проблеме моментов), что позволило впервые получить аналитическое решение задачи (1) для системы произвольного порядка и, В [1,2] даны методы нахождения времени быстродействия О, моментов переключения T1,T2,..., Tn-1 управления u(t) (точки разрыва функции u(t)) и рода управления U = ±1 - управления на конечном промежутке [Tn-1, О].
В настоящей работе для линейной задачи быстродействия с двумерным управлением
х = Ax + b1u1 + b2u2,
u1| < 1, |u21 < 1, x(0) = x0, x(0) = 0, 0 ^ min
(2)
доказываются условия оптимальности по быстродействию и предложен численный метод, основанный на использовании аналитического решения задачи (1), приведен алгоритм этого метода.
90
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
2. Условия оптимальности
для линейной задачи быстродействия с двумерным управлением. Рассмотрим задачу быстродействия (2). Пусть ui(t) и u2(t) - управления, переводящие точку x(0) в 0. Обозначим через M1(О) множество точек вида
г ©
v0 = — e Atb1u1(r)dr,
J 0
а через M2(О) - множество точек вида
г ©
w0 = — e Atb2u2(r)dr.
J 0
Множества М1(О) и М2(О) выпуклые, содержат 0 в качестве внутренней точки.
Нетрудно видеть, что множество М1(О) является областью управляемости в начало координат для системы
x = Ax + b1u1, |u1| < 1, (3)
а множество М2(О) - областью управляемости в ноль для системы
X = Ax + b2u2, |u2| < 1.
(4)
Пусть M3(О) = x0 — М2(О). Тогда М3(О) - выпуклое множество, содержащее х0 в качестве внутренней точки. Так как области управляемости М1(О) и М2(О) удовлетворяют условиям М1(О1) С М1(О2^1 М2(О1) С М2(О2), то и М3(О1) С М3(О2) при О1 < О2.
Теорема. Пусть для системы (2) выполнены следующие условия:
rank(b1, Ab1,..., An-1b1) = n, rank(b2, Ab2,..., An-1b2) = n,
множества М^О) и М3(О) выпуклые. Тогда для того, чтобы время быстродействия О для задачи (2) было оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы пересечение множеств М^О) и М3(О) было непустым и не содержало внутренней точки.
□ Необходимость. Предположим противное. Пусть иерееечение множеств М1(О) и М3(О) содержит внутреннюю точку. Тогда время О не является оптимальным. Действительно, пусть x0 - общая внутренняя точка этих множеств. Тогда из этой точки можно попасть в 0 за строго меньшее, чем О время О1 и, аналогично, из точки x0 — x0 в 0 - за строго меньшее время О2, тем О, Это значит, что существуют у правления u1(t) и u2(t) такие, что |u1| < 1 и |u2| < 1 и такие, что выполняются равенства
для О1 < О и
x0
Г© 1
j e-ATb1u1(r)dr
0
x0 — x0
Г© 2
I e-AT b2u2(r )dr
0
(5)
(6)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
91
для 02 < 0. Пусть для определенности 0i > 02. Тогда можно положить управление п1(т) = 0 на отрезке [02, 01]. В этом случае будут справедливы равенство (6) и равенство
Г ©2
х0 = — / е-АтЬ1п1(т)dr ,
J о
т.е. равенство
п © п ©
х0 = — е-Ат Ь1п1(т )dr — в-Ат b2n2(r)dr
J о J0
будет справедливым при 0 = 02, а это значит, что из точки х0 можно попасть в 0 в силу системы (2) за меньшее время. Необходимость доказана.
Достаточность. Докажем, что если M1(0) П M3(0) = 0 и не содержит внутреннюю точку, то время быстродействия 0 оптимально.
Действительно, пусть время 0 те является временем быстродействия и пусть 0 -время быстродействия. В этом случае M1(<Э) С M1(0) и M3(0) С M3(0) при 0 < 0, но тогда M1(0) П M3(0) = 0, а это означает, что за меньшее, чем 0 время попасть из точки х0 в 0 невозможно. Следовательно, 0 - оптимальное то быетродейетвию время, ■
Таким образом, время быстродействия 0 должно быть таково, что множеетва M1(0) и M3(0) должны иметь общую граничную точку, которую обозначим также через Х0, В этой точке существует (возможно, не единственная) гиперплоскость, разделяющая эти два множества. Следовательно, в этой точке существуют опорные векторы к множествам M1(0) и M3(0), Метод нахождения опорного вектора к области управляемости канонической задачи быстродействия описан в работах [3,4], Таким образом, решение задачи быстродействия (2) сводится к решению следующих задач быстродействия:
| Х = Ах + Ь1п1, |п1| < 1, (7)
^ х(0) = х0 х(0) = 0
и | х = Ах + Ь2п2, |п21 < 1> (8)
1 х(0) = х0 — х0 х(0) = 0
и нахождению такой точки Х0, что время быстродейетвия 0 будет являться общим как для задачи (7), так и для задачи (8), и оно же будет являться временем быстродействия для задачи (2),
3. Преобразование линейной задачи быстродействия
к каноническому виду. Приведем метод преобразования линейной задачи быстродействия к каноническому виду.
