CC BY
49
УДК 551.24
В.Ф. Канушин, А.Г. Вахрушев, Е.Д. Румянцева СГГА, Новосибирск
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ ТИПА ДИРИХЛЕ МЕТОДОМ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА
В работе рассмотрено решение краевой задачи динамической геодезии типа Дирихле в постановке, приведенной в работе, методами вейвлет преобразования.
V.F. Kanushin, A.G. Vakhrushev, Ye.D. Rumyantseva SSGA, Novosibirsk
SOLUTION OF THE DYNAMIC GEODESY BOUNDARY PROBLEM OF DIRICHLET BY WAVELET-ANALYSIS
The solution of the dynamic geodesy boundary problem of Dirichlet by wavelet transform is considered.
Термин "вейвлет" (дословный перевод - маленькая волна) появился сравнительно недавно - его ввели Гроссман и Морле (Grossman & Morlet) в середине 80-х годов в связи с анализом свойств сейсмических и акустических сигналов [1].
Вейвлет-преобразование сигнала состоит в его разложении по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами солитоноподобной функции (вейвлета) посредством масштабных изменений и переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве (времени) [2].
В отличие от традиционно применяемого для анализа сигналов преобразования Фурье вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку исследуемого одномерного сигнала, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала одновременно в физическом (время, координата) и в частотном пространствах.
В работе рассмотрено решение краевой задачи динамической геодезии типа Дирихле в постановке, приведенной в работе [5], методами вейвлет преобразования и Фурье-анализа.
В качестве исходного граничного условия принята цифровая модель скоростей изменения высот h, полученная в работе [3] по результатам повторного высокоточного нивелирования на участке Западной Сибири, расположенном между параллелями с широтами 52°N и 68°N и меридианами с
долготами 60° E и 90°E. Эта модель приведена в виде картосхемы и матрицы на рисунке 1.
Для реализации вейвлет преобразования использован пакет Wavelet Toolbox [4] программного комплекса MatLAB.
Листинг кода вейвлет преобразования, используемый для решения краевой динамической задачи типа Дирихле имеет следующий вид:
%Исходные данные x(1,1) = -1.50000; x(1,2) = -1.10000; x(1,3) = 2.30000; x(1,4) = 4.20000;
Изолинии проведены через 1.0 мм/год
одного поля -1.5 -1.1 2.3 4.2 4.8 -0.4 -5.0 -4.7
4.1 8.5 7.1 7.6 10.8 1.0 -7.0 -4.4
2.9 5.2 7.0 8.8 10.3 3.3 -2.6 -3.3
-0.1 1.0 4.7 5.8 5.1 1.9 -0.7 -2.5
-0.4 1.4 2.9 2.2 1.3 -0.7 -1.1 -3.2
-1.9 -0.8 -0.6 -1.8 -1.6 3.0 0.1 1.5
-4.2 -3.1 -3.2 -3.8 -3.8 -4.1 -3.8 -3.9
-3.4 -3.6 -3.0 -4.0 -3.5 -3.1 -5.1 -5.3
Рис. 1. Картосхема скорости изменения высот земной коры, построенная по исходным данным, полученным по результатам многократных высокоточных
нивелировок и матрица исходного поля
x(8,5) = -3.50000;
x(8,6) = -3.10000; x(8,7) = -5.10000; x(8,8) = -5.30000;
%Разложение вейвлетом Хаара [D,S]=wavedec2(x,122,'haar');
%Полученные коэффициенты разложения
sa2 = appcoef2 (D, S, 'haar', 3);
sh2 = detcoef2 ('h', D, S, 3);
sv2 = detcoef2 ('v', D, S, 3);
sd2 = detcoef2 ('d', D, S, 3);
%Восстановление значений xx=waverec2(D,S,'haar');
%Максимальный уровень разложения lev = wmaxlev (length(x), 'haar');
На рис. 2 приведены результаты решения краевой задачи динамической геодезии типа Дирихле методом вейвлет-анализа.