Рассмотрим систему
Х = Ах + Ьп , (9)
где А - вещественная матрица п х п, Ь
(ьЛ
Ь2
\Ьп )
92
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
Рассмотрим приведение произвольной матрицы A к форме Фробениуеа, Предположим, что для системы (9) выполнено условие
rank(b, Ab,An-1b) = n. (10)
Определим вектор c из следующих равенств:
c*b = 0, c*Ab = 0,
c*An—2b = 0, c*An-1b = 1.
В силу предположения (10) эта система имеет единственное решение. Сделаем замену:
y = Qx,
где матрица Q составлена из векторов c*An , c*An , , c* как из строк:
Q
( c*An-1 \
c*An-2
v c*
т.е. г/i = с*Ап гХг, г = 1,п. Умножая систему (9) на матрицу Q, получим систему:
Qx = QAx + Qbu,
которую можно записать в виде:
y1 = c*Anx + c*An-1bu , y2 = c*An-1x + c*An-2bu ,
yn = c*Ax + c*bu .
По теореме Гамильтона-Кэли,
n— 1
An = Y, alAi,
i=0
где ai - коэффициенты характеристического поли нома матрицы A
n—1
Xn = ai A\
i=0
(11)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
93
и учитывая, что
c*Aib
1,
0,
систему (11) можно записать в виде:
если i = n — 1, если 0 < i < n — 1,
У1 = c*(an-iAn 1x + ... + a0x) + u, Ш = У1,
Уп yn-1.
В случае, если матрица A имеет вид
( 0 0 . . 0 0 ^
1 0 . . 0 0
1° 0 . . 1 0)
то, учитывая, что Ап = 0, система (12) принимает канонический вид:
(12)
(13)
У1 = U у2 = У1,
Уп уп-1.
Матрица Q-1, обратная к матрице Q, имеет вид:
Q-1 = (b, Ab, ..., An-1b),
(14)
откуда из критерия управляемости (10) следует, что, если система (9) с матрицей A вида (13) управляемая, то она может быть приведена к каноническому виду (14).
Таким образом, при решении задачи быстродействия (2) системы (7) и (8) приводятся к каноническому виду при помощи матриц Q1 и Q2 соответственно и решение задачи
(2) сводится к решению двух канонических задач с общим временем быстродействия 0:
У1 = U1, |u11 < 1 ,
Уг Уг—Ь i 2, П ,
(15)
У(0) = У0 = ^х0, у(0) = 0, 0 ^ min,
где у = Q1x и Z1 = U2, |U2| < 1 , Zi = Zi-1, i = 2,n, z(0) = zo = Q2 (xo — xo), z(0) = 0, 0 ^ min
(16)
где z = Q2x,
94 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ |^Ц Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38
4. Численное решение задачи быстродействия с двумерным управлением.
Опишем теперь численный метод решения задачи быстродействия е двумерным управлением. Для этого рассмотрим задачу быстродействия (2) с матрицей A вида (13). Как было показано, решение этой задачи сводится к решению задач (7) и (8) и нахождению такой точки X0, что время О является временем быстродействия как для задачи (7) из точки X0 в 0 так и для задачи (8) из точки х0 — X0 в 0, и оно же будет временем быстродействия для задачи (2) из точки х0 в 0.
При помощи невырожденных матриц Qi и Q2 приведем задачи (7) и (8) к каноническому виду (15) и (16) соответственно.
Обозначим через Ny опорный вектор к области управляемости системы (15) за время Oy, а терез Nz - опорный вектор к области управляемости системы (16) за время Oz.
Между точками х0 и 0 на отрезке прямой, соединяющей эти две точки, методом половинного деления находим точку X, в которой Qy = Qz. В этой точке находим опорный вектор [3,4] Ny = Ny(QiX, Oy) к области управляемости системы (15) за время Оу и опорный вектор Nz = Nz(Q2(x0 — X), Oz) к области управляемости системы (16) за время Oz, Отметим, что век торы Q-iN^i Q-^N являются опорными векторами в точке X исходного пространства к областям управляемости систем (7) за время Оу и (8) за время Oz, Если угол между векторами Q—Ny и — Q-^N (обозначим его через 8 = 8(X) равен п (вычислять следует cos8), то время быстродействия системы (2) равно O = Oy = Oz и X0 = X. Для каждой из систем (15) и (16) находим моменты переключения [1,2], что и будет решением исходной задачи. В противном случае находим биссектрису угла 8(X), На этой биссектрисе находим точки минимума для Oy и Oz (при этом можно применять метод деления отрезка пополам или метод золотого сечения поиска минимума функции) и выбираем ту из точек минимума, которая находится ближе к точке X. Обозначим эту точку через Xb, Находим в этой точке Oy = Oy(Q^) и Oz = Oz(Q2(x0 — Xb)),
Если Oy > Oz в точк e Xb, то на отрезке прямой, соединяю щей точки Xb и 0, находим точку X', в котор ой Oy = Oz; есл и Oy < Oz, то точ ку X' находим на отрезке, соединяющем Xb и x0,
В точке X' находим опорные векторы Ny = Ny(QiX', Oy) и Nz = Nz(Q2(x0 — X'), Oz). Если угол 8 между векторами Q—Ny и — Q-iNz равен п, то O = Oy = Oz - время быстродействия для задачи (2) и X0 = X'. В противном случае находим биссектрису угла 8 = 8(X') и процесс повторяется до тех тор, пока на очередном шаге угол 8 между векторами Q—Ny и — Q-iNz те станет равным п с заданной точностью е, то есть пока не будет выполняться неравенство
|cos 8 + 1| < е.
Приведем результаты численного решения описанным методом задачи быстродействия:
Xi = Ui + U2 ,
X2 = Xi + Ui + U2 ,
X3 = X2 + U2 ,
X4 = X3 ;
|ui| < 1, |U2| < 1
x(0) = x0
x(O) = 0,
O —> min .
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
95
Для начальной точки х0 = (0; 0; 1; 1):
• точка Х0 и (0, 499270725; -0, 69352541; -0, 05530742; 1, 81190481);
• время быстродейетвия 0 и 4, 65060538;
• моменты переключения для управления ид
Ti и 0, 60356662; T2 и 1, 96722527; T3 и 3, 93859669 ;
• моменты переключения для уп равления и2:
Ti и 0, 93012912; T2 и 3, 24907149; T3 и 4, 39460969;
• род управления (управление на конечном промежутке): U1 = +1, U1 = +1.
Для начальной точки х0 = (0; 1; 1; 1) точка Хо и (-0, 230497; -0, 229221; 0, 461084; 1,174799); время быстродействия 0 и 4, 965695; моменты переключения для управления и1:
T1 и 0, 611052; T2 и 2, 524571; T3 и 4, 281118; моменты переключения для управления и2:
T1 и 1, 455239; T2 и 3, 459045; T3 и 4, 965696;
род управления (управление на конечном промежутке): U1 = +1, U1 = +1.
Литература
1. Коробов В.И., Скляр Г.М. Оптимальное быстродействие и степенная проблема моментов // Мат. сборник. - 1987. - 134(176), №2(10). - С.186 - 206.
2. Коробов В.И., Скляр Г.М., Флоринский В.В. Методы построения оптимальных по быстродействию управлений для канонических управляемых систем // Математическая физика, анализ, геометрия. - 1999. - 6, №3/4. - С.264-287.
3. Коробов В.И., Скляр Г.М., Флоринский В.В. Многочлен минимальной степени для определения всех моментов переключения в задаче быстродействия // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2000. - Т.7, №3. - С.308-320.
4. Коробов В.И., Скляр Г.М., Флоринский В.В. Минимальный полином для нахождения моментов переключения и опорного вектора к области управляемости // Дифференциальные уравнения. - 2002. - 38. - С.16-19.
SOLUTION OF THE LINEAR TIME-OPTIMAL PROBLEM WITH TWO-DIMENSIONAL CONTROL V.V. Florinsky Belgorod State University,
Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: florQbsu.edu.ru
Abstract. For the linear time-optimal problem conditions of optimality are proved and the numerical method for its solving is proposed that is based on the analytical solution of time-optimal problem with one-dimensional control.
Key words: optimal control, time-optimal problem, set of controllability, canonical system, support vector.