Изолинии проведены через 1.0 мм/год
Матрицы восстановленного поля методом вейвлет - анализа
-1.500000000000000 -1.099999999999999 ... -4.700000000000004 4.100000000000001 8.500000000000004 ... -4.400000000000003 2.900000000000003 5.200000000000004 ... -3.300000000000002 -0.099999999999998 1.000000000000002 ... -2.500000000000002 -0.400000000000001 1.400000000000000 ... -3.200000000000003 -1.900000000000001 -0.800000000000001 ... 1.499999999999999 -4.200000000000003 -3.100000000000002 ... -3.900000000000003 -3.400000000000002 -3.600000000000002 ... -5.300000000000003
Рис. 2. Фрагмент матрицы восстановленного поля и картосхема скорости изменения высот земной коры, построенная по восстановленным данным
вейвлет-анализом
Результаты решения краевой задачи динамической геодезии типа Дирихле с помощью программы CalPol, в которой реализован двумерный Фурье-анализ [5], приведены на рис. 3.
Изолинии проведены через 1.0 мм/год Фрагмент матрицы восстановленного поля методом Фурье - анализа
-1.27344 -1.90156 2.86406 .. . -4.51094 -5.71406
4.48594 8.68906 7.14844 .. . -6.87656 -3.99844
3.25156 4.27344 7.68906 .. . -1.98594 -4.43906
0.34844 1.12656 4.81094 .. . -0.51406 -2.16094
-0.12344 0.54844 3.51406 .. . -0.56094 -4.26406
-2.53906 0.41406 -1.57656 . .. -0.80156 2.92656
-4.31094 -3.56406 -2.97344 . . -3.64844 -4.57656
-3.17656 -3.24844 -3.11406 .. . -5.13906 -4.73594
Рис. 3. Матрица восстановленного поля и картосхема скорости изменения высот земной коры, построенная по восстановленным данным с помощью программы
CalPol
Оценка точности моделирования выполнена по разностям исходного (рисунок 1) и восстановленного (рис. 2) поля с помощью вейвлет-анализа скорости изменения высот точек земной поверхности на территории Западной Сибири, средняя квадратическая ошибка составила 3*10-15 мм/год при среднем абсолютном значении скоростей изменения высот земной поверхности 3.435 мм/год.
При выполнении оценки точности по разностям исходного (рис. 1) и восстановленного (рис. 3) поля с помощью Фурье-анализа скорости изменения высот точек земной поверхности на территории Западной Сибири, средняя квадратическая ошибка составила 0.657 мм/год при среднем абсолютном значении скоростей изменения высот земной поверхности 3.435 мм/год.
На рис. 4 представлено разностное поле по вейвлет-анализу и Фурье-анализу.
а) ^ б)
Рис. 4. Разностное поле по вейвлет-анализу и Фурье-анализу:
а) Разность между исходным полем и восстановленным по вейвлет-анализу
б) Разность между исходным полем и восстановленным по Фурье-анализу
Сравнивая два метода можно сделать вывод: вейвлет-анализ необходимо развивать для решения задач динамической геодезии.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Астафьева, Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры
применения [Текст] // Успехи физических наук обзоры актуальных проблем. -1996. - Т. 166, № 11.
2. Смоленцев, Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в Matlab [Текст]. - М: ДМК Пресс.
3. Колмогоров, В.Г. Кинематика земной поверхности Западной Сибири по результатам экспериментальных методов [Текст] /В.Г. Колмогоров // Геология и геофизика. - Новосибирск, 1997. - Т.38. - С. 1538-1549.
4. 2005 Консультационный центр Matlab компании Softline [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/wavelet/
5. Канушин, В.Ф. Определение когерентных составляющих физических полей Земли в представлении рядами Фурье / В.Ф. Канушин, И.Г. Ганагина, Д.Н. Голдобин // Сборник материалов IV междунар. науч. конгр. «ГЕО-Сибирь-2008» 22-24 апр. 2008 г., Новосибирск. - Новосибирск: СГГА, 2008. - С.37-41.
© В.Ф. Канушин, А.Г. Вахрушев, Е.Д. Румянцева, 2011
